Содержание:
Введение
1. Спектральный анализ и спектральный синтез периодических сигналов
1.1 Синтез периодических сигналов
1.2 Анализ периодических сигналов
2.Численные методы расчетов спектральных и временных характеристик периодических сигналов
2.1 Численные методы расчетов временных характеристик
2.2.Численные методы расчетов частотных характеристик
Выводы
Литература
Введение:
Известно , что периодическое несинусоидальное колебание можно представить бесконечным тригонометрическим рядом Фурье, который в общем случае содержит постоянную и гармонические составляющие .
Часто используется следующая форма математической записи ряда Фурье:
где f(t)-функция, раскладываемая в ряд, , а - частота следования импульсов.
Коэффициенты ряда определяются следующими выражениями:
(1)
где =1,2,3…M
соответственно функции(1.2),(1.3),(1.4)
Здесь А - постоянная составляющая , An
и Bn -
амплитуды косинусной и синусной составляющих, Т- период повторения сигнала , М- число гармоник,
n – номер гармоник. Ряд (1) можно преобразовать к более удобному виду:
(2)
Здесь -постоянная составляющая, -амплитуда n-ой гармоники,-фаза n-ой гармоники. Формула (2.1) используется при спектральном анализе и синтезе периодических сигналов.
1.Спектральный анализ и спектральный синтез периодических сигналов
1.1.
СПЕКТРАЛЬНЫЙ СИНТЕЗ ПЕРИОДИЧЕСКИХ СИГНАЛОВ:
Сигнал задан в виде набора спектральных составляющих: Cn
– амплитуда,- частота,
начальная фаза n- ой гармоники. Здесь n=1,2,…,M- номер гармоники , M- число гармоник в спектре сигналов. Требуется осуществить синтез сигнала U(t) и построить его временную диаграмму. Задача синтеза сигнала заключается в расчёте временной функции сигнала U(t) по известному спектру сигнала. При этом спектр сигнала задан в виде таблицы амплитуд, частот и фаз гармоник. Задача синтеза сигнала решается путём расчёта значений функции во временной области U
(t)
Численный синтез осуществляется путём расчёта отсчетов сигнала через равные интервалы времени и построения временной диаграммы сигнала. При этом интервал времени между соседними отсчётами называют интервалом дискретизации.
1.2СПЕКТРАЛЬНЫЙ АНАЛИЗ ПЕРИОДИЧЕСКИХ СИГНАЛОВ:
Задача анализа сигнала заключается в расчёте его спектра, т.е. амплитуд, частот, фаз и гармоник. При этом сигнал задан в виде функции времени U(t) . Задача анализа решается путём расчёта амплитудно-частотных Cn
=f(w)
и фазочастотных =f(w) характеристик.
Сигнал задан в виде функции времени U(t) , повторяющийся с периодом Т. Требуется выполнить спектральный анализ сигнала и построить графики амплитудного и фазового спектров сигнала.
2.Численные методы расчетов спектральных и временных характеристик периодических сигналов
Для расчета спектральных и временных характеристик периодического сигнала используем численные методы, чтобы упростить и автоматизировать задачу
Дан сигнал:
Дана таблица параметров данного сигнала
| U, mv |
M |
t0,mks |
T,mks |
r |
| 2.8 |
10 |
459 |
1499 |
2 |
U(t) – функция времени, описывающая сигнал;
M – число учитываемых гармоник;
U- амплитуда;
T - текущее время;
t0
– время задержки сигнала;
T – период частоты повторения первой гармоники;
r – постоянный коэффициент
2.1 ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ РАСЧЕТОВВРЕМЕННЫХ ХАРАКТЕРИСТИК
Численный синтез осуществляется путём расчёта отсчётов сигнала через равные интервалы времени и построения временной диаграммы сигнала. При этом интервал времени между соседними отсчётами называют интервалом дискретизации.
