Курсова робота
"Беселеві функції"
1. Беселеві функції з будь-яким індексом
Рівняння Лапласа в циліндричних координатах
Щоб пояснити походження Беселевих функцій, розглянемо рівняння Лапласа в просторі:
. (1)
Якщо перейти до циліндричних координат по формулах:
, , ,
те рівняння (1) прикмет наступний вид:
. (2)
:
,
Нехай є рішення згаданого виду. Підставляючи його в (2), одержимо:
,
звідки (після ділення на )
.
Записавши це у вигляді:
,
знайдемо, що ліва частина не залежить від , права не залежить від , ; отже, загальна величина цих виражень є деяка постійна . Звідси:
; ;
; ;
.
В останній рівності ліва частина не залежить від , права не залежить від ; отже, загальна величина цих виражень є деяка постійна . Звідси:
, ;
, .
Таким чином, , , повинні задовольняти лінійним диференціальним рівнянням другого порядку:
,
(3)
, ,
з яких друге й третє є найпростіші лінійні рівняння з постійними коефіцієнтами, а перше є лінійним рівнянням зі змінними коефіцієнтами нового виду.
Обернено, якщо , , задовольняють рівнянням (3), тобто рішення рівняння (2). Справді, підставляючи в ліву частину (2) і ділячи потім на , одержимо:
.
Таким чином, загальний вид всіх трьох рішень рівняння (2), які є добутком трьох функцій, кожна з яких залежить від одного аргументу, є , де , , – будь-які рішення рівнянь (3) при будь-якому виборі чисел , .
Перше з рівнянь (3) у випадку , називається рівнянням Беселя. Думаючи в цьому випадку , позначаючи незалежну змінну буквою (замість ), а невідому функцію – буквою (замість ), знайдемо, що рівняння Беселя має вигляд:
. (4)
Це лінійне диференціальне рівняння другого порядку зі змінними коефіцієнтами відіграє більшу роль у додатках математики. Функції, йому задовольняючі, називаються Беселевими, або циліндричними, функціями.
Беселеві функції першого роду
Будемо шукати рішення рівняння Беселя (4) у вигляді ряду:
.
Тоді
,
,
,
.
Отже, приходимо до вимоги
або до нескінченної системи рівнянь
,
яка розпадається на дві системи:
Перша з них задовольниться, якщо взяти … У другій системі можна взяти довільно; тоді … однозначно визначаються (якщо не є цілим негативним числом). Взявши
,
знайдемо послідовно:
,
,
,
і як рішення рівняння (4) одержимо ряд:
Цей ряд, що формально задовольняє рівнянню (4), сходиться для всіх позитивних значень і, отже, є рішенням рівняння (4) в області (у випадку цілого в області ).
Функція
(5)
називається бесселевой функцією першого роду з індексом . Вона є одним з рішень рівняння Беселя (4). У випадку цілого ненегативного індексу одержимо:
, (5`)
і, зокрема,
. (5``)
Загальне рішення рівняння Беселя
У випадку нецілого індексу функції і є рішеннями рівняння (4). Ці рішення лінійно незалежні, тому що початкові члени рядів, що зображують ці функції, мають коефіцієнти, відмінні від нуля, і містять різні ступені . Таким чином, у випадку нецілого індексу загальне рішення рівняння Беселя є:
. (6)
Якщо (ціле негативне число), то функція, обумовлена формулою (5) (з огляду на, що дорівнює нулю для …), приймає вид:
(5```)
або, після заміни індексу підсумовування на ,
, (7)
звідки видно, що задовольняє разом з рівнянню Беселя
.
Але формула (6) у випадку цілого вже не дає загального рішення рівняння (4).
Думаючи
( – не ціле) (8)
і доповнюючи це визначення для (ціле число) формулою:
, (8`)
одержимо функцію , що задовольняє рівнянню Беселя (4) і у всіх випадках лінійно незалежну від (у випадку , де – ціле). Функція називається беселевою функцією другого роду з індексом . Загальне рішення рівняння Беселя (4) можна записати у всіх випадках у вигляді:
. (9)
2. Формули приведення для Беселевих функцій
Маємо:
; ;
, ;
.
Отже,
. (10)
Таким чином, операція (що складається в диференціюванні з наступним множенням на ), застосована до , підвищує в цьому вираженні індекс на одиницю й міняє знак. Застосовуючи цю операцію раз, де – будь-яке натуральне число, одержуємо:
. (10`)
Маємо:
;
Отже,
. (11)
Таким чином, операція , застосована до , знижує в цьому вираженні індекс на одиницю. Застосовуючи цю операцію раз, одержуємо:
. (11`)
З виведених формул можна одержати деякі наслідки. Використовуючи (10), одержимо:
; ; .
Звідси, зокрема, треба, що . Використовуючи (11), одержимо:
; ; .
По членне додавання й вирахування отриманих рівностей дає:
, (12)
. (13)
Формула (13) дозволяє виразити всі Беселеві функції із цілими індексами через , . Дійсно, з (13) знаходимо (думаючи ):
, (13`)
звідки послідовно одержуємо:
,
, …………………
3. Беселеві функції з напівцілим індексом
Беселеві функції, загалом кажучи, є новими трансцендентними функціями, що не виражаються через елементарні функції. Виключення становлять Беселеві функції з індексом , де – ціле. Ці функції можуть бути виражені через елементарні функції.
Маємо:
,
,
отже,
.
Але , значить:
. (14)
Далі
,
,
отже,
.
Але , тому
. (15)
За допомогою (10') знаходимо:
,
а з огляду на (14)
,
отже, при цілому позитивному
. (14`)
За допомогою (11') знаходимо:
,
але в силу (15)
,
і, отже, при цілому позитивному
. (15`)
4. Інтегральне подання Беселевих функцій із цілим індексом
Виробляюча функція системи функцій
Розглянемо систему функцій (з будь-якою загальною областю визначення), пронумерованих за допомогою всіх цілих чисел:
Складемо ряд
,
де – комплексна змінна. Припустимо, що при кожному (приналежному області визначення розглянутих функцій) цей ряд має кільце збіжності, що містить усередині себе одиничну окружність . Зокрема, це кільце може являти собою повну площину комплексної змінної без крапок 0 і?.
Функція
(16)
(де x лежить в області визначення функцій системи , – усередині кільця збіжності, що відповідає розглянутому значенню ) називається виробляючою функцією системи .
Обернено, нехай задана функція , де пробігає деяку множину, перебуває усередині деякого кільця, що залежить від , із центром 0 і утримуючого усередині себе одиничну окружність. Тоді, якщо при кожному аналітичне відносно усередині відповідного кільця, тобто виробляюча функція деякої системи функцій. Справді, розклавши при кожному функцію в ряд Лорана по ступенях :
,
знайдемо, що система коефіцієнтів цього ряду буде шуканою системою .
Формули для коефіцієнтів ряду Лорана дозволяють виразити функції розглянутої системи через виробляючу функцію. Застосовуючи ці формули й перетворюючи потім інтеграл уздовж одиничної окружності в простий інтеграл, одержимо:
. (17)
Виробляюча функція системи Беселевих функцій із цілими індексами
Покажемо, що для системи Беселевих функцій першого роду із цілими індексами (…) виробляюча функція є:
.
Маємо:
, ,
звідки після по членного перемножування цих рівностей знайдемо:
(тому що в передостанній внутрішній сумі й були зв'язані залежністю , то ми могли покласти , одержавши підсумовування по одному індексі ). В останній внутрішній сумі підсумовування виробляється по всіх цілих , для яких , отже, при це буде ; при це буде . Таким чином, у всіх випадках внутрішня сума є в силу формул (5`) і (5```). Отже,
, (18)
але це й доводить, що є виробляюча функція для системи .
