Определители Решение систем линейных уравнений

/>(-1)k
, где
k
- сумма номеров строки и столбца, на пересечении которых стоит данный элемент.

Алгебраическое дополнение элемента а
i
j
обозначается А
i
j
.

Таким образом, А
i
j
=
.

Выпишем алгебраические дополнения для элементов а
11
и а
12.

.

.

Полезно запомнить правило: алгебраическое дополнение элемента определителя равно его минору со знаком плюс
, если сумма номеров строки и столбца, в которых стоит элемент, четная,
и со знаком минус
, если эта сумма нечетная
.

ПРИМЕР.
Найти миноры и алгебраические дополнения для элементов первой строки определителя:

Миноры:

Алгебраические дополнения:

Ясно, что миноры и алгебраические дополнения могут отличаться только знаком.

Рассмотрим без доказательства важную теорему – теорему разложения определителя.

ТЕОРЕМА РАЗЛОЖЕНИЯ

Определитель равен сумме произведений элементов какой-либо строки или столбца на их алгебраические дополнения.

Используя эту теорему, запишем разложение определителя третьего порядка по первой строке.

.

В развернутом виде:

.

Последнюю формулу можно использовать как основную при вычислении определителя третьего порядка.

Теорема разложения позволяет свести вычисление определителя третьего порядка к вычислению трех определителей второго порядка.

Рекомендуется раскладывать определитель по той строке или столбцу, где есть нули, т.к. для нулевых элементов не надо находить алгебраические дополнения.

Теорема разложения дает второй способ вычисления определителей третьего порядка.

ПРИМЕРЫ.
Вычислить определитель, используя теорему разложения.

использовали разложения по второй строке.

Теорема разложения позволяет также вычислять определители более высокого порядка, сводя их к вычислению нескольких определителей третьего или второго порядка.

Так, определитель четвертого порядка можно свести к вычислению четырех определителей третьего порядка.

3-ий учебный вопрос ТЕОРЕМА КРАМЕРА

Применим рассмотренную теорию определителей к решению систем линейных уравнений.

1. Система двух линейных уравнений с двумя неизвестными.

(3)

Здесь х
1,
х
2
–
неизвестные;

а
11
, …, а
22
– коэффициенты при неизвестных, занумерованные двумя индексами, где первый индекс означает номер уравнения, а второй индекс – номер неизвестного.

b
1
,
b
2
– свободные члены.

Напомним, что под решением системы (3) понимается пара значений х
1,
х
2
, которые при подстановке в оба уравнения обращают их в верные равенства.

В случае, когда система имеет единственное решение, это решение можно найти с помощью определителей второго порядка.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 5
. Определитель, составленный из коэффициентов при неизвестных, называется определителем системы.

Обозначим определитель системы D.

D = .

В столбцах определителя D стоят коэффициенты соответственно при х
1
и при,
х
2
.

Введем два д о п о л н и т е л ь н ы х о п р е д е л и т е л я ,
которые получаются из определителя системы заменой одного из столбцов столбцом свободных членов:

D1
= D2
= .

Рассмотрим без доказательства следующую теорему:

ТЕОРЕМА КРАМЕРА (для случая n
= 2)

Если определитель
D системы
(3) отличен от нуля
(D¹ 0), то система имеет единственное решение, которое находится по формулам:

(4)

Формулы (4) называются формулами Крамера.

ПРИМЕР.
Решить систему по правилу Крамера.

.

Ответ: х
1
= 3; х
2
= -1

2. Система трех линейных уравнений с тремя неизвестными:

(5)

В случае единственного решения систему (5) можно решить с помощью определителей третьего порядка.

Определитель системы D имеет вид:

Введем три дополнительных определителя:

.

Аналогично формулируется теорема.

ТЕОРЕМА КРАМЕРА (для случая n
= 3)

Если определитель D системы (5) отличен от нуля, то система имеет единственное решение, которое находится по формулам:

(6)

Формулы ( 6 ) – это формулы Крамера.

ЗАМЕЧАНИЕ.
Г. Крамер (1704 – 1752) – швейцарский математик.

Заметим, что теорема Крамера применима, когда число уравнений равно числу неизвестных и когда определитель системы D отличен от нуля.

Если определитель системы равен нулю, то в этом случае система может либо не иметь решений, либо иметь бесчисленное множество решений. Эти случаи исследуются особо, с ними можно подробно познакомиться в рекомендуемой литературе.

Отметим только один случай:

Если определитель системы равен нулю (D = 0), а хотя бы один из дополнительных определителей отличен от нуля, то система решений не имеет (т.е. является несовместной).

Теорему Крамера можно обобщать для системы n
линейных уравнений с n
неизвестными.

Если , то единственное решение системы находится по

формулам Крамера:

Дополнительный определитель получается из определителя D, если в нем столбец коэффициентов при неизвестном

xi
заменить столбцом свободных членов.

Заметим, что определители D, D1
, … , Dn
имеют порядок n
.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

На лекции рассмотрена новое понятие – определитель, подробно рассмотрены определители второго и третьего порядков, часто встречающиеся на практике. Для определителя третьего порядка приводятся два способа вычисления. Рассмотрена теорема Крамера, которая дает практический способ решения систем линейных уравнений, для случая, когда решение единственное. Более подробно с этой темой можно познакомиться в рекомендуемой литературе.