Министерство образования Республики Беларусь
Учреждение образования
«Гомельский государственный университет
им. Ф. Скорины»
Математический факультет
Кафедра алгебры и геометрии
О сверхразрешимости некоторых классов
факторизуемых групп
Курсовая работа
Исполнитель:
Студентка группы М-31
____________ Леванюк А.Ю.
Научный руководитель:
Канд. физ-мат. наук, доцент
____________ Скиба М.Т.
Гомель 2005
Содержание
Перечень условных обозначений
Введение
1 Факторизуемые группы с -перестановочными подгруппами
2 Факторизуемые группы с
-перестановочными силовскими подгруппами
Заключение
Литература
Перечень условных обозначений
В работе все рассматриваемые группы предполагаются конечными. Используются обозначения, принятые в книгах. Буквами обозначаются простые числа.
Будем различать знак включения множеств и знак строгого включения ;
и --- соответственно знаки пересечения и объединения множеств;
--- пустое множество;
--- множество всех для которых выполняется условие ;
--- множество всех натуральных чисел;
--- множество всех простых чисел;
--- некоторое множество простых чисел, т.е. ;
--- дополнение к во множестве всех простых чисел; в частности, ;
примарное число --- любое число вида ;
Пусть --- группа. Тогда:
--- порядок группы ;
--- порядок элемента группы ;
--- единичный элемент и единичная подгруппа группы ;
--- множество всех простых делителей порядка группы ;
--- множество всех различных простых делителей натурального числа ;
--группа --- группа , для которой ;
--группа --- группа , для которой ;
--- подгруппа Фраттини группы , т.е. пересечение всех максимальных подгрупп группы ;
--- подгруппа Фиттинга группы , т.е. произведение всех нормальных нильпотентных подгрупп группы ;
--- наибольшая нормальная -нильпотентная подгруппа группы ;
--- коммутант группы , т.е. подгруппа, порожденная коммутаторами всех элементов группы ;
--- -ый коммутант группы ;
--- наибольшая нормальная -подгруппа группы ;
--- --холловская подгруппа группы ;
--- силовская --подгруппа группы ;
--- дополнение к силовской --подгруппе в группе , т.е. --холловская подгруппа группы ;
--- группа всех автоморфизмов группы ;
--- является подгруппой группы ;
--- является собственной подгруппой группы ;
--- является максимальной подгруппой группы ;
нетривиальная подгруппа --- неединичная собственная подгруппа;
--- является нормальной подгруппой группы ;
--- подгруппа характеристична в группе , т.е. для любого автоморфизма ;
--- индекс подгруппы в группе ;
;
--- централизатор подгруппы в группе ;
--- нормализатор подгруппы в группе ;
--- центр группы ;
--- циклическая группа порядка ;
--- ядро подгруппы в группе , т.е. пересечение всех подгрупп, сопряжённых с в .
Если и --- подгруппы группы , то:
--- прямое произведение подгрупп и ;
--- полупрямое произведение нормальной подгруппы и подгруппы ;
--- и изоморфны.
Группа называется:
примарной, если ;
бипримарной, если .
Скобки применяются для обозначения подгрупп, порождённых некоторым множеством элементов или подгрупп.
--- подгруппа, порожденная всеми , для которых выполняется .
, где .
Группу называют:
-замкнутой, если силовская -подгруппа группы нормальна в ;
-нильпотентной, если -холловская подгруппа группы нормальна в ;
-разрешимой, если существует нормальный ряд, факторы которого либо -группы, либо -группы;
-сверхразрешимой, если каждый ее главный фактор является либо -группой, либо циклической группой;
нильпотентной, если все ее силовские подгруппы нормальны;
метанильпотентной, если существует нормальная нильпотентная подгруппа группы такая, что нильпотентна.
разрешимой, если существует номер такой, что ;
сверхразрешимой, если она обладает главным рядом, все индексы которого являются простыми числами.