Виведемо деякі наслідки з формули (18). Думаючи в ній , одержимо:
,
звідки після поділу дійсної й мнимої частини (з огляду на, що )
(18`)
(18``)
Заміняючи в (18`) і (18``) на , знайдемо:
, (18```)
. (18````)
Інтегральне подання Jn(x)
Тому що, по доведеному, при маємо , те по формулі (17) одержуємо (використовуючи в перетвореннях формули Ейлера):
де прийнято в увагу, що є парна функція від є непарна функція від . Отже, доведено, що для будь-якого цілого числа
. (19)
Формула (19) дає подання Беселевих функцій із цілим індексом у вигляді певного інтеграла, що залежить від параметра . Ця формула називається інтегральним поданням Беселя для , права частина формули називається інтегралом Беселя. Зокрема, при знайдемо:
. (19`)
5. Ряди Фур'є-Беселя
Розглянемо на якому-небудь інтервалі (кінцевому або нескінченному) два диференціальних рівняння
, , (20)
де й – безперервні функції на . Нехай і – ненульові рішення цих рівнянь. Множення на й на й наступне вирахування дають
.
Нехай і належать і , тоді після інтегрування в межах від до одержимо
. (21)
Якщо й – сусідні нулі рішення , то між і зберігає постійний знак, нехай, наприклад, на (, ) (у противному випадку варто замінити на ), тоді , (рівність нулю виключено, тому що – ненульове рішення диференціального рівняння другого порядку). Якщо на , то повинна, принаймні, раз звертатися в нуль між і , тому що інакше збереже постійний знак на (,). Нехай, наприклад, на (,) (у противному випадку заміняємо на ), і тоді з (21) одержимо протиріччя, тому що ліва частина ≤0, а права >0. У такий спосіб доведена теорема порівняння Штурму: якщо P(x)<Q(x) на розглянутому інтервалі I і якщо y і z – ненульові рішення рівнянь (20), те між кожними двома сусідніми нулями y(x) перебуває принаймні один нуль z(x).
З теореми порівняння Штурму випливають нижченаведені наслідки. Якщо на , то кожне ненульове рішення рівняння може мати на не більше одного нуля (це легко бачити, якщо покласти й взяти ). Якщо на (де ), то для всяких двох сусідніх нулів і () кожного ненульового рішення рівняння маємо (це легко бачити, якщо покласти , взяти й помітити, що нулями будуть тільки числа виду , ціле). Якщо на (де ), то для всяких двох сусідніх нулів кожного ненульового рішення рівняння маємо (це легко бачити, якщо покласти й взяти ). Із сказаного випливає, що якщо на , те для всяких двох сусідніх нулів і () кожного ненульового рішення рівняння маємо .
Викладене показує, що якщо безперервно на й перевищує деяке позитивне число поблизу +∞, те кожне ненульове рішення рівняння має на нескінченно багато нулів. Якщо ще поблизу не звертається в нуль, то ці нулі утворять нескінченну зростаючу послідовність , що має межею +∞, а якщо, крім того, , де , те .
Розглянемо рівняння Беселя
на інтервалі . Підстановка приводить до рівняння
.
Очевидно, і мають ті самі нулі. Тому що , де – ціла функція, то не має нулів на при досить малому , і тому що при , те при кожному нулі на утворять нескінченну зростаючу послідовність
причому .
Якщо , то задовольнить рівнянню
на інтервалі (0, +∞). Підстановка приводить до рівняння
і, отже, задовольняє цьому рівнянню. Таким чином, при будь-яких позитивних і маємо
, де ,
, де ,
звідки
,
отже,
, де . (22)
Нехай тепер . Розкладання по ступенях починається зі члена, що містить , розкладання по ступенях починається зі члена, що містить , тому що коефіцієнт при дорівнює нулю, що легко бачити, виходячи з формули (5). Отже, з (22) при одержимо
,
тобто
, (23)
звідки видно, що якщо і є різними нулями функції , те
. (23`)
Цим доведено, що при система функцій
на інтервалі є ортогональної щодо ваги .
Переходячи до межі при в співвідношенні
і використовуючи правило Лопиталя, одержимо при всякому
, (24)
отже, якщо є нулем функції , те
. (24`)
Таким чином, при кожному всякій безперервній функції на , що задовольняє вимозі
,
поставлений у відповідність ряд Фур'є-Беселя
, (25)
коефіцієнти якого визначаються формулами
. (25`)
Можна довести, що система функцій на , ортогональна щодо ваги , замкнута. Зокрема, якщо ряд Фур'є-Беселя (25) рівномірно сходиться до його безперервної функції, що породжує.
