Диференціальні рівняння

Гімназія №2

Кафедра природничо-математичних наук

Диференціальні рівняння

Курсова робота

учня 11-Б класу

Біленка Анатолія

Керівник роботи

Б.Ю. Гаузнер

2001 рік

План

1. Вступ
1.	Поява диференціальних рівнянь
2.	Історична довідка
2. Основна частина
І	Рівняння показового росту
1.	Швидкість прямолінійного руху
2.	Радіоактивний розпад
3.	Поглинання світла
4.	Концентрація розчину
ІІ	Лінійне диференціальне рівняння першого порядку
1.	Охолодження тіла
2.	Найпростіші електричні ланцюги
3.	Падіння тіл
ІІІ	Гармонічні коливання (незатухаючі)
3. Висновки
4. Список використаної літератури

1. Вступ.

1. Поява диференціальних рівнянь.

Під час розв'язування багатьох практичних задач дово­диться знаходити невідому функцію з рівняння, яке міс­тить поряд з цією невідомою функцією її похідні.

Рівняння, яке містить невідому функцію та її похідні, називається диференціальним.
Порядок найвищої похід­ної, яка входить до диференціального рівняння, назива­ється його порядком.
Наприклад, рівняння

y
''+ 4у
= 0 є диференціальним рівнянням другого порядку.

Якщо до рівняння входить незалежна змінна, невідома функція і її похідна, то це рівняння називається диферен­ціальним рівнянням першого порядку. Якщо, крім того, в рівняння входить похідна другого порядку від шуканої функції, то рівняння називається диференціальним рів­нянням другого порядку і т. д.

Будь-яку функцію, що задовольняє диференціальне рівняння, називають розв'язком, або інтегралом цього рівняння, а
розв'язування диференціального рівняння - інтег­руванням.
Наприклад, функція у
= e
­­­­
x
є розв'язком ди­ференціального рівняння у — у'
= 0, бо (є
x
)' = e
x
.

Функція у
=cosx
є розв'язком диференціального рів­няння у" + у
== 0.

Справді, для функції у
=cosx
,
маємо:

у"
= -cosx
.
Підставляючи значення у"
в рівняння y"
+ у
= 0, дістанемо - cosx
+
cosx
=
0.

Аналогічно можна переконатися, що функція у
=A
sinx
+В
cosx
,
де А і В —
довільні сталі, також є розв'язком даного рівняння.

Розглянемо задачу геометричного змісту. Розв‘язання цієї задачі допоможе з‘ясувати зміст довільних сталих.

Задача.
Знайти рівняння кривої, що проходить через точку М (1;2)
, якщо кутовий коефіцієнт проведеної до нього дотичної дорівнює 4
x
­­­­
­­­­­­­­
3
.

Розв‘язання.
У цій задачі треба знайти формулу, що задає функцію F
, похідною якої є функція f
(
x
) = 4
x
3
, тобто треба знайти первісну функції y
=4
x
3
. Крім того , відомо, що графік шуканої функції проходить через задану точку М (1;2)
.

Множина первісних всіх функцій для функції y
=4
x
3
має вигляд F
(
x
) =
x
4
+С,
де С –
довільна стала. Щоб виділити з цієї множини первісну, графік якої проходить через точку М (1;2)
, враховується, що коли x
=1
, значення функції F
(1)
має дорівнювати 2. Підставляючи у рівність F
(
x
) =
x
4
+С
замість x
число1, а замість F
(
x
)
– число 2, дістанемо 2 = 1 + С
, звідки С=1.
Підставляючи значення С
в ту саму рівність дістанемо, що F
(
x
) =
x
4
+1 –
шукане рівняння кривої, яка проходить через точку М (1;2)
.

Отже визначені довільні сталі значно звужують множину розв‘язків і допомагають знайти один – потрібний для даної задачі
.

Загальним розв'язком
даного диференціального рів­няння називається розв'язок (якщо він існує), у якого число довільних сталих дорівнює порядкові рівняння.