Группа Шмидта --- это конечная ненильпотентная группа, все собственные группы которой нильпотентны.
Добавлением к подгруппе группы называется такая подгруппа из , что .
Минимальная нормальная подгруппа группы --- неединичная нормальная подгруппа группы , не содержащая собственных неединичных нормальных подгрупп группы .
Цоколь группы --- произведение всех минимальных нормальных подгрупп группы .
--- цоколь группы .
Экспонента группы --- это наименьшее общее кратное порядков всех ее элементов.
Цепь --- это совокупность вложенных друг в друга подгрупп. Ряд подгрупп --- это цепь, состоящая из конечного числа членов и проходящая через единицу.
Ряд подгрупп называется:
субнормальным, если для любого ;
нормальным, если для любого ;
главным, если является минимальной нормальной подгруппой в для всех .
Классы групп, т.е. совокупности групп, замкнутые относительно изоморфизмов, обозначаются прописными готическими буквами. Также обозначаются формации, т.е. классы групп, замкнутые относительно факторгрупп и подпрямых произведений. За некоторыми классами закреплены стандартные обозначения:
--- класс всех групп;
--- класс всех абелевых групп;
--- класс всех нильпотентных групп;
--- класс всех разрешимых групп;
--- класс всех --групп;
--- класс всех сверхразрешимых групп;
--- класс всех абелевых групп экспоненты, делящей .
Формации --- это классы конечных групп, замкнутые относительно взятия гомоморфных образов и конечных подпрямых произведений.
Пусть --- некоторый класс групп и --- группа, тогда:
--- --корадикал группы , т.е. пересечение всех тех нормальных подгрупп из , для которых . Если --- формация, то является наименьшей нормальной подгруппой группы , факторгруппа по которой принадлежит . Если --- формация всех сверхразрешимых групп, то называется сверхразрешимым корадикалом группы .
Формация называется насыщенной, если всегда из следует, что и .
Класс групп называется наследственным или замкнутым относительно подгрупп, если из того, что следует, что и каждая подгруппа группы также принадлежит .
Произведение формаций и состоит из всех групп , для которых .
Введение
Понятие -перестановочной подгруппы оказалось полезным инструментом в вопросах классификации непростых конечных групп. Отметим, в частности, что классическая теорема Холла о разрешимых группах на языке -перестановочных подгрупп может быть сформулирована так: Группа разрешима тогда и только тогда, когда любые ее две силовские подгруппы -перестановочны.
Согласно теореме 3.8 из группа является сверхразрешимой тогда и только тогда, когда все ее максимальные подгруппы -перестановочны со всеми другими подгруппами этой группы. Новые характеризации в терминах -перестановочных подгрупп для класов разрешимых, сверхразрешимых и нильпотентных групп можно найти в работах . Целью данной главы является нахождение новых признаков сверхразрешимости группы на основе условий -перестановочности некоторых ее подгрупп.
1. Факторизуемые группы с -перестановочными подгруппами
В данном разделе, развивая основные наблюдения работы, мы дадим новые критерии сверхразрешимости групп.
Пусть --- группа и --- ее подгруппа Фиттинга. Тогда является сверхразрешимой в том и только том случае, когда , где и --- такие сверхразрешимые подгруппы группы , что каждая подгруппа группы -перестановочна с каждой подгруппой группы .
Доказательство. Необходимость. Пусть --- сверхразрешимая группа. Пусть --- минимальная нормальная подгруппа группы . Тогда для некоторого простого числа . Пусть --- такая максимальная подгруппа группы , что . Тогда , и сверхразрешимы и каждая подгруппа группы перестановочна с каждой подгруппой группы .
Достаточность. Предположим, что --- произведение сверхразрешимых подгрупп и , --- подгруппа Фиттинга группы и каждая подгруппа группы -перестановочна с каждой подгруппой группы , но не является сверхразрешимой группой. Допустим, что --- контрпример минимального порядка. Доказательство разобьем на следующие этапы.
