Похідні і диференціали вищих порядків Функції задані параметрично їх диференціювання

Пошукова робота на тему:

Похідні і диференціали вищих порядків. Функції, задані параметрично, їх диференціювання.

П
лан

Похідні вищих порядків
Диференціали вищих порядків.
Похідна другого порядку від функції, заданої параметрично.

6.9. Похідні вищих порядків

Нехай функція
задана на деякому проміжку
і нехай всередині цього проміжку вона має похідну
. Тоді може трапитися випадок, що
, будучи функцією від
, в деякій точці
, а можливо, і в усіх точках цього проміжку, в свою чергу, має похідну. Цю похідну називають похідною другого порядку, або другою похідною, від функції
в точці
.

Похідна другого порядку позначається одним із символів:

.

Отже, за означенням похідна другого порядку є похідна першого порядку від похідної першого порядку, тобто

.

Звідси випливає таке правило знаходження похідної другого порядку: щоб знайти від функції
похідну другого порядку, треба знати спочатку від цієї функції похідну першого порядку
, а потім від похідної
знайти ще похідну першого порядку. Інакше кажучи, щоб знайти
, треба функцію продиференціювати два рази.

Приклад
. Знайти
від функції
.

Р о з в ’ я з о к. Знаходимо
:
.

Для знаходження
цей результат диференціюємо ще раз. Маємо

.

Зауваження
. Якщо рух матеріальної точки відбувається за законом

.

то
, як вже було з’ясовано, дорівнює швидкості точки в даний момент часу:

.

Тоді прискорення
визначають як похідну першого порядку від швидкості, тобто
, але
, тому
.

Отже, похідній другого порядку можна дати механічну інтерпретацію, а саме: її можна тлумачити як величину, що дорівнює прискоренню рухомої точки в даний момент часу.

Подібно до того як ми означили похідну другого порядку, визначається й похідна третього порядку.

Нехай у кожній внутрішній точці проміжку
існує похідна другого порядку
. Отже,
є функція
. Припустимо, що
в деякій внутрішній точці
має похідну першого порядку .

Похідна першого порядку від похідної другого порядку називається похідною третього порядку, або третьою похідною в точці, і позначається одним із символів:

.

Отже, за означенням

.

Звідси й випливає правило знаходження похідної третього порядку, треба функцію послідовно три рази продиференціювати.

Приклад
. Знайти
від функції
.

Р о з в ’ я з о к. Знаходимо
:
.

Цей результат ще раз диференціюємо, тобто шукаємо

.

Продиференціювавши ще раз, знаходимо похідну третього порядку:

.

Від похідної третього порядку можна перейти до похідної четвертого порядку, а від похідної четвертого порядку – до похідної п’ятого порядку і т. д. Взагалі, якщо припустити, що від функції вже визначена похідна
- го порядку
і остання існує в кожній внутрішній точці проміжку
, то можна дати означення похідної
- го порядку від функції
в точці
.

Означення
. Похідна першого порядку, якщо вона існує, від похідної
- го порядку називається похідною