Розв'язок диференціального рівняння при певних, зна­ченнях довільних сталих називається окремим розв'язком
цього диференціального рівняння.

Так, у розглянутому вище прикладі у"
+ у = 0
розв'я­зок у =
A
sinx
+В
cos
x
є загальним, а розв'язок у
=cosx
-
окремим.

На практиці здебільшого окремий розв'язок конкретного диференціального рівняння знаходять із загального розв'яз­ку, виходячи з деяких умов, яким має задовольняти шука­ний окремий розв'язок. Умови, яким має задовольняти окремий розв'язок даного диференціального рівняння, на­зивають початковими умовами.

Задача відшукання конкретного окремого розв'язку даного диференціального рівняння за початковими умо­вами називається, задачею Коші.

Приклади. Знайти окремий розв'язок диференці­ального рівняння

уy
'+2х=0.
(1)

яке задовольняє початковим умовам: у
= 4, х
= 3, якщо загальний розв'язок даного рівняння задано у вигляді

х2
+у2
=а2
(2)

Розв'язання. Підставивши в загальний розв'язок (2)
початкові умови, дістанемо значення довільної сталої 32
+ 42
= a
2
, звідси а
= ±5. Отже, шуканий окремий розв'язок диференціального рівняння (1)
для заданих по­чаткових умов є функція у,
задана рівнянням х2
+ у2
=25.

Дамо геометричну інтерпретацію розв'язку рівняння (1)
.

Оскільки кожний окремий розв'язок даного рівняння е деякою функцією однієї змінної, то в прямокутній системі координат на площині цьому розв'язку відповідає деяка лінія. Ця лінія називається інтегральною кривою
даного диференціального рівняння. Загальному розв'язку ди­ференціального рівняння відповідає множина всіх інтег­ральних кривих цього рівняння, яка називається сім'єю інтегральних кривих
диференціального рівняння.

Ми встановили, що окремим розв'язком рівняння уу'
+ 2х=0
при початкових умовах х=3
і у =4 є крива

х2
+ у2
= 25, а загальним розв'язкомx
2
+y
2
=а2
.

У системі координат на площині загальний розв'язок задає множину концентричних кіл з центром у початку координат. Початкові умови означають, що серед цієї множини кіл треба взяти те, яке проходить через точку з координатами х =
3, у
= 4. Це коло радіуса 5, тобто x2
+
у2
= 25.

Багато фізичних законів мають вигляд диференціальних рівнянь. Інтегрування цих рівнянь - складна справа. Одні диференціальні рівняння вдається розв'язати в явному вигляді, тобто записати шукану функцію у вигляді форму­ли. Для інших ще й досі не знайдено зручних формул. У цих випадках знаходять наближені розв'язки за допомо­гою ЕОМ. Диференціальні рівняння досить просто і повно описують виробничі процеси. Тому важливо не лише вміти їх розв'язувати, а й складати.

2. Історична довідка.

У кінці XVII — на початку XVIII ст. різноманітні практичні і наукові проблеми привели до появи диференціальних рівнянь. Насам­перед це були диференціальні рівняння першого порядку, інтегруван­ня яких намагалися здійснити за допомогою функцій, що виражають скінченне число алгебраїчних дій або таких, що включають елементарні неалгебраїчні дії, наприклад оперування тригонометричними функ­ціями.

Найпростіші диференціальні рівняння з'явилися вже в працях Ісаака Ньютона (1643—1727) і Готфріда Лейбніца (1646—1716). Саме Лейбніцу і належить термін «диференціальне рів­няння». Диференціальні рівняння мають велике прикладне значення, вони є знаряддям дослідження багатьох задач природознавства і тех­ніки. їх широко використовують в механіці, астрономії, фізиці, у ба­гатьох задачах хімії, біології. Це пояснюється тим, що-досить часто об'єктивні закони, яким підпорядковуються певні явища (процеси), записують у формі диференціальних рівнянь, а самі ці рівняння є за­собом для кількісного вираження цих законів.

