Обробка результатів прямих багатократних рівно точних статистичних вимірювань
Хід роботи
I. Схема вимірювань та початкові дані.
1) Схема вимірювань:
2) Початкові дані:
– номінальне значення частоти генератора – 270 Гц
;
– точність установки частоти генератора – ± 1,5%;
– початковий статистичний ряд:
Табл. 1
| Номер вимірювання | Значення частоти, Гц
|
Номер вимірювання | Значення частоти, Гц
|
| 1 | 269,508 | 24 | 269,597 |
| 2 | 269,441 | 25 | 269,550 |
| 3 | 269,627 | 26 | 269,517 |
| 4 | 269,442 | 27 | 269,417 |
| 5 | 269,520 | 28 | 269,442 |
| 6 | 269,604 | 29 | 269,476 |
| 7 | 269,627 | 30 | 269,535 |
| 8 | 269,522 | 31 | 269,521 |
| 9 | 269,476 | 32 | 269,623 |
| 10 | 269,451 | 33 | 269,583 |
| 11 | 269,515 | 34 | 269,457 |
| 12 | 269,439 | 35 | 269,441 |
| 13 | 269,509 | 36 | 269,487 |
| 14 | 269,508 | 37 | 269,516 |
| 15 | 269,508 | 38 | 269,528 |
| 16 | 269,526 | 39 | 269,499 |
| 17 | 269,572 | 40 | 269,453 |
| 18 | 269,523 | 41 | 269,518 |
| 19 | 269,580 | 42 | 269,556 |
| 20 | 269,511 | 43 | 269,543 |
| 21 | 269,520 | 44 | 269,445 |
| 22 | 269,528 | 45 | 269,536 |
| 23 | 269,588 |
II. Обчислення оцінок основних статистичних характеристик.
Найчастіше на практиці описують оцінки таких характеристик:
1)
оцінка середнього значення Ā:
Гц
Ā – характеризує найбільш очікуване значення фізичної величини.
2)
оцінка середнього квадратичного відхилення результатів вимірювання від середнього значення:
Гц
S – міра розсіювання (розкиду) результатів вимірювань від середнього значення.
3)
оцінка дисперсії розсіювання результатів вимірювань:
Гц2
4)
оцінка коефіцієнта асиметрії:
A – характеризує несиметричність розподілу результатів вимірювань відносно середнього значення.
5)
оцінка коефіцієнта асиметрії:
E – характеризує плосковершинність кривої розподілу.
Всі обчислення подаємо у вигляді таблиці:
Табл. 2
| Номер вимірювання | ai | (ai – Ā) | (ai – Ā)² | (ai – Ā)³ | (ai – Ā) |
| 1 | 269,508 | -0,009 | 0,000081 | -0,000000729 | 0,000000007 |
| 2 | 269,441 | -0,076 | 0,005776 | -0,000438976 | 0,000033362 |
| 3 | 269,627 | 0,110 | 0,012100 | 0,001331000 | 0,000146410 |
| 4 | 269,442 | -0,075 | 0,005625 | -0,000421875 | 0,000031641 |
| 5 | 269,520 | 0,003 | 0,000009 | 0,000000027 | 0,000000000 |
| 6 | 269,604 | 0,087 | 0,007569 | 0,000658503 | 0,000057290 |
| 7 | 269,627 | 0,110 | 0,012100 | 0,001331000 | 0,000146410 |
| 8 | 269,522 | 0,005 | 0,000025 | 0,000000125 | 0,000000001 |
| 9 | 269,476 | -0,041 | 0,001681 | -0,000068921 | 0,000002826 |
| 10 | 269,451 | -0,066 | 0,004356 | -0,000287496 | 0,000018975 |
| 11 | 269,515 | -0,002 | 0,000004 | -0,000000008 | 0,000000000 |
| 12 | 269,439 | -0,078 | 0,006084 | -0,000474552 | 0,000037015 |
| 13 | 269,509 | -0,008 | 0,000064 | -0,000000512 | 0,000000004 |
| 14 | 269,508 | -0,009 | 0,000081 | -0,000000729 | 0,000000007 |
| 15 | 269,508 | -0,009 | 0,000081 | -0,000000729 | 0,000000007 |
| 16 | 269,526 | 0,009 | 0,000081 | 0,000000729 | 0,000000007 |
| 17 | 269,572 | 0,055 | 0,003025 | 0,000166375 | 0,000009151 |
| 18 | 269,523 | 0,006 | 0,000036 | 0,000000216 | 0,000000001 |
| 19 | 269,580 | 0,063 | 0,003969 | 0,000250047 | 0,000015753 |
| 20 | 269,511 | -0,006 | 0,000036 | -0,000000216 | 0,000000001 |
| 21 | 269,520 | 0,003 | 0,000009 | 0,000000027 | 0,000000000 |
