Метод замены неизвестного при решении алгебраических уравнений

Введение

Математическое образование, получаемое в общеобразовательной школе, является важнейшим компонентом общего образования и общей культуры современного человека. Практически все, что окружает современного человека – это всё так или иначе связано с математикой. А последние достижения в физике, технике и информационных технологиях не оставляют никакого сомнения, что и в будущем положение вещей останется прежним. Поэтому решение многих практических задач сводится к решению различных видов уравнений, которые необходимо научиться решать.

В элементарной математике выделяют два вида уравнений:алгебраические и трансцендентные.К алгебраическим уравнениям относятся:

1. линейное;

2. квадратное;

3. кубическое;

4. биквадратное;

5. уравнение четвертой степени общего вида;

6. двучленное алгебраическое уравнение n-й степени;

7. степенное алгебраическое;

8. – возвратное (алгебраическое);

9. – алгебраическое уравнение ой степени общего вида;

10. дробные алгебраические уравнения, т.е. уравнения, содержащие многочлены и алгебраические дроби (дроби вида , где и – многочлены);

11. иррациональные уравнения, т.е. уравнения, содержащие радикалы, под которыми располагаются многочлены и алгебраические дроби;

12. уравнения, содержащие модуль, под модулем которых содержатся многочлены и алгебраические дроби.

Уравнения, содержащие трансцендентные функции, такие, как логарифмическая, показательная или тригонометрическая функция, называются трансцендентными. В нашей работе рассмотрим подробнее алгебраические уравнения.

В учебной и методической литературе традиционно рассматриваются специальные приёмы решения уравнений. Между тем специфика решения уравнений каждого раздела – дело второстепенное. По существу, применяются четыре основных метода:

• замена уравнения h (f(x))=h (g(x)) уравнением f(x)=g(x);

• метод замены переменной;

• метод разложения на множители;

• функционально-графический метод и их различные модификации.

Самый распространённый из них – метод замены переменной.

Исходя из этого, мы формулируем цель своей работы: изучить возможности метода замены неизвестного при решении алгебраических уравнений и продемонстрировать их применение в стандартных и нестандартных ситуациях. Для того, чтобы достичь поставленной цели необходимо решить следующие задачи:

1. Раскрыть содержание основных понятий и утверждений, относящихся к теории решения уравнений: решение уравнения, равносильность и следствие, общие методы решения уравнений.

2. Выявить возможности применения метода замены неизвестного при решении алгебраических уравнений в стандартных и нестандартных ситуациях.

3. Осуществить типизацию приёмов введения новых неизвестных при решении алгебраических уравнений и выявить критерии их применимости

4. Составить комплект типовых задач, сводящихся к применению метода замены при решении уравнений, и продемонстрировать их решение.

1.
Основные понятия и утверждения, относящиеся к теории решения уравнений

В первой главе нашей работы раскроем содержание основных понятий и утверждений, относящихся к теории решения уравнений.

С понятием «уравнение» на уроках математики мы знакомимся уже в начальной школе, а задача «решить уравнение», вероятно, наиболее часто встречающаяся задача. Тем не менее дать точное определение понятия «уравнение», точно определить, что значит «решить уравнение», не выходя далеко за рамки курса элементарной математики, мы не можем. Для этого необходимо привлекать весьма серьёзные логические и даже философские категории. Нам вполне достаточно знакомства с этими понятиями на уровне «здравого смысла».

Рассмотрим два уравнения А и В с одним и тем же неизвестным. Мы будем говорить, что уравнение В является следствием
уравнения А, если любой корень уравнения А является корнем уравнения В.

Уравнения называются равносильными,
если любой корень одного из них является корнем другого и наоборот. Таким образом, уравнения равносильны, если каждое из них является следствием другого.

Из данных определений следует, например, что два уравнения, не имеющие решений, равносильны. Если А не имеет решений, то В является следствием
А, каково бы ни было уравнение В.

Определим понятие «решить уравнение». Решить уравнение
– значит найти все такие значения входящих в него неизвестных, которые обращают уравнение в тождество. Эти значения называются корнями уравнения.

Процесс решения уравнений заключается в основном в замене данного уравнения другим, ему равносильным.

Как было ранее сказано, выделяют четыре наиболее общих метода, используемых при решении уравнений любых видов. Остановимся подробнее на каждом методе.

Метод замены уравнения h (f(x))=h (g(x)) уравнением f(x)=g(x) можно применять только в том случае, когда - монотонная функция, которая каждое своё значение принимает по одному разу. Если данная функция немонотонная, то указанный метод применять нельзя, поскольку возможна потеря корней.

Суть метода разложения на множители заключается в следующем: уравнение можно заменить:

Решив уравнения этой совокупности, нужно взять те их корни, которые принадлежат области определения исходного уравнения, а остальные отбросить как посторонние.Идея графического метода решения уравнения такова: нужно построить графики функций , и найти точки их пересечения. Корнями уравнения служат абсциссы этих точек. Этот метод позволяет определить число корней уравнения, угадать значение корня, найти приближённые, а иногда и точные значения корней. В некоторых случаях построение графиков функций можно заменить ссылкой на какие-либо свойства функций (потому-то мы говорим не о графическом, а о функционально-графическом методе решения уравнений). Если, например, одна из функций возрастает, а другая – убывает, то уравнение либо не имеет корней, либо имеет один корень.Упомянем ещё одну довольно красивую разновидность функционально-графического метода: если на промежутке наибольшее значение одной из функций , равно и наименьшее значение другой функции тоже равно , то уравнение равносильно на промежутке системе уравнений.

Раскроем суть метода замены переменной: если уравнение удалось преобразовать к виду то нужно ввести новую переменную , решить уравнение , а затем решить совокупность уравнений

где корни уравнения .

Умение удачно ввести новую переменную приходит с опытом. Удачный выбор новой переменной делает структуру уравнения более прозрачной. Новая переменная иногда очевидна, иногда несколько завуалирована, но «ощущается», а иногда «проявляется» лишь в процессе преобразований. Очевидность и «завуалированность» новой переменной мы рассмотрим на конкретных примерах во второй главе данной работы.

2.
Возможности применения метода замены неизвестного при решении алгебраических уравнений

В этой главе выявим возможности применения метода замены неизвестного при решении алгебраических уравнений в стандартных и нестандартных ситуациях. Сначала остановимся на случаях, где замена очевидна.

Пример 1.
Решить иррациональное уравнение

Замена:

Обратная замена: /

Ответ:

Пример2.
Рассмотрим уравнение, содержащее знак модуля:

Замена:

Обратная замена: корней нет,

Ответ:

Пример 3.
Решить уравнение: 7

Замена:

Обратная замена:

, , корней нет.

Ответ:

Пример 4.
Решим биквадратное уравнение: при помощи замены:

или посторонний корень.

Обратная замена:

Ответ:

Обращаем внимание на то, что биквадратное уравнение имеет четыре корня, если соответствующее ему квадратное имеет два положительных корня.

Пример 5.
Рассмотрим другое простейшее уравнение, сводящееся к квадратному:

Попытка перемножить скобки в левой части исходного уравнения приведёт нас к уравнению четвёртой степени, решение которого приведёт к трудоёмким вычислениям.

Обозначим через выражение .В переменных исходное уравнение имеет вид:

Раскрыв скобки, получим:

Обратная замена: = или = -

=

корней нет

Ответ:.

Мы продемонстрировали примеры, где замена очевидна. Однако во многих случаях удобная замена далеко не очевидна, и поэтому необходимо выполнить некоторые преобразования. Тем самым мы выявим возможность применения метода замены неизвестного в нестандартных ситуациях.

Пример 1.
Решить уравнение

Решение.
Очевидно, что х=0 – не корень уравнения. Разделив числитель и знаменатель каждой дроби на х0, запишем

и, сделав замену получим

Вернёмся к «старой» переменной:

Ответ:

Пример 2.
Решить уравнение

Решение.
Выделим полный квадрат суммы:

Сгруппируем первый, второй и четвёртый члены:

, или

Введём замену получим

Вернёмся к «старой» переменной:

Ответ:

Пример
3.
Решить уравнение

Решение.
Положим,

(1)

Тогда исходное уравнение запишется так: Поскольку мы ввели две новые функции, надо найти ещё одно уравнение, связывающее переменные и . Для этого возведём оба равенства (1) в куб и заметим, что Итак, надо решить систему:

Ответ:

Пример 4.
Решить уравнение

Решение.
Введём замены:

(2)

Тогда исходное уравнение примет вид

Попробуем составить ещё одно уравнение, зависящее от переменных и . Для этого найдём сумму:

Итак, надо решить систему

Ответ:

Пример 5.
Решить уравнение

Решение.
Заметим, что суммы чисел, стоящих во второй и четвёртой, в первой и третьей скобках, равны, т.е. -7+2=-1–4. Перемножив эти пары скобок, приходим к уравнению

Введём замену: получим Решив квадратное уравнение , находим, что или .

Возвращаемся к исходной переменной и решаем совокупность уравнений:

Ответ: .

Пример 6.
Решить уравнение

Решение.
Заметим, что произведение чисел, стоящих в первой и третьей, во второй и четвёртой скобках, равны, т.е. Перемножим указанные пары скобок и запишем уравнение

Поскольку – не корень, разделим обе части уравнения на Получим:

Введя замену: запишем исходное уравнение в следующем виде:

т.е.

Отсюда . Вернёмся к исходной переменной:

Первое уравнение совокупности имеет корни . Второе уравнение не имеет корней.

Ответ:

Пример 7.
Решить уравнение

Решение.
Вид уравнения совсем не подсказывает, что его можно свести к однородному. Преобразуем первый множитель, выделив из него выражение, равное второму множителю, т.е.

Подставляя последнее выражение в исходное уравнение, запишем, что

и далее:

Введя замену: и приведём последнее уравнение к виду . Это однородное уравнение второй степени относительно и . В нём . В самом деле, если , то уравнение приводится к виду , или Но система решений не имеет.

Разделив обе части уравнения на , запишем. Что

Отсюда

Ответ:

Пример 8.
Решить уравнение

Решение.
Поскольку функция существует при любых значениях , найдём область определения функции

значит, . Ясно, что можно ввести замену или Пусть . Нас интересуют все значения этой функции. Выберем для удобства любой отрезок, на котором функция синус принимает все свои значения, например отрезок

Подставив замену в уравнение, получим: