Числовые ряды

/>

2) из расходимости ряда (3.1) следует расходимость ряда (3.2).

Доказательство

.
1. Пусть ряд (3.2) сходится и его сумма равна В
. Последовательность частичных сумм ряда (3.1) является неубывающей ограниченной сверху числом В
, т. е.

Тогда в силу свойств таких последовательностей следует, что она имеет конечный предел, т. е. ряд (3.1) сходится.

2. Пусть ряд (3.1) расходится. Тогда, если ряд (3.2) сходится, то в силу доказанного выше пункта 1 сходился бы и исходный ряд, что противоречит нашему условию. Следовательно ряд (3.2) также расходится.

Этот признак удобно применять к определению сходимости рядов, сравнивая их с рядами, сходимость которых уже известна.

Пример 3.1.
Исследовать на сходимость ряд

Члены ряда положительны и меньше соответствующих членов сходящегося ряда геометрической прогрессии

т. к. , n
=1,2,…

Следовательно, по признаку сравнения исходный ряд также сходится.

Пример 3.2.
Исследовать на сходимость ряд

Члены данного ряда положительны и больше соответствующих членов расходящегося гармонического ряда

т. к.

Следовательно, по признаку сравнения исходный ряд расходится.

Теорема 3.2.

(Предельный признак Даламбера[*]
).

Пусть члены положительного ряда (1.1) таковы, что существует предел

Тогда: 1) при
q
< 1 ряд (1.1) сходится;

2) при
q
> 1 ряд (1.1) расходится;

3) при
q
= 1 о сходимости ряда (1.1) ничего сказать нельзя, необходимы дополнительные исследования.

Замечание

:
Ряд (1.1) будет расходиться и в том случае, когда

Пример 3.3.
Исследовать на сходимость ряд

.

Применим предельный признак Даламбера.

В нашем случае .

Тогда

Следовательно, исходный ряд сходится.

Пример 3.4.
Исследовать на сходимость ряд

Применим предельный признак Даламбера:

Следовательно, исходный ряд сходится.

Пример 3.5.
Исследовать на сходимость ряд

Применим предельный признак Даламбера:

Следовательно, исходный ряд расходится.

Замечание

.
Применение предельного признака Даламбера к гармоническому ряду не дает ответа о сходимости этого ряда, т. к. для этого ряда

Теорема 3.3

.
(Предельный признак Коши
*
).

Пусть члены положительного ряда (1.1) таковы, что существует предел

Тогда: 1) при
q
< 1 ряд (1.1) сходится;

2) при
q
> 1 ряд (1.1) расходится;

3) при
q
= 1 о сходимости ряда (1.1) ничего сказать нельзя, необходимы дополнительные исследования.

Пример 3.6.
Исследовать на сходимость ряд

Применим предельный признак Коши:

Следовательно, исходный ряд сходится.

Теорема 3.4

.
(Интегральный признак Коши).

Пусть функция
f
(
x
) непрерывная неотрицательная невозрастающая функция на промежутке

Тогда ряд и несобственный интеграл сходятся или расходятся одновременно
.

Пример 3.7.
Исследовать на сходимость гармонический ряд

Применим интегральный признак Коши.

В нашем случае функция удовлетворяет условию теоремы 3.4. Исследуем на сходимость несобственный интеграл

Имеем .

Несобственный интеграл расходится, следовательно, исходный гармонический ряд расходится также.

Пример 3.8.
Исследовать на сходимость обобщенный гармонический ряд

Функция удовлетворяет условию теоремы 3.4.

Исследуем на сходимость несобственный интеграл

Рассмотрим следующие случаи:

1) пусть Тогда обобщенный гармонический ряд есть гармонический ряд, который расходится, как показано в примере 3.7.

2) пусть Тогда

Несобственный интеграл расходится, и, следовательно, ряд расходится;

3) пусть Тогда

Несобственный интеграл сходится, и, следовательно, ряд сходится.

Окончательно имеем

Замечания

.
1. Обобщенный гармонический ряд будет расходиться при , т. к. в этом случае не выполняется необходимый признак сходимости: общий член ряда не стремится к нулю.

2. Обобщенный гармонический ряд удобно использовать при применении признака сравнения.

Пример 3.9.
Исследовать на сходимость ряд

Члены ряда положительны и меньше соответствующих членов сходящегося обобщенного гармонического ряда

т. к. и параметр

Следовательно, исходный ряд сходится (по признаку сравнения).