Наприклад, фізичні закони описують деякі співвідношення між ве­личинами, що характеризують певний процес, і швидкістю зміни цих величин. Іншими словами, ці закони виражаються рівностями, в яких е невідомі функції та їх похідні.

У XVIII ст. теорія диференціальних рівнянь відокремилася з ма­тематичного аналізу в самостійну математичну дисципліну, її успіхи пов'язані з іменами швейцарського вченого Іоганна Бернуллі (1667—1748), французького математика Жозефа Лагранжа (1736—1813) і особливо Леонарда Ейлера.

Перший період розвитку диференціальних рівнянь був пов'язаний з успішним розв'язуванням деяких важливих прикладних задач, що при­водять до диференціальних рівнянь, розробкою методів інтегрування різних типів диференціальних рівнянь і пошуком класів рівнянь, роз­в'язки яких можна подати у вигляді елементарних функцій або їх пер­вісних. Проте дуже швидко виявилося, що інтегрованих диференціаль­них рівнянь зовсім небагато. Це привело до розвитку власне теорії диференціальних рівнянь, яка займається розробкою методів, що дають змогу за властивостями диференціального рівняння визначити властивості і характер його розв'язку.

У зв'язку з потребами практики поступово розроблялися і спосо­би наближеного інтегрування диференціальних рівнянь. Ці методи дають зручні алгоритми обчислень з ефективними оцінками точності, а сучасна обчислювальна техніка дає змогу економічно і швидко звести розв'язування кожної такої задачі до числового результату.

2
. Основна частина.

I.

Рівняння показового росту

Розглянемо диференціальне рівняння вигляду

y
’(
x
) =
ky
(
x
)
(3)

де k
– постійна, а y
(
x
)
– шукана функція.

Рівняння (3)
називається рівнянням показового росту. Воно має такий зміст: для кожного значення аргументу, швидкість зміни функції пропорційно значенню даної функції.

Для того, щоб знайти розв’язки рівняння (3),
можна поступити наступним чином. Нехай y(
x)-
деякий розв’язок, це означає, що y’(
x) –
ky(
x)= 0
вірно. Помноживши обидві частини рівності на відмінний від 0 множник e-
kx
,
отримаємо вірну рівність

e-kx
y’(x) – e-kx
ky(x) = 0
(4)

Так як (
e
-
kx
y
(
x
))’ =
e
-
kx
y
’(
x
) –
ke
-
kx
y
(
x
),
то рівність (4)
можна записати так

(e-kx
y(x))’ = 0,

звідки e-kx
y(x) = C,
або

y(x)=Cekx
,
(5)

де C
– деяка довільна постійна.

Отже, тільки функції вигляду (5)
можуть бути розв’язками рівняння показового росту (3).
Безпосередня підстановка в рівняння (3)
показує, що при будь-якій постійній C
функція (5)
є розв’язком рівняння (3)
. Таким чином, формула (5)
визначає множину розв’язків рівняння (3).

Для того, щоб із знайденої множини розв’язків (5)
відокремити визначене, потрібно знати константу C
. Для цього потрібні додаткові умови – так названі початкові умови
; в даному випадку достатньо знати значення шуканої функції при деякому значенні аргументу:

y(x0
)=y0
(6)

Підставивши початкову умову (6)
в розв’язок рівняння (5)
, знайдемо y0
=
Ce
kx
0
,
звідки C=
y0
e-
kx
0
. Підставивши це значення C
в формулу (5)
, отримаємо розв’язок рівняння показового росту, яке задовольняє задано ній початковій умові (6)
:

y(x) = y0
ek(x-x
0
)
.
(7)

Ми бачимо, що постійна C
по початковій умові (6)
визначається однозначно; ось чому розв’язок (7)
, який задовольняє даній початковій умові буде єдиним.

Приклад.
Розв’язати рівняння
y’(
x) = 3
y(
x),
якщо y(0) = 2.