Интервал дискретизации Тд вычисляем по формуле ТД
<T/(к * M),где k=5(т. к на периоде наибольшей частоты в спектре сигнала должно размещаться не менее 5 отсчетов)
Интервал времени Тс равен Tmax
и равен 50 т. к k*M=50(k=5,M=10). Исходя из формулы, интервал дискретизации Тд равен Тд=Т/(k*М), Тд=29,98
| M=10 |
K=5 |
t0=459 |
U0=2,8 |
T=1499 |
Исходя из полученных данных, строим таблицу
| t |
u(1) |
u(2) |
u(3) |
u(4) |
u(5) |
u(6) |
u(7) |
u(8) |
u(9) |
u(10) |
SUM |
| 0 |
0,965808 |
0,812595 |
0,549919 |
0,250406 |
-0,00868 |
-0,17017 |
-0,21345 |
-0,15715 |
-0,0481 |
0,058467 |
2,039651 |
| 29,98 |
0,62897 |
0,586654 |
0,507145 |
0,399954 |
0,277617 |
0,15392 |
0,041996 |
-0,04743 |
-0,10736 |
-0,13529 |
2,306171 |
| 59,96 |
0,282224 |
0,278401 |
0,270848 |
0,259749 |
0,245373 |
0,228066 |
0,208243 |
0,186371 |
0,162963 |
0,138557 |
2,260794 |
| 89,94 |
-0,06897 |
-0,06891 |
-0,0688 |
-0,06863 |
-0,06841 |
-0,06814 |
-0,0678 |
-0,06742 |
-0,06698 |
-0,06649 |
-0,68055 |
| 119,92 |
-0,41908 |
-0,40656 |
-0,3822 |
-0,3473 |
-0,3037 |
-0,25369 |
-0,19984 |
-0,14483 |
-0,09131 |
-0,04174 |
-2,59023 |
| 149,9 |
-0,76258 |
-0,68716 |
-0,54975 |
-0,37435 |
-0,19052 |
-0,02729 |
0,092569 |
0,156662 |
0,164662 |
0,127265 |
-2,0505 |
| 179,88 |
-1,09407 |
-0,87135 |
-0,50752 |
-0,1302 |
0,141263 |
0,24343 |
0,188368 |
0,04829 |
-0,08485 |
-0,1436 |
-2,21024 |
| 209,86 |
-1,40832 |
-0,93328 |
-0,27163 |
0,208272 |
0,310962 |
0,118853 |
-0,11591 |
-0,18642 |
-0,07389 |
0,081852 |
-2,26951 |
| 239,84 |
-1,70039 |
-0,86427 |
0,067917 |
0,395863 |
0,123862 |
-0,19872 |
-0,174 |
0,066585 |
0,163896 |
0,024397 |
-2,09487 |
| 269,82 |
-1,96566 |
-0,674 |
0,381545 |
0,296665 |
-0,20536 |
-0,1936 |
0,137477 |
0,145388 |
-0,10145 |
-0,11738 |
-2,29638 |
| 299,8 |
-2,19997 |
-0,38916 |
0,549579 |
-0,01746 |
-0,29895 |
0,125904 |
0,156966 |
-0,15618 |
-0,05536 |
0,146543 |
-2,13808 |
| 329,78 |
-2,39962 |
-0,04971 |
0,507898 |
-0,31893 |
-0,04953 |
0,240959 |
-0,15693 |
-0,04915 |
0,160677 |
-0,09603 |
-2,21036 |
| 359,76 |
-2,56146 |
0,296704 |
0,272408 |
-0,38935 |
0,256724 |
-0,03527 |
-0,13752 |
0,186463 |
-0,11654 |
-0,0067 |
-2,23455 |
| 389,74 |
-2,68295 |
0,601491 |
-0,06703 |
-0,1777 |
0,268408 |
-0,25422 |
0,173972 |
-0,06575 |
-0,036 |
0,105786 |
-2,13401 |
| 419,72 |
-2,76217 |
0,821886 |
-0,38089 |
0,162689 |
-0,02788 |
-0,06035 |
0,115958 |
-0,14595 |
0,155054 |
-0,14735 |
-2,26901 |
| 449,7 |
-2,79788 |
0,926965 |
-0,54941 |
0,385215 |
-0,29218 |
0,231523 |
-0,18834 |
0,155685 |
-0,12988 |
0,108799 |
-2,14949 |