| 22 | 269,528 | 0,011 | 0,000121 | 0,000001331 | 0,000000015 |
| 23 | 269,588 | 0,071 | 0,005041 | 0,000357911 | 0,000025412 |
| 24 | 269,597 | 0,080 | 0,006400 | 0,000512000 | 0,000040960 |
| 25 | 269,550 | 0,033 | 0,001089 | 0,000035937 | 0,000001186 |
| 26 | 269,517 | 0,000 | 0,000000 | 0,000000000 | 0,000000000 |
| 27 | 269,417 | -0,100 | 0,010000 | -0,001000000 | 0,000100000 |
| 28 | 269,442 | -0,075 | 0,005625 | -0,000421875 | 0,000031641 |
| 29 | 269,476 | -0,041 | 0,001681 | -0,000068921 | 0,000002826 |
| 30 | 269,535 | 0,018 | 0,000324 | 0,000005832 | 0,000000105 |
| 31 | 269,521 | 0,004 | 0,000016 | 0,000000064 | 0,000000000 |
| 32 | 269,623 | 0,106 | 0,011236 | 0,001191016 | 0,000126248 |
| 33 | 269,583 | 0,066 | 0,004356 | 0,000287496 | 0,000018975 |
| 34 | 269,457 | -0,060 | 0,003600 | -0,000216000 | 0,000012960 |
| 35 | 269,441 | -0,076 | 0,005776 | -0,000438976 | 0,000033362 |
| 36 | 269,487 | -0,030 | 0,000900 | -0,000027000 | 0,000000810 |
| 37 | 269,516 | -0,001 | 0,000001 | -0,000000001 | 0,000000000 |
| 38 | 269,528 | 0,011 | 0,000121 | 0,000001331 | 0,000000015 |
| 39 | 269,499 | -0,018 | 0,000324 | -0,000005832 | 0,000000105 |
| 40 | 269,453 | -0,064 | 0,004096 | -0,000262144 | 0,000016777 |
| 41 | 269,518 | 0,001 | 0,000001 | 0,000000001 | 0,000000000 |
| 42 | 269,556 | 0,039 | 0,001521 | 0,000059319 | 0,000002313 |
| 43 | 269,543 | 0,026 | 0,000676 | 0,000017576 | 0,000000457 |
| 44 | 269,445 | -0,072 | 0,005184 | -0,000373248 | 0,000026874 |
| 45 | 269,536 | 0,019 | 0,000361 | 0,000006859 | 0,000000130 |
На практиці оцінюється значущість коефіцієнтів вимірювань.
Для цього обчислюємо дисперсії коефіцієнтів A і E:
,
Якщо виконується умова, що
і ,
то робиться висновок, що коефіцієнти незначущі, а значить ними можна знехтувати. В протилежному випадку коефіцієнти є значущі, а значить вони повинні бути враховані при виборі математичної моделі для опису розподілу результатів вимірювань.
Висновок: для нормального закону розподілу результатів вимірювань коефіцієнти A і E рівні нулю, тому якщо на практиці ми отримали А0 і Е0 або ними можна знехтувати, то з великою достовірністю можна говорити, що наші результати розподіляються за нормальним законом. В нашому випадку А і Е не дорівнюють нулю, тому, що ми маємо дуже мало вимірювань проте вони є незначущі (0,2271,049 і 0,7173,277), а значить ними можна знехтувати. Звідси слідує, що дійсно наші результати розподіляються за нормальним законом розподілу.
Грубі похибки та промахи повинні бути виявленні і відкинуті з результатів вимірювань. З цією метою використовується спеціальний статистичний критерій – критерій Стьюдента.
В роботі використовуємо критерій – правило трьох у.
Початковий статистичний ряд представимо у вигляді такого графіка:
статистичний коефіцієнт середній стьюдент
На графік наносимо середнє значення і межі (границі):
– верхню Ā+3S;
– нижню Ā-3S.
Висновок: грубих похибок і промахів не виявлено; початковий ряд є однорідним; приведемо його характеристики: n=45, Ā=269.517 Гц, S=0.055 Гц
Додатково перевіримо наявність грубих похибок використовуючи коефіцієнти Стьюдента. Для цього знаходимо на графіку максимальне і мінімальне значення і обчислюємо квантиль t1
і t2:
Для n = 45 при p = 0.98 tдоп.
