1.
2.
ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ
Решить численно задачу Дирихле для уравнения Лапласа :
(x,y) ÎD ; u|Г
=xy2
=f(x,y) ;
область D ограничена линиями: x=2 , x=4 , y=x , y=x+4 ;
(x0
, y0
) = (3, 5) .
Следует решить задачу сначала с шагом по x и по y : h=0.2, потом с шагом h=0.1 . Точность решения СЛАУ e=0.01 .
3.
ОПИСАНИЕ МЕТОДА РЕШЕНИЯ ПОСТАВЛЕННОЙ ЗАДАЧИ
Поставленная задача решается численно с помощью программы, реализующей метод сеток , разработанный для численного решения задачи Дирихле для уравнений эллептического типа.
Программа написана на языке C++ , в среде Borland C++ версии 3.1. Ниже описан алгоритм работы этой программы.
1. На первом шаге область D дискретизируется. Она заменяется на область Dh
путем разбиения области D параллельными прямыми по следующему правилу: yi
=y0
± ih, xj
=x0
± ih , i,j=0,1,2…. РР Разбиение производится до тех пор, пока текущая прямая не будет лежать целиком вне области D. Получается множество точек (xi
,yj
).
2. За область Dh
принимают те точки множества (xi
,yj
) , которые попали внутрь области D, а также дополняют это множество граничными точками.
3.Во всех точках области Dh
вычисляются значения функции f(xi
,yj
) .
4. За область Dh
* принимаются все внутренние точки области Dh
, т.е. удовлетворяющие требованию:
(xi
,yj
) Î Dh
* , если (xi+1
,yj
) Î Dh
, (xi-1
,yj
) Î Dh
, (xi
,yj+1
) Î Dh
, (xi
,yj-1
) Î Dh
.
5. Во всех точках области Dh
* вычисляется функция F(N)
*[i,j] ( индекс N обозначает номер итерации, на которой производится вычисление):
F(N)
*[i,j]=(f(xi+1
,yj
) + f(xi-1
,yj
) + f(xi
,yj+1
) + f(xi
,yj-1
))/4
6. Теперь если max | F(N+1)
*[i,j] - F(N)
*[i,j]|< e,взятый по всем точкам области Dh
* ,то задача решена;
если нет , то выполнять шаг 5 ( пересчитывать функцию F(N)
*[i,j] через значения F(N-1)
*[i,j]) до тех пор, пока не выполнится указанное условие.
3.ТЕКСТ ПРОГРАММЫ
#include <stdio.h>
#include <fstream.h>
#include <conio.h>
#include <iostream.h>
#include <math.h>
int i,j,k; // Variables
float h,x,y,tmp,E1;
struct point {
float xx;
float yy;
int BelongsToDh_;
int BelongsToDh;
float F;
float F_;
} p0,arrayP[13][33];
float arrayX[13];
float arrayY[33];
float diff[500];
void CreateNet(void); // Procedure Prototypes
int IsLineFit(float Param);
void CrMtrD(void);
void RegArrayX();
void RegArrayY();
void CreateDh_();
int IsFit(point Par);
void FillF();
void CreateDh();
int IsInner(int i,int j);
void FillF_();
void CountDif();
void MakeFile();
void main(void) //MAIN
{
clrscr();
p0.xx = 3;
p0.yy = 5;
h = 0.2;
p0.BelongsToDh_=1;
p0.BelongsToDh=1;
CreateNet();
RegArrayX();
RegArrayY();
CrMtrD();
CreateDh_();
FillF();
CreateDh();
FillF_();
CountDif();
while (E1>=0.005) {
for(i=0;i<13;i++)
for(j=0;j<33;j++) arrayP[i][j].F=arrayP[i][j].F_;
FillF_();
CountDif();
}
cout<<(0-arrayP[7][17].F_);
MakeFile();
getchar();
} //MAIN END
int IsLineFit(float par,char Axis) // does the line belong to the defined area
{
switch(Axis) {
case 'y': if ((par>8.0) || (par<2.0)) return 1;
else return 0;
case 'x': if (par<1.9) return 1;
else if (par>4.0) return 1;
else return 0;
}
}
void CreateNet(void) // Creation of Net (area D )
{
x = p0.xx;
i=0;
arrayX[i]=x;
while (!IsLineFit(x,'x'))
{
x += h;
i++;
arrayX[i] = x;
}
x = p0.xx-h;
i++;
arrayX[i]=x;
while (!IsLineFit(x,'x'))
{
x -= h;
i++;
arrayX[i] = x;
}
for (i=0;i<13;i++) { printf("%g ",arrayX[i]); }
printf("n");
y = p0.yy;
i = 0;<
arrayY[i]=y;
while (!IsLineFit(y,'y'))
{
y += h;
i++;
arrayY[i] = y;
}
y = p0.yy - h;
i++;
arrayY[i]=y;
while (!IsLineFit(y,'y'))
{
y -= h;
i++;
arrayY[i] = y;
}
for(i=0;i<33;i++) { printf("%g ",arrayY[i]);}
printf("n");
} // end CreateNet
void RegArrayX() // Regulation of arrays X & Y
{
int LastUnreg = 13 ;
while (LastUnreg != 0) {
for(i=0;i<LastUnreg-1;i++) {
if (arrayX[i]>arrayX[i+1]) {double tmp=arrayX[i];
arrayX[i]=arrayX[i+1];
arrayX[i+1]=tmp;}}
LastUnreg=LastUnreg-1; }
for (i=0;i<13;i++) { printf("%g ",arrayX[i]);
} printf("n");
}
void RegArrayY()
{
int LastUnreg = 33 ;
while (LastUnreg != 0) {
for(i=0;i<LastUnreg-1;i++) {
if (arrayY[i]>arrayY[i+1]) { tmp=arrayY[i];
arrayY[i]=arrayY[i+1];
arrayY[i+1]=tmp;}}
LastUnreg=LastUnreg-1; }
for (i=0;i<33;i++) { printf("%g ",arrayY[i]); }
printf("n");} // End of Regulation
void CrMtrD(void) //Create general Matrix
{
for(i=0;i<13;i++)
for(j=0;j<33;j++) {arrayP[i][j].BelongsToDh_=0;
arrayP[i][j].BelongsToDh=0;}
for(i=0;i<13;i++)
for(j=0;j<33;j++) {
arrayP[i][j].xx=arrayX[i];
arrayP[i][j].yy=arrayY[j];
}
// printf("%g %g",arrayP[12][0].xx,arrayP[12][0].yy);
// printf("n");
}
int IsFit(point Par) //does point belong to area D?
{
if ((Par.xx<=4) && (Par.xx>=1.99) && (Par.yy>=Par.xx)
&& (Par.yy<=Par.xx+4)) return 1;
else return 0;
}
void CreateDh_(void) //Create area Dh_
{
for(i=0;i<13;i++)
for(j=0;j<33;j++)
if (IsFit(arrayP[i][j])) arrayP[i][j].BelongsToDh_=1;
cout << arrayP[1][1].BelongsToDh_<< "n";
cout << arrayP[1][1].xx << " " << arrayP[1][1].yy<<"n";
}
void FillF(void) // calc function F(x,y) at area Dh_
{
for(i=0;i<13;i++)
for(j=0;j<33;j++)
if (arrayP[i][j].BelongsToDh_==1)
arrayP[i][j].F=arrayP[i][j].xx*pow(arrayP[i][j].yy,2);
else arrayP[i][j].F=0;
}
int IsInner(int i,int j) //Is point inner?
{
if ((arrayP[i-1][j].BelongsToDh_==1) &&
(arrayP[i+1][j].BelongsToDh_==1) &&
(arrayP[i][j+1].BelongsToDh_==1) &&
(arrayP[i][j-1].BelongsToDh_==1)) return 1;
else return 0;
}
void CreateDh(void) //Create area Dh
{
for(i=0;i<13;i++)
for(j=0;j<33;j++)
if ((arrayP[i][j].BelongsToDh_==1) &&
IsInner(i,j))
arrayP[i][j].BelongsToDh=1;
}
void FillF_() //calc new appr. values of F
{
for(i=0;i<13;i++)
for(j=0;j<33;j++) {
if (arrayP[i][j].BelongsToDh==1)
arrayP[i][j].F_=(arrayP[i-1][j].F+arrayP[i+1][j].F+
arrayP[i][j-1].F+arrayP[i][j+1].F)/4;
else arrayP[i][j].F_=0; }
}
void CountDif() // find maximal difference abs(F-F_)
{
k=0;
for(i=0;i<13;i++)
for(j=0;j<33;j++)
{ if (arrayP[i][j].BelongsToDh==1) {
diff[k]=fabs(arrayP[i][j].F_-arrayP[i][j].F);
k++;}}
E1=diff[0];
for (k=1;k<500;k++) {
if (diff[k]>E1) E1=diff[k];}
}
void MakeFile()
{
ofstream f;
FILE *f1=fopen("surf.dat","w1");
fclose(f1);
f.open("surf.dat",ios::out,0);
for(i=0;i<13;i++)
for(j=0;j<33;j++) { if (arrayP[i][j].BelongsToDh==1) {
f<<arrayP[i][j].xx<<" "<<arrayP[i][j].yy<<
" "<<arrayP[i][j].F_<<"n";}}
f.close() ;
}
4.
ГРАФИКИ РЕШЕНИЙ
РИС.1 шаг h=0.2
РИС.2 шаг h=0.1
5.ВЫВОД
Функция f(x,y) является неотрицательной в области D. Полученное решение лежит целиком над плоскостью XOY . Для данного решения выполняется принцип максимума.