(1) Если --- максимальная подгруппа группы такая, что и либо , либо , то сверхразрешима.
Предположим, что . Тогда по тождеству Дедекинда имеем
.
Так как
то каждая подгруппа группы -перестановочна с каждой подгруппой группы . Поскольку , то по выбору группы мы заключаем, что сверхразрешима.
(2) Для любой неединичной нормальной в подгруппы факторгруппа сверхразрешима.
Ясно, что . Пусть и . Так как по условию для некоторого ,
то мы имеем
где . Это показывает, что каждая подгруппа группы -перестановочна с каждой подгруппой группы . Но поскольку --- произведение сверхразрешимых подгрупп и , то по выбору группы мы заключаем, что сверхразрешима.
(3) Группа имеет абелеву минимальную нормальную погруппу.
Допустим, что . Тогда ввиду (2), --- сверхразрешимая группа и поэтому разрешима. Следовательно, имеет абелеву минимальную нормальную погруппу.
Предположим теперь, что . Пусть --- минимальная нормальная подгруппа группы . Тогда по условию . Предположим, что . Ввиду леммы мы видим, что . Но сверхразрешима, и поэтому минимальная нормальная подгруппа группы , содержащаяся в , абелева. Пусть теперь . Предположим, что и пусть --- такая максимальная подгруппа группы , что . Согласно (1), сверхразрешима, но , и поэтому ввиду леммы , . Это показывает, что минимальная нормальная подгруппа группы , которая содержится в , абелева. Пусть теперь . Так как , то каждая подгруппа группы перестановочна с каждой погруппой группы . Пусть --- минимальная нормальная подгруппа группы . Тогда . Предположим, что . Ввиду леммы мы видим, что . Но сверхразрешима, и поэтому минимальная нормальная подгруппа группы , содержащаяся в , абелева. Пусть теперь . Предположим, что и пусть --- такая максимальная подгруппа группы , что . Согласно (1), сверхразрешима, но , и поэтому ввиду леммы , . Это показывает, что минимальная нормальная подгруппа группы , которая содержится в , абелева. Следовательно, . Поскольку и абелевы группы, то группа имеет абелеву минимальную нормальную подгруппу.
(4) Группа имеет единственную минимальную нормальную подгруппу и , где и --- такая максимальная в подгруппа, что
и .
Пусть --- произвольная минимальная нормальная подгруппа группы . Так как класс всех сверхразрешимых групп образует насыщенную формацию, то --- единственная минимальная нормальная подгруппа в , причем . Пусть --- максимальная подгруппа в такая, что и пусть . Тогда по тождеству Дедекинда мы имеем . Так как ввиду (3), абелева, то и . Это показывает, что . Следовательно, --- сверхразрешимая группа и ввиду леммы . Согласно (2) и выбора группы , мы имеем
(5) --- наибольший простой делитель порядка группы .
Предположим, что не является наибольшим простым делителем порядка группы , и пусть --- наибольший простой делитель . Пусть и --- такие максимальные подгруппы группы , что , . Тогда . По лемме, и не сопряжены в . Так как ввиду леммы все максимальные подгруппы группы , которые не содержат , сопряжены в , то либо содержит , либо содержит . Пусть, например, и пусть --- силовская -подгруппа группы . Предположим, что . Согласно (2), сверхразрешима и поскольку максимальная подгруппа группы , то по лемме --- простое число. Значит, содержит неединичную силовскую -подгруппу . Согласно лемме , , и поэтому . Это противоречие показывает, что . Ясно, что . Тогда . Предположим, что и пусть --- максимальная подгруппа группы , содержащая . Ввиду (1), сверхразрешима. Без ограничения общности, мы можем предположить, что . Так как группа сверхразрешима, то , и поэтому , что невозможно в силу (4). Значит, . Следовательно, по тождеству Дедекинда мы имеем
и поэтому . Пусть , где . Предположим, что . Тогда , и очевидно . Это влечет . Следовательно, . Ясно, что , и поэтому . Пусть --- максимальная подгруппа группы . Тогда для некоторого , мы имеем . Так как не является сверхразрешимой группой, то ввиду (4) мы видим, что . Но поскольку , то приходим к противоречию. Следовательно, . Пусть --- силовская -подгруппа группы и для некоторого , . Предположим, что . Пусть --- максимальная подгруппа группы , содержащая . Согласно (1), сверхразрешима. Это влечет , противоречие. Следовательно, . Предположим теперь, что . В этом случае , и поэтому каждая силовская -подгруппа группы является силовской -подгруппой группы . Следовательно, . Это противоречие показывает, что , и поэтому --- максимальная подгруппа группы . Согласно лемме , мы имеем , для некоторого . Это противоречие показывает, что --- наибольший простой делитель порядка группы .