Тут k
=3, x
0
=0,
y
0
=2;
розв’язання можна записати за формулою (7)
: y(x)=2e3x
. Це буде єдиний розв’язок, задовольняючий заданій початковій умові.

Розглянемо деякі прикладення рівняння (3)
. При розв’язування задач потрібно спочатку скласти диференціальне рівняння, указати початкову умову, а потім розв’язати рівняння. При складанні рівняння звичайно використовують відомі з курсів фізики та хімії закони.

1. Швидкість прямолінійного руху.

З другого закону Ньютона

(8)

де a
–
це прискорення руху матеріальної точки маси m
, F
– результуюча всіх сил діючих на матеріальну точку.

Швидкість руху v(
t)
і прискорення a(
t)
являються функціями від часу t
, також, як відомоv’(
t) =
a(
t)
. Помітимо, що дії над векторами, які проведені вздовж однієї прямої, на якій вибрано додатній напрям можна замінити на дії над їхніми проекціями на цю ж саму пряму. Таким чином, у випадку руху матеріальної точки вздовж осі Ox
рівність (8)
може бути заміненим рівністю

mv’(t) = F,
(9)

де через v’(
t)
і F
позначені відповідно проекції векторів і на цю ось. Рівняння (9)
описує також і поступальний рух тіла. Такий рух можна розглядати як рух матеріальної точки, яка розташована в центрі мас тіла, під дією сил, прикладених до центру мас.

Задача. Моторний човен рухається в стоячій воді зі швидкістю
5 м/с. На повному ходу її мотор був вимкнутий; через
4 с її швидкість стала рівної
1 м/с. Вважаючи, що сила опору води пропорційна швидкості руху човна, визначити, через скільки секунд після вимкнення мотора швидкість зменшиться до
4 см/с?

Розв’язання. Будемо вважати, що човен рухається прямолінійно. Направимо ось Ох
вздовж руху човна. Позначимо через v(t)
швидкість руху човна в момент часу t
після вимкнення мотора. В момент вимкнення мотора (t=0)
швидкість, за умовою, дорівнює 5 м/с, або

v
(0) =5. (10)

Це – початкова умова задачі. Складемо диференційне рівняння. Нехай маса човна дорівнює m
. За умовою, на рухаючийся човен діє сила F=- k1
v(t),
де k1
>0
(знак мінус вказує на те, що сила опору води направлена проти швидкості руху човна). Підставивши це значення F
в рівняння (9)
і позначивши m k1
=
k
,
отримаємо диференціальне рівняння

v’(t)
=- kv(t)
, k>0
,

аналогічно рівнянню (3)
.
За формулою (7)
знайдемо його розв’язок при початковій умові (10)
:

.

Використовуючи додаткову умову v
(4)=1
м/с
, знайдемо

ось чому - це закон зміни швидкості руху човна після зупинки мотору. Для відповіді на питання потрібно розв’язати рівняння v
(
t
)=0,04
відносно t
. Розв’язавши його отримаємо, що t
=12с.

2. Радіоактивний розпад.

З фізики відомо, що кількість атомів радіоактивної речовини, що розпадаються в одиницю часу, складає постійну частину від кількості нерозпавшихся атомів. Для кожного вигляду радіоактивної речовини ця постійна частина своя, вона називається постійної розпаду і позначається через.
Іншими словами: швидкість розпаду атомів радіоактивної речовини пропорційна кількості нерозпавшихся атомів, а саме

(11)

Де М (t)-
кількість нерозпавшихся радіоактивних атомів речовини в момент часу t, М' (t) -
швидкість їхнього розпаду. Бо з плином часу кількість нерозпавшихся атомів зменшується, те похідна М' (t)
від’ємна. Рівняння (11)
є диференційним рівнянням, аналогічним диференційному рівнянню показового зростання (3)
. Враховуючи зв'язок між числом ядер і масою радіоактивної речов

ини, будемо говорити просто про розпад радіоактивної речовини.

Задача. Є М0
радіоактивної речовини. Якщо за
30 років розпадається
50% його, те через скільки часу залишиться
25% первісної кількості?

