Загальні властивості неперервних функцій

Загальні властивості неперервних функцій однакові як для функцій однієї змінної, так і для функцій багатьох змінних.

Теорема 3. (Вейєрштрасса).
Функція , визначена і неперервна в обмеженій замкненій області D, є обмеженою.

Для функції однієї змінної замкненою областю D є сегмент, наприклад, [а, b].

Сформулюємо теорему 3 для функції однієї змінної у = f(х). Функція f(х), неперервна на [а, b], є обмеженою.

Зауваження. Теорема 3 не виконується, якщо область D відкрита. Наприклад, у = неперервна в інтервалі (0, 1), але вона в цьому інтервалі не обмежена.

Теорема 4. (про знак функції).
Якщо функція неперервна в точці А і f(А) ≠ 0, то функція в до­статньо малому околі точки А зберігає знак.

Сформулюємо теорему 4 в термінах функції однієї змінної:

якщо функція у = f (х) неперервна в точці а і f(а) ≠ 0, то функція в достатньо малому околі точки а зберігає знак.

Дійсно, нехай , наприклад, f(а) > 0. Покажемо, що для будь-якого > 0 можна знайти таке > 0, що для всіх х (а — , а + ) виконується нерівність f(х) > 0.

Побудуємо -окіл точки а і -окіл точки f(а) (рис. 3.75).

Якщо взяти = min (h1
h2
), то завжди можна побудувати прямокутник із сторонами 2 і 2 такий, що f(х) > 0.

Теорема 5 (про корінь функції).
Якщо функція визначена і неперервна в деякій однозв'язній області D, причому в цій області дві точки А (а1
а2
, ..., аn
) і В (b1,
b2
, ..., bn
), в яких функція набуває значень різних знаків:

f(А) < 0, f(В) > 0,

то в цій області знайдеться принаймні одна точка С, в якій функція перетворюється в нуль, тобто f(С) = 0.

Введемо поняття однозв'язної області. Множина точок простору Е„ називається простою дугою Жордана (простою кривою), якщо цей простір можна дістати в результаті відображення деякого сегмента t0
≤ t ≤ Т за допомогою системи функцій

неперервних на цьому сегменті, причому двом різним значенням параметра t відповідають, дві різні точки.

Якщо точка М0
(, (t0
), ,…, збігається з точкою , то крива називається прос­тою замкненою кривою.

Розглянемо просту криву, задану рівняннями

х = х(t), y = y(t) (5.18)

на площині. Якщо будь-які дві точки області, розміщеної на площи­ні, можна сполучити простою кривою, яка міститься в цій області, то область називається зв'язною. Для утворення однозв'язної обла­сті необхідно розглядати замкнену криву (5.18).

Якщо побудувати просту замкнену криву (5.18) на площині, то площина розіб'ється на дві області — внутрішню і зовнішню.

Область D на площині називається однозв'язною, якщо будь-яка область внутрішня відносно простої довільної замкненої кривої, яка міститься в D, також міститься в D. На рис. 3.76 області а і б однозв'язні, а область в — неоднозв'язна. Поняття зв'язної і однозв'язної областей по

Для функції однієї змінної теорема 5 формулюється таким чи­ном: якщо у = f(х) неперервна на [а, b] і на кінцях сегмента на­буває значень різних знаків, то всередині сегмента знайдеться принаймні одна точка така, що f () = 0.

Точка називається коренем (нулем) функції f(х), а сформульована теорема називається теоремою про корінь (про нуль).

На рис. б — три корені, а на рис., a — один.

Теорема
6
(про
проміжне
значення)
. Якщо функція неперервна в зв'язній області D (відкритій або замкненій) і набуває різних значень у точках М1
і М2
, то яким би не було число С, що міститься між значеннями f(М1
) і f(М2
), існує принаймні одна така точка М3
, яка лежить всередині D, що

f(М3
) = С

Сформулюємо теорему 6 для функції однієї змінної:

якщо у = f(х) неперервна у проміжку і набуває різних значень у двох точках а і b сегмента [а, b] f(a) = А і f(b) = В, то для будь-якого С, що лежить між А і В, А < С < В, всередині сегмента знайдеться принаймні одна така точка , що С = f().

Доведення. Нехай А < В і А < С < В (рис. 3.78). Побудуємо функцію Н (х) = f(х) - С.

Для цієї функції

Функція Н(х) неперервна на [а, b] як різниця двох неперервних функцій f(х) і сталої (х)= С. Отже, до функції Н(х) застосована теорема про корінь. Тоді на [а, b] існує точка така, що Н() = 0, тобто

Звідси

що й треба було довести.

Теорема
7 (про
найменше
і найбільше значення
). Якщо функція неперервна в обмеженій замкненій області D, то вона обмежена, тобто всі її значення містяться між двома скінченними числами та і М:

m ≤ f(X) ≤ M.

Числа т
і М називаються найменшим і найбільшим значен­нями функції. При цьому в області D знайдеться принаймні одна точка Х1
D, в якій функція f(X1
) набуває найменшого значення f(Х1
) = т
; і принаймні одна точка Х2
D, в якій функція набуває найбільшого значення f(Х2
) = М.

Сформулюємо теорему 7 для функції однієї змінної:

якщо функція у = f(х) неперервна на [а, b], то вона обмеже­на, тобто всі її значення містяться між. двома скінченними чи­слами т
і М, які називаються найменшим і найбільшим значен­нями функції на сегменті [а, b].

m ≤ f(x) ≤ M.

На рис. зображена неперервна на [а, b] функція, у якої є точки і такі, що

і одна точка х2
, в якій f(х2
) = М.

Теорема 8
(Кантора).
Якщо функція неперервна в обмеженій замкнутій області D, то вона рівномірно неперервна в D.

Теорему наводимо без доведення.