(6) --- силовская -подгруппа группы .
Предположим, что это не верно. Тогда . Отсюда следует, что , и поэтому ввиду (5) и леммы , , что невозможно в силу (4). Значит, --- силовская -подгруппа группы .
(7) Заключительное противоречие.
Без ограничения общности мы можем предположить, что . Так как сверхразрешима, то ввиду (5), имеет нормальную подгруппу порядка . Согласно (6), Пусть --- холлова -подгруппа группы и для некоторого , . Поскольку
то . Согласно (6), силовская -подгруппа группы содержится в Тогда и поэтому что невозможно в силу (4). Это противоречие завершает доказательство теоремы.
Пусть --- группа и --- ее подгруппа Фиттинга. Тогда является сверхразрешимой в том и только том случае, когда , где и --- нильпотентные подгруппы группы и имеет такой главный ряд
что каждая -перестановочна с каждой подгруппой группы , для всех .
Доказательство. Необходимость. Предположим, что --- сверхразрешимая группа. Тогда согласно лемме , . Пусть и --- такая подгруппа группы , что и для каждой собственной подгруппы группы . Тогда . Так как подгруппы и нильпотентны, то --- нильпотентная подгруппа. Рассмотрим главный ряд группы , проходящий через
Поскольку --- простое число для каждого , то этот ряд является главным рядом группы и каждая подгруппа перестановочна со всеми подгруппами группы для каждого .
Достаточность. Предположим теперь, что , где --- нильпотентные подгруппы группы и группа имеет такой главный ряд
что каждый член этого ряда -перестановочен с каждой подгруппой группы . Покажем, что сверхразрешима. Предположим, что не является сверхразрешимой группой, и пусть --- контрпример минимального порядка. Без ограничения общности мы может предположить, что и для каждой собственной подгруппы группы . Для начала заметим, что поскольку группа является произведением двух нильпотентных подгрупп, то по известной теореме Кегеля , группа разрешима. Доказательство разобьем на следующие этапы.
(1) Для любой неединичной нормальной в подгруппы факторгруппа сверхразрешима.
Ясно, что где и нильпотентны. Рассмотрим в ряд
Без ограничения общности, мы можем предположить, что все члены этого ряда различны.
Пусть . Так как по условию для некоторого ,
то мы имеем
где и . Это показывает, что каждый член ряда (2) -перестановочен со всеми подгруппами группы .
Поскольку то Так как --- простое число, то также является простым числом. Следовательно, ряд (2) является главным рядом группы . Поскольку , то по выбору группы мы заключаем, что сверхразрешима.
(2) Группа имеет единственную минимальную нормальную подгруппу и , где и --- такая максимальная в подгруппа, что и .
Пусть --- произвольная минимальная нормальная подгруппа группы . Так как класс всех сверхразрешимых групп образует насыщенную формацию, то --- единственная минимальная нормальная подгруппа в , причем . Пусть --- максимальная подгруппа в такая, что и пусть . Тогда по тождеству Дедекинда мы имеем . Так как разрешима, то --- элементарная абелева -группа для некоторого простого и поэтому и . Это показывает, что . Следовательно, --- сверхразрешимая группа и ввиду леммы . Согласно (1) и выбора группы , мы имеем .
