Закономерность распределения простых чисел в ряду натуральных чисел

IX математический симпозиум.

Закономерность распределения простых чисел в ряду натуральных чисел.

г. Волжский.

05-11 октября 2008 года.

Белотелов В.А.

Нижегородская обл.

г. Заволжье

vbelotelov@mail. ru

Простые числа? – Это просто!?

Узнав о важной роли простых чисел (ПЧ) в криптографии, генерации случайных чисел, навигации, имитационном моделировании и о том, что нужна закономерность распределения ПЧ в ряду натуральных чисел, не являясь математиком, всё же рискнул заняться решением этой задачи. Результат ниже.

Для начала выписал ряд ПЧ. Конечно же, это было сделано с целью заметить, хоть какую бы, закономерность. С этой же целью были вычислены разности между соседними числами ряда ПЧ. Было замечено, что иногда появлялась последовательность разностей 6-4-2-4-2-4-6-2. Там, где эта последовательность нарушалась, были введены составныё числа (СЧ). Результат представлен в таблице 1, СЧ в которой подчёркнуты. Числа 2, 3, 5, являясь ПЧ, из рассмотрения всё же были убраны. Это первое исключение из правил. Вторая вольность заключалась введением в рассмотрение числа 1, зная, что единица не является простым числом.

Целью же было найти закономерность среди ПЧ + СЧ, а потом уже найти закономерность среди ПЧ. Стратегия поиска закономерности ПЧ заключалась в следующей логической формуле:

(закономерность ПЧ+СЧ) – (закономерность СЧ) = закономерность ПЧ.

Из ПЧ + СЧ, представленных в таблице 1, была составлена система из восьми арифметических прогрессий. Результат представлен в таблице 2.

Разности всех восьми прогрессий равны 30 и их первые члены равны соответственно 1, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, а сами ряды обозначены через R1, R7,R11, R13, R17, R19, R23, R29. СЧ, как и в таблице 1, подчёркнуты и сверху расписаны в виде произведений двух чисел. Можно сформулировать правило, по которому в любой из восьми арифметических прогрессий распределены СЧ.

Если в арифметической прогрессии, какой – либо член an можно представить в виде двух сомножителей fxp, то последующие члены этой прогрессии an+mf являются произведением fx(p+md), а члены an+kp произведением px(f+kd), где m и k любые натуральные

числа, а d – разность этой прогрессии.

Данное правило не нуждается в доказательстве, т. к. фактически следует из определения арифметической прогрессии. Но для обеспечения закономерности ПЧ имеет большое значение. Во - первых, оно запрещает поиск рядов ПЧ, подчиняющихся одной арифметической прогрессии, т. к. любое простое число an можно представить в виде anх1, и тогда в любом ряде через число членов an, появляется составное число anх(1+d).

Во – вторых, в любой арифметической прогрессии появление дополнительных составных чисел возможно только в сочетании с разностью именно этой прогрессии.

Это правило можно сформулировать для любого числа сомножителей, но в данном случае интерес представляет число сомножителей равное двум.

В качестве примера рассмотрим в ряде R1 четвёртый член равный 91=7х13. Ближайшим членом в ряде R1 кратным семи является число 301, отстоящее от числа 91 на семь номеров, соответственно, число 301 принадлежит ряду СЧ. Число 301 является произведением 7х43 (301=7х43), и с номера этого числа равного 11, каждое сорок третье число, тоже делится на 43 и, соответственно, принадлежит к ряду СЧ. Дальше это можно не описывать, т. к. это хорошо видно в таблице 2.

Расписав таблицу 2 в виде математических символов, удалось получить систему из восьми формул, расписанных в виде разности сумм, см. таблицу 3. Во всех восьми формулах системы, члены с рядами двойных сумм служат фильтрами, удаляющими СЧ из ряда ПЧ+СЧ, и задают работу фильтров в виде матриц.

В таблице 4 изображено распределение номеров СЧ в ряде R1, определяемых вторым членом формулы. Это матрица, в которой и по столбцам и по строкам арифметические прогрессии.

В формулах индексы и обозначают столбцы и строки подобных матриц, сами же и дополнительными индексами не отягощаю. Без и описать работу матриц не смог, а формальная фраза, что в выражениипод суммой произведений подразумеваются всевозможные их комбинации в зависимости от значений a1 и с1, будет неверна. Ибо все члены с номерами при >1 и >1 из формулы выпадают.

Система формул арифметических прогрессий, позволяющая вычислять ПЧ, получилась достаточно громоздкой, но закономерность обозначена.

Данная статья была подготовлена для публикации в научном журнале с математическим уклоном. Пока шёл поиск данного журнала, путём несложных умозаключений, была составлена система рядов арифметических прогрессий с разностью 10. Результат в таблице 5 и 6. Всё было расписано по образцу и подобию предыдущего материала. В таблице 7 изображена матрица для номеров второго члена формулы 1 таблицы 6.

Не начав переписывать статью заново, в связи с открытием новой системы уравнений, опять же путём размышлений, были расписаны арифметические прогрессии с разностью 2 и 1, т.е. при разности единица ПЧ были напрямую увязаны с натуральным рядом. Результат в таблице 8 и 9.

Всё расписано, как и в случаях с системами уравнений арифметических прогрессий разностей 30 и 10. И после этого наступил момент истины.

Оказалось, что подобных уравнений можно составить бесконечное множество. Навскидку – это арифметические прогрессии с разностью 1, 2, 4, 6, 10, 12, 18, 20, 30, 36, 60, и т.д. Даже в перечисленном до разности 60 указаны не все.

Обобщающий вывод:

ПЧ можно представить комбинацией арифметических прогрессий. Таких комбинаций бесконечное множество. Но каждая из комбинаций систем арифметических прогрессий позволяет только единственное представление ПЧ при заданной разности прогрессий задающий ряды ПЧ+СЧ.

1	7	11	13	17	19	23	29	31	37	41	43	47	49		53	59
6	4	2	4	2	4	6	2	6	4	2	4	2	4	6	2
61	67	71	73	77	79	83	89	91	97	101	103	107	109	113	119
6	4	2	4	2	4	6	2	6	4	2	4	2	4	6	2
121	127	131	133	137	139	143	149	151	157	161	163	167	169	173	179
6	4	2	4	2	4	6	2	6	4	2	4	2	4	6	2
181	187	191	193	197	199	203	209	211	217	221	223	227	229	233	239
6	4	2	4	2	4	6	2	6	4	2	4	2	4	6	2
241	247	251	253	257	259	263	269	271	277	281	283	287	289	293	299
6	4	2	4	2	4	6	2	6	4	2	4	2	4	6	2
301	307	311	313	317	319	323	329	331	337	341	343		347	349	353	359
6	4	2	4	2	4	6	2	6	4	2	4	2	4	6	2
361	367	371	373	377	379	383	389	391	397	401	403	407	409	413	419
6	4	2	4	2	4	6	2	6	4	2	4	2	4	6	2
421	427	431	433	437	439		443	449	451	457	461	463	467	469	473	479
6	4	2	4	2	4	6	2	6	4	2	4	2	4	6	2
481	487	491	493	497	499	503	509	511	517	521	523	527	529	533	539
6	4	2	4	2	4	6	2	6	4	2	4	2	4	6	2
541	547	551	553	557	559	563	569	571	577	581	583	587	589	593	599
6	4	2	4	2	4	6	2	6	4	2	4	2	4	6	2
601	607	611	613	617	619	623	629	631	637		641	643		647	649	653	659
6	4	2	4	2	4	6	2	6	4	2	4	2	4	6	2
661	667	671	673	677	679	683	689	691	697	701	703	707	709	713	719
6	4	2	4	2	4	6	2	6	4	2	4	2	4	6	2
721	727	731	733	737	739	743	749	751	757	761	763	767	769	773	779
6	4	2	4	2	4	6	2	6	4	2	4	2	4	6	2

	7х13	11х11	7х43	19х19	17х23	11х41	13х37	7х73
1	31	61	91	121	151	181	211	241	271	301	331	361	391	421	451	481	511	541	571
11х17	7х31	13х19	7х61	11х47
7	37	67	97	127	157	187	217	247	277	307	337	367	397	427	457	487	517	547	577
7х23	13х17	11х31	7х53	19х29	7х83
11	41	71	101	131	161	191	221	251	281	311	341	371	401	431	461	491	521	551	581
7х19	11х23	7х49	13х31	17х29	7х79	11х53
13	43	73	103	133	163	193	223	253	283	313	343	373	403	433	463	493	523	553	583
7х11	7х41	13х29	11х37	19х23	7х71	17х31
17	47	77	107	137	167	197	227	257	287	317	347	377	407	437	467	497	527	557	587
7х7	13х13	7х37	17х17	11х29	7х67	23х23	13х43	19х31
19	49	79	109	139	169	199	229	259	289	319	349	379	409	439	469	499	529	559	589
11х13	7х29	17х19	7х59	11х43	13х41
23	53	83	113	143	173	203	233	263	293	323	353	383	413	443	473	503	533	563	593
7х17	11х19	13х23	7х47	11х49 7х77
29	59	89	119	149	179	209	239	269	299	329	359	389	419	449	479	509	539	569	599

	7х103	11х71	29х29	13х67	17х53	19х49 7х133	31х31	23х47	11х101	7х163
601	631	661	691	721	751	781	811	841	871	901	931	961	991	1021	1051	1081	1111	1141	1171
13х49 7х91	23х29	17х41	19х43	11х77 7х121	13х79	7х151	31х37	11х107
607	637	667	697	727	757	787	817	847	877	907	937	967	997	1027	1057	1087	1117	1147	1177
13х47	11х61	17х43	7х113	23х37	13х77 11х91 7х143	19х59
611	641	671	701	731	761	791	821	851	881	911	941	971	1001	1031	1061	1091	1121	1151	1181
19х37	7х109	13х61	11х83	23х41	7х139	17х59	13х91 7х169
613	643	673	703	733	763	793	823	853	883	913	943	973	1003	1033	1063	1093	1123	1153	1183
7х101	11х67	13х59	7х131	19х53	17х61	11х97	23х49 7х161	13х89
617	647	677	707	737	767	797	827	857	887	917	947	977	1007	1037	1067	1097	1127	1157	1187
11х59	7х97		17х47	7х127	13х73	11х89		7х157		19х61	29х41
619	649	679	709	739	769	799	829	859	889	919	949	979	1009	1039	1069	1099	1129	1159	1189
7х89	23х31	11х73	17х49 7х119	19х47	13х71	7х149	29х37	11х103
623	653	683	713	743	773	803	833	863	893	923	953	983	1013	1043	1073	1103	1133	1163	1193
17х37	13х53	7х107	19х41	11х79	29х31	7х137	23х43	13х83	17х67	7х167	11х109
629	659	689	719	749	779	809	839	869	899	929	959	989	1019	1049	1079	1109	1139	1169	1199

4	+7	11	+7	18	+7	25	+7	32	39	46	53	60	67	…
+13	+43	+73	+103	+133	+163	+193	+223	+253	+283
17	+37	54	+37	91	+37	128	165	202	239	276	313	350	…
+43	+73	+103
30	+67	97	+67	164	+67	231	298	365	432	499	566	633	…
+13	+43	+73	+103
43	+97	140	+97	237	+97	334	431	528	625	722	819	916	…
56	+127	183	310	437	564	691	818	945	1072	1199	…
69	+157	226	383	540	697	854	1011	1168	1325	1482	…
82	+187	269	456	643	830	1017	1204	1391	1578	1765	…
95	+217	312	529	746	963	1180	1397	1614	1831	2048	…
108	+247	355	602	849	1096	1343	1590	1837	2084	2331	…
121 < /td>	+277	398	675	952	1229	1506	1783	2060	2337	2614	…
…	…	…	…	…	…	…	…	…	…

	3х7	3х17	9х9 3х27	7х13	3х37	11х11	3х47	7х23	9х19 3х57	3х67
1	11	21	31	41	51	61	71	81	91	101	111	121	131	141	151	161	171	181	191	201
3х11	7х9 3х21	3х31	3х41	7х19	11х13	9х17 3х51	3х61	7х29
3	13	23	33	43	53	63	73	83	93	103	113	123	133	143	153	163	173	183	193	203
3х9	3х19	7х11	3х29	9х13 3х39	7х21 3х49	3х59	11х17	9х23 3х69
7	17	27	37	47	57	67	77	87	97	107	117	127	137	147	157	167	177	187	197	207
3х3	3х13	7х7	3х23	9х11 3х33	7х17	3х43	3х53	13х13	9х21 7х27 3х63	11х19
9	19	29	39	49	59	69	79	89	99	109	119	129	139	149	159	169	179	189	199	209

R1	13х17	11х21 7х33 3х77	9х29 3х87	3х97	7х43	3х107	11х31	9х39 13х27 3х117	19х19	7х53	3х127	17х23
211	221	231	241	251	261	271	281	291	301	311	321	331	341	351	361	371	381	391
R3 9х27 3х71	9х27 3х81	11х23	7х39 3х91	3х101	17х19	9х37 3х111	7х49	11х33 3х121	3х131
213	223	233	243	253	263	273	283	293	303	313	323	333	343	353	363	373	383	393
9х27 11х27 R7 9х33 7х31	3х79	13х19	3х89	7х41	11х27 9х33 3х99	3х109	17х21 7х51 3х119	13х29	9х43 3х129
217	227	237	247	257	267	277	287	297	307	317	327	337	347	357	367	377	387	397
9х27 R9 3х73	3х83	7х37	9х31 3х93	17х17	13х23	3х103	11х29	7х47	19х21 3х113	9х41 3х123	7х57 3х133
219	229	239	249	259	269	279	289	299	309	319	329	339	349	359	369	379	389	399

R1	3х137	9х49 21х21 7х63 3х147	11х41	3х157	13х37	3х167	7х73	9х59 3х177	19х29	11х51 17х33 3х187	7х83
401	411	421	431	441	451	461	471	481	491	501	511	521	531	541	551	561	571	581
R3	7х59	9х47 3х141	3х151	11х43	7х69 21х23 3х161	17х29	19х27 9х57 3х171	3х181	7х79	3х191	11х53
403	413	423	433	443	453	463	473	483	493	503	513	523	533	543	553	563	573	583
7х81 9х63 R7 11х37	3х139	7х61	19х23	3х149	9х53 3х159	7х71	3х169	11х47	17х31	3х179	7х81 9х63 3х189
407	417	427	437	447	457	467	477	487	497	507	517	527	537	547	557	567	577	587
R9	11х39 3х143	9х51 17х27 3х153	7х67	3х163	3х173	23х23	11х49 7х77	9х61 3х183	3х193	19х31
409	419	429	439	449	459	469	479	489	499	509	519	529	539	549	559	569	579	589

3	+3	6	+3	9	+3	12	+3	15	18	21	24	27	30	…
+7	+17	+27	+37	+47	+57	+67	+77	+87	+97
10	+13	23	+13	36	+13	49	62	75	88	101	114	127	…
+7	+17	+27	+37	+47
17	+23	40	+23	63	+23	86	109	132	155	178	201	224	…
+7		+17		+27		+37	+47
24	+33	57	+33	90	+33	123	156	189	222	255	288	321	…
+7
31	+43	74	117	160	203	246	289	332	375	418	…
38	+53	91	144	197	250	303	356	409	462	515	…
45	+63	108	171	234	297	360	423	486	549	612	…
52	+73	125	198	271	344	417	490	563	636	709	…
59	+83	142	225	308	391	474	557	640	723	806	…
66	+93	159	252	345	438	531	624	717	810	903	…
…	…	…	…	…	…	…	…	…	…

3х3

ani =2n - 1

1, 3, 5, 7, 9
, 11, 13, 15
, 17, 19, 21
, 23, 25
, 27
, 29, 31, 33
, 35
, 37, 39
, 41, 43, 45
, 47, 49
, 51
, 53, 55
, 57
, 59, 61 …

5	+3	8	+3	11	+3	14	+3	17	+3	20	+3	23	+3	26	+3	29	…
+3	+5	+7	+9	+11	+13	+15	+17	+19
8	+5	13	18	23	28	33	38	43	48	…
+3 + 6 +6
11	+7	18	25	32	39	46	53	60	67	…
+3
14	+9	23	32	41	50	59	68	77	86	…
+3 +6 +7
n ≠ n ≠ 17	+11	28	39	50	61	72	83	94	105	…
+3
20	+13	33	46	59	72	85	98	111	124	…
+3
23	+15	38	53	68	83	98	113	128	143	…
+3
26	+17	43	60	77	94	111	128	145	162	…
+3
29	+19	48	67	86	105	124	143	162	181	…
…	…	…	…	…	…	…	…	…

2х2

1, 2, 3, 4
, 5, 6
, 7, 8
, 9
, 10
, 11, 12
, 13, 14
, 15
, 16
, 17, 18
, 19, 20
, 21
, 22
, 23, 24
, 25
, 26
, 27
, 28
, 29, 30
, 31, 32
,

33
, 34
, 35
, 36
, 37, 38
, 39
, 40
, 41, 42
, 43, 44
,45
, 46
, 47, 48
, 49
, 50
, 51
, 52
, 53, 54
, 55
, 56
. 57
, 58
, 59, 60
, 61 …

ani = n

4	+2	6	+2	8	+2	10	+2	12	+2	14	+2	16	+2	18	…
+2	+3	+4	+5	+6	+7	+8	+9
6	+3	9	+3	12	+3	15	+3	18	+3	21	+3	24	+3	27	…
+2 + 6 +6
8	+4	12	16	20	24	28	32	36	…
+2
n ≠ 10	+5	15	20	25	30	35	40	45	…
+2 +6 n ≠ +7
12	+6	18	24	30	36	42	48	54	…
+2
14	+7	21	28	35	42	49	56	63	…
+2
16	+8	24	32	40	48	56	64	72	…
+2
18	+9	27	36	45	54	63	72	81	…
…	…	…	…	…	…	…	…

5х5 7х7 5х11 5х17 7х13 5х23 11х11 7х19 5х29

1, 7, 13, 19, 25
, 31, 37, 43, 49
, 55
, 61, 67, 73, 79, 85
, 91
, 97, 103, 109, 115
, 121
, 127, 133
, 139, 145
,

5х7 5х13 7х11 5х19 7х17 5х25

5, 11, 17, 23, 29, 35
, 41, 47, 53, 59, 65
, 71 , 77
, 83, 89, 95
, 101, 107, 113, 119
, 125
, 131, 137, 143. 149 …

5	+5	10	+5	15	+5	20	+5	25	…
+5	+11	+17	+23	+29
10	+11	21	+11	32	+11	43	+11	54	…
+5	+11
15	+17	32	49	66	83	…
+5	+11
20	+23	43	66	89	112	…
+5	+11
25	+29	54	83	112	141	…
…	…	…	…	…

Закономерность распределения простых чисел (дополнение).

Белотелов В.А.

Нижегородская обл.

г. Заволжье

vbelotelov@mail. ru

Там где даны в качестве примера разности арифметических прогрессий и указан их ряд 1, 2, 4, 6, 10, 12, 18, 20, 30, 36, 60. На самом деле пропусков в ряду быть не должно. Ряд разностей арифметических прогрессий имеет вид – 1, 2, 3, 4, 5, 6…. ® ¥.

Я написал предыдущий ряд разностей по принципу личной симпатии. Подстраховался от критики, ежели бы у кого-то не получилось составить систему уравнений, например, с разностью d = 7, ибо для нетренированных рук могут возникнуть трудности.

И ещё. Формулы членов матриц составных чисел (СЧ), которые описываются в системах уравнений двойными суммами. Для этого требуется всего лишь в значения переменных двойных сумм вставить их аналитические выражения через переменные и - столбцы и строки матриц.

Тогда формула любого члена матриц СЧ таблицы 4, примет вид (30I - 17) (30j - 23).

Аналогично для таблицы 7 - (10I - 3) (10 j - 7).

Для таблицы 8, ряда нечётных чисел - (2I + 1) (2 j + 1).

Для таблицы 9, ряда натуральных чисел - (I + 1) ( j + 1).

Заостряю внимание на том факте, что это уже не номера членов СЧ в рядах простых чисел ПЧ + СЧ, а численные значения этих номеров. И подобных уравнений СЧ можно составить по числу систем арифметических прогрессий, и даже значительно больше, т.е. бесконечное множество.

Всё же для наглядности распишу систему уравнений таблицы 3 предыдущей работы.

и - столбцы и строки матриц, индексами не снабжаю.

И уж больно симпатичная система из 2-х уравнений с разностью арифметических прогрессий d=6.

5х5	7х7	5х11	5х17	7х13
1	7	13	19	25	31	37	43	49	55	61	67	73	79	85	91	97
5х7	5х13	7х11	5х19
5	11	17	23	29	35	41	47	53	59	65	71	77	83	89	95	101

Напишу только формулы составных чисел

1 – для верхнего ряда (6I - 1) (6 j - 1), (6k + 1) (6e +1).

2 – для нижнего ряда (6I + 1) (6 j - 1).

А написал с единственной целью сравнить формулы разных систем простых чисел.

В системе c d = 30 число 91 – это (30 - 17) (30 - 23), при = 1, = 1.

В системе c d = 10 это же число – (10 - 3) (10 - 7), при = 2, = 1.

В системе c d = 6 ……………… – (6+ 1) (6+ 1), при = 1, = 2.

В системе c d = 4 ……………… – (4 - 1) (4+ 1), при = 2, = 3.

В системе c d = 2 ……………… – (2+ 1) (2+ 1), при = 3, = 6.

В системе c d = 1 ……………… – (+ 1) (+1), при = 6, = 12.

6	+5	11	+5	16	+5	21	+5	26	…
+7	+13	+19	+25	+31
13	+11	24	+11	35	+11	46	+11	57	…
+7	+13	+19
20	+17	37		54	71	88	…
+7	+13
27	+23	50		73	96	119	…
+7	+13
34	+29	63		92	121	150	…
…	…	…	…	…

9	+7	16	+7	23	+7	30	+7	37	…
+7	+13	+19	+25	+31
16	+13	29	+11	42	+11	55	+11	68	…
+7	+11
27	+19	42	61	80	99	…
+7	+11
30	+25	55	80	105	130	…
+7	+11
37	+31	68	99	130	161	…
…	…	…	…	…

	n2 ≠