Можна показати, що якщо й безперервна на й функція, то ряд Фур'є-Беселя цієї функції сходиться до неї при .
6. Асимптотичне подання Беселевих функцій із цілим індексом для більших значень аргументу
Нехай – позитивна функція й – яка-небудь функція для досить більших значень . Запис
при
означає, що найдуться такі числа й M, що при маємо .
Подібний запис уживається й в інших аналогічних випадках. Наприклад, якщо – позитивна функція й – яка-небудь функція, визначені для досить малих позитивних значень , то запис
при
означає, що найдуться такі числа й , що на .
Допоміжна лема
Якщо двічі безупинно диференцюєма на , то для функції
має місце асимптотичне подання
при .
Доведемо цю лему. Заміняючи на , одержимо:
.(26)
Розглянемо інтеграл, що фігурує в правої частини формули (20). Заміняючи на , знайдемо:
,
але, замінивши на , одержимо:
.
Якщо позитивно, убуває й прагнути до нуля при , то й , а отже, і є при , тому
при ,
звідки
при .
Отже, одержуємо асимптотичне подання:
при . (27)
Розглянемо тепер інтеграл, що фігурує в другому складати^ся правої частини формули (20). Маємо:
,
.
Очевидно, двічі безупинно на , але існують і , тому стає безупинно диференцуєма на . Інтегрування вроздріб дає:
,
де перший доданок правої частини є при , а інтеграл у другому мажорирується інтегралом, що складається при нижній межі
,
який сходиться, тому що
при ;
отже, другий доданок є теж при .
Отже, маємо:
при . (28)
З (26), (27), (28) одержуємо шукане асимптотичне подання:
при . (29)
Із цієї формули, переходячи до сполучених величин, знайдемо ще:
при . (29')
Формули (29) і (29`) вірні й для функцій .
Висновок асимптотичної формули для Jn(x)
Заміняючи на , одержимо:
(з огляду на, що є парна функція від , а є непарна функція від ). Підстановка дає:
,
де є, мабуть, поліном n-й ступеня (поліном Чебишева), тому що з формули Муавра видно, що є поліном n-й ступеня відносно . Але
і, заміняючи в першому із цих інтегралів на , одержимо:
Тому що й на мають похідні всіх порядків, то до двох останніх інтегралів застосовні формули (29) і (29`), і ми одержуємо:
;
але ; , отже,
.
Отже, маємо шукане асимптотичне подання беселевої функції першого роду із цілим індексом для більших значень аргументу:
при . (30)
Ця формула показує, що з точністю складається до порядку, що, є загасаючою гармонікою із хвилею постійної довжини й амплітудою, що убуває обернено пропорційно квадратному кореню з абсциси.
Зокрема,
при ; (30`)
при . (30'')
Графіки цих функцій зображені ні малюнках 1 і 2.
Розглянемо кілька прикладів рішення рівняння Беселя.
1. Знайти рішення рівняння Беселя при
,
задовольняючим початковим умовам при , і .
Рішення.
На підставі формули (5') знаходимо одне приватне рішення:
.
2. Знайти одне з рішень рівняння:
, .
Рішення.
Зробимо заміну
.
При одержимо:
.
При будемо шукати рішення у вигляді узагальненого статечного ряду:
.
Рівняння на має вигляд ;
, , , , тому
,
, .
Рисунок 1 – Графік функції y=J0 (x)
Рисунок 2 – Графік функції y=J1 (x)
Висновок
Розглянуті усі рішення рівнянь, які можуть бути представлені у вигляді добутку трьох функцій. Складені графіки функцій.
Список літератури
1. Пискунов Н.С. Диференціальне й інтегральне вирахування, навчальний посібник для вузів. – К., 2003
2. Романовський П. І. «Ряди Фур'є. Теорія поля. Аналітичні й спеціальні функції. Перетворення Лапласа», навчальний посібник для вузів. – К., 2004
3. Самарський А.А., Гулін А.В. Чисельні методи. – К., 2003
4. Синіцин О.К., Навроцкий А.А. Алгоритми обчислювальної математики. – К., 2003