Математические методы и модели в экономике 2

Содержание

Задача 1. 3

Задача 2. 4

Задача 4. 6

Задача 5. 9

Задача 6. 11

Задача 7. 14

Задача 9. 15

Задача 11. 19

Задача 13. 22

Список используемой литературы.. 25

Задача 1

Полуфабрикаты поступают на предприятие в виде листов фанеры. Всего имеется две партии материала, причем первая партия содержит 400 листов, а вторая – 250 листов. Из поступающих листов фанеры необходимо изготовить комплекты, включающие 4 детали 1 вида, 3 детали 2 вида, и 2 детали 3 вида. Лист фанеры каждой партии может раскраиваться различными способами. Количество деталей каждого типа, которое получается при раскрое одного листа соответствующей партии по тому или иному способу раскроя, представлено в таблице. Требуется раскроить материал так, чтобы обеспечить изготовление максимального числа комплектов.

Первая партия					Вторая партия
Детали	Способ раскроя				Детали	Способ раскроя
	1	2	3	1		2
	1	0	6	9		1	6	5
	2	4	3	4		2	5	4
	3	10	16	0		3	8	0

Решение

Обозначим через хij
число единиц из i-й партии (1,2) фанеры, которые намечено раскроить j -м способом (1,2,3) , так что из i-й партии при j-м способе раскроя будет получено аijk
хij
деталей к -го вида. Всего из всей i-й партии деталей к -го вида будет получено , а из всех mпартий их будет получено:

Из первой партии фанеры:

Деталей первого вида: 400(0х11
+6х12
+9х13
)

Деталей второго вида: 400(4х11
+3х12
+4х13
)

Деталей третьего вида: 400(10х11
+16х12
+0х13
)

Из второй партии фанеры:

Деталей первого вида: 250(6х21
+5х22
)

Деталей второго вида: 250(5х21
+4х22
)

Деталей третьего вида: 250(8х21
+0х22
)

Всего из двух партий фанеры:

Деталей первого вида: 400(6х12
+9х13
)+ 250(6х21
+5х22
)

Деталей второго вида: 400(4х11
+3х12
+4х13
)+ 250(5х21
+4х22
)

Деталей третьего вида: 400(10х11
+16х12
)+ 2000х21

Число полных комплектов, которое можно выпустить по данному плану, будет равно:

Введем дополнительную переменную х – отходы при используемом способе раскроя. В результате, получим задачу линейного программирования:

z = x →min,

при ограничениях:

х11
+х12
+х13
=400

х21
+х22
+х23
=250

, где х, хij
– целые числа.

Задача 2

Решить графическим методом.

Решить графическим методом

Z= 3 х1
-4х2
→ max при условиях:

-х1
+х2
≤1

-х1
+2х2
≥-2

х1
+х2
≥-1

-3х1
+2х2
≤6;

2х1
– х2
≤2

х1
≥0; х2
≥0

Решение

Запишем ограничения в виде равенств и построим соответствующие им линии уровня в системе координат. Строим область допустимых значений решения, удовлетворяющую начальным условиям. Семи заданным неравенствам соответствует множество точек плоскости, образующие пятиугольник АВСDE. Неравенства х1
≥-4; х1
+5х2
≥4 могут быть исключены, так как они определяют граничные прямые, не имеющие с АВСDE общих точек.

Строим на плоскости вектор целевой функции . Через начало координат перпендикулярно проводим линию уровня целевой функции Z=0. Линия уровня перемещается в направлении параллельно самой себе, пока не встретится с вершиной области допустимых значений АВСО т. В. Значение Z в точке В является минимальным.

При дальнейшем перемещении линия уровня пройдет через другую вершину ОДР, выходя из области решений – точку С. Значение Z в точке С является максимальным. Значение целевой функции Zm
ах
в т. С. Найдем её координаты:

2х1
– х2
=2

х2
=0

С(0; 1)

Zm
ах
=3*1-4*0=3

Ответ: Zm
ах
=3.

С

Z

В

А

Задача 4

Удельные затраты Сij
на перевозку 1 т груза вида i транспортом j (руб.) представлены матрицей

Сij
=

Мощности поставщиков А1
=30 тыс.т; А2
=10 тыс.т; А3
=40 тыс.т; А4
=70 тыс.т. Спрос потребителей: В1
=30 тыс.т; В2
=10 тыс.т; В3
=20 тыс.т; В4
=10 тыс.т.

Определить объемы перевозок груза транспортом j (руб.), чтобы суммарные издержки были бы минимальными, построить матрицу объемов перевозок.

Решение

1. Определяем тип задачи. Так как . Задача является открытой. Введем фиктивного потребителя с объемом потребления Вф
.

2. Строим расчетную матрицу с фиктивным потреблением Вф
и удельными затратами на перевозку фиктивного груза Сi
ф
=0.

3. Сформируем опорный план по критерию наименьших удельных затрат на перевозку единицы груза , т. е. min Сi
ф.

Оставшиеся мощности относятся к фиктивному потребителю: хi
ф
=Аii
-

Опорный план

В1 =30 тыс.т	В2 =10 тыс.т	В3 =20 тыс.т	В4 =10 тыс.т	Вф	Ui
А1 =30 тыс.т	1,2 3 0	1,6	1,7	1,5 0	0	1,5
А2 =10 тыс.т	1,4	1 10	1,2	1,5	0	1
А3 =40 тыс.т	1,6	1,4	1,2 20	1,4	0 2 0	1,2
А4 =70 тыс.т	1,5	1,2 0	1,4	1,2 1 0	0 6 0	1,2
Vj	1,2	1,2	1,2	1,2	0

4. Проверим полученный план перевозок на вырожденность. Так как

4 столбца + 5 строк-1 > 7 поставок. То задача вырожденная. Для приведения плана к невырожденному состоянию введем в клетки (4;2) и (1,4) фиктивные нулевые поставки.

5. Оптимизируем план, используя метод потенциалов.

Сij
=Ui
+ Vj
, где Ui
– потенциал строки; Vj
– потенциал столбца.

Пусть V4
=0. пересчитаем все остальные Ui
и Vj
и зафиксируем их в опорном плане. U4
=1,2; Vф
=0; V4
=0-1,2=-1,2; Vф
=0-1,2=-1,2; U3
=0-(-1,2)=1,2; V3
=1,2-1,2=0; U1
=1,5-0=1,5; V1
=1,2-1,5=-0,3; V2
=0; U2
=1-0=1.

6. Определяем характеристики свободных клеток: Еij
= Сij
-(Ui
+ Vj
)≥0.

Е12
=1,6-0-1,5=0,1; Е13
=1,7-0-1,5=0,2; Е1ф
=1,2-1,5=-0,3; Е21
=1,4+0,3-1=0,7; Е23
=1,2-1=0,2; Е24
=1,5-1=0,5; Е2ф
=0+1,2-1=0,2; Е31
=1,6+0,3-1,2=0,7; Е32
=1,4-0-1,2=0,2; Е34
=1,4-0-1,2=0,2; Е41
=1,5+0,3-1,2=0,5; Е43
=1,4-0-1,2=0,2.

7. Характеристики клеток (3,ф) и (4,2) отрицательны, следовательно найденное решение не является оптимальным. Оптимизируем план. Для клетки к (1,ф) строим контур перераспределения.

х1ф
= min{0; 60}=60

0 -	+	0
10 +	60 -	10	60

Перенесем полученные результаты в новый план перераспределения.

В1 =30 тыс.т	В2 =10 тыс.т	В3 =20 тыс.т	В4 =10 тыс.т	Вф	Ui
А1 =30 тыс.т	1,2 3 0	1,6	1,7	1,5	0 0	1,5
А2 =10 тыс.т	1,4	1 10	1,2	1,5	0	1
А3 =40 тыс.т	1,6	1,4	1,2 20	1,4	0 2 0	1,2
А4 =70 тыс.т	1,5	1,2 0	1,4	1,2 1 0	0 6 0	1,2
Vj	1,2	1,2	1,2	1,2	0

Характеристики свободных клеток матрицы неотрицательны, следовательно найденное решение является оптимальным.

Задача решена.

Определим значение целевой функции:

F=30*1,2+10*1+20*1,2+1,2*10=82 (тыс.р.)

Задача 5

Для расчета мощности i-го вида транспорта необходимо воспользоваться значениями: S= 2 смены; z=8 часов; d= 25 дней.

Представлена грузоподъемность транспорта Р1
=10т; Р2
=5т; Р3
=10т; Р4
=15т.

АТП располагает m=4 видами транспортных средств различной грузоподъемности. Их количество n1
=20; n2
=30; n3
=30; n4
=20. На j-й вид продукции приходится Вj(m) спрос: В1
= 120 тыс.р.; В2
= 50 тыс.р.; В3
= 80 тыс.р.; В4
= 100 тыс.р. Известно, что среднее время транспортировки для каждого вида транспорта и вида груза:

Т=

Даны себестоимости перевозок j-го груза i-ым видом транспорта.

С=

Определить такие объемы перевозок, чтобы суммарные месячные издержки перевозок были бы минимальными.