| 479,68 |
-2,7895 |
0,901985 |
-0,50827 |
0,328667 |
-0,22123 |
0,147439 |
-0,09262 |
0,05001 |
-0,01611 |
-0,01109 |
-2,21071 |
| 509,66 |
-2,73717 |
0,75045 |
-0,27319 |
0,034011 |
0,10356 |
-0,17607 |
0,19982 |
-0,1865 |
0,14711 |
-0,09265 |
-2,23063 |
| 539,64 |
-2,64173 |
0,493623 |
0,066146 |
-0,28528 |
0,309524 |
-0,21366 |
0,067854 |
0,064915 |
-0,14127 |
0,146013 |
-2,13387 |
| 569,62 |
-2,50466 |
0,167537 |
0,380238 |
-0,3979 |
0,160339 |
0,095698 |
-0,20823 |
0,1465 |
0,004029 |
-0,11999 |
-2,27643 |
| 599,6 |
-2,32813 |
-0,18206 |
0,549234 |
-0,22225 |
-0,17282 |
0,24966 |
-0,04205 |
-0,15519 |
0,136964 |
0,028721 |
-2,13792 |
| 629,58 |
-2,11493 |
-0,5061 |
0,508647 |
0,11441 |
-0,30768 |
-0,00179 |
0,21344 |
-0,05087 |
-0,15056 |
0,078161 |
-2,21727 |
| 659,56 |
-1,8684 |
-0,75914 |
0,273965 |
0,368187 |
-0,08951 |
-0,25033 |
0,015597 |
0,186538 |
0,024105 |
-0,14254 |
-2,24154 |
| 689,54 |
-1,59244 |
-0,90567 |
-0,06526 |
0,355225 |
0,231368 |
-0,09237 |
-0,21537 |
-0,06408 |
0,124769 |
0,129424 |
-2,0944 |
| 719,52 |
-1,29139 |
-0,92513 |
-0,37958 |
0,084915 |
0,286774 |
0,21559 |
0,011093 |
-0,14705 |
-0,15759 |
-0,04593 |
-2,34829 |
| 749,5 |
-0,96999 |
-0,81478 |
-0,54906 |
-0,24691 |
0,013135 |
0,173461 |
0,213998 |
0,154694 |
0,04382 |
-0,06253 |
-2,04417 |
| 779,48 |
-0,63332 |
-0,59012 |
-0,50902 |
-0,39986 |
-0,27558 |
-0,15034 |
-0,03761 |
0,051727 |
0,110706 |
0,136999 |
-2,29641 |
| 809,46 |
-0,28666 |
-0,28265 |
-0,27474 |
-0,26312 |
-0,24809 |
-0,23001 |
-0,20934 |
-0,18657 |
-0,16226 |
-0,13698 |
-2,28042 |
| 839,44 |
0,064511 |
0,064465 |
0,064374 |
0,064237 |
0,064055 |
0,063828 |
0,063556 |
0,06324 |
0,06288 |
0,062476 |
0,637623 |
| 869,42 |
0,414666 |
0,40254 |
0,378926 |
0,345061 |
0,302703 |
0,25402 |
0,20146 |
0,147599 |
0,094986 |
0,045993 |
2,587955 |
| 899,4 |
0,758288 |
0,684135 |
0,548883 |
0,3759 |
0,194028 |
0,031719 |
-0,08852 |
-0,15419 |
-0,1645 |
-0,12945 |
2,056285 |
| 929,38 |
1,089963 |
0,869742 |
0,509391 |
0,134413 |
-0,13728 |
-0,24209 |
-0,19049 |
-0,05258 |
0,080998 |
0,142529 |
2,204598 |
| 959,36 |
1,404466 |
0,933319 |
0,275519 |
xt-align:center;">-0,20445 |
-0,31107 |
-0,12278 |
0,11213 |
0,186595 |
0,077844 |
-0,07811 |
2,273469 |
| 989,34 |
1,696843 |
0,865945 |
-0,06349 |
-0,3952 |
-0,12794 |
0,195908 |
0,176594 |
-0,0624 |
-0,16428 |
-0,02878 |
2,093202 |
| 1019,32 |
1,962486 |
0,677074 |
-0,37827 |
-0,29964 |
0,201987 |
0,196467 |
-0,13401 |
-0,14814 |
0,097904 |
0,120023 |
2,295876 |
| 1049,3 |
2,197212 |
0,393204 |
-0,54871 |
0,013 |
