Евклид и Лобачевский

(план урока по теме:”Евклидова и неевклидова геометрия”)

Имя Евклида навсегда связано с одним из ответвле­ний математики, получившим название „евклидова г
еометрия". Столь прочная слава закрепилась за Евклидом заслуженно, благодаря его труду ..
Начала". В шко­лах всего мира, долгие столетия геометрия преподава­лась по ..
Началам" Евклида. В английских школах до сегодняшнего дня учебники геометрии по своей форме напоминают этот ученый трактат. В мировой литературе „Начала" принадлежат к числу самых популярных и рас­пространенных математических трудов. Несмотря на столь огромную популярность Евклида как автора ..
Начал", сам он, его облик и жизненный путь известны очень мало.
Нет исторически верных сведений о его жизни, неизвестны даже точные даты его рождения и смерти. По сведениям оставленным потомству Проклом
(410—485), автором комментариев к „Началам", дея­тельность Евклида проходила во время правления Птолемея
Сотера
1 (305—282 гг
до н.э.).

При этом царе, столица Египта Александрия
стала центром научной и культурной жизни тогдашнего мира, и привлекала к себе многих выдающихся ученых со всех сторон, в частности, из Греции. В знаменитой в те времена Александрийской школе работали тогда многие светила математики и сре­ди них Евклид, который был одним из первых ее препода­вателей. Дошедшие до нас произведения Евклида, свиде­тельствуют о том, что это был весьма способный и даже талантливый преподаватель. Существует мнение, что Евклид был воспитанником Платоновской академии, где, имея доступ к лучшим трудам греческих математи­ков и философов, достиг высот тогдашних научных зна­ний. Действительно, произведения Евклида носят на себе признаки увлечения платоновской философией: Евклид, например, в своих трактатах весьма тщательно избегает проблем практического порядка. Некоторый свет на Ев­клида как человека, математика и философа, проливают два анекдота, правдивость которых, впрочем, как и прав­дивость вообще всех анекдотов, может быть взята под сомнение.

Рассказывают, например, что однажды царь Птолемей
1, листая книгу ..
Начал" обратился к автору с вопросом нет ли более простых путей к овладению наукой геометрии, на что Евклид ответил: В геометрии нет осо­бых дорог даже для царей". В другом анекдоте говорит­ся, чтр
один из учеников Евклида, изучая геометрию и ознакомившись с первой аксиомой спросил что ему даст изучение геометрии? Вместо ответа Евклид подозвал не­вольника и распорядился. „Дай ему обола, ибо этот чело­век ожидает прибыли от науки". Математик Папп
(320 г. н.
э.)
восторгается необыкновенной честностью, скро­мностью, кротостью и одновременно независимостью, какими чертами характера отличался Евклид. Евклид был весьма плодовитым автором различных тру­дов. Известно, что его перу принадлежит не менее 10 трактатов, из которых „Начала", состоящие из 13 книг считаются крупнейшим произведением в истории мате­матики. Это первый, сохранившийся математический трактат, в котором со всей полнотой отразился дедукти­вный метод. ..
Начала" носят характер учебника, в кото­ром Евклид дал полный свод математических знаний своих предшественников. Таким образом, Евклида труд­но считать самостоятельным автором содержания „На­чал", за небольшими исключениями, касающимися ко­нусных сечений и сферической геометрии. Но в „Нача­лах" Евклид проявил себя великолепным систематиком и выдающимся педагогом из всех существовавших за всю историю математики. ..
Начала" были написаны око­ло 300 года до н.э., но древнейшие, сохранившиеся руко­писи на греческом языке восходят всего лишь к Х
ве
нашего летосчисления.
Со времен 1 века нашей эр
ы хранилось только несколько отрывков папируса с ским
текстом. Несмотря на отсутствие оригинг
даря кропотливому труду ученых, сравнил
и внейшие,
сохранившиеся рукописи, удалось с полной до­стоверностью восстановить первоначальный текст заме­чательного труда Евклида. Из тринадцати книг ..
Начал" первая, вторая, третья и четвертая а также шестая, посвящены геометрии на пло­скости, в одинадцатой,
двенадцатой и тринадцатой при­ведены основы стереометрии, остальные книги ..
Начал" посвящены теории пропорций и арифметике. В начале труда Евклид приводит десять первичных тео­рем — без доказательств, из которых пять первых назвал аксиомами, а остальные — постулатами и ввел необхо­димое число определений. Опираясь на этой сиСтеме
ак­сиом и постулатов, Евклид дает доказательства 465 тео­рем распределенных в цепочку, очередные звенья кото­рой логически вытекают из предыдущих звеньев или из аксиом. Пятая, так называемая ,,
Аксиома параллельно­сти" на целые века заняла умы многих математиков. Сначала, как например, Птолемей в древности и потом, уже в XVIII веке ученые пытались дать доказательство этой аксиомы и после многих неудачных попыток приня­ли четыре первые аксиомы без доказательств; в конце концов, отказ от пятой аксиомы привел к возникновению новой теории, получившей название неевклидовой геометрии.