Решение

1. Определяем мощность Аi
=dtSni

d– количество рабочих дней (d=25) в месяце;

t – количество часов в смене (t=8);

S– количество смен (S=2) в сутки

ni
– количество машин i-го типа.

А1
=25*8*2*20=8000 маш.ч.; А2
=25*8*2*30=12000 маш.ч.; А3
=12000 маш.ч.; А4
=8000 маш.ч.

2. Рассчитаем показатель удельной производительности (т/маш.ч.); λij
=Pi
/tij
.

λ=

3. Рассчитаем критерий формирования опорного плана: kij
= λij
/ Сij
.

K=

4. Строим опорный план перевозок, клетки распределения выбираем по maxkij
.
Это клетки Х31
и Х43.

Расчетная матрица

В1 = 120 тыс.р.	В2 = 50 тыс.р.	В3 = 80 тыс.р.	В4 = 100 тыс.р.	Ui
А1 =8 тыс.р.	3 3,3 8	4 2,5	5 4	6 2,5	3
А2 =12 тыс.р.	5 1	6 0,8	7 1	4 1,25 12	4
А3 =12 тыс.р.	2 5 12	3 3,33	4 2,5	3 2,5	2
А4 =8 тыс.р.	5 3,7	4 5	2 5 8	2 3,75	2
Аф	0 1 33,3	0 1 50	0 1 40	0 1 85	0
Vj	0	0	0	0

5. Итак, все мощности использованы, но не все потребности удовлетворены – введем фиктивный вид транспорта (строка) с Сi
ф
=0 и λi
ф
=1. произведем расчет фиктивных поставок.

6. Проверяем план на вырожденность:

5 строк + 4 столбца -1=8 поставок. Задача невырожденная.

Оптимизируем опорный план.

Определяем потенциалы строк и столбцов по выражению:

Сij
= Ui
+Vj
λij
, откуда Ui
= Сij
-Vj
λij
; Vj
= (Сij
-Ui
)/λij

Зададимся потенциалом фиктивной троки: Uф
=0.

Тогда: V3
=V2
= V1
= V4
=0; U4
=4-5∙0=4; U3
=2-0=2; U2
=4-0=4; U1
=3-0=3

Определяем характеристики свободных клеток по формуле:

Еij
= Сij
-(Ui
+ λij
Vj
);

Е12
=4-3-0>0; Е13
=5-3-0>0; Е14
=6-3-0>0; Е21
=5-4-0>0; Е22
=6-4>0; Е23
=7-4>0; Е32
=3-2>0; Е33
=4-2>0; Е34
=3-2>0; Е41
=5-2>0; Е42
=4-2>0; Е44
=2-2=0.

Так как все Еij
≥0, то план оптимальный (но не единственный, так как Е44
=0)

Целевая функция затрат на перевозку:

F=8*3+12*4+12*2+8*2=112 (тыс.р.)

Задача 6

Для обслуживания потребителей предприятие может выделить 3 вида транспорта А1
, А2
, А3,
получая прибыль, зависящую от спроса на них (В1,
В2,
В3
).

В1	В2	В3	В4
А1	1	3	3	2
А2	4	2	0	2
А3	3	1	0	1

Определить оптимальную пропорцию транспортных средств (состояние спроса полностью неопределенное). Прибыль должна гарантироваться при любом состоянии спроса.

Решение

Определим верхнюю и нижнюю цену игры.

А=

Игра не имеет Седловой очки, а значит ни один из участников н может использовать один план в качестве своей оптимальной стратегии, игроки переходят на «смешанные стратеги». Составим двойную пару задач линейного программирования. Для 1 игрока (предложения):

Освобождаясь от переменной V (цена игры), разделим уравнения системы на V. Приняв у/V за новую переменную Z, получим новую систему ограничений и целевую функцию.

Z=

Аналогично для второго игрока (спрос)

Приведем данные уравнения к форме без переменной V:

(*)

Нам необходимо определить стратегию первого игрока (т.е. предприятия), т.е. относительную частоту использования его стратегий (х1
,х2
,…,хm
) будем определять, используя модель второго игрока, так как эти переменные находятся в его модели выигрыша. Приведем (*) к канонической форме:

Решаем задачу симплексным методом.