Розв’язання. Позначимо через M (t)
кількість радіоактивної речовини в момент часу t.
Тоді

M (0) =M0
(12)

Це – початкова умова задачі. Розв’язавши рівняння (11)
при початковій умові (12)
отримаємо

(13)

Прийнявши до уваги, що M
(30)=
M
0
/2,
з формули (13)
знайдемо

За допомогою нескладних обчислень отримаємо, що відповідь 60 років.

3. Поглинання світла

При проходженні світла через воду (або скло) деяка його частина поглинається. Нехай на поверхню води перпендикулярно до неї падає світло з інтенсивністю A0
, інтенсивність світла на глибині х
позначимо через А (х).
Похідна А' (х) –
швидкість поглинання світла на глибині х.
З оптики відомо, що для таких серед, як вода або скло, швидкість поглинання світла на глибині х
пропорційної інтенсивності світла на цій глибині, а саме

(14)

Так як інтенсивність світла А (х) з
збільшенням глибини х
зменшується, то похідна А'(х)
від’ємна. Рівняння (14) є диференційним рівнянням типу (3) відносно функції А (х).

Задача. Десятиметровий шар води поглинає
40% світла ,що падає на її поверхню. На якій глибині денне світло буде по яскравості таким же, як місячне світло на поверхні води, якщо яскравість місячного світла складає яскравості денного світла?

Розв’язання. Початкова умова задачі має вигляд

A(0)=A0
(15)

Записавши розв’язання рівняння (14)
при початковій умові (15)
по формулі (5),
отримаємо A(x)=A0
e-kx
;
звідки, використовуючи додаткову умову A(10) = 0,6A0
, знайдемо

Закон поглинання світла матиме вигляд

Для визначення в задачі глибини х
отримаємо рівняння

звідки х247 м.

4. Концентрація розчину.

Задача. Є судина ємністю а
л, наповнений водним розчином солі. В судину вливається вода зі швидкістю b
л в хвилину, перемішується, і розчин ,що одержується однорідної концентрації виходить з судини з тією ж швидкістю. Скільки солі буде міститися в розчині в момент часу t, якщо в початковий момент
(t=0) її було в розчині A0
кг? Обчислити відповідь, якщо а=100 л, A0
=10 кг, b=3 л в хвилину, t=1 година.

Розв’язання. Позначимо через A (t)
кількість солі в розчині в момент часу t.
Концентрація розчину в цей момент часу буде рівна A (t)/a.
Зміна кількості солі в розчині в одиницю часу дорівнює різниці між кількістю солі, що надходить в судину і що виходить з неї. Але сіль в судину не надходить, а виходить з нього в одиницю часу bA (t)/a.
Тому швидкість А' (t)
зміни кількості солі в розчині дорівнює

(16)

Знак мінус вказує на зменшення кількості солі у розчині. Маємо диференціальне рівняння типу (3)
з початковою умовою

А(0) = А0
(17)

Записавши розв’язок рівняння (16)
при початковій умові (17)
за формулою (7),
отримаємоA(
t)=
A0
e-
bt/
a
.
Враховуючи числові дані задачі, знайдемо A(60)1,654 кг.

II. Лінійне диференціальне рівняння першого порядку.

Подібно тому, як в алгебрі виникає поняття ступеню алгебраїчного рівняння, в аналізі виникає поняття порядку
диференційного рівняння.

Якщо диференційне рівняння містить лише першу похідну цієї функції, те воно називається диференційним рівнянням першого порядку. З диференційних рівнянь першого порядку для додатків велике значення мають рівняння вигляду

y’ (x) +p (x) y (x) =q (x),

(1
9
)

Де р(x)
і q(x) —
деякі безперервні функції; в а саме, вони можуть бути постійними. Це рівняння лінійне відносно цієї функції і її похідної. Такі рівняння називаються лінійними
диференційнимирівняннями. При q
(
x
) = 0
рівняння (18)
має вигляд

y’(x)+p(x)y(x)=0
(20)