(3) и имеют не простые порядки.
Действительно, если для некоторого простого , , то в группе каждая подгруппа группы -перестановочна с каждой подгруппой группы и поэтому по теореме, сверхразрешима, что противоречит выбору группы . Следовательно, не является простым числом. Предположим теперь, что . Допустим, что . Тогда . Так как нильпотентна, то ввиду(2), --- -группа. Покажем теперь, что . Предположим, что . Так как сверхразрешима, то . Но поскольку , то согласно лемме, , и поэтому . Предположим теперь, что . В этом случае, для некоторого ,
Так как,
Значит, . Покажем, что условия теоремы справедливы для подгруппы . Ясно, что , где и --- нильпотентные подгруппы и подгруппа имеет главный ряд
где . Пусть . Тогда . По условию, для некоторого , мы имеем . Поскольку и , то . Это означает, что каждая подгруппа -перестановочна с каждой подгруппой группы , для всех . Поскольку , то по выбору группы мы заключаем, что сверхразрешима. Значит, . Отсюда следует, что , противоречие. Таким образом, . Следовательно, --- силовская -подгруппа группы и поэтому --- максимальная подгруппа группы . Поскольку для некоторого , и максимальная подгруппа группы , , то . Получили противоречие с нашим предположением о группе . Значит, . По условию, , для некоторого и поэтому . Согласно лемме , . Так как порядок группы является не простым числом, то . Отсюда следует, что , что невозможно в силу (2). Этим доказано (3).
(4) --- силовская -подгруппа группы .
Допустим, что наше предположение не верно. Пусть --- наибольший простой делитель порядка группы . Так как и согласно (2), . Пусть --- максимальная подгруппа группы . По условию для некоторых, , и . Согласно (3), и неединичные группы. Так как группы и нильпотентны, то и . Ввиду леммы , и . Отсюда следует, что . Ясно,что либо , либо . Допустим, что . Покажем, что --- сверхразрешимая группа. Подгруппы и нильпотентны и подгруппа имеет главный ряд
где . Пусть . Тогда . По условию, для некоторого , мы имеем
Поскольку и , то . Это означает, что каждая подгруппа -перестановочна с каждой подгруппой группы , для всех . Поскольку , то по выбору группы мы заключаем, что сверхразрешима. Пусть --- силовская -подгруппа группы . Тогда ввиду леммы , , и поэтому , противоречие. Пусть теперь, . Покажем, что группа сверхразрешима. Ясно, что и --- нильпотентные подгруппы и подгруппа имеет главный ряд
где . Пусть . Тогда . По условию, для некоторого , мы имеем
Поскольку и , то . Это означает, что каждая -перестановочна с каждой подгруппой группы , для всех . Поскольку , то по выбору группы мы заключаем, что сверхразрешима. Пусть --- силовская -подгруппа группы . Тогда ввиду леммы , , и поэтому , противоречие. Следовательно, (4) справедливо.
(5) и .
Предположим, что . Поскольку нильпотента, то -группа, и поэтому согласно (4), --- силовская -подгруппа группы . Ясно, что и . Тогда . Пусть --- такой элемент из , что . Тогда . Так как , то и поэтому , противоречие. Значит, .
Пусть теперь, . Так как --- нильпотентная группа, то ввиду (4), --- силовская -подгруппа группы . Поскольку и , то . Пусть --- максимальная подгруппа группы и , где . Согласно (3
и поэтому . Следовательно, , противоречие. Значит, .
(6) Заключительное противоречие.
Пусть --- холлова -подгруппа группы . Допустим, что . Тогда . Поскольку по условию, , для некоторого , и , то согласно лемме , . Так как и , то . Значит, и , противоречие с (2). Следовательно, . По условию,
,
где . Поскольку , то
Тогда , и поэтому , что противоречит (5). Это противоречие завершает доказательство теоремы.
