Вычисление обратной матрицы

Вычисление обратной матрицы.

Рассмотрим квадратную матрицу

Квадратная матрица А

называется невырожденной
, или неособенной
, если её определитель отличен от нуля и вырожденной
, или особенной
, если её определитель равен нулю.

Квадратная матрица В

называется обратной
для квадратной матрицы А

того же порядка, если их произведение

АВ= ВА=Е

,

где
Е – единичная матрица того же порядка, что и матрицы А и В.

Теорема.
Для того, чтобы матрица А

имела обратную, необходимо и достаточно, чтобы её определитель был отличен от нуля.

Матрица, обратная к А

, обозначается через А-1

, так что В= А-1

. Для матрицы А

обратная ей матрица А-1

определяется однозначно.

Справедливы следующие равенства:

1) D

(А-1
)=(

D

А)-1

;

2) (А-1
)-1
=А

;

3) (А1
А2
)-1
=А2
-1
А1
-1

;

4) (АТ
)-1
=(А-1
)Т
.

Существую несколько способов нахождения обратной матрицы. Рассмотрим один из них – нахождение обратной матрицы путём вычисления алгебраических дополнений. Заключается он в следующем:

пусть нам дана матрица А

, имеющая следующий вид:

Предположим, что D

А

¹

0

. Построим следующую матрицу С

следующим образом:

где А
ij
– алгебраическое дополнение элемента а
ij
в определителе матрицы А

. Очевидно, что для построения матрицы С

необходимо сначала заменить элементы матрицы А

соответствующими им алгебраическими дополнениями, а затем полученную матрицу транспонировать.

Полученная таким образом матрица С

называется присоединённой
к матрице А

, или союзной с А

.

Чтобы получить матрицу А-1

, обратную для матрицы А

, необходимо каждый элемент присоединённой матрицы С

поделить на D

А

, т.е. матрица А-1

будет иметь следующий вид:

Пусть матрица А

, имеет следующий вид:

Чтобы найти матрицу А-1

, обратную для матрицы А

, необходимо:

- вычислить определитель матрицы (D

А= -3

);

- найти алгебраические дополнения элементов а
ij
в определителе матрицы А

:

- составить присоединённую матрицу С

по формуле (2);

- разделить все элементы матрицы С

на D

А

.

Реализуем вышеизложенный алгоритм нахождения обратной матрицы следующим образом: вначале запишем в редакторе
Word
присоединенную матрицу С
по формуле (2), после чего в программе Excel
найдём обратную матрицу А-1
(по формуле (3)) для матрицы А
.

1. Включите компьютер.

2. Подождите пока загрузится операционная система Windows
, после чего откройте окно
Microsoft
Word
.

3. Вставьте объект
Microsoft
Equation
3
.
0.

4. Перепишем алгебраические дополнения в формульный редактор. Для этого:

·запишите
алгебраическоедополнение А12

., используя шаблон нижних индексов;

·вставьте шаблон определителя 3-го порядка в формульном редакторе;

·занесите числовые значения определителя в свободные поля;

Повтором предыдущих действий, запишите в редакторе формул дополнения А12
-А44

(см. рис. 8.1)

В качестве вычислительного средства воспользуемся инструментами программы Excel
.

5. Откройте окно
Microsoft
Excel
.

6. Перепишите матрицу А
и формулу
(4) из
Word
в
Excel
(см. рис. 8.2).

Рис. 8.1 Рис. 8.2

7. Используя функцию МОПРЕД, которая находится в мастере функций
ƒх
, посчитаем, чему будут равны все алгебраические дополнения. Для этого:

·активизируйте ячейку
D9;

·выполните нажатие ЛКМ
на кнопке ƒх
в стандартной панели задач;

·в окне КАТЕГОРИЯ нажатием ЛКМ
выберите МАТЕМАТИЧЕСКИЕ, а в окне ФУНКЦИЯ – МОПРЕД;

·выделите область
A6¸C8;

·

Рис. 8.3

выполните нажатие ЛКМ
на кнопке ОК
(рис. 8.3).

Аналогичные действия проделайте со всеми остальными алгебраическими дополнениями, не забывая при этом некоторые из них умножать на число (-1). В результате проделанных действий получим: А11
= -45, А12
= 20, А13
=1, А14
=-17, А21
=63, А22
= -31, А23
=1, А24
=25, А31
= -6, А32
=3, А33
=3,33Е-16, А34
= -3, А41
=12, А42
= -5, А43
= -1, А44
=5.

Как вы видите, значение дополнения А33
записано в виде числа с мантиссой. Приведём это число к виду обыкновенной десятичной дроби. Для этого:

· активизируйте ячейку
L17, после чего нажатие ПКМ;

· на экране компьютера появится контекстное меню;

· выполните нажатие ЛКМ
на слове ФОРМАТ ЯЧЕЕК (рис. 8.4);

Рис. 8.5

Рис. 8.4

·после появления диалогового окна ФОРМАТ ЯЧЕЕК в окне ЧИСЛОВЫЕ ФОРМАТЫ нажмите ЛКМ
на ДРОБНЫЙ, а в окне ТИП – на ПРОСТЫЕ ДРОБИ (рис. 8.5);

·выполните нажатие ЛКМ
на кнопке ОК
.
После чего алгебраическое дополнение А33
=0 см. рис. 8.6

-Далее, в тексте задачника, если будут встречаться числа с мантиссой или бесконечные десятичные дроби, то будем пользоваться диалоговым окном ФОРМАТ ЯЧЕЕК, а данную операцию будем обозначать
: поменяйте формат ячейки... на ДРОБНЫЙ.

8. Найдём в Excel
матрицу А-1
,
обратную для А

. Для этого:

·заполните ячейки
А22¸D26 значениями алгебраических дополнений, используя формулу (2), т.е., в ячейках А23¸D26 записана присоединённая матрица С

(рис. 8.7).

Рис. 8.7 Рис. 8.8

·активизируйте ячейку
А28 и запишите с клавиатуры в неё формулу: =А23/-3, после чего результат занесите автозаполнением
в ячейки В28¸D28; А29¸А31 и В29¸D31 (рис. 8.8).

·Выделите область
А28¸D31, после чего поменяйте формат
выделенных ячеек на ДРОБНЫЙ
(см. рис. 8.9).

Рис. 8.9 Рис. 8.10

9. Проверку проделанных вычислений произведём следующим образом:

·выделите область
F28¸I31;

·воспользуйтесь функцией МОБР, которая находится в мастере функций ƒх
(
категория – МАТЕМАТИЧЕСКИЕ);

·на клавиатуре одновременно нажмите следующую комбинацию клавиш: Shift
+
Ctrl
+
Enter
.

В результате чего в ячейках появятся следующие значения (рис. 8.10). Полученные значения доказывают правильность произведённых вычислений.

Задания для самостоятельной работы.

1)	2	2	-1	1	1	-0,5	0,5	-1	2)		3		4		1		2		6 1/3	-4 1/6	-2 1/3	2 5/6
4	3	-1	2	ответ:	1	0,5	-0,5	0	3		5		3		5		ответ:	-5	3,5	2	-2,5
8	5	-3	4	-1	1,5	-0,5	0	6		8		1		5		2 d>	-0,5	-1	0,5
3	3	-2	2	-4	1,5	-0,5	2	3		5		3		7		0	-0,5	0	0,5
3)	2	3	11	5	- 2/7	2/7	5/7	- 1/7	4)		2	-2		0		1			1/4	1/6	0	0
1	1	5	2	ответ:	1 2/7	-2 4/5	2/7	- 1/3	2	3		1		-3			ответ:	- 1/6	0	0	1/8
2	1	3	2	- 1/7	2/3	- 1/7	0	3	4		-1		2			3/8	- 1/2	- 1/3	1 1/7
1	1	3	4	- 1/7	1/7	- 1/7	3/7	1	3		1		-1			1/8	- 2/5	0	4/9
5)	2	-2	0	1	1/4	1/6	0	0	6)		2	5		4		1			1	- 1/3	- 1/2	1/7
2	3	1	-3	ответ:	- 1/6	0	0	1/8	1	3		2		1			ответ:	- 4/5	1 5/7	0	0
3	4	-1	2	3/8	- 1/2	- 1/3	1 1/7	2	10		9		7			5/6	-2	1/5	0
1	3	1	-1	1/8	- 2/5	0	4/9	3	8		9		20			- 1/5	2/7	0	0
7)	1	1	-6	-4	- 1/9	1/4	0	0	8)		4	-3		1		5			1/2	0	- 3/5	1/3
3	-1	-6	-4	ответ:	2/5	- 1/4	0	0	1	-2		-2		-3			ответ:	1/2	- 2/9	- 8/9	2/5
2	3	9	2	- 1/9	0	0	0	3	-1		2		0			- 1/2	- 1/9	1	- 2/7
3	2	3	8	0	0	0	1/9	2	3		2		-8			1/5	- 1/9	- 1/4	0
9)	7	9	4	2	1	0,6	-2	1,4	10)		2	-1		-6		3			- 2/9	3/8	0	-1 1/6
2	-2	1	1	ответ:	0	-0,2	0	0,2	7	-4		2		-15			ответ:	0	1/4	- 1/3	-1 1/6
5	6	3	2	-1	-0,6	3	-3,4	1	-2		-4		9			- 2/7	1/8	0	- 1/3
2	3	1	1	-1	0	1	1	1	-1		2		-6			- 1/8	0	0	- 2/7
11)	6	5	-2	4	0	- 1/3	3/4	3/7	12)		3	-2		-5		1			0	1/4	2/5	0
9	-1	4	-1	ответ:	0	1/9	- 1/5	- 1/5	2	-3		1		5			ответ:	- 1/6	0	3/8	1/5
3	4	2	-2	- 1/6	1 2/7	-2 1/4	-1 1/4	1	2		0		-4			- 1/7	1/6	1/9	0
3	-9	0	2	0	1	-2	-1	1	-1		-4		9			0	0	0	1/9
13)	2	-3	3	2	0	0	0	0	14)		1	1		-6		-4			- 1/9	1/4	0	0
6	9	-2	-1	ответ:	0	1/6	0	0	3	-1		-6		-4			ответ:	2/5	- 1/4	0	0
10	3	-3	-2	2/3	1/2	- 1/7	- 1/3	2	3		9		2			- 1/9	0	0	0
8	6	1	3	- 1/2	- 1/2	0	1/2	3	2		3		8			0	0	0	1/9
15)	1	2	3	-2	0	1/9	1/6	1/9
2	-1	-2	-3	ответ:	1/9	0	1/9	- 1/6
3	2	-1	2	1/6	- 1/9	0	1/9
2	-3	2	1	- 1/9	- 1/6	1/9	0