Позначимо через v(х)
одну з первісних функції р(х)
і умножимо обидві частини рівності (20)
на відмінний від нуля множник еv(x)
.
Помітивши, що

v
'(х) =р (х),
отримаємо справедливу рівність (y (x) ev(x)
) ’=0
. Отже,

y
(х) еv(x)
=C
, де C-довільна
постійна, звідки

y(х) =Се-v(x)
.
(21)

Отже, якщо у (х) –
розв’язання рівняння (19)
, те воно має вигляд (21)
. Безпосередній підстановкою в рівняння (19)
функції (21)
переконуємось, що при будь-якому значенні постійної С
вона є розв’язанням рівняння (19)
. Отже, формула (21)
дає безліч всіх розв’язків рівняння (19)
. При початковій умові (6)
з неї можна отримати певний розв’язок.

Неоднорідне лінійне диференційне рівняння (18)
може бути зведене до вже розглянутого випадку однорідного рівняння. Наприклад, якщо функції р(х)
і q(x) —
постійні, а саме p(x) =k, k0, q(x) =a (k
і а - постійні
), рівняння

y'(x) +ky (x) =a
(22)

Можна переписати в вигляді однорідного рівняння

.

Звідси видно, що множина всіх розв’язків y(x)
цього рівняння визначається формулою

y(x)=Ce-kx
+a/k,

а розв’язок рівняння (22)
, яке задовольняє початковій умові (6),
- формулою

(23)

Розглянемо деякі задачі на прикладення лінійних рівнянь.

1. Охолодження тіла

Нагріте тіло, поміщене в середу з більш низькою температурою, буде охолоджуватися, при цьому швидкість охолодження з плином часу зменшується. Як відомо, швидкість охолодження поверхні тіла в будь-якій її точці пропорційна різниці температур поверхні тіла і навколишньої середи.

Задача. Металева деталь, нагріта до 500°С, охолоджується в, повітрі при температурі 20 °С. Через 10 хвилин після початку охолодження температура на поверхні деталі понизилася до 100°С. Який буде температура на поверхні деталі через 20 хвилин?

Розв’язання. Позначимо через U (t)
температуру на поверхні деталі в момент часу t
після початку охолодження. За умовою

U
(0
)=
500 (24)

Це – початкова умова задачі. Швидкість охолодження поверхні деталі в момент часу t
дорівнює U
’(
t
)
. Вважаючи температуру повітря постійною, отримаємо:

U (t) = -k (U (t)-20), k>0.

Так, як температура на поверхні деталі зменшується, то похідна від’ємна. Звідси для U(
t)
отримаємо лінійне диференціальне рівняння, аналогічне рівнянню (22):

U’ (t)+kU (t)= 20k

Розв’язуючи його за формулою (23)
з початковою умовою (24)
, отримаємо

U (t)= 480e-kt
+20

Використовуючи додаткову умову U(10)=100
, знайдемо і, відповідно, U(t)=480
. Якщо t=20
отримаємо U(20)=33+1/3.

2. Найпростіші електричні ланцюги

Якщо в замкнутий електричний ланцюг послідовно ввімкнуті джерело струму з електрорушійною силою (ЕРС) Е
, В, активний опір R
Ом, котушка з індуктивністю L
Гн і конденсатор ємністю С,
Ф, то, як відомо з електротехніки, між ЕРС і напругами на активному опорі, котушці індуктивності і конденсаторі в будь-який момент часу t
існує така залежність:

E=UR
+UC
+UL
.
(25)

Тут UR
=
RI(t) –
напруга на активному опорі, UC
=q(t)/C –
напруга на конденсаторі і UL
=LI’(t) –
напруга на котушці індуктивності; I(t) –
сила струму в ланцюгу в момент часу t
, яка вимірюється в амперах, q(t) –
заряд конденсатора в момент часу t,
яких вимірюється в кулонах.

Використовуючи співвідношення (25)
і знаючи, що q
’(
t
)=
I
(
t
)
, можна знайти силу струму в ланцюгу в залежності від заданої ЕРС джерела струму.

Задача. Послідовно ввімкнені джерело струму з ЕРС Е, В, котушка з індуктивністю
L
,
Гн (
L
0
) і активний опір
R
,
Ом. Знайти закон зміни сили струму
I
(
t
)
в ланцюгу, вважаючи, що в початковий момент часу (
t
=0
)
вона дорівнює нулю. Розглянути випадок коли ЕРС постійна –
E
(
t
)=
E
;

Розв’язання. Використовуючи (25),
після відповідних підстановок отримаємо співвідношення

,

яке при заданих R
,
L
і
E
(
t
)
можна розглядати як лінійне диференціальне рівняння

(26)

з початковою умовою

I
(0)
=0.
(27)

Випадок а). При постійному струмі E
(
t
)=
E
рівняння (26)
з початковою умовою (27)
аналогічно рівнянню (22)
з початковою умовою (4).
Розв’язавши його по формулі (23),
знайдемо

. (28)

З (28)
маємо, що з зростанням часу t
сила струму I(
t)
наближається до постійного значення E/
R.
Таким чином, у встановившомуся режимі при постійній ЕРС джерела струму виникаючої в ланцюгу струм “не помічає” індуктивності і підпорядковується закону Ома для замкнутої ділянки ланцюгу постійного струму.

3. Падіння тілї

При падінні тіл в порожнечі рух відбувається прямолінійно під дією сили тяжіння. При падінні тіл в повітрі рух можна вважати також прямолінійним, що відбувається під дією сили тяжіння і сили опору повітря, направленої вгору.

Задача. Знайти швидкість v (t) руху тіла, що падає в повітрі на землю, вважаючи силу опору повітря прямо пропорційною швидкості руху і початкову швидкість рівної v0
м/с.

Розв’язання. Направимо ось Оу
вертикально вниз вздовж траєкторії падіння тіла. На тіло будуть діяти дві сили: сила тяжіння і сила опору повітря. Проекція сили тяжіння на ось Оу
дорівнює mg,
де m
- маса тіла; проекція сили опору повітря на ось Оу,
згідно умові задачі, дорівнює - kv (t),
де k-коефіцієнт
пропорційності. Проекція прискорення руху тіла на ту же ось дорівнює похідної v’(t).
На підставі другого закону Ньютона будемо мати

mu' (t)
== mg - kv (t),

або v' (t) +k1
v (t)=g,
(29)

де k1
=k/m.

Рівняння (29)
- лінійне диференційне рівняння типу (22)
з початковою умовою

v (0)
=v0
.
По формулі (23)
знайдемо його розв’язання:

З цієї формули бачимо, що з зростанням часу t
швидкість падіння v(
t)
буде наближатися до значення . При чому якщо v0
<
, то швидкістьv(
t)
буде наближатися до значення зростаючи, а при v0
>
- спадаючи. Наприклад, при затяжному стрибку на парашутиста після розкриття парашуту швидкість з плином часу, спадаючи, буде наближатися до значення . Величина k
залежить від діаметру куполу парашуту. Це дозволяє (при відомому значенні mg)
зробити розрахунок так, щоб швидкість спуску парашутиста була безпечною для приземлення. Звичайно така швидкість рівна 5-7 м/с.

Задача. Знайти швидкість v (t) руху тіла, що падає в порожнечі на землю, вважаючи початкову швидкість руху рівної v0
.

Розв’язання. В цьому випадку опір повітря буде відсутнім і рівняння (29)
видозмінюється

v’ (t) =g.
(30)

В результаті інтегрування отримаємо безліч розв’язків v (t) =gt+C,
з якого знайдемо розв’язок рівняння (30),
що задовольнить заданій початковій умові v (0) =v0
: v (t)=v0
+gt-
результат, добре відомий з курсу фізики.

III

.

Гармонічні коливання

х’’+x= 0
, (31)

де
- деяке додатне число.

Безпосередньою підстановкою перевіряємо, що функція

х
== A
cos(t+
a
) (32)

для будь-яких сталих A
і a
є розв'язком рівняння (31)
. Можна показати, що інших розв'язків рівняння (31)
не має. Таким чином, функція (32)
задає загальний розв'язок рів­няння (31)
.

Функція (32)
для будь-яких заданих А,
і a
описує гармонічний коливальний процес. Число |А
| називається амплітудою, а число a
-
початковою фазою, або просто фазою коливання (32)
. Рівняння (31)
називають рівнянням гармонічних коливань. Додатне число
називають часто­тою коливання.

Число коливань за одиницю часу визначають за формулою n=
.

Як бачимо, загальний розв'язок (32)
рівняння (31)
містить дві довільні сталі: амплітуду А
і початкову фазу
. Для їх визначення слід задати дві умови, наприклад,

x(t0
)=x0
, x’(t0
)=v0
.
(33)

Тоді для визначення сталих А і
дістанемо таку систему рівнянь:

(34)

Звідки A2
cos2
(
w
t0
+
a
) + A2
sin2
(
w
t0
+
a
)=x0
2
+,

A
2
=
x
0
2
+
.

Можна вважати, що A>0, тоді A=.

Знаючи амплітуду A
, з системи (34)
за формулами тригоно­метрії визначають початкову фазу a.

З формули (32)
можна дістати інший вигляд загального розв'язку рівняння (31)
.

Справді,Поклавши, що дістанемо:

До такого диференціального рівняння приводять, наприк­лад, дві різні, на перший погляд, задачі фізики – коливання пружної пружини і розряд конденсатора через котушку.

Зазначимо, що рівняння гармонічних коливань розгля­нуто нами за умов, які реально не виконуються. Так, для описання коливання пружини треба враховувати тертя, а для описання розряду конденсатора — внутрішній опір. При цьому в рівнянні коливань з'являється доданок, що залежить від першої похідної (швидкості).

3. Висновки.

Ми розглянули якісно різноманітні
фізичні явища, при дослідженні яких припадає розв’язувати аналогічні
диференційні рівняння першого або другого порядку. Ця обставина має не тільки філософське значення, підтверджуючи єдність природи, і не тільки природнонаукове значення, підкреслюючи чинність математичних засобів в природознавстві. Воно має і велике практичне значення. Аналогічність диференційних рівнянь, стосовних до різноманітних явищ життя, призвела до виникнення важливого засобу розв'язування практичних задач – засобу математичного моделювання.
Диференційне рівняння, виникле при розгляді якої-небудь технічної задачі, моделюють,
наприклад, електричним приладом, а саме конструюють такий електроприлад, робота якого описується тим же
диференційним рівнянням, що і технічний об'єкт. Спостерігаючи за роботою електроприладу, ми зуміємо судити про поведінку цієї функції. Наприклад, нехай деяка механічна система складається з валу, що через пружину і маховик, повантажений в в’язку рідину, передає обертання іншому валу, жорстко зв'язаному з маховиком. Для вивчення роботи цієї системи конструюється інша система – електрична, що складається з джерела EPC, з'єднаного через котушку індуктивності, конденсатор і активний опір зі лічильником електричної енергії. При цьому можна так підібрати значення індуктивності, ємності і опору, щоб вони певним чином відповідали пружності пружини, інерції маховика і тертю рідини. При такій відповідності обидві системи будуть описуватися одним і тим же
диференційним рівнянням. В результаті, вимірюючи силу струму і величину напруги, можна судити про роботу першої (механічної) системи.

4. Список використаноiї літератури

1. Шкіль М.І. Алгебра і початки аналізу. Підручник для 10-11 класів середніх закладів освіти. Київ 1998 рік.

2. Вигодский М.Я. Довідник з математики. Москва 1991 рік.

3. Журнал “Математика в школі”. Москва 1979 і 1982 роки.

4. Мясников Б.М. Навчальні допоміжні матеріали з фізики. Москва 1985 рік