Пусть --- группа и --- ее подгруппа Фиттинга. Тогда является сверхразрешимой в том и только том случае, когда , где и --- такие сверхразрешимые подгруппы группы , что и -перестановочна с каждой подгруппой группы и -перестановочна с каждой подгруппой группы .
Доказательство. Необходимость. Пусть --- сверхразрешимая группа. Тогда ввиду леммы , . Пусть --- минимальная нормальная подгруппа группы . Тогда для некоторого простого числа . Пусть --- такая максимальная подгруппа группы , что . Тогда , и сверхразрешимы и каждая подгруппа группы перестановочна с каждой подгруппой группы .
Достаточность. Пусть , где и --- сверхразрешимые подгруппы, --- подгруппа Фиттинга группы , и -перестановочна с каждой подгруппой группы и -перестановочна с каждой подгруппой группы . Предположим, что не является сверхразрешимой группой, и пусть --- контрпример минимального порядка. Поскольку , то разрешима. Тогда:
(1) Для любой неединичной нормальной в подгруппы факторгруппа сверхразрешима.
Ясно, что --- произведение сверхразрешимых подгрупп и . Пусть и . Так как по условию для некоторых ,
и
то мы имеем
и
где и . Это показывает, что подгруппа -перестановочна с каждой подгруппой группы и каждая подгруппа группы -перестановочна с подгруппой . Но поскольку согласно лемме ,
то по выбору группы мы заключаем, что сверхразрешима.
(2) Группа имеет единственную минимальную нормальную подгруппу и , где --- силовская -подгруппа группы и --- такая максимальная в подгруппа, что и .
Пусть --- произвольная минимальная нормальная подгруппа группы . Так как класс всех сверхразрешимых групп образует насыщенную формацию, то ввиду (1), --- единственная минимальная нормальная подгруппа в , причем . Пусть --- такая максимальная подгруппа в , что и пусть . Тогда по тождеству Дедекинда мы имеем . Так как разрешима, то --- элементарная абелева -группа для некоторого простого и поэтому и . Значит,
.
Следовательно, --- сверхразрешимая группа и ввиду леммы .
Так как , то абелева. Поскольку --- неприводимая абелева группа автоморфизмов группы , то --- циклическая группа. Ввиду леммы , --- силовская -подгруппа группы . Согласно (1) и выбора группы , мы имеем .
(3) или .
Допустим, что и . Пусть --- силовская -подгруппа группы , где . Тогда --- циклическая группа. Ввиду леммы , , где и --- силовские -подгруппы групп и соответственно и . Тогда либо , либо . Пусть, например, . Так как , то . Поскольку сверхразрешима, то ввиду леммы , . Тогда . Так как , то . Это показывает, что --- абелева группа экспоненты, делящей , и ввиду леммы , сверхразрешима, что противоречит выбору группы . Значит, либо , либо .
(4) Заключительное противоречие.
Пусть . Тогда . Так как сверхразрешима, то в группе содержится минимальная нормальная подгруппа простого порядка .
Предположим, что . Пусть --- холлова -подгруппа группы . Тогда для некоторого , . Поскольку
для некоторого , то . Пусть . Тогда и , что противоречие (2). Значит, Пусть и для некоторого . Поскольку и , то , что невозможно в силу (2). Этим завершается доказательство теоремы.
Пусть --- группа и --- ее подгруппа Фиттинга. Тогда является сверхразрешимой в том и только том случае, когда , где и --- такие сверхразрешимые подгруппы взаимно простых порядков, что и каждая подгруппа группы простого порядка или порядка 4 наследственно -перестановочна с каждой подгруппой группы , и каждая подгруппа группы простого порядка или порядка 4 наследственно -перестановочна с каждой подгруппой группы .
Доказательство. Необходимость. Пусть --- сверхразрешимая группа. Пусть --- минимальная нормальная подгруппа группы . Тогда для некоторого простