з дисципліни: „Вища математика”
Розділ 6: „Диференціальні рівняння”
на тему:
„Лінійні різницеві рівняння із сталими коефіцієнтами.
Задача Коші.”
1.Лінійні різницеві рівняння із сталими коефіцієнтами.
Основною задачею в диференціальних рівняннях є знаходження їхнього загального розв’язку. Ця задача найповніше вивчена для лінійних рівнянь із сталими коефіцієнтами.
Лінійні однорідні рівняння другого порядку із сталими коефіцієнтами.
Розглянемо лінійне однорідне рівняння другого порядку
1
дедійсні числа.
Ейлер запропонував шукати частинні розв’язки цього рівняння у вигляді , де - стала(дійсна чи комплексна), яку треба знайти. Підставивши функцію в рівняння 1, дістанемо
Оскільки то
2
Отже, якщо буде коренем рівняння 2, то функція буде розв’язком рівняння 1.Квадратне рівняння 2 називається характеристичним рівнянням диференціального рівняння 1.
Позначимо корені характеристичного рівняння через можливі три випадки:
І. і дійсні і різні числа
ІІ. і комплексні числа);
ІІІ. і - дійсні і рівні числа ;
Розглянемо кожен випадок окремо.
І.
Корені характеристичного рівняння дійсні і різні: . У цьому випадку частинними розв’язками рівняння 1 є функції
Ці розв’язки лінійно незалежні, тому що при
.
Загальний розв’язок рівняння 1 знаходять за формулою .
ІІ.
Корені характеристичного рівняння комплексно – спряжені:
Підставивши значення та у формулу ,знайдемо розв’язки
За формулою Ейлера
маємо
Зауважимо ,що коли функція є розв’язком рівняння 1, то розв’язками будуть також функції та. Дійсно, підставивши функції в рівняння 1, дістанемо:
або
Остання тотожність можлива, коли вирази в дужках дорівнюють нулю. Це означає ,що функціїта - розв’язки рівняння 1.Згідно з цим зауваженням частинними розв’язками рівняння 1 є функції .
Ці розв’язки лінійно незалежні, оскільки
тому загальний розв’язок рівняння 1 запишеться у вигляді
3
ІІІ.
Корені характеристичного рівняння дійсні і рівні: За формулою дістанемо один з розв’язків :.
Другий розв’язок шукатимемо у вигляді де невідома функція від . знайшовши та підставивши їх у рівняння 1 дістанемо:
або
Оскільки- корінь рівняння 2, тоі за теоремою Вієта, тому і звідки де довільні сталі. Поклавши(нас цікавить розв’язок ), знайдемо другий частинний розв’язок рівняння 1:
Розв’язки - лінійно незалежні, тому загальний розв’язок рівняння 1 має вигляд:
.
Приклад 1:
Розв’язати рівняння:.
Розв’язання :
Складемо характеристичне рівняння і знайдемо його корені за формулою шуканий розв’язок має вигляд:
.
Приклад 2:
Розв’язати рівняння:
Розв’язання:
Характеристичне рівняння має комплексні корені Загальний розв’язок дістанемо за формулою 3:
.
Неоднорідні диференціальні рівняння із сталими коефіцієнтами. Рівняння із спеціальною правою частиною.
Розглянемо неоднорідне диференціальне рівняння
4
де - задані дійсні числа, - задана функція неперервна на деякому проміжку .
Загальний розв’язок такого рівняння являє собою суму частинного
розв’язку рівняння 4 і загального розв’язку відповідного однорідного рівняння. Розглянемо питання про знаходження частинного розв’язку неоднорідного рівняння.
Насамперед слід зазначити , що частинний розв’язок диференціального неоднорідного рівняння 4 можна знайти в квадратурах методом варіації довільних сталих. Проте для рівнянь із спеціальною правою частиною розв’язок можна знайти значно простіше, не вдаючись до операції інтегрування.
Розглянемо деякі з таких рівнянь.
І. Нехай права частина в рівнянні 4 має вигляд
, 5
де - дійсне число, - многочлен степеня .
Можливі такі випадки:
а) число не є коренем характеристичного рівняння
6 Тоді диференціальне рівняння 4 має частинний розв’язок виду
, 7 де - невизначені коефіцієнти.
Справді, підставляючи функцію 7 в рівняння 4, після скорочення на дістанемо
8 де - многочлен степеня - многочлен степеня і - многочлени степеня .Таким чином зліва і справа в тотожності 8 стоять многочлени степеня .Прирівнюючи коефіцієнти при однакових степенях , дістанемо систему лінійних алгебраїчних рівнянь, з якої визначимо невідомих коефіцієнтів многочлена .
Не зупиняючись далі на доведеннях, вкажемо форму, в якій потрібно шукати частинний розв’язок рівняння 4 , залежно від виду правої частини цього рівняння;
б) якщо число збігається з одним коренем характеристичного рівняння 6, тобто є простим коренем цього рівняння, то частинний розв’язок рівняння 4 треба шукати у вигляді
; 9
в) якщо число є двократним коренем рівняння 6 , то частинний розв’язок рівняння 4 шукають у вигляді
.
Об’єднаємо випадки а)-в): якщо права частина рівняння 4 має вигляд 5, то частинний розв’язок цього рівняння треба шукати у вигляді
,
де- многочлен з невизначеними коефіцієнтами того самого степеня, що й многочлен ,а - число коренів характеристичного р
ІІ. Нехай права частина в рівнянні 4 має вигляд
, 9.1
де - многочлен степеня , - многочлен степеня; -дійсні числа.
