Шпора по математическому анализу

13. Линейные неоднородные диф ур-я n-го порядка с правой частью квазимногочлена.

1)Квазимногочлены и их свойства

2)Правило нахождения частного решения в нерезонансном случае

3)Правило нахождения частного решения в резонансном случае

1:)Квазимногочлены и их свойства

Рассмотрим ЛОДУ n-го порядка. y(n)+a1y(n-1)+...+any=f(x) (1); aiC i=1,...,n. f(x)-квазимногочлен. Чтобы найти решение (1) н-но решить y(n)+a1y(n-1)+...+any=0 (2). М-но искать по методу Лагранжа: f(x)=e[1]xp1(x)+e[2]xp2(x)+...+e[k]xpk(x) (3) – квазимногочлен; 1,...,kC; p1(x),...,pk(x) – мн-ны с компл коэф. Примером квазимногочленов являются показательные функции: eix=cos(x)+i*sin(x). sin и cos также квазим-ны: cos(x)=(eix+e-ix)/2;sin(x)=(eix-e-ix)/2i. Квазимн-ны м-но складывать, умножать, вычитать, но !не делить! Результат деления будет функцией, но не квазимногочленом. Производная от квазимн-на будет квазимногочленом. Если рассматривать хар корни, соотв (2) и выпис их кратности k1,...,ks; y=e[1]xp1(x)+e[2]xp2(x)+...+e[s]xps(x) (4). Общ реш (2) – квазимн-н. deg(pj(x))=kj.

Опр: Если в (3) 1,...,k попарноразличны, то их число наз-ся порядком квазимн-на.

Теорема: ф-и вида e[j]x, j=1,...,s; r=0,1,...,kj-1 образует фунд сист реш-ий.

Д-во: Пустьу (3), 1,...,n – попарно-различны(k-порядок многочлена). Тогда f(x)0 <=> pj(x)=0, j=1..k (5). Проведём доказательство ММИ:

1)k=1;f(x)=e[1]xp1(x)0

2)Пусть многочлен вида (3)=0. Разделим (3) на e[k]x: e([1]-[k])xp1(x)+e([2]-[k])xp2(x)+...+pk=0. Пусть rk-степень многочлена. Если продифференцировать многочлен rk-раз, то ничего не останется. Pr[k]+1((j=1..k-1)e([j]-[k])xpj(x)+pk(x))=0. Можно примеить формулу смещения: (j=1..k-1)e([j]-[k])xpj(x)*(p+j-k)r[k+1]=0. Получили квазимн-н порядка k-1. e([1]-[k])xg1(x)+...+e([k-1]-[k])xgk-1(x)0; gj(x)pj(x)*(p-j-k)r[k+1]; j=1..k-1 => gj(x)0. Если при p=0 получ 0, то дифференциальный оператор сохраняет степень многочлена. pj(x)0, j=1..k-1;=> (5) – д-но

Тхеоремена доказякана

2:)Правило нахождения частного решения в нерезонансном случае

Пусть L()0. (7). Этот случай называется нерезонансным. Частное решение ур-я (1) запис в след виде: y=exg(x). deg(g)=deg(p) (8). Теория утверждает, что эта система всегда имеет единственное решение => коэффициенты g(x) определяются однозначно.

Д-во: L(p)y=exp(x). Учитывая (8), получаем: L(p){exg(x)}=exp(x). Применим к лев части ф-лу смещения: exL(p+)g(x)=exp(x). L(p+)g(x)=p(x). L()0

3:)Правило нахождения частного решения в резонансном случае.

Мы решаем (1) c правой частью вида (6), но снимая ограничения (7). Этот случай наз-ся резонансным. L()=0 (9). k-кратность , как корня хар ур-я. y=exxkg(x) (10). Deg(g)=Deg(p). (10) частное решение. Теория утверждает, что нахождение g(x) имеет единственное решение.

Д-во: L(p)y=exp(x); L(p){exxkg(x)}=exp(x). Применим ф-лу смещения: exL(p+){xkg(x)}=exp(x); L(p+){xkg(x)}=p(x). Нужно найти g(x), удовл последн ур-ю. Т.к. -корень хар ур-я, то м-но записать в след виде: L(p)=M(p)*(p-)k; - корень, кратности k. M()0. M(p+)pk{xkg(x)}=p(x). N(p)M(p+). N(p)pk{xkg(x)}=p(x). Пусть pk{xkg(x)}=h(x). Получ: N(p)h(x)=p(x). h -  и однозначно находится по p(x). Проверим, что N(0)=M()0. Н-но по h(x) найти g(x). pk{xkg(x)}=h(x). g(x)=(j=0..n)gjxj; h(x)=(j=0..r)hjxj; (j=0..r)gjxj+k=(j=0..r)gj(k+j)...(j+1)xj=(j=0..r)hjxj; gj=hj/(k+j)*...*(j+1); j=0..r.

Утв: M(p)=b0pm+b1pm-1+...+bm; bm0.

Д-во: p(x) – вып-ся: M(p){g(x)}=p(x) (12). Уравнение имеет единственное решение, deg(g)=deg(p). Усл bm0M(0)0; prxr+...=p(x);grxr+...=g(x). M(p){g(x)}=grM(p)xr+...=grbmxr+...=prxr. Т.о. g­=pr/bm.

10. Линейные неодн ДУ n-го порядка с перем коэф.

1)Теорема я и ед-ти решения нач задачи

2)Теорема об общем решении

3)Метод Лагранжа вариации произв пост

4)Ф-я Коши и её св-ва

1:)Теорема я и ед-ти решения нач задачи

y(n)+a1(x)y(n-1)+...+an(x)y=f(x) a<x<b (1) – общий вид

a1(x),...,an(x) – коэф ур-я (непр на (а;в)). f(x) – непр на (а;в) – своб член.

f(x)0(тождественно). y(x0)=y0;y’(x0)=y0’;...;y(n-1)(x0)=y0(n-1) (2) x0(a;b). y0;y0’;...;y0(n-1)-заданные числа. Задача нахождения решения (1) удовл усл (2) наз начальной задачей, а (2) – начальным условием. Условий ровно столько, каков порядок уравнения. Выпишем однородное уравнение, соотв ур-ю (1):y(n)+a1(x)y(n-1)+...+an(x)y=0 (3). Межу (1) и (3) ет простая связь: 1)если y(x) решение (1), а U(x) – решение соотв (3), то их  явл реш-ем (1); 2)если y(x) и z(x) – оба решения (1), тогда y(x)-z(x) – решение (3).

Д-во:

y(n)+a1(x)y(n-1)+...+an(x)y=f(x); y(x) – решение уравнения (1); u(n)+a1(x)u(n-1)+...+an(x)u=0. U(x) – решение (3). Покаж, что (y(x)+U(x))(n)+a1(x)(u(x)+y(x))(n-1)+...+an(x)(u+y)=f(x)

y(n)+u(n)+...+an(x)y+an(x)u(x)=f(x)+0=f(x).

ч.т.д.

Теорема: if коэф (1) – непрерывны, то решение с нач зад (1) – (2) всегда ют, единственны, и можно считать опр на всём (a;b). Эту теорему называют нелокольной теоремой  и единств реш нач зад.

Связь между ур-ми n-го порядка и системой из n-уравнений 1-го порядка: возьмём уравнение 2-го порядка с непр коэф: y’’+p(x)y’+q(x)y=f(x). y1(x)=y(x);y2(x)=y’(x); y1’(x)=y’(x)=y2(x); y2’(x)=y’’(x)=f(x)-p(x)y(x)-q(x)y=f(x)-p(x)y2(x)-q(x)y1(x).

Cистема:

y1’=y2;

y2’=-q(x)y1-p(x)y2+f(x)

2)Теорема об общем решении

Пусть y1(x),...,yn(x) (4) – фунд сист решений однор ур-я (3), а z(x) – какое – либо частное решение неодн ур-я (1) имеет след вид: y=c1y1(x)+...+cnyn(x)+z(x) (5), где с1,...,cn – произв пост.

Д-во: Докажем, что (5) всегда даёт решение (1) при c1,...,cn. Вся первая часть (5) – решение (3). Добавл к нему частн реш z(x), получ реш неодн (1). Покаж, что  решение неодн ур-я (1) м.б. записано в виде (5) при нек пост c1,...,cn.

If y(x) – частн решение (1), то y(x)–z(x) – решение однор ур-я (3). По теореме об общем решении в (3) мы можем указать такие c1,...,cn – что y(x)–z(x)=c1y1(x)+...+cnyn(x). Перенося z – вправо, получ (5). Теорема доказана.

Общее решение однородного уравнения есть  общ решения соотв однор ур-я, и какого – либо частн решениия неодн ур-я.

3:)Метод Лагранжа вариации произв пост

Лагранж предложил искать частные решения в виде (5) без z(x), только константы считать ф-ми: y=c1(xz)y1(x)+…+cn(x)yn(x) (6). Если c1,….,cn выбирать так, чтобы вып-сь след усл:

Система: (7)

с1’(x)y(x)+…+cn’(x)yn(x)=0;

……

c1’(x)y(n-2)(x)+…+cn’(x)y(n-2)n(x)=0

c1’(x)y(n-1)(x)+…+cn’(x)y(n-1)n(x)=f(x)

if c1(x),..,cn(x) – удовл усл (7), то (6) даёт решение (1).

Д-во: В этой системе неизв явл c1’,…,cn’

Матрицей (7) явл W(x)<>0(сост матр из игриков) => это система имеет единственное решение. Проверим, что (6) при вып (7) даёт решение (1).

Система:

y(x)=c1(x)y1(x)+…+cn(x)yn(x);

y’(x)=c1(x)y1’(x)+…+cn(x)yn’(x)

….

y(n-1)(x)=c1(x)y1(n-1)(x)+…+cn(x)y(n-2)n(x)

y(n)(x)=f(x)+c1(x)y1(n)(x)+…+cn(x)y(n)n(x)

Умножим соответственно на an(x),…,a1(x),1 и сложим: Введём обозначение: (9) L{y(x)}y(n)(x)+a1(x)y(n-1)+…+an(x)y(x) – лин диффер оператор

L{y(x)}(=)f(x)+c1(x)L{y1(x)}+…+cn(x)L{yn(x)}, т.к. y1(x),…,yn(x) – обр фунд систему, то (=)f(x) (10)~(1)

4:)Ф-я Коши и её св-ва

Решим систему (7) по правилу Крамера.

ci(x)=(Wi(x)/W(x))f(x) (11), i=1..n; Wi – алгебрарическое дополнение к эл-ту n-ой строки стоящ в i-м столбце. ci(x)= ci+­(x0..x)(Wi(s)/W(s))f(s)ds, i=1,…,n (12). Подставим в (6):

y=(i=1..n)ciyi(x)+(i=1..n)((x0..x)(Wi(s)/W(s))f(s)ds)yi(x)=(i=1..n)ciyi(x)+(x0..x)(i=1..n)(Wi(s)/W(s)f(s))y(x)ds) (13)

K(x)=(i=1..n)(y(x)Wi(s))/W(s) (14); x,s(a;b)

y=(i=1..n)ciyi(x)+(x0..x)K(x,s)f(s)ds (15) – интегральный оператор

1.Определение  решения.

Предп. что рассматр. нач. задача вида (1)-(2) у=f(x,у)(1) у(х­0­) =у0(2) f(x,у) – непр. по совокупн. решенных предполог., что f(x,у) рассматр. на прямоугольнике D={(х,у): |х-х0|<=а , |у-уо|<=б} M=maх|f(x,у)| удовл. условию Лишица по второй переменной | f(x,у) –f(x,z) |<=L|y-z| (4). При вып. всех этих предпол. нач. зад. (1)-(2) имеет единств. реш-е опр. на отр-ке | х-х0|<=h; h=min{а,б/ М } (5) П. у(х)- кусочно диф-ма фун-я и удовл. след. н-ву: | у(х)-f(x,у(х)) | <=∆ f(x) (6) у(х0)=у0 (7)

Кусочная диф-мость ф-ции означает, что весь пром-к, на котор. ф-я опред. можно разбить на части в котор. ф-я диф-ма в точках разбиения  одностор производные. |у+ --f(x,у(х))|<=∆ f(x)

если известно что, ∆ f(x) <=, то у(х) наз.  решением.

Введем в рассмотрен еще одну ф-ю Z(x) по правилам: |Z(x)-g(x,z(x))|<=∆g(x) (8)

Z(x0)=Z0 (9) Предп. что g(x) непр. в прямоуг. D и кусочно диф-ма предполаг. далее, что | f(x,у)-g(x,y)|<= (10)

Возн. задача: |у(х)-z(x)|<=? Запишем мн-во (6) иначе: у(х)= f(x,у(х))+(х), где |(x)<= f(x)| В этом случ. у- есть реш-е диф. ур-я. (х)- кусочно диф-ая ф-я (и кусочно непр.) Для Z(x) м-нo зап-ть анал. рав-ва Z(x)=g(x,z(x))+(x), |(x)|<=g(x)

В этом случае. z- реш. диф. ур-я (х)- кус. непр. и диф-ма.

Проинтегр. рав-ва у(х) и для z(х) у(х)=y0+(x0,x)∫{f(s,y(s))+(s)}ds (11)

z(x)=z0+(x0,x)∫{g(s,z(s))+(s)}ds (12)

вычтем. почленно из (11)-(12) и оценим разницу по иодулю:

у(х)-z(x)=y0-z0+(x0,x)∫{f(s,y(s))+g(s,z(s))+(s)+(s)}ds (13)

|y(x)-z(x)|<=|y0-z0|+|∫{f(s,y(s))+g(s,z(s))+(s)+(s)}ds|<=|y0-z0|+(x0,x){|f(s,y(s))-g(s,z(s))|+|(s)-(s)|ds

|f(s,y(s))-f(s,(z(s))|<=L|y(s)-z(s)| (14)

|f(s,z(s))-g(s,z(s))|<=

|y(x)-z(x)|<=|y0-z0|+(x0,x)∫L|y(s)-z(s)|+++}ds

|(x)<=; |(x)|<=

П. |y(x)-z(x)|=u(x).Еогда посднее н-во м-но зап-ть в след. виде U(x)<=U(x0)+(x0,x)∫LU(s)+++}ds (15)

Пользуясь леммой о лин. инт. нер-ах м-но вып-ть оценку ф-ции U(x) если ф-ции у(х) и z(x) это точные реш-я, то ,, =0

|y(x)-z(x)|<=L|x-x0|; |y0-z0|+((++)/L)(eL|x-x0|-1)

2 Th единственности и оценка разности решений

|y(x)-z(x)|<= eL|x-x0||y0-z0|, y0=z0 (17)

y(x)≡ z(x)

Прич. если нач. усл. совп. то совп. и сами ф-ции.

3 Зависимость от правой части

если у(х) и z(x) это точное реш-е но разных задач, то в этом случае ==0, >0 и м-но оценить разницу между у(х) и z(x)

|y(x)-z(x)|<= eL|x-x0||y0-z0|+(/L)( eL|x-x0|-1) (18)

Н-во (18) зад. зависимость от прав. частей.

Если y(x) и z(x) это соотв.  и  реш-я нач. задачи (1)-(2) , то это знач. что гач. усл. совпадают у0=z0, =0, И оценка разности решний приобретает такой вид:

|y(x)-z(x)|<= eL|x-x0||y0-z0|+(/L)( eL|x-x0|-1)=((+ )/L)( eL|x-x0|-1) (19)

если у(х) это точн. реш-е при этом =0 и п. z(x) это  реш-е |y(x)-z(x)|<= (/L)( eL|x-x0|-1) (20)

Метод ломаных- это метод численного интегрир. нач-ой задачи. Для этого весь пр-к опред-я ф-ии по х разб. на части х0 <х1<…<xn (21) Это разб. наз. сеткой, а x0…xn –узлами сетки. Задача закл. в опр-ии значении реш-я ф-ции y(xi)=yi

Разбиение обычно опр-ся равно-мерно: xi+1-xi=h, h=(xn-x0)/n

Идея метода Эйлера состоит в след. :

(y(xi+1)-y(xi))/(xi+1-xi)y(x)= f(x,у(xi))

(y(xi+1)-y(xi))/(xi+1-xi) = f(x,у(xi)) (22)

Тогда значение кажд. след. точки можно переписать через значение пред. точки :

y(xi+1)=y(xi)+f(xi,y(xi))(xi+1-xi) – условие Эйлера

y(x0)=y0 ; y(x1)=y(x0)+f(x0,y­­(x0))(x1-x0)

y(xn)=y(xn-1)+f(xn-1,y­­(xn-1))(xn-xn-1)

Если имеет место равн. разб. отр-ка то послдняя формула имеет вид: yi+1=yi+hf(xi,yr) (24) r=0,1…., n-1

Сеточные ф-ии ставят в соответств. нек. ломанную, это кусочно непр. ф-я

yr(x)=yr+(x-xi)f(xi,уi), xi<=x<=xi+1 (25)

И спр-во утв-е : если >0 то в силу непр. ф-ции f(x,у) :

|f(x,у)- f(x,z)|<= если |x-s|<=, |y-z|<=, ()>0 (непр. по совок. переменных) M=maх|f(x,у)|

Д-во

Из (25) вытекает |y(x)-f(x,у(x))| =|f(xi,уi)-f(xi,уi)+(x-xi)f(xi,уi))|<= (26)

|x-xi|<=; |x-xi||f(xi,уi)|<=M

При достаточно малом шаге ломаная Эйлера становится  решением

6 Оценка погрешности метода ломаных Эйлера

Предп. что f(x,у) удовл. усл. Лищица по кажд. переменной

т.е. разница : |f(x,у) –f(s,z)|<=k|x-s|+L|y-z| (27)

Вэтом случае |y(x)-f(x,у(x))|=|f(xi,yi)-f(x,yi+(x-xi)f(xi,уi)|<=

( в кач-ве у(х) выбир. отн. Эйлера )

<= k|x-xi|+|x-xi|LM<=(k+) (28)

Восп. соотн. (20)

Пусть сетка будет равномерной

|y(x)-y(x)|<=(((k+ML))/h)(eL|x-x0|-1) (29)

|y(x)-y(x)|<= h(M+k/h)(eL|x-x0|-1) (30)

Оценка (30) наз-ся оценкой первого пор-ка точности. Задаваясь опред. точностью и зная числа k,M,L можно определить h таким обр. чтобы посл. произв. было <. Тогда соотв. и разн. между ф-ей

|y(x)-y(x)|< (32)

Лекция №14.

Линейные колебания.

1)Свободные колебания линейной системы без трения.

2)Свободные колебания линейной системы с трением.

3)Вынужленные колебания линейной системы без трения.

4)Вынужленные колебания линейной системы с трением.

az’’+bz’+cz=h(t) a,b,cR h(t)-комплексная ф-я: f(t)+ig(t) az’’+bz’+cz=f(t)+ig(t) z(t)=x(t)+iy(t) a(x’’+iy’’)+b(x’+iy’)+c(x+iy)=f+ig ax’’+bx’+cx+i(ay’’+by’+cy)=f+ig ax’’+bx’+cx=f(t) ay’’+by’+cy=g(t) если z(t) компл. реш. то его вещ. и мним. части явл. реш-м вещ. ур-й правой части котор.равны соответ. вещ. и мним. az’’+bz’+cz=pe^(iжt) (ж-каппа) L(iж)<>0 z=qe^(iжt)-реш-е ур-я

z’=qiжe^(iжt); z’’=q(iж)^2e^(iжt) (-aж^2+biж+c)qe^(iжt)=pe^(iжt) q=p/(-aж^2+biж+c) z(t)=e^(iжt)p/(-aж^2 +biж+c) p>0 pR Выделим вещ и мним части: z(t)=(cosжt+isinжt)p(1/(-aж^2+biж+c))=p(cosжt+isinжt)(-aж^2-biж+c)/((-aж^2+biж+c)(-aж^2-biж+c)=p(cosжt+isinжt)(-aж^2-biж+c)/((-aж^2+c)^2+(biж)^2)=(коля не дописал).

1)Свободные колебания линейной системы без трения описываются в след. виде: dІx/dtІ+aІx=0 a<>0 (1). kІ+aІ=0-характеристическое ур-е (2) k1,2=+-ia; e^(iat) e^(-iat) x=c1cosat+c2sinat- общее ур-е (3) или запис в след виде x=Asin(at+) A>0 (4) A(sinatcos+cosatsin)(тожд.=) с1cosat+c2sinat Acos=c2 Asin=c1 AІcosІ+AІsinІ=c1І+c2І= значит A=sqrt(c1І+c2І) sin=c1/A cos=c2/A tg=c1/c2 A-амплитуда колебаний a-частота -нач. фаза. aT=2 T=2/a-период колебаний a/2-число кол. в единицу времени. Ур-е (1) часто наз гармонич. осициллятора ’’+(g/l)sin=0, считают что колеб малее, sin=’’+(g/l)=0 (ур-е (1)) aІ=g/l T=2/a=2sqrt(l/g)

2)Свободные колебания линейной системы с трением: dІx/dtІ+2ndx/dt+aІx=0 (5) 0<n<a-сопр. мало n>=a-сопр. велико; kІ+2nk+aІ=0 (6) k1,2=-n+-isqrt(aІ-nІ) sqrt(aІ-nІ)=b Выпиш. компл реш-я (1): e^(-nt+ibt) e^(-nt-ibt) Выпиш вещ реш-я: x=e^(-nt)(c1cosbt+isinbt) c1,c2R (7) x=Ae^(-nt)sin(bt+) (8) Ae^(-nt)-перем. амплитуда b-частота если n мало то b примерно =a. Логорифмич. декремент затухания T=2/b T/2=/sqrt(aІ-nІ); e^(-n(t0+T/2))=e^(-nt0)e^(-nT/2); -e^(-nT/2=n/sqrt(aІ-nІ)-л.д.з.

3)Вынужленные колебания линейной системы без трения: dІ/dtІ+aІx=psint (9) a,p,>0 a-частота собств колеб; p-амплитуда; -частота ;e^(it) надо следить что i=+-ia; *)<>a-нерезонансный случай. x=cost+sint =0=p/(aІ-І) x=Asin(at+)+psint/(aІ-І) (10) – общее реш-е (9); если A и  соизмеримы то это период ф-я; если A и  несоизм (их отн иррац) то это непериод ф-я; если 0<<a то psint/(aІ-І)-амплитуда; если >a то psin(t+)-амплитуда, говорят в этом случае чтоколебания происходят в противофазе. Частота внеш сил не совпадает с собств частотой; **)если =a-резонансный случай. x=(cost+sint)t (!) если част. реш. (9) исп в виде (!) то =-p/2a и =0 а значит общее реш (9) имеет вид x=Asin(at+)-ptcost/2a (11) ptcost/2a –вековой член из-за него происходит явление резонанса. (коля написал что нету ф-лы (12)).

4)Вынужленные колебания линейной системы без трения: dІx/dtІ+2ndx/dt+aІx=psint (13) 0<n<a Общее реш e^(it) i не совпад с корнями хар ур-я. Резонанса нет. x=Mcost+Nsint для опр-я M,N получаем след систему 2-х ур-й: -2nM+(aІ-І)N=p и (aІ-І)M+2nN=0 (14) M=(-2np)/((aІ-І)І+4nІ) N=((aІ-І)p)/((aІ-І)І+nІ) x=(p/((aІ-І)І+4nІІ))(-2ncost+(aІ-І)sint) (15) І(-2ncost+(aІ-І)sint)- частное реш.; x=(p/sqrt((aІ-І)І+4nІІ))sin(t+) (16) част реш (13); если общ то и этому выр-ю нужно добавить Ae^(-nt)sin(bt+) по истеч большого времени это слагемое быстро убывает (колеб опис ур-м (3)) т.е. происх. с той же частотой что колебания возмущ системы , однако ампл и фаза придержиают опр изм-я. Формально резонанса нет. - полярный угол -/2<<0 if a>; q=/2 if a=; -<<0 if a<.

лекция №1.

*соотношение связывающее независимую пер. x, ф-ю y(x) и некот. кол-во ее производных назыв. диф. ур.

*порядком д.у. наз. порядок старших произв. входящих в это д.у.

предположем что в пр-ве пер-х x,y,z задана ф-я F на некотор.области G.

*соотношение связывающее независимую пер. x, ф-ю y(x) и ее первую производную y’(x) назыв. диф. ур. 1-го порядка.

*искомое д.у. явл. ф-я y(x). Если ищем ф-ю одной пер., то ур-е наз. обыкновенным. Если искомой явл. ф-я нескол. пер-х, то д.у. наз. ур-м в частных произв-х (ур-е Лапласа).

*ф-я y=f(x) опред. на некот. интервале наз. решением ур-я если выполняются след. условия:

1.f(x) диф-ма в  точке обл. опр. f’(x) не равно оо.

2.x: x,f(x),f’(x) принадлежат области G, на кот.опр-на F(G).

3.x: ф-я f(x) обращ. ур-е в тождество ((x,f(x),f’(x))=0.

*д.у. 1-го пор. разрешенное относит.произв. имеет след. вид y’=f(x,y) (*), где y’=dy/dx dy/dx=f(x,y) y’=dy/dt

*реш-е ур-я 1-го пор.всегда зависит от 1-ой произв. постоянной. Ур-е n-го порядка зав. от n произв. постоянных.

*для того чтобы найти реш-е ур-я(*) проход. через заранее зад. точку ставят начальное усл-е: y(x0)=y0 (**).

*найти реш-е ур-я (*) удовлет. зад. нач. усл-ю (**) означает решить нач. задачу Коши.

Известно что нек. ф-я y=y(x,c) c=const (***) такая что подходящим выбором с из нее можно получитьлюбое реш-е ур-я (*), тогда ф-я (***) наз. общим реш-м ур-я(*), каждое конкретное реш-е ур-я (*) наз. частным реш-м ур-я (*).

если есть представление (***), то реш-е ур-я (*) задано явно; если f(x,y)=0 неявно и ф-я f(x,y)=0

наз. частным интегралом.

*если удалось найти ф-ю f(x,y,c)=(пуст. мн-во), кот. охватывает все частные интегралы, то она наз. общим интегралом.

*д.у. и ф-я зад. общий интеграл эквивалентны f(x,y,y’)=0 и Ф(x,y,c)=0.пусть задано семейство линий ур-м Ф(x,y,c)=0 иначе говоря задан общий интеграл. Для того чтобы восстан. д.у. необходимо ф-ю Ф(x,y,c)=0 продиф. по x Ф’x(x,y,c)+ Ф’y(x,y,c)*y’=0 из этого соотношения нужно выразить произв. пост. с, она будет зависеть от x,y и y’ и затем вернуться к F(x,y,y’)=0.

*д.у. y’=f(x,y) определена на пл-ти (x,y) – фазовая пл-ть.

!!!!!!рис.!!!!!!

1.Зафикс. в области определение ф-и f нек. точку с корд. (x,y).

2.Подставим зн-е ф-и f в зад-й точке f(x,y)=y’=tga.

3.y’=tga через (x,y) проводят отрезок единичной ф-и кот образует угол a с положит. напр. оси x.

4.Теоретически эта процедура проводится в каждой точке области определения ф-и f и получают совокупность единичных отрезков. Эта совокупность и задает поле напрвлений.

*геометр. образ реш-й y=w(x) или его график наз. интегр. кривой, а всевозм. инт.кривые задают фазовый портрет.

известен график реш-я д.у. Зафикс. произв. точку и проведем через нее касательную. Касат. обраует угол b с x; tgb а значит  зн-е производной. y’=f(x,y) Т.к. w(x) есть реш-е нашего д.у. то w’(x)=tgb=f(x,w(x))=f(x,y)=tga. Угол a задает наклон поля к точке (x,y).

Особнность: в кажд. т. интегр. кривой касат. и наклон поля совпадают между собой.

*Метод Изоклин:

1.правая часть д.у. приравнивается к постоянной k.

2.задают некот. кол-во зн-й этой пост. k1,k2,…,kn.

3.строят ф-и f(x,y)=ki, i=1..n (ур-е изоклин) кривая – изоклина.

4.по извест. зн-ю ki подсчитывают угол ai кот. задает наклон поля в точках соотв. изоклине.

5.проводят интегр. кривую такую что в точках пересечения ее с изоклиной касательная к ним и наклон поля совпадают между собой.

Лекция №2.

Уравнения с разделяющимися пер-ми.

*пусть ур-е имеет вид y’=f(x) (1) тогда dy/dx=f(x) и предполагая что f(x) определена и непр. на (a,b) можно записать dy=f(x)dx (2), проинтегрируем обе части dy=f(x)dx y=f()d+c (3). Соотнош. (3) задает общ. реш-е ур-я (1) и зависит от одной постоянеой. Иначе общ. реш-е можно запис. в виде

y=(x0,x)f()d+c (4) в этом случае y(x0)=c; в этом случае y(x)=y0+(x0,x)f()d y(x)=y0 (5)

*пусть д.у. имеет вид y’=g(y) (6); ф-я g(y) опр. и непр. в [c,d] предположим что g(y) не обращается в 0; dy/dx=g(y) или dx/dy=1/g(y) (7). В виде (7) ур-е явл. точно таким же ур-е (1) т.е. можно интегрировать: dx=dy/g(y) dx=dy/g(y) x=(y0,y)dy/g(y)+c (8) Представление (7) позволяет сделать x ф-ей y, y-независ. пер.; (8) задает общий интеграл для ур-я (6); x=x0+(y0,y)dy/g(y) y(x0)=y (9); (9) задает частичный интегралдля ур-я (6). Для того чтобы точно проанализировать ур-е (6) выписывают ур-е g(y)=0 (10) теперь можно найти его корни: если y0:g(y0)=0 то ур-е (6) имеет реш-е y=y0. для того чтобы изобразить все интегр. кривые (6) сначала изображают интегр. кривую проход. через т.(x0,y0), остальные получ. сдвигомоси ox, реш-е не выходит из [c,d].

* пусть ур-е имеет вид y’=f(x)g(y) (11) f(x) определена и непр. на (a,b) g(y) опр. и непр. в [c,d] тогдаправая часть опр. в области G, кот. опред. по x интервал[a,b], по y-[c,d] g(y) y неравно 0.

Для реш-я (11) нужно разделить пер-е: dy/dx=f(x)g(y) dy/g(y)=f(x)dx dy/g(y)=f(x)dx+c (12). (12) задает общий интеграл для ур-я (11). Если удается отсюда явно выразить y от x, то получаем общ. реш-е. Предположем что y=(x), ее можно представить в (11): y’=f(x)g((x)) g<>0 y’/g((x))=f(x) (13) Домножим обе части (13) на dx и проинтегр. y’dx/g((x))=f(x)dx dy=’(x)dx ’(x)dx/g((x))=dy/g(y) Замена справедлива если (x) не обращается в 0.

Однородные диф. ур-я.

Ур-е 1-го порядка y’= f(x,y) (1) однородно если f(ax,ay)=af(x,y) (2).

Ур-е n-го порядка однородно если f(ax,ay)=a^nf(x,y).

Если ф-я f(x,y) удолетворяет условию (2) то можно записать x<>0 f(x,y)= f(x*1,x*y/x)= f(1,y/x) = =g(y/x) f(x,y)=g(y/x) f(1,u)=g(u) (3). В силу соотношения (3) ур-е (2) имеет вид y’=g(y/x) (4). Это ур-у не явл. ур-м с разд. пер. но может быть сведено к нему заменой u=y/x (5): y=ux y’=u’x+u подставим в (4) u’x+u=g(u) xdu/dx=g(u)-u du/(g(u)-u)=dx/x (6) проинтегр.(6) g(u)-u<>0

du/(g(u)-u)=ln|x|+c (7) Соотношение (7) задает общий интеграл для ур-я (4) после этого возвр. к x, y. Выпис. ур-е g(u)-u=0 (8) и реш-т, корень ур-я (8) задает реш-е ур-я (1).

Ур-я в диф-лах. A(x,y)dx+B(x,y)dy=0 (1)-общий вид ур-я в диф-лах. Это ур-е явл. ур-м в полных диф-лах если такая неотр. диф. ф-я u(x,y) что полный диф-л du(x,y)=(x,y)dx+B(x,y)dy du(x,y)=0 (2) в этом случае общий интеграл для ур-я (1) имеет вид u(x,y)=c (3). Пусть задана ф-я u(x,y): u(x,y)/y<>0 тогдаур-е (3) (по теореме о неявн. ф-и) разрешено c. Обозначим реш. этого ур-я через y(x) тогда u(x,y(x))=c (4). Продиф-м по x: u(x,y)/x+y’(x)u(x,y)/y=0 (5) умножим на dx y’(x)dx=dy т.к. u(x,y)/x=A(x,y); (x,y)/y=B(x,y) (6) то y(x) явл. реш-м ур-я (1).

Теорема. Пусть A(x,y), B(x,y) непр. диф. ф-и тогда для того чтобы ур-е (10) было в полных диф-лах Н.иД. чтобы: A(x,y)/y=B(x,y)/x (7).

Док-во: Н. Пусть ур-е (1) – это ур-е в полных диф-лах, тогда справделивы соотношения (9):

A(x,y)/y=(u(x,y)/x)/y=^2u(x,y)/xy; B(x,y)/x=(u(x,y)/y)/x=^2u(x,y)/xy; т.к. ф-я и по предположению непр. и диф. то смеш. производные совпадают, что и доказ. необходимость.

Д. Имеем (7) докажем что (1)- полный диф-л ф-и и u/x=M(x,y) u=(x0,x)Mdx+(y)Подберем  (y) так чтобы N=u/y; u/y=(x0,x)dxM/y+’(y)=N(x,y) (M/y=N/x) (x0,x)dxu/x+’(y)=N N(x,y)|(x,x0)+’(y)=N(x,y) ’(y)=N(x0,y) (y)=(y0,y)N(x0,y)dy+c u(x,y)=(x0,x)Mdx+ (y0,y)N(x0,y)dy+c ч.т.д.

Часто ур-е в диф-лах можно привести к ур-ю в полных диф-лах путем умножения на некот. ф-ю m(x,y) m(x,y)A(x,y)dx+m(x,y)B(x,y)dy=0 (8) m(x,y)-интегрирующий множитель.

Лекция №5.

f(x) x[a,b] Говорят что f удовл. условию Липшица если имеет место след. оценка |f(x)-f(y)|<= <=L|x-y| (1) или |f|<=L|x| постоянная L наз. постоян. Липшица. Условие Липшица не означает что ф-я диф-ма (например y=|x|).

Пример:  кусочно непр.ф-я , график которой явл. ломанной кривой удолетворяет условию Липшица.

1.Если ф-я диф-ма на отрезке и ее производная ограничена то она удолетв. усл-ю Липшица (причем в кач-ве L можно взять ее точн. верх. грань значения модуля ее производной : L=sup|f(x)| ).

2.Обратно: если ф-я диф-ма и выполнено усл-е Липшица, то модуль производной ограничен.

Док-во:

1.f(x)-f(y)=f’(x+(y-x))(x-y) 0<<1; f(x)-f(y)<=|f’(x+(y-x))||x-y| a<=x<=b

2.|f(x+x)-f(x)|/|x|<=L x0 sup|f’(x)|<=L ч.т.д.

Теорема Коши-Липшица.

y’=f(x,y) y(x0)=y0 D={|x-x0|<=a, |y-y0|<=b}

!!!!!!рис.!!!!!!

f непрерывна по переменной x и удолетворяет условию Липшица.

6. Дифференциальные и интегральные неравенства.

1)Т. Чаплыгина о дифференциальных неравенствах.

2)Лемма о линейных диф. нер-ах.

3)Т. Райда об интегральных неравенствах

4)Лемма Беллмана о лин. интегр. нер-ах.

1:) Т. Чаплыгина о дифференциальных неравенствах.

Введём в рассмотрение прямоуг. D+=(x,y): x0<=x<=x0+a, |y-y0|<=b} (1) и рассмотрим на этом прямоуг. ф-ю f(x,y), непр. по совок. перем. удовл усл Липшица по второй перем. По Т. Коши-Липшица  начальная задача y’=f(x,y) x0<=x<=x0+a (2) имеет ед реш на [x0,x0+a].

Т. Чаплыгина: Пусть дифференциал ф-ии U(x): U’(x)<=f(x, U(x)) x0<=x<=x0+a (3) U(x0)<=y0 (4). Пусть ф-я V(x) явл решением нач задачи V(x): V’(x)=f(x,V’(x)), x0<=x<=x0+a (5), V(x0)=y0 (6), тогда U(x)<=V(x), x0<=x<=x0+a. Здест ф-я f(x,y) опр в прямоуг. D+ и обладает всеми перечисленными выше свойствами.

Д-во: предп сначала, что вып строгое н-во: U’(x)<f(x,U(x)), x0<=x<=x0+a. U(x0)<y0=V(x0) => U(x0)<V(x0). Посл н-во по непр-ти вып в нек правой полуокрестности т х0, т.е. на x0<=x=x0+a(надо пок-ть, что U(x)<V(x).

Предп. противное. Тогда  x1, такая, что U(x1)>=V(x1). Таким образом между х0 и х1  такие х, в кот U и V совпадают. Обозн кажд из этих точек через х*: U(x*)=V(x*). Ограничимся рассмотрением инт x0<=x=x*. Имеем:

_ U(x)<V(x)

U(x*)=V(x*)

Получ:

U(x)-U(x*)<V(x)-V(x*) |:(x-x*)

(U(x)-U(x*))/(x-x*)>(V(x)-V(x*))/(x-x*)

и перейд к lim при xx*

U’(x*)>V’(x*) (*)

V’(x*)=f(x*,U(x*))=f(x*,U(x*))>U’(x)

V’(x*)>U(x*) (**)

Н-ва (*) и (**) противоречат друг другу, что и доказывает строгое н-во U(x)<V(x) x0<=x<=x0+a. Предположения U’(x)<=f(x,U(x)), U(x)<=V(x) опр на прямоугольнике D+ ф-ю g(x,y) по след правилу: g(x,y)=f(x,y), if y>=U(x), и g(x,y)=f(x,U(x)),ф if y<U(x). g(x,y) непр по совок перем и удовл усл Липшица по 2-й перем, с той-же пост, что и f(x,y). Введём в рассмотрение ф-ю W(z), как реш нач зад W’(x)=g(x,W(x)), x0<=x=x0+a (7).W(x0)=y0 (8). Ф-я V(x)  и опр-ся единственным образом. Н-но пок-ть, что U(x)<=W(x), x0<=x=x0+a (9). U(x0)<=y0<=V(x0). Предп, что (9) не вып-ся на всём [x0, x0+a], т.е. х1, для кот U(x1)>W(x1) между х0 и х1, х* в котор U(x*)<W(x*). Ограничимся теперь рассмотрением отрезка [x*, x1] на этом отрезке. W(x)<U(x). Введём в рассморение ф-ю (х)=U(x)-W(x)>0, x(x*,x1]. ’(x)=U’(x)-W’(x)<=f(x,U(x))-g(x,W(x))=f(x,U(x))-f(x,U(x))=0. Т.о. ’(x)<=0 => ф-я (х) невозр, поэтому (x)<=0. Получили против. Знач верно (9). Ф-я g(x,W(x)) при условии W(x)<U(x)) совпадает по построению с f(x,W(x)). Поэтому W’(x)=f(x,W(x)) (10).

W(x0)=y0 (11). По теореме Коши – Липшица ф-ии W(x) и V(x) совпадают на x0<=x<=x0+a => U(x)<=V(x). Теоремка док-на!!!

2:) Лемма о линейных дифференциальных нерав-ах.

 a(x) и b(x) непр и опр на x0<=x<=x0+a. Пусть диффер ф-я U(x) удовл н-ву: U’(x)<=a(x)U(x)+b(x) (12), U(x0)<=y0 (13). Тогда справедлива оценка:

Д-во: Определим ф-ю f(x,y)<=a(x)y+b(x). Эта ф-я непрерывна и удовл условию Липшица по 2-й переменной: f(x,y)/y=a(x), |a(x)|<=L, т.к. a(x)-непр. Обозн через G(x) реш нач зад, V’(x)=a(x)V(x)+b(x), x0<=x<=x0+a (15), V(x0)=y0 (16), в этом случ вып-ны все усл теор Чаплыгина о диф нер-ах, поэтому: U(x)<=V(x) на [x0;x0+a], и тем самым н-во (14) д-но. Предп теперь, что a(x)<=a, b(x)<=b. Н-во прин вид: U’(x)<=aU(x)+b (17). U(x0)<=y0 (18) и для U(x) справ-ва оценка: U(x)<=y0*ea(x-x0)+b/a*(ea(x-x0)-1) (19)

Предп, что на D+ определена ф-я f(x,y) непр по совок перем, удовл усл Липшица по втор перем, и не возр по 2-й перем, т.е. f(x,u)<=f(x,V), if U<=V. Пусть непр ф-я U(x) удовл инт н-ву: U(x)<=y0+(x0..x)f(s,U(s))ds (20), x0<=x<=x0+a. Пусть непр ф-я V(x) явл реш V(x)=y0+(x0..x)f(s,V(s))ds (21), V(x0)=y0 (22), тогда ф-я U(x)<=V(x), x0<=x<=x0+a.

Д-во: Обозначим через W(x) правую чать неравенства (20). W(x)=y0+(x0..x)f(s,U(s))ds, => U(x)<=W(x). Т.к. U(x) явл решением (21), то она удовл диф ур-ю: W(x)=f(x,U(x)), т.к. U(x)<=W(x), и ф-я f не возр по втор перем: V’(x)<=f(x,W(x)), функц W(x) удовл дифуре: W’(x)=f(x,U(x)) – вып все усл теор Чаплыгина о диф нер-ах => V(x)<=W(x) на x0<=x<=x0+a.

4:) Лемма Беллмана о лин. интегр. нер-ах.

Пусть a(x), b(x) непр на [x0;x0+a] и пусть a(x)>=0, и пусть ф-я U(x)<= y0+(x0..x)f(s,U(s))ds (23), тогда спр-во и др н-во:

Д-во: определим функцию f(x,y)a(x)y+b(x). Она непр и удовл усл Липш и невозр по втор перем. f(x,y)/ya(x)>=0. Опр ф-ю, как реш ур-я V(x)=y0+(x0..x)(a(s)V(s)+b(s))ds (25), V(x0)=y0. По теореме Райда, U(x)<=V(x), и V’(x)=a(x)V(x)+b(x) (26), V(x0)=y0 (27). Решение нач зад (26)-(27) определяется ф-ой V(x)=x0*e(x0..x)a()d+(x0..x)e(s..x)a()d*b(s)ds, что и доказ лемму.

Если a(x)<=a>=0, b(x)<=b, тогда U(x)<=y0+(x0..x)(aU(s)+b)ds (29) и спр оценка сверху U(x)<=y*ea(x-x0)+b/a*(ea(x-x0)-1) (30)

1)Хар мн-н и мет Эйлера

2)Комплексная теорема об общем решении

3)Выделение вещественного решения из комплексного

4)Вещ теор об общ реш.