Одна из теорем, приведенная в „Началах", авторство которой приписывается Евклиду, известна из школьного курса и гласит: ..
Площадь квадрата построенного на вы­соте прямоугольного треугольника опущенной из прямо­го угла на гипотенузу, равновелика площади прямоу­гольника со сторонами равными отрезкам гипотенузы, полученными от пересечения ее высотой" Другие произведения Евклида не сохранились. О том, что они существовали свидетельствуют упоминания в тру
дах дру
гих математиков.

Историю древнегреческой математики можно подразде­лить на три периода: первый — необыкн
овенно буйное, почти стихийное развитие, второй — период сомнений, критического отношения к новым трудам и, наконец, третий — период упорядочения результатов полученных великими учеными прошлого.

Труд Евклида относится именно к этому последнему периоду.

Велики заслуги Евклида. О том, как высоко оценены его труды, свидетельствует факт, что „Начала" оставались фундаментальным математическим трудом на протяже­нии свыше 2000 лет.

Как известно, в III веке до нашей эры греческий геометр Евклид в своей книге “Начала” сформулировал систему аксиом, из которых последовательно, одна за другой, выводятся все основные теоремы гео­метрии. И никогда не получалось двух противоречащих друг другу теорем, доказательства которых рав­ноправно вытекали бы из принятой системы аксиом. Это означает, что аксиоматика Евклида непротиво­речива.

Аксиомы евклидовой геометрии являются продуктом повседневных человеческих наблюдений, кроме одной — аксиомы о параллельных, называемой также пятым постула­том. Кто сформулирует эту аксиому?

Ученик. Насколько я помню: через точку вне прямой можно провести в их плоскости только одну прямую, не пересекающую данной.

Ведущий. У Евклида в “На­чалах” несколько иная формулиров­ка, но суть та же. И вот эту аксиому, в отличие от остальных, никаким опытом не подтвердишь, не опро­вергнешь, ведь на практике воспро­изводимы лишь отрезки прямых, но никогда сами прямые во всей их бесконечной протяженности.

Ученик. Но если этот пятый постулат непроверяем физически, то, может быть, следовало исключить его из числа аксиом и доказывать как теорему, опираясь на остальные аксиомы?

Ведущий. Так оно и было. Ве­ками длились попытки придумать до­казательство — не удавалось никому. В тайну этих неудач именно и про­ник Н. И. Лобачевский глубоко и окончательно: пятый постулат недо­казуем и от -господствовавшего бо лее двух тысяч лет убеждения, чт( евклидова геометрия есть единствен ная мыслимая система геометриче ского
познания мира, необходимо от казаться.

1-й ученик. Вечный... пятый. От Евклида

И до этих вот снегов

Постулат, как черный идо

В жертву требует умов...

2-й ученик. “Постулат недоказуем!”

Даже страшно произнесть.

Ах, догматики! Грозу им

Принесет такая весть.

3-й ученик. На уроках гео­метрии учитель говорил нам, что Лобачевский создал “неевклидову геометрию”, в которой через точку можно провести более одной линии, не пересекающей данную прямую.

Ведущий. Верно. Лобачевский заменил евклидов пятый постулат более общей аксиомой параллель­ности, сохранив прочие аксиомы и постулаты. Чтобы легче было понять смысл аксиом Лобачевского, возьмем прямую АВ
и -вне ее точ­ку С. Пусть САВ
прямой.

Построим луч С
D
,
пересекающий прямую АВ
в точке D
,
лежащей вправо от точки А,
и вообразим, что он вращается против часовой стрелки. По мере вращения луча С
D
непосредственное наблюдение пере­сечения его с АВ
становится неосу­ществимым. По этой причине будет логически правомерным изменить на­ше представление о прямой линии и луче, которое теперь позволило бы нам вообразить, что луч С
D
в ка

­кой-то момент своего вращения “от­рывается” от прямой АВ,
т. е. пере­стает иметь с ней общую точку.

Тогда “прямую” (аа'),
содер­жащую луч, впервые “оторвавший­ся” от АВ,
назовем прямой, параллельной прямой АР в направлении луча АВ.

Рассмотрев симметрию с осью 4С, видим, что есть “прямая” (ЬЬ'),
симметричная “прямой” {аа')
и про­ходящая через точку С
(рис. 39). Ясно, что и эту “прямую” (ЬЬ')
сле­дует считать параллельной АВ,
но уже в направлении луча АВ'.
Следо­вательно, через С
проходят две “пря­мые”, параллельные прямой ВВ'.

С каждой из этих “прямых” луч СА
,
перпенд
икулярный прямой В'
В,
образует угол л
(р),
названный Лобачевским
углом параллельности.
Угол p
(р)
зависит от длины СА
==р
и имеет следующее свойство: все прямые, проходящие через С и об­разующие с перпендикуляром СА
угол, меньший л
(р)
, пересекают В'В,
все остальные “прямые”, про­ходящ
ие через С
,
не пересекают В'В,
их называют расходящимися прямыми
или сверхпараллелями к прямой В'В.
Через С
проходит бесконечное мно­жество таких “прямых”.

В частном случае, когда p
(р)
==
90°, получается постулат Евклида и соблюдаются все предложения обычной геометрии, “употребитель­ной”, как называл ее Н.
И. Лобачевский.

Угол p
(р)
возрастает и прибли­жается к прямому углу при приближении точки С
к прямой В'В
.

Из допущения, что p
(р
)<
90° вытекают совершенно иные следствия,
составляющие содержание но вой геометрии, так же непротиворечивой,
как и евклидова геометрия но значительно точнее, чем евклидова,
отображающей пространственные геометрические и физические
соотношения, например, за
предела ми мировых областей “средней ве
личины”.

Оказалось также, что взаимо
связь пространства и времени, от крытая X. Лоренцом,
А. Пуанкаре,
А. Эйнштейном и Г. Минковским
и описываемая в рамках специаль­ной теории относительности, имеет непосредственное отношение к гео­метрии Лобачевского.
Например, в расчетах современных синхрофазо­тронов используются формулы гео­метрии Лобачевского.

Такую геометрию Лобачевский
сначала назвал “воображаемой”, а потом (в конце жизни)—“пангеометрией”, т. е.
всеобщей геомет­рией. Теперь ее во всем мире на­зывают “геометрией Лобачевского”.

Ученик.

Был мудрым Евклид,

Но его параллели,

Как будто бы вечные сваи легли.

И мысли его, что как стрелы летели,

Всегда оставались в пределах Земли.

А там, во вселенной, другие законы,

Там точками служат иные тела.

И там п
араллельных лучей миллионы

Природа сквозь Марс, может быть, провела.

Ведущий. Из понимания па­раллельности “по Лобачевскому” вйтекает
много диковинных на пер­вый взгляд, но строго обоснован­ных следствий.

Учен
ик. Каких?

Ведущий. Например, в про­странстве Лобачевского
параллель­ные прямые неограниченно сбли­жаются в направлении параллель­н
ости и потому существу­ют “бесконечные треугольники”, сто­роны которых попарно параллельны , но нет подобных много­угольников.

Ученик.

Скоро порохом вспыхн
ет рассветная тишь.

Ты на четкий чертеж неотрывно глядишь.

После встал, потянулся устало.

Вечность тайну тебе нашептала,

И душой изумленной увидел ты то,

Что доселе не знал и не ведал
никто:

Параллели стрелою нацелены в высь,

Параллели пронзают межзвездные дали.

Параллели — ты, чуешь? — стремятся ойтись,

Только сразу такое постигнешь едва ли.

Ведущий. В геометрии Лоба­чевского интересна и важна такая теорема: “Сумма углов треугольни­ка всегда меньше 180°”.

Ученик. Позвольте на минутку перебить Вас. У Данте есть такие строки:

Как для смертных истина ясна,

Что в треугольник двум тупым не влиться.

Теперь-то нам понятно, что не мо­жет быть двух тупых углов не только в нашем “земном” треугольнике, но и в “звездном” треугольнике гео­метрии Лобачевского...

Ведущий. Очень интересно, но задержимся еще немного на тре­угольнике в геометрии Лобачевского.

Пусть a,b и g— углы треуголь­ника, тогда число d
= 180°—
(a +b+g) называют “дефектом треугольника”
и справедлива поразительная фор­мула выведенная Н.
И. Лобачевским d= S/R2
, где где S
—площадь тре
угольника, а R
— число, одинаковое для всех треугольников Величину К,
имеющую размерность длины, назы­вают радиусом кривизны,
простран­ства Лобачевского,
а отрицательную величину k=1/R2
кривизной
это
го пространства.

В евклидовом пространстве d
=0 (так как a
+b+g=180°), поэтому его кривизна считается равной нулю.

Получается так, что наша “упо­требительная” геометрия является предельным (приd- 0) случаем геометрии Лобачевского.

1-й ученик.

В мире все криволинейно.

Прямота лишь сферы часть.

И Евклидово ученье

В космосе... теряет власть.

Ученик. Послушайте стихотво­рение поэта Александра Лихолета
(Донецк), напечатанное в альмана­хе “Истоки” (М.:
Молодая гвардия, 1983).

Лобачевский

“Все! Перечеркнуты “Начала”.

Довольно мысль на них скучала,

Хоть прав почти во всем Евклид,

Но быть не вечно постоянству:

И плоскость свернута в пространство,

И мир

Иной имеет вид...

О чем он думал во вчерашнем?

О звездном облаке, летящем

Из ниоткуда в никуда?

О том, что станет новым взглядом:

Две трассы, длящиеся рядом,

Не параллельны никогда?

Что постоянному движенью

Миров сопутствует сближенье,

И, значит, встретятся они:

Его земная с неземными

Непараллельными прямыми

Когда-нибудь, не в наши дни?..

Ведущий. Открытие Лобачев­ского настолько опередило развитие математической мысли того времени, было настолько непредвиденным и смелым, что во всем мире почти никто из математиков—его современников — не был готов к восприя­тию идей “воображаемой геомет­рии”. Поэтому при жизни Лобачевский попал в тяжелое положение “непризнанного ученого”. Приведу один любопытный факт обществен­ной жизни того времени.

Могучий “властитель дум” пере­довой интеллигенции — Н.
Г. Черны­шевский. Казалось, он-то мог, хотя бы интуитивно, ощутить в утвержде­ниях геометрии Лобачевского идею революционного переосмысливания веками укоренившейся системы вос­приятия пространства. Увы, так не случилось. Иначе Чернышевский не иронизировал бы в письме к сы­новьям: “Что такое “кривизна луча” или “кривое пространство”? Что та­кое геометрия без аксиомы парал­лельных?” Он сравнивает это с “воз­ведением сапог в квадраты” и “из­влечением корней из голенищ” и го­ворит, что это столь же не
лепо, как “писать по-русски без глаголов”, (А ведь Фет писал без глаголов и получалось здорово: “Шелест, робкое дыханье, трели соловья”.)

1-й ученик.

Отшатнулись коллеги,
отстали друзья…

Может, в партии жизни зевнул ты ферзя
?

2-й ученик

— Чушь,— кричат,— Лобачевский,—нелепица, бред

Ничего смехотворней и в мире-то нет!

Параллели не встретятся — это жепросто,

Как дорога от города и до погоста!

Ну хоть рельсы возьми, пересечься им что-ли,

Хоть сто лет рассекая раздольное поле?

3-й учени
к.

Где ж понять им: коль к звездам протянутся рельсы,

Окунутся с разбега в иные законы.

Там, где в нуль обращается зябнущий Цельсий,

Мировые законы пока потаенны.

4-й ученик.

Проплывают в ухмылке ученые лица,

И насмешек у сердца стоит ледостав.

Так неужто
же он, Лобачевский, смирится?

Нет, он целому миру докажет, что прав!

Ведущий. Потребовалось пол­века для того, чтобы идеи Лоба­чевского сделались неотъемлемой частью математических наук, про­никли в механику, физику, космоло­гию, стали общекультурным достоя­нием. Так, в “Братьях Карамазовых” Иван, обладающий, по словам авто­ра романа, “евклидовским”
харак­тером ума, .
говорит: “Пусть даже параллельные линии сойдутся, и я сам это увижу; увижу и скажу, что сошлись, а все-таки не приму...” Это значит, что Достоевский имел отчетливое представление о новой геометрии.