0,300154 |
-0,12201 |
-0,15999 |
0,153688 |
0,059538 |
-0,146 |
2,140091 |
| 1079,28 |
2,39732 |
0,054166 |
-0,50976 |
0,31622 |
0,053923 |
-0,24236 |
0,153841 |
0,053438 |
-0,1616 |
0,0926 |
2,20779 |
| 1109,26 |
2,55966 |
-0,29247 |
-0,2763 |
0,390349 |
-0,25418 |
0,030848 |
0,14092 |
-0,18662 |
0,113344 |
0,011153 |
2,236711 |
| 1139,24 |
2,681674 |
-0,59807 |
0,062602 |
0,181684 |
-0,27063 |
0,253962 |
-0,17131 |
0,061559 |
0,04034 |
-0,10884 |
2,132964 |
| 1169,22 |
2,761439 |
-0,81976 |
0,377611 |
-0,1586 |
0,023437 |
0,064677 |
-0,11969 |
0,148684 |
-0,1565 |
0,147351 |
2,268639 |
| 1199,2 |
2,797698 |
-0,92643 |
0,548527 |
-0,38399 |
0,290617 |
-0,22963 |
0,186138 |
-0,15318 |
0,127089 |
-0,10574 |
2,151087 |
| 1229,18 |
2,78988 |
-0,90312 |
0,510129 |
-0,33119 |
0,224342 |
-0,15105 |
0,096623 |
-0,05429 |
0,020539 |
0,006639 |
2,2085 |
| 1259,16 |
2,738109 |
-0,75309 |
0,277071 |
-0,03845 |
-0,09934 |
0,172818 |
-0,19811 |
0,186636 |
-0,14906 |
0,096074 |
2,232645 |
| 1289,14 |
2,6432 |
-0,4974 |
-0,06172 |
0,282141 |
-0,30904 |
0,216055 |
-0,07207 |
-0,06072 |
0,138931 |
-0,14655 |
2,132831 |
| 1319,12 |
2,506649 |
-0,17192 |
-0,37695 |
0,398333 |
-0,16414 |
-0,09155 |
0,207044 |
-0,14922 |
0,00043 |
0,117343 |
2,276008 |
| 1349,1 |
2,330606 |
0,177679 |
-0,54835 |
0,225947 |
0,169094 |
-0,25049 |
0,046413 |
0,152669 |
-0,13939 |
-0,02433 |
2,139844 |
| 1379,08 |
2,117845 |
0,502351 |
-0,5105 |
-0,11013 |
0,308313 |
-0,00267 |
-0,2128 |
0,055145 |
0,148694 |
-0,0819 |
2,214352 |
| 1409,06 |
1,871719 |
0,75654 |
-0,27785 |
-0,36642 |
0,093773 |
0,249488 |
-0,02004 |
-0,18665 |
-0,01969 |
0,143611 |
2,244486 |
| 1439,04 |
1,596104 |
0,904582 |
0,060829 |
-0,35725 |
-0,22836 |
0,09651 |
0,21528 |
0,059872 |
-0,12763 |
-0,12723 |
2,092694 |
| 1469,02 |
1,295343 |
0,925705 |
0,376292 |
-0,08927 |
-0,28847 |
-0,21319 |
-0,00664 |
0,149756 |
0,156231 |
0,041675 |
2,347436 |
| 1499 |
0,974174 |
0,816945 |
0,548165 |
0,24339 |
-0,01759 |
-0,1767 |
-0,21446 |
-0,15215 |
-0,03951 |
0,066542 |
2,048811 |
После расчета строим временную диаграмму сигнала
2.2.ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ РАСЧЕТОВ ЧАСТОТНЫХ ХАРАКТЕРИСТИК
Для того чтобы определить амплитудно-частотную и фазочастотную характеристику периодического сигнала представим сигнал в виде ряда Фурье (2). Коэффициенты ряда Аn
и Bn
определяются по формулам (1) . Для того чтобы вычислить An и Bn преобразуем интеграл к сумме, а непрерывную функцию U(t) представим как дискретную (t1
) , где tI
=i*TД
(ТД
– интервал дискретизации).
Представим непрерывную функцию U(t) как дискретную, сделав замену t i * ТД
и di
ТД
, преобразуем выражения An
,Bn
и запишем ряд Фурье в окончательном виде:
( 5)
где k=T/ТД
– число отсчётов сигнала на интервале T. Интервал дискретизации ТД
выбираем таким, чтобы на самом крутом участке функции U(t) , было не менее 5 отсчётов, либо не менее 5 отсчётов на периоде наибольшей частоты в спектре сигнала. Исходя из формулы(5),вычисляем амплитудно-частотную и фазочастотную характеристики. Расчеты приведены в таблице
| i |
Wn
|
U(ti
|
A0
|
A1
|
A2
|
A3
|
A4
|
A5
|
A6
|
A7
|
A8
|
A9
|
A10
|
| 0 |
0 |
2,03965 |
0,81586 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
| 1 |
4189,46 |
-2,1380 |
-0,0394 |
-0,0374 |
-0,0232 |
0,0230 |
0,03747 |
0,00013 |
-0,0374 |
-0,0233 |
0,0229 |
0,0375 |
0,00025 |
| 2 |
8378,92 |
-2,1379 |
-0,89454 |
-0,52672 |
0,851458 |
-0,8496 |
0,522101 |
0,005699 |
-0,53131 |
0,85318 |
-0,84789 |
0,51746 |
0,011397 |
| 3 |
12568,4 |
2,05628 |
-0,07202 |
0,042223 |
-0,06841 |
0,06862 |
-0,04278 |
0,000688 |
0,04166 |
-0,06819 |
0,06883 |
-0,04333 |
0,001376 |
| 4 |
16757,8 |
2,15108 |
0,788411 |
-0,75044 |
-0,46016 |
0,46827 |
0,747301 |
-0,01005 |
-0,75346 |
-0,45197 |
0,47632 |
0,74403 |
-0,02009 |
| 5 |
20947,3 |
2,04881 |
1,607935 |
-0,00512 |
-0,01024 |
-0,0153 |
-0,02049 |
-0,02561 |
-0,03073 |
-0,03585 |
-0,04097 |
-0,04609 |
-0,05121 |
| i |
B1
|
B2
|
B3
|
B4
|
B5
|
B6
|
B7
|
B8
|
B9
|
B10
|
| 0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
| 1 |
-0,0122 |
0,03182 |
0,0319 |
-0,0121 |
-0,0394 |
-0,0123 |
0,03175 |
0,03197 |
-0,012 |
-0,0394 |
| 2 |
0,723026 |
-0,27426 |
-0,27968 |
0,726367 |
-0,89452 |
0,719656 |
-0,26883 |
-0,28508 |
0,729678 |
-0,89447 |
| 3 |
0,058349 |
-0,02252 |
-0,02186 |
0,057943 |
-0,07202 |
0,05875 |
-0,02317 |
-0,02121 |
0,057532 |
-0,07201 |
| 4 |
0,241721 |
-0,64019 |
-0,63428 |
0,251263 |
0,788347 |
0,23214 |
-0,646 |
-0,62826 |
0,260763 |
0,788155 |
| 5 |
1,607927 |
1,607903 |
1,607862 |
1,607805 |
1,607732 |
1,607642 |
1,607536 |
1,607413 |
1,607275 |
1,60712 |
| An |
Bn |
Cn |
Fn |
| -1,27749 |
2,618833 |
2,913808 |
1,116948 |
| 0,28946 |
0,702756 |
0,760035 |
-1,18008 |
| -0,30507 |
0,70394 |
0,767204 |
1,161849 |
| 1,243611 |
2,631307 |
2,910385 |
-1,12929 |
| -0,02914 |
1,390168 |
1,390474 |
1,549838 |
| -1,31124 |
2,605878 |
2,91718 |
1,104605 |
| 0,273895 |
0,701282 |
0,752871 |
-1,19845 |
| -0,32073 |
0,704832 |
0,774375 |
1,143753 |
| 1,209595 |
2,643297 |
2,906912 |
-1,14163 |
| -0,05827 |
1,389429 |
1,390651 |
1,528881 |
Используя полученные данные, строим графики АЧХ и ФЧХ
ВЫВОДЫ
:
Особенности спектральных характеристик периодических сигналов заключаются в следующем
:
1 Спектры периодических сигналов графически представляются линейчатым (дискретным) спектром
.
2 Спектральные линии в периодических сигналах находятся на одинаковом расстоянии друг от друга
, то есть частоты гармоник находятся в простых кратных отношениях.
Использование рядов Фурье
, при расчете спектральных и временных характеристик периодических сигналов
, имеет следующие преимущества
:
1
Простое математическое описание
2
Инвариантность к линейчатым описаниям, т.е. если на вход действует гармоническое колебание, то и на выходе будет гармоническое колебание.
3
Как и сигнал гармонические функции являются периодическими и имеют бесконечную длительность
4
Техника генерирования гармонических функций достаточна проста.
ЛИТЕРАТУРА:
1. С.И.Баскаков-“Радиотехнические цепи и сигналы” – М.:ВШ, 1988
2. И.С.Гоноровский-“ Радиотехнические цепи и сигналы”- М.:Р. и С.,1986