1:) Хар мн-н и мет Эйлера

y(n)+a1y(n-1)+...+any=0 (1) – лин диф ур-е n-го порядка; a1,a2,...,anR или С. Из нелок теор -я ед-ти, для нач усл вида y(x0)=y0,...,y(n-1)(x0)=y0(n-1). Ур-е (1) имеет ед реш, и это реш определено на всей числовой прямой. y=ex (2), буд искать реш-я (1) в таком виде, где  подлежит определению. y=ex, y’=ex, y(n)=nex; (n+a1n-1+...+an)ex=0, ex0. n+a1n-1+...+an=0 (3). Решение вида (2) -ет тогда и только тогда, когда -ют корни (3). Это уравнение называется характеристическим, а его корни наз-ся характеристическими корнями, а мн-н характеристическим. Согласно основной теореме алгебры, мн-н n-ой степени имеет n-корней, считая кажд корень столько раз, какова его кратность. 1,...,n. (4). Каждый из корней даёт решение (1). e1x,..., enx (5). If все корни простые, то в (5) запис n-разл реш-ий (1). Если корни кратные, то в (5) будут повторяющиеся решения, и напис решений будет недостаточно.

2:) Теорема об общем комплексном решении:

Пусть хар-е корни (4) попарно – различны, т.е. все корни являются простыми: y=c1e1x+...+cnenx, где ci – произв компл числа для i=1..n.

Д-во: Н-но д-ть, что ф-ии (5) образ фунд сист, т.е. что ф-ии (5) лин.-нез. Посчитаем вронскиант (5):(от меня: Л=): (7)

=>(5) явл фунд. Теор д-на

3:) Выделение вещественного решения из комплексного.

Пусть зад (1), когда a1,...,anR. If -корень (3), =+i, то -=- i так-же корень этого ур-я. 2j-1=j+ij, 2j=j-ij,j=1,..,k (8). Т.о. охватывается 2k-корней, остальные вещественные: 2k+1,...,nR. Полученные вещ реш ур-я (1). Выдел вещ реш-я из компл: y2j-1(x)= e(2j-1)x; y2j-1(x)= e(2j)x; y2k+1(x)= e(2k+1)x; yn=enx; (9). y=c1y1(x)+c2y2(x)+...+c2k-1y2k-1(x)+c2ky2k(x)+ c2k+1y2k+1(x)+..+cnyn(x)(=) (10). Ф-я вида (10), получ из (9), явл вещ тогда и только тогда, когда произв пост при компл-сопряж реш-ях комплексно сопряжены, а при веществ – нет.с-1=с2;...; с-2k-1= с2k; с-2k+1= с2k+1­; с-n= сn. (11). y(x)=y-(x). Если (10) даёт вещ реш (???), то (=)c-1y-1(x)+c-2y-2(x)+...+ c-2k-1y-2k-1(x)+ c-2ky-2k(x)+ c-2k+1y-2k+1(x)+...= c-1y2(x)+c-2y1(x)+...+c-2k-1y2k(x)+c-2ky2k-1(x)+c2k+1y2k+1(x)+... Чтобы y(x)=y-(x), н. и д., чтобы совп коэф, т.е. вып-сь (11).

4:)Вещ теор об общ реш:

Пусть (1) имеет вещ коэф. Пусть корни хар уравнения занумер так, как указ в (8).Тогда общее вещественное решение (1) имеет вид: у=e(1)x(a1*cos 1x+b1sin 1x)+...+ e(k)x(ak*cos kx+bksin kx)+c2k+1e(2k+1)x+...+ cne(n)x (13). a1,...,an,b1,...,bn­­,c2k+1,...,c2nR.( От себя: (k)x=kx, c-=c(с чертой) и т.п.)

Другая форма записи:

=+i. C=Ѕei

cex+ c-e(c чертой)x=excos(x+) (14)

Пусть коэф (1) явл вещ числами. Пусть корни хар ур-я явл простыми и занум, как в (8). Тогда общ вещ реш-е (1) м-но записать в виде: y=1e(1)xcos(1x+1)+...+ke(k)xcos(kx+k)+c2k+1e(2k+1)x+cne(n)x (15)

0<1,..,kR; 1,..,kR; c2k+1,...,cnR

1)Хар ур-е и мет Лагранжа

2)Ф-ла смещения

3)Теор об общ компл реш-ии

4)Теор об общ вещ реш-ии

1:)Хар ур-е и мет Лагранжа

Рассмотрим ЛОДУ n-го порядка с пост коэф: y(n)+a1y(n-1)+...+any=0 (1). a1,...,anR или C. Сопост этому ур-ю хар ур-е: L()=n+a1n-1+...+an=0 (2). По осн теор алгебры мн-н имеет n-корней, если кажд корень считать столько раз, какова его кратность. 1,...,n; k1+...+ks=n (3). k1,..,ks-кратность. L()=(-1)k1(-2)k2... (-s)ks­­­ (4). Рассм след сист ф-ий: y1(x)=e[1]x; y2(x)=xe[1]x;...; yk[1](x)=xk[1]-1e[1]x; yk[1]+1(x)=e[2]x;...; yk[1]+k[2](x)=xk[2]-1e[2]x;...; yk[1]+...+k[s-1]+1(x)=e[s]x; yk[1]+...+k[s-1]+2(x)=xe[s]x; yn(x)=x[s]-1e[s]x. (5) Это лин-нез решения. Их n штук. Идея Лагранжа: (e(+)x-ex)/xex.

2:)Ф-ла смещения.

Пусть p=d/dx;Это дифференциальный оператор. Тогда (1) прин вид: L(p)y=0 (6)  dn/dxn+a1(dn-1/dxn-1)+...+an. L(p){exf(x)}= exf(x)L(p+) (7).

L(p)=ap+b. L(p){exf(x)}=a*(d/dx)f(x)exf(x)+bexf(x)=a(exf(x))+exf(x)*(d/dx)+bexf(x)=

=ex{apf(x)+af(x)+bf(x)}=exf(x){a(p+)+b}=exf(x)L(p+);

L(p)=M(p)N(p)

L(p){exf(x)}=(M(p)N(p)){exf(x)}=M(p)(N(p){exf(x)})=

=M(p){exf(x)N(p+)}=exM(p+){N(p+)f(x)}=exf(x)(M(p+)N(p+))=

=exf(x)L(p+); j(x)=exxj; j=0,1,...,k-1 (8).

Докажем, что кажд из ф-ий в (8) явл реш-ем (1). L(p)=M(p)(p-)k; L(p)(x)=L(p){exxj}=exxjL(p+)(=) использовалась формула смещения (=)exxjM(p+)pk=0, т.к. pkxj=0. pkxj=0, if k>j; pkxj=k!, if k=j; pkxj=j(j-1)...(j-k+1)xj- k,if k<j (9). (5) является решением (1). L(p)j(x)=0, при x=x0, j=0,1,...,k-1 (10).(???)

L(p)1(x)=exL(p+)1(x)=exM(p+)plj(x)=0, x=x0, ex00. Рассмотрим l>=k, тогда м-но взять ф-ю l(), тогда pll(x)=l! и M(p+)l!=0. Пусть p=0, тогда M()0.

3:)Теор об общ компл реш-ии

В уравнении (1) общее комплексное решение имеет вид: c1y1(x)+...+cnyn(x) (11), где c1,...,cnC-произв, а у1,...,уn приведены в (5). e[1]xf1(x)+e[2]xf2(x)+...+e[s]xfs(x), ( От себя: Л= в матрице)

Это означает, что между строками определителя  лин зав-ть. Умнож каждый столбец на (bn-1,bn-2,...,b0) (От себя: эту строку надо записать как столбец). M(p)=b0pn-1+b1pn-2+...+bn. M(p)yj(x)=0, при x=x0 (13). M(p)=j(x), при x=x0=0; j=0,1,...,kj-1; =j.

1 является корнем M(p), кратности k1;

.................

s является корнем M(p), кратности ks; => кратн n-1, => k1+...+ks=n, а этого быть не может.

4:)Теор об общ вещ реш-ии

Если коэффициенты вещественные, то если есть корни =+i; -=-i, 0 кратн k. Компл корню  кратности k отвечает группа решений: ex(a1cos x+b1sin x+x(a2cos x+b2sin x)+...+xk-1(akcos x+bksin x)); a1,..,an,b1,...,bnR.

ex(1cos(x+1)+x2cos(x+2)+...+xk-1kcos(x+k); 1,...,k>0; 1,...,n-const.(15)

Если же корень R, то ему отвечает группа решений след вида: ex(c1+c2x+...+ckxk-1) (16). Для того, комплексные решения давали вещественное необх и дост, чтобы при компл произв пост были компл сопряжены, а при вещ – вещественно.

Лекция 8

Линейные однородные диф-уры 1го пор-ка с перем. коэф.

1.Нелокальная Th я и единств нач. задачи. Понятие дифер. опер-ра.

Лин. однородн. ДУ n-го пор-ка с перем коэф наз-ся ур-е след вида :

y­­(n)+a1(x)y­­(n-1)+..+an(x)y=0 (1)

Ф-ии a1(x)…an(x) опр-ны и непр-ны на одном и том-же интрвале (a;b) Ур-е (1) наз-ся приведенным если при старшей произвв стоит 1. Решением ДУ (1) наз n hfp непрерывная диффер. фун-ия y(x) кот в кажд. (.) (a,b) удовл. однор. ур-ю (1) Общ. реш. однородн. ур-я (1) зависит от n произв. постоянных. Для того чтоб выделить 1 частное реш-е необх задать n штук нач. условий

Пусть х0  (a,b)

g(x­0)=y0 y(x0)=y0… y(n-1)­­(x0)=y0n

услов. отлич-ся от нач-го наз-ся краевым

Для нач. задачи (1)-(2) спр-ва нелокальная Th: если ф-ии a1(x)…an(x) непр в (a,b), то в нач. задаче (1)-(2)  единств. реш-е и его можно считать опр-ым на (a,b). Из этой Th =>ет однор. ур-е (1) всегда имеет нулевое реш-е кот удовл. нулевым начальным условиям y(x0)=0 y(n)(x0)=0

Спр-во и обратное: если какое-либо реш-е (1) удовл. нул. нач усл то это реш-е есть тождественный ноль.

Реш-е однор ур-я (1) обл. след. св-ми : 1)  реш-ий онор. ур-я есть снова реш- однор ур-я

2)  реш-е (1) умнож на const это тоже реш-е однор ур-я обозн. через с(n)(a,b) совок. всех n-раз непр. дифер ф-ий. Через с(a,b) – пространство непр-ых фун-ий. Обозн через L[y](x)=y(n)-a1(x)y(n-1)+..+any (3)

L перевод. с(n)(a,b) в с(n)(a,b)

(с(n)—L C(a,b))

L[y] наз лин. дифер опер-ом n-го пор-ка. Оперор L обл. след св-ми:

1. L[y+z]=L[y]+L[z] аддитивность(4)

2. L[cy]=cL[y] (5) однородность (5)

Исп. св-ва (4)-(5) диф. опер-ра докажем св-во реш-я однор ур-я (1)

1.Пусть y(x) и z(x) 2 реш-я ур (1)

Покаж что у(х)+z(x) так-же реш-е L[y+z]=L[y](x)+L[z](x)=1

L[y]=L[z]=0 => L[y+z]=0

2.Пусть y(х) реш-е ур-я (1) L[y]=0 L[cy]=cL[y]=0 ч.т.д.

2. Лин. зав-ть Матрица Вронского

П. зад. система ф-ий

y1(x)…yk(x) (6)

Гов-т что такая система ф-ий явл. лин. независ-ой если  набор чисел  с1…сk среди котор не все =0 и лин комб.

с1y(x)+..+ckyk(x)=0 x  (a,b) (7)

если из (7) вытекает что все числа c1…ck=0, то (6) наз лин независ. Предп. далее что кажд. ф-я в (6) имеет произв. до (n-1) пор-ка включительно. Сост. матрицу след. вида (8).

W(x)=|Y(x)|(9)

Матр. Y(x) наз матрицей Вронского. Опредилитель такой матр. наз опр-ем Вронского.

Утв. 1: если ф-ии в системе (6) явл. лин. завис. и при этом k=n то матр. Вронского явл. вырожденной при х или столбцы этой матр. лин. завис.

Док-во

 с1…сn : с1y1(x)+c2y2+..+cnyn(X)=0 (10)

продиф. (10) n-1 раз

система из (n-1) ур-й:

c1y1’(x)+…+cnyn’(x)=0

c1y1(n-1)(x)+…+cnyn(n-1)(x)=0

Последние соотн. можно переписать иначе:

( строки переписать в столбцы)

c1(y1(x),y1’(x)..y1(n-1)(x))+… +c1(yn(x),yn’(x)..yn(n-1)(x))+=0 (11)

Соотн. (4) и доказ. лин. завис столбцов матр Вронского

3 Фунд. система решений

Расм системк из n реш-ий однор ур-я (1)

y(x1) y2(x)…yn(x) (12)

Такая система ф-ий наз. фунд. если это ф-ии лин. независ между собой. Эти ф-ии реш-е однор. ур-я 2) Их обязат. n штук 3)Лин. независ. они

Докаж что фун. сист реш-ий ет. Выберем произв. квадратичную невыраженную матр.

Определим ф-ии y1(x)…yn(x), так что y1(х0)=y01 yn(x0)=y0n

y1(х0)=y01

y(n-1)1(x0)=y0(n-1)1

По нелокальной Th эти ф-ии  и они лин независ т.к. в противном случае столбцы матр. Y(x) буд. лин. завис между собой, что противоречит предп. что Y0

Пришли к противореч. ЧТД

Утв2: Если ф-ии в сист (12) лин. независ , то опр Вронского ни в одной точке не обр. в 0. Для произв. сист. ф-ий это утв. неверно.

Д-во Пусть ф-я y1(x)…yn(x) лин. независ , но  х0(a,b) котор W(x0)=0.Тогда можно зап-ть след сист.  c1…cn:

система из (n-1) ур-й (14):

c1y1(x0)+…+cnyn(x0)=0

c1y1’(x0)+…+cnyn’(x0)=0

……………………………………………………

c1y1(n-1)(x)+…+cnyn(n-1)(x)=0

Эта сист. для нах-я констант т.к. они явл. неизв. обознач. через с1,с2…сn реш-е системы (14) это реш-е ненулевое и оно , т.к. определитем этой системы явл. опред-ль Вронского

y0 (x)=c01y1(x)+c02y(x)+…+c0nyn(x) (16)

Если нач. усл. для этой ф-ии y0 (x0)=0 y(x0)=0 y(n-1)(x0)=0

y(x0)0 (*)  c01y1(x)+…+c0nyn(x)0 (16)

По сл-ю из нелокальной Th ф-я котор удовл нул нач есть тожд 0 т.е. (*) что противоречит лин зав ф-ии y1…yn ЧТД

4 Th об общем решении :

Пусть y1…yn это фунд сист реш-ий однородн ур-я (1) Тогда  реш-е этого ур-я можно предст. в виде лин комб.:

y(x)= c1y1(x)+…+cnyn(x) (17) в котор с1...сn однозначно опр-ся выбором реш-ий y1(x)..yn(x)

Д-во

 комб. реш-я однор ур-я это есть реш-е однородн ур-я =>  из реш-ий представимо ввиде:

Пусть x0 нек. точка из (a,b) Рвссмотр. сист лин неоднородн ур-ий след вида:

c1y1(x0)+…+cnyn(x0)=y(x0)

c1y1’(x0)+…+cnyn’(x0)=y’(x0)

……………………………………………………

c1y1(n-1)(x)+…+cnyn(n-1)(x)=y(n-1)(x0)

Определителем этой системы явл W(x0)<>0 Сист (18) имеет нек решение :  1…n по этим числам можно сост-ть ф-ю

y0 (x)=c01y1(x)+c02y(x)+…+c0nyn(x) (19) и нетрудно заметить что нач. усл. для Y(х) и для y0(x) cовпад.Между собой.

Тогда 2 ф-ии удовл. одним и тем-же нач усл. по Th единственности совпад всюду

y(x)y0(x) ЧТД

Лекция 4

1 Лин диф ур.

х=a(t)x+b(t) – ур-е такого вида наз ЛДУ

a(t) и b(t) непр в инт-ле (a,b) Нужно найти такое реш-е t0: (2) x(t0)=x0 t0(a,b)

x=a(t), b(t)0 (3) однор ур-е

dx/dt=a(t)x; dx/x=a(t)dt ∫dx/x=∫a(t)dt

ln|x|=ln|c|+(t0,t)∫a(s)ds

|x|=|c|e^((t0,t)∫a(s)ds)- реш-е сохр знак!

x=ce^((t0,t)∫a(s)ds) (4)! сR

Т.к. при с=0 x(t)=o то (4) дает общ решен. однородн ур-я(3)

x(t)=x0e^((t0,t)∫a(s)ds)) (5)!

Ур-е вида (1) наз неоднордн а (2) это однор, соотв неоднор вида(1)

Метод Лагранжа реш ур-я (1) вариаций произвольной постоянной.

Реш ур-я (1) ищется в виде (4) где С- не конст а некот ф-я (вариируем произв. пост. С)

x=c(t)e^((t0,t)∫a(s)ds)) (6)

c(t)e^((t0,t)∫a(s)ds))+a(t)c(t)e^((t0,t)∫a(s)ds))a(t)c(t)e^((t0,t)∫a(s)ds))+b(t)

c(t)= (e^(-(t0,t)∫a(s)ds)))b(t)

c(t)=c+(t0,t)∫(e^(-(t0,)∫a()d)))b(s)ds

x=ce^((t0,)∫a()d)+(t0,t)∫e^[((t0,t)∫a()de^((t0,)∫a()d)]b(s)d(s)

(t0,t)∫-(t0,)∫=(t0,)∫+(,t)∫-(t0,)∫=(,t)∫

Общий вид фор-лы реш (1)

x=e^((t0,t)∫a(s)ds)+ (t0,t)∫e^((t0,)∫a()d)b(s)ds (7)-реш-е(1)

x=x0e^(t0,t)∫a()d+(t0,t)∫e^((t0,)∫a()d)b(s)ds (8)-реш-е(2)

Проанализир. структуру ф-лы (7)

В(7) перв. слаг это общ реш однородн. ур-я а второе слаг это частн реш-е неоднор ур-я (1)

Т.о. общ реш неоднородн ур-я складов. из общего реш соотв однородного ур-я и частного реш неоднородного ур-я

Одно из немногих ур-ий котор м.б. проинтегрировано.

ДУ м.б. проинт. если его общ реш-е можно представить через элементар. ф-ии и операции интегрир

ДУ бернули наз ур-е вида

x=a(t)x+b(t)x^ (9)

a(t) и b(t) непр на (a,b) -конст

если =0 то получ ЛНДУ(не однор)

если =1 то получ ЛОДУ (однор)

x/x^=a(t)(x/x^)+b(t);

(d/dt)(x^(1-))=(1-)(1/x^)x

(1-)(x/x^)=(1-)a(t)x^(1-)+(1-)b(t)

(d/dt)(x^(1-))=(1-)a(t)x^(1-)+b(t)(1-)

y:=x^(1-) (10)

y=(1-)a(t)y+b(t)(1-) (11)

Для новой перем у соотв ДУ явл неоднор

Согластно ф-ле (7)

y=ce^[(1-)((t0,t)∫a()d)]+ (t0,t)∫e^[(1-)((t0,)∫a()d)d]b(s)

x=y^(1/(1-))

(12) x={ce^[(1-)((t0,t)∫a()d)]+ (1-)(t0,t)∫e^[(1-)((t0,)∫a()d)d}b()}

Далее для реш нач задачи из этой или (8) ф-лы

x(t)={(x0^(1-))e^[(1-)(t0,t)∫a()d]+(1-)(t0,t)∫e^[(1-)(,t)∫a()d]b(s)ds}^1/(1-) (13)

4 Ур-е Риккати и рез-т Лиувилля

x=a(t)x^2+b(t)x+c(t) (14)- ДУ Риккати

Она не интегрир. (в квадратурах) этот факт был доказан Лиувиллем {кто ему такую фамилию придумал? Блин убил бы!!!}

a0x^n+a1x^(n-1)+…+an=0

n=2 квадр. ур-е

n=3 ф-лы Корделло

n=4 сведение к кубич ур-ю

если n>=5 то не общ ф-лы реш-я такого ур-я

Рассмотр. 914) тогда его коэф –конст.

x=ax^2+bx+c (15) a,b,c-const

D=b^2-4ac

1.Пусть D>0 тогда кв ур-е имеет 2 корня

ax^2+bx+c=0

x+_=(-b+_sqrt(D))/2a

если a>0 то кривульки напр. вверх

2.D=0 x+=x-

3.D<0 то  2 компл. корня а кв ур в 0 не обращ-ся

Ликция 9

Лин однородные диф-уры n-го пор-ка с перем коэф.

y+p(x)y+g(x)y=0

фор-лы для реш-я этого ур-я не

x(d2y/dx^2)+dy/dx+xy=0 – ур-е Бесселя

d^2y/dx^2+(1/x)(dy/dx)+y=0 x<>0

Одно из решений ур-ий Бесселя имеет вид:

y=1-x^2/2^2+x^4/((2^4)(4^2))+…+(-1)^n(x^2n/[(2^2)(4^2)…(2n)^2]+2*4*...2n=(2n)!!

1.Опр-ель Вронского и фор-ла Лиувилля

Рассм ЛДУ 1-го пор-ка с перем коэф:

y(n)+a1(x)y(n-1)+…+an(x)y=0 (1)

где (a1…an)(x) непр на нек (a,b) числ прямой

Выпишем какую-либо систему этих решений из ур

y1(x),y2(x)…yn(x) (2) и состав опред. (3) W(x)=

опр-ль Вронского или вронскиант.

Для опр-ля Вронского имеет место след ф-ла W(x)=e^[-(x0,x)∫a1(s)ds]W(x0)

Д-во:

Правило: Производная опр-ля  n-опр-ей в 1ом из котор продифер эл-ты 1 строки а ост. без изм. во 2м опр продиф эл-ты 2ой строки а ост без измен и т.д. до n-го пор-ка

{(то что в | | таких скобках это столбцы)}

|b1,b2..bn|=|b1,b2,…bn|+|b1,b2…+bn|+…+|b1,b2,…bn|

возм. y(x)(y1(x)…yn(x))=>

y(x)=(y1(x),… yn(x))

y(n)(x)=(y(n)1…y(n)n)

{||-столбцы!!!!}

y(n)(x)+a1(x)y(n-1)+…+an(x)y(x)=0

y(n)(x)=a1(x)y(n-1)(x)-…-an(x)y(x)

W(x)=|y(x),y(x),y(x)…(-a1(x) y(n-1)(x)-an(x)y(x)|=|y(x),y(x)...-a(x) y(n-1)(x)|+|y(x),y(x),y(x),…-a2(x) y(n-2) (x)|+…+|y(x)…-an(x) y(x)|=-a(x)|y(x)…y(n-1)(x)|-…-an(x)|y(x)…y(x)|

W(x)= -a(x)W(x) (5)

Интегрир (5) придем к (4)

W(x)=e^(-(1,x)∫(1/s)ds); W(x0)=(1/x)W(x0)

2 Восстановлен диф-уры по известн фунд-ой системе

y1(x)…yn(x) (6)- система n-раз непр. диф-ых ф-ии , опред. Вронского которой W(x)<>0 на a<x<b (7)

Треб. построить диф ур-е, фунд сист совп бы с (6)

Ответ дается след обр:

(8)

Тоже опр-ль Вронского, но для W{y1(x)…yn(x),y}<>0

Если раскрыть напис здесь опр-ль n+1 порядка по эл-ам

n+1 стороки, то мы перейдем к диф-ю 1-го пор-ка W(x)y(n)+…=0

3 Понижение пор-ка ур-я при известных частн реш-ях

Рассмотр ДУ(1) и предп. что имеет частное реш-е y0(x)<>0

a<x<b (10)

Введем замену y=y0(x)U (11)

y=y0(x)U+y0(x)U

y=y0(x)U+2y0(x)U+y0(x)U…

y(n)= y0(n)(x)U+Cn y0(n-1)+…+y0(x)U(n)

Помножив соответственно на an(x), an-1(x)…a1(x),1

И сложим почленно:

{y0(n)(x)+a1(x)y(n-1)0 (x) +…+an(x)y0(x)0}

y0(x)U(n)+…(что-то)..+U(n-1)+..+( y0(n)(x)+a1(x)y(n-1)0 (x) +…+an(x)y0(x))U0

Введем замену z=U (12)

z(n-1)+b1(x) z(n-2)+…+bn-1(x)z=0 (13)

Порядок понизился на 1 и стал n-1

если известн. k реш-ий, то можно получить понижение на к и получить ф-лу n-k

y(x)=y0(x)(x0,x)∫z(s)ds (14)

Связь реш-я (1) с реш-ем (13) Выделенное реш-е это не y0 а yn

Предположение: Пусть : z1(x)…zn-1(x) фунд сист реш-ий однор ур-я (13) Тогда ф-ии {y1(x)yn(x)(x0,x)∫z1(s)ds, y2(x)yn(x)(x0,x)∫z2(s)ds,…., yn-1(x)yn(x)(x0,x)∫zn-1(s)ds

yn(x)} (16)

пусть нек лин ком-я ф-ий сист (16)

равна нулю, т.е.  C1…Cn-1,Cn

C1y1(x)+…Cn-1yn-1(x)+Cnyn(x)0

yn(x)(c+(x0,x)∫z1(s)ds+…+cn-1(x0,x)∫zn-1(s)ds+cn=0

По усл уn(x)<>0 => на нее можно сократить и продиф остав. выр-е:

c1z1(x)+…+cn-1zn-1(x)=0 => c1=…=cn-1=0 =>

cnyn(x)=0 => cn=0 т.к. yn(x)<>0

4---------------

y+p(x)y+g(x)y=0 (17)

Пусть z=y/y , y<>0 (18)

y/y+p(x)y/y+g(x)=0 y=zx y=zy+zy;

z+zy/y+p(x)y/y+g(x)=0 (19)

получидли ур-е Риккати (нелин-е)

5-----------

Если частн. реш-е (17), то после понижения получ ур-е 1-го пор-ка

y2(x)=y1(x)(x0,x)∫1/(y12(s))e^[-(x0,)∫p()d]ds (20)