= 2,4
t1
tдоп.
, t2
tдоп.
За допомогою коефіцієнтів Стьюдента ми ще раз підтвердили, що грубі похибки і промахи відсутні, статистичний ряд є однорідним.
Експериментальний розподіл отримують у вигляді гістограми.
Порядок побудови гістограми:
1) однорідний ряд розміщуємо в порядку зростання;
2) обчислюємо розмах значень:
;
3) відрізок розділяємо на рівних інтервалів:
;
4) обчислюємо ширину інтервалу гістограми:
;
5) обчислюємо межі кожного інтервалу, результати записуємо у таблицю 3.
Табл. 3
| Номер вимірювання | Межі інтервалів | nj
|
pj
|
| 1 | 269,417 ч 269,447 | 7 | 0.155556 |
| 2 | 269,447 ч 269,477 | 5 | 0.111111 |
| 3 | 269,477 ч 269,507 | 2 | 0.044444 |
| 4 | 269,507 ч 269,537 | 19 | 0.422222 |
| 5 | 269,537 ч 269,567 | 3 | 0.066667 |
| 6 | 269,567 ч 269,597 | 5 | 0.111111 |
| 7 | 269,597 ч 269,627 | 4 | 0.088889 |
6) підраховуємо число попадання результатів вимірювань в кожен інтервал nj
;
7) обчислюємо імовірності попадань результатів вимірювань в кожен інтервал ;
8) будуємо гістограму:
Для цього на кожному інтервалі будуємо прямокутник площа якого дорівнює pj
.
Гістограма – це експериментальний аналог густини розподілу.
Крім гістограми є ще інші варіанти представлення експериментальних розподілів:
– у вигляді полігону розподілу;
– у вигляді функції накопичених частот.
Вибір математичної моделі проводиться з урахуванням:
Враховуючи сказане і вигляд гістограми вибір математичної моделі розпочинаємо з функції Гауса:
.
На практиці використовують нормований варіант задання нормального закону розподілу.
Умови нормування:
- m = 0;
- у = 1.
Після нормування функція Гауса має такий вигляд:
Гістограму також треба представити у нормованому вигляді. Тобто і.
| Номер інтервалу | Нормовані межі інтервалів | Експериментальні імовірності (р
j ) |
Теоретичні імовірності (pj
* ) |
| 1 | -1,818 ч -1,273 | 0.15556 | 0,067 |
| 2 | -1,273 ч -0,727 | 0.11111 | 0,132 |
| 3 | -0,727 ч -0,182 | 0.04444 | 0,194 |
| 4 | -0,182 ч 0,364 | 0.42222 | 0,214 |
| 5 | 0,364 ч 0,909 | 0.06667 | 0,176 |
| 6 | 0,909 ч 1,445 | 0.11111 | 0,109 |
| 7 | 1,445 ч 2 | 0.08889 | 0,05 |
,
Для вирішення цієї задачі використаємо критерій, який так і називається, критерій узгодженості.
Серед них найчастіше використовуються:
- критерій Пірсона (критерій ч2
);
- критерій Колмогорова;
- критерій щ2
та інші.
В роботі використовуємо критерій Пірсона.
| pj
|
pj
* |
(pj
pj * ) |
(pj
pj * )2 |
(pj
pj * )2 / pj * |
| 0.15556 | 0.067 | 0.089 | 0.00792 | 0.118 |
| 0.11111 | 0.132 | -0.021 | 0.00044 | 0.003 |
| 0.04444 | 0.194 | -0.150 | 0.0225 | 0.116 |
| 0.42222 | 0.214 | 0.208 | 0.04326 | 0.202 |
| 0.06667 | 0.176 | -0.109 | 0.01188 | 0.068 |
| 0.11111 | 0.109 | 0.002 | 0.000004 | 0.00004 |
| 0.08889 | 0.050 | 0.039 | 0.00152 | 0.03 |
| ∑ = 0.537 |
Величина служить мірою розбіжності експериментального розподілу і вибраної математичної моделі.
Вибираємо довірчу імовірність .
Обчислюємо рівень значимості .
Обчислюємо число вільності , де k – кількість інтервалів гістограми .
За цими даними із таблиці розподілу Пірсона .
Висновок: математична модель (функція Гауса) не описує експериментальний розподіл, потрібно вибрати наступну математичну модель, наприклад, якщо експериментальний розподіл є симетричним трикутноподібну, або іншу.