Перейдем к рассмотрению рядов, члены которых могут быть как положительными, так и отрицательными.

4. Знакочередующиеся ряды. Признак сходимости Лейбница

Определение 4.1. Знакочередующимся рядом

называется ряд, у которого любые рядом стоящие члены имеют противоположные знаки.

Такие ряды удобнее записывать в виде

(4.1)

или в виде

, (4.2)

где

Для определения сходимости знакочередующихся рядов существует весьма простой достаточный признак.

Теорема 4.1

. (Достаточный признак сходимости Лейбница
*
).

Для того чтобы знакочередующийся ряд (4.1)((4.2)) сходился, достаточно, чтобы абсолютные значения его членов убывали и стремились к нулю при возрастании
n
.

Таким образом, если и то знакочередующийся ряд (4.1)((4.2)) сходится.

Пример 4.1.
Ряд

(4.3)

сходятся, т. к. для него выполняются все условия признака сходимостиЛейбница.

5. Знакопеременные ряды

Рассмотрим числовые ряды

(5.1)

с произвольными членами, т. е. члены ряда могут быть как положительными, так и отрицательными. Такие ряды называются знакопеременными.

Образуем новый ряд, составленный из абсолютных величин (модулей) членов ряда (5.1), т. е. ряд

(5.2)

Теорема 5.1.

Если ряд сходится, то сходится и исходный ряд

Вообще говоря, обратное утверждение неверно, т. е. из сходимости ряда (5.1) не следует сходимость ряда (5.2). Например, как было показано выше ряд сходится, в то время как ряд расходится.

Определение 5.1.
Ряд (5.1) называется абсолютно сходящимся
, если сходится ряд, составленный из абсолютных величин его членов.

Определение 5.2.

Сходящийся ряд (5.1) называется условно сходящимся
, если ряд (5.2) расходится.

Таким образом, ряд является абсолютно сходящимся.

Абсолютно сходящиеся ряды обладают тем свойством, что у них можно любым образом менять местами члены ряда. При такой перестановке будут получаться также абсолютно сходящиеся ряды, при этом сумма ряда не изменяется. Как указывалось в разделе 2, условно сходящиеся ряды таким свойством не обладают.

Вопросы для самопроверки

1. Как определяется сумма числового ряда?

2. Какой ряд называется сходящимся (расходящимся)?

3. Может ли предел общего члена сходящегося числового ряда равняться 3?

4. Что можно сказать о сходимости числового ряда с положительными членами , если ряд сходится и его сумма равна 6.

5. Предел какого выражения используется в предельном признаке Даламбера (Коши)?

6. Какой ряд называется знакочередующимся?

7. Каких условий достаточно для сходимости знакочередующегося ряда?

8. Какой ряд называется знакопеременным?

9. Будет ли сходящимся знакопеременный ряд, для которого ряд из модулей его членов сходится?

Упражнения

1. Найти сумму ряда:

а) ; б) в)

2. Исследовать сходимость ряда, пользуясь необходимым признаком и признаком сравнения:

а) б) в) ; г)

3. Исследовать сходимость ряда по предельному признаку Даламбера:

а) б) в) ; г) .

4. Исследовать сходимость ряда по предельному признаку Коши:

а) б) ; в) г) .

5. Исследовать, сходятся абсолютно или условно или расходятся знакопеременные ряды:

а) б) в)

г) .

Литература

1. Высшая математика: Общий курс: Учеб. – 2-е изд., перераб. / А. И. Яблонский, А. В. Кузнецов, Е. И. Шилкина и др.; Под общ. ред. С. А. Самаля. – Мн.: Выш. шк., 2000.– 351 с.

2. Марков Л. Н., Размыслович Г. П. Высшая математика. Часть 2. Основы математического анализа и элементы дифференциальных уравнений. – Мн.: Амалфея, 2003. – 352 с.

*
Риман Георг Фридрих Бернхард (1826 – 1866), немецкий математик.

[*]
Даламбер Жан Лерон (1717 – 1783), французский философ и математик, один из представителей французского просвещения XVIII века.

*
Коши Огюстен Луи (1789 – 1857), французский математик.

*
Лейбниц Готфрид Вильгельм (1646 – 1716), выдающийся немецкий философ и математик.