итерация 0	базис	d1	d2	d3	d4	d5	d6	d7	bi	bi / a
	d4	1	4	3	1	0	0	0	1	1/3
	d5	3	2	1	0	1	0	0	1	1
	d6	3	0	0	0	0	1	0	1
	d7	2	2	1	0	0	0	1	1	1
	ψ	-1	-1	-1	0	0	0	0	0
1	d3	1/3	4/3	1	1/3	0	0	0	1/3	1
	d5	8/3	2/3	0	-1/3	1	0	0	2/3	1/4
	d6	3	0	0	0	0	1	0	1	1/3
	d7	5/3	2/3	0	-1/3	0	0	1	2/3	2/5
	Ψ	-2/3	1/3	0	1/3	0	0	0	1/3
2	d3	0	1,25	1	0,375	-0,125	0	0	0,25
	d1	1	0,25	0	-0,125	0,375	0	0	0,25
	d6	0	-0,75	0	0,375	-1,125	1	0	0,25
	d7	0	0,25	0	-0,125	-0,625	0	1	0,25
	Ψ	0	0,5	0	0,25	0,25	0	0	0,5

Базисное решение Б1
(0,25; 0; 0,25; 0; 0; 0,25; 0,25). Цена игры , так как 0,25+0,25+0=0,5 то V=2.

Исходные параметры относительно частот применения стратегий: х1
=0,5; х2
=0; х3
=0,5; х4
=0; х5
=0; х6
=0,5; х7
=0,5.

Задача 7

На двух предприятиях отрасли необходимо изготовить 300 изделий некоторой продукции. Затраты, связанные с производством изделий х на I предприятии, равны 4x1
2
руб., а затраты, обусловленные изготовлением х2
изделий на II предприятии, составляют 48х2
+ 8х2
2
(руб.).

Определить, сколько изделий на каждом из предприятий следует произвести, чтобы общие затраты, обусловленных изготовлением необходимой продукции, были минимальными.

Решение

f=4x1
2
+48х2
+ 8х2
2
→min

х1
+х2
=300

Составим функцию Лагранжа: F=f+λg

х1
+х2
=300

; х2
=300-х1

16(300-х1
)-8х1
+48=0

Тогда (деталей)

х2
=300-202=88 (деталей)

Ответ: на первом предприятии следует произвести 202 детали, а на втором – 88 деталей.

Задача 9

Интервал планирования Т=5 лет. Функция затрат на ремонт а дальнейшую эксплуатацию К(τ)= 0,2τ+τ2
(р.). Функция замены Р(τ)=10+0,05τ2
(р.). Определить оптимальные планируемые затраты по годам пятилетки, если количество оборудования по возрастным группам n(τ=0)=10; n(τ=1)=12; n(τ=2)=8; n(τ=3)=5.

Решение

Рассчитаем переходы (затраты на замену и ремонт) оборудования для каждого из возможных состояний τ.

τ	0	1	2	3	4	5	6	7	8
К	-	1,2	4,4	9,6	16,8	26	37,2	50,4	65,6
Р	10	10,05	10,2	10,45	10,8	11,25	11,8	12,45	-

Произведем пошаговую оценку альтернативных вариантов затрат для возможных различных состояний τ на каждом шаге t, т.е.

Начало оценивается с последнего t=5 шага.

Шаг 1; t=5.

Все состояния на последнем интервале приравниваются к 0:

F85
=0; F75
=0; F65
=0; F55
=0; F45
=0; F35
=0; F25
=0; F15
=0.

Шаг 2; t=4.

Шаг 3; t=3.

Шаг 4; t=2.

Шаг 5; t=1.

Шаг 6; t=0.

Функции затрат F00
, F10
, F20
, F30
– затраты на единицу оборудования соответственно для возраста τ=0,1,2,3 года. Определим стратегию замены и ремонта оборудования каждого возраста. На схеме стратегии выделены стрелками (только оптимальные шаги). Определяем затраты по годам планирования:

t=1; Q1
= 10*11,2+12*4,4+8*11,4+5*11,65=314,25

t=2; Q2
= (10+8+5)*4,4+12*11,4=238

t=3; Q3
= (10+8+5)*11,4+12*4,4=315

t=4; Q4
= (10+8+5)*4,4+12*11,4=238

t=5; Q5
=(10+8+5)* 9,6+12*4,4=237,6

Проверка: сумма затрат для оборудования каждого возраста должна равняться сумме затрат на них по годам планирования. Затраты на каждый возраст:

=41*10+36*12+41,2*8+41,45*5=1378,85

Сумма затрат по годам:

Q1
+ Q2
+ Q3
+ Q3
=314,25+238+315+238+237,6=1375,85

Задача 11

Дана схема движения транспорта с n=5 пунктами и расстояниями между ними. Построить кольцевой маршрут объезда всех пунктов наименьшей длины.

∞	13	12	11	7
10	∞	6	9	4
13	10	∞	12	7
9	6	14	∞	8
12	13	9	10	∞

Решение

Стоим приведенную матрицу с целью получения в каждой строке и столбце не меньше 1 кратчайшего маршрута (0 приведенного значения). Коэффициенты приведения

по строкам: К1
=7+4+7+6+9=33

∞	6	5	4	0
6	∞	2	5	0
6	3	∞	5	0
3	0	8	∞	2
3	4	0	1	∞

по столбцам (у приведенной матрицы): К2
=3+1=4

Кпр
=33+4=37 (сумма самых коротких маршрутов).

∞	6	5	3	0
3	∞	2	4	0
3	3	∞	4	0
0	0	8	∞	2
0	4	0	0	∞

Для нулевых значений определяем коэффициенты значимости:

К41
=0; К51
=0; К42
=3; К53
=2; К25
=2; К15
= К35
=3; К54
=3.

Выбираем аij
=0 с максимальным Кij
, например, К15
=3.

В матрице назначения присваиваем Х15
=1. В полученную матрицу в клетку (5,1) вводим запрет.

Приведем матрицу.

2	3	4	1
2	∞	0	2	1
3	0	∞	1	0
4	0	8	∞	0
5	4	0	0	∞

Подсчитаем новое значение Кпр
: 37+2+3=42.

Определяем коэффициенты значимости для нулевых значений.

К32
=К42
= К53
=К41
=К31
=0; К23
= К54
=1.

Выбираем аij
=0 с максимальным Кij
, например, К23
=1.

В матрице назначения присваиваем Х23
=1. В полученную матрицу в клетку (3,2) вводим запрет.

2	4	1
3	∞	1	0
4	0	∞	0
5	4	0	∞

Так как матрица уже приведена, определяем коэффициенты значимости для нулевых значений.

К42
=4; К41
=0; К31
=1; К54
=5.

Присваиваем в матрице назначения Х54
=1. В полученную матрицу в клетку (4,1) вводим запрет.

2	1
3	∞	0
4	0	∞

В полученной матрице осталось два маршрута, которые и вносим в кольцевой маршрут: Х31
=1; Х42
=1.

Введем все маршруты в матрицу назначения.

1

1

1

1

1

Длина полученного маршрута:

Условие оптимальности F=Кпр.
=42 выполняется, то полученный кольцевой маршрут является оптимальным.

Задача 13

Рассматривается круглосуточная работа пункта проведения профилактического осмотра автомашин. Пункт состоит из n=3 каналов; на осмотр каждой машины затрачивается При осмотре группа выявляет дефект с вероятностью р=0,7; на осмотр поступает в среднем . Обслуживание одной заявки приносит среднюю прибыль С1
=3 руб./час, создание 1 канала требует среднего расхода С2
=18000 тыс.р., эксплуатация 1 канал в единицу времени требует среднего расхода С3
=8 руб./час. Определить характеристики работы пункта. Установить, при каких соотношениях С1
,С2
, С3
система будет рентабельна, и если система не рентабельна при заданных С1
,С2
, С3
, то при каких она будет рентабельна? Через какое время эксплуатации система будет приносить прибыль?

Решение

Характеристики работы системы:

1. Среднее число занятых каналов

2. Вероятность выявления скрытого дефекта

Рабс.
=(1-Р0
)Р=

3. Абсолютная пропускная способность, считая все осмотренные машины:

4. Полная абсолютная пропускная способность, считая все осмотренные машины:

5. Вероятность того, что канал занят:

Пз.к.
=

6. Среднее время простоя канала:

7. Вероятность того, что все группы будут заняты осмотром

8. Среднее время неполной занятости системы (простоя хотя бы одной группы)

9. Средняя прибыль за сутки (t=24 часа)

10 Средняя стоимость в сутки:

11. Прибыль, которую система начнет приносить через время, определяется условием:

Условие рентабельности:

У нас .

Преобразуем это выражение с учетом того, что ; получим условие оптимальности:

Система будет рентабельна, если:

Из найдем время, через которое система начинает приносить прибыль:

(дней) или (лет)

Список используемой литературы

1. Данко П.Е. и др. Высшая математика в примерах и задачах. Ч2: Учебник для втузов. – М.: Высшая школа, 1986. – 415 с.

2. Конюховский П.В. Математические методы исследования операций в экономике. – СПб.: Питер, 2002. – 208 с.

3. Мельник М.М. Экономико-математические методы и модели в планировании МТС. – М.: Высшая школа, 1990. – 352 с.

Министерство образования Российской Федерации

«Тихоокеанский государственный университет»

КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА

ПО МЕТОДАМ И МАДЕЛЯМ В ЭКОНОМИКЕ

Выполнил: студент 3-го курса з/о

Специальность:________________

№ зач. книжки_________________

Ф.И.О._______________________

2010г.