Частинний розв’язок рівняння 4 треба шукати у вигляді
, 9.2
де многочленистепеня з невизначеними коефіцієнтами; - найвищий степінь многочленів тобто - число коренів характеристичного рівняння, які дорівнюють .
Зокрема, якщо права частина рівняння 4 має вигляд
,
де- відомі дійсні числа, то частинний розв’язок цього рівняння треба шукати у вигляді
,
де - невідомі коефіцієнти; - число коренів характеристичного рівняння 6 , які дорівнюють .
Приклад:
Розв’язати рівняння.
Характеристичне рівняння має корені , тому загальний розв’язок однорідного рівняння має вигляд .Оскільки правою частиною даного рівняння є функція виду,причому, то за формулою 7 частинний розв’язок шукаємо у вигляді,тобто, де А
і В
- знайшовши похідні і підставивши їх у рівняння дістанемо
.
Прирівнюючи коефіцієнти при однакових степенях, дістаємо систему рівнянь
,
звідки .Отже частинний розв’язок даного рівняння має вигляд
, тому
шуканий загальний розв’язок.
Лінійні диференціальні рівняння -го порядку.
Застосуємо методи знаходження розв’язків диференціальних рівнянь другого порядку до рівнянь вищих порядків.
Нехай маємо лінійне диференціальне рівнянняn
-го порядку
,
10 де - сталі дійсні числа.
Характеристичним для рівняння 10
називається алгебраїчне рівнянняn-го степеня виду
11
де - невідоме дійсне чи комплексне число.
Рівняння 11 має nкоренів. Позначимо ці корені через .
Теорема:
Кожному простому коренюрівняння 11 відповідає частинний розв’язок рівняння 10, а кожному кореню кратності відповідає
ь частинних розв’язків виду .
Кожній парі простих комплексно спряжених коренів рівняння 11 відповідає два частинних розв’язки рівняння 10 , а кожній парі комплексно-спряжених коренів кратності відповідає частинних розв’язків виду
Загальна сума кратностей всіх коренів рівняння 11 дорівнює , тому кількість всіх частинних розв’язків рівняння 10 , складених згідно з цією теоремою, дорівнює .тобто збігається з порядком рівняння 10 . Позначимо ці частинні розв’язки через Можна показати, що знайдені частинні розв’язки є лінійно незалежними. І загальний розв’язок рівняння 10 знаходиться за формулою
. 12
Нехай задано неоднорідне рівняння -го порядку
13 де - сталі дійсні числа, - неперервна на деякому проміжку функція.
Як і для рівнянь другого порядку, загальним розв’язком рівняння 13 є функція
де - загальний розв’язок відповідного однорідного рівняння 10, а - частинний розв’язок рівняння 13.
Побудову загального розв’язку рівняння10 з’ясовано. Проаналізуємо знаходження частинного розв’язку . Якщо права частина рівняння 13 є функція спеціального виду 9.1, то частинний розв’язок цього рівняння треба шукати за формулою 9.2. якщо права частина не є функцією виду 9.1, то для знаходження застосовують метод варіації довільних сталих. Стосовно рівняння 13 суть цього методу така.
Нехай функція 12 є загальним розв’язком відповідного однорідного рівняння 10. знаходимо частинний розв’язок рівняння 13 за тією ж формулою 12, вважаючи. Що величини - функції від , тобто покладемо
, 14 де - невідомі функції.
Складемо систему рівнянь
розв’язуючи цю систему. Знаходимо похідні , а потім інтегруванням і самі функції . Якщо взяти всі сталі інтегрування рівними нулю і підставити функції в рівність 14 то матимемо частинний розв’язок рівняння 13; якщо у рівність 14 підставити функції, де - довільні сталі. То відразу отримаємо загальний розв’язок.
Приклад:
Розв’язати рівняння .
Характеристичне рівняння має корені . Згідно з теоремою маємо частинні розв’язки: . Загальний розв’язок даного рівняння знаходимо за формулою 12:
.
ПЛАН
1.
Лінійні різницеві рівняння із сталими коефіцієнтами.
Контрольні питання:
1.
Що називається лінійним однорідним диференціальним рівнянням другого порядку із сталими коефіцієнтами ?
2.
Яке рівняння називається характеристичним? Як його знаходять?
3.
Який вигляд має розв’язок лінійного однорідного рівняння другого порядку із сталими коефіцієнтами , якщо корені характеристичного рівняння дійсні і різні?
4.
Який вигляд має розв’язок лінійного однорідного рівняння другого порядку із сталими коефіцієнтами , якщо корені характеристичного рівняння дійсні рівні?
5.
Який вигляд має розв’язок лінійного однорідного рівняння другого порядку із сталими коефіцієнтами , якщо корені характеристичного рівняння комплексні?
6.
Для яких диференціальних рівнянь застосовується метод підбору?
7.
Як знайти загальний розв'язок лінійного однорідного рівняння -го порядку із сталими коефіцієнтами?
8.
як знайти частинний і загальний розв’язки неоднорідного диференціального рівняння -го порядку із сталими коефіцієнтами?
Література:
Барковський В.В., Барковська Н.В. Вища математика для економісті . -.,2002.
Дубовик В.П., Юрик І.І. Вища математика: Навч. посібник. - К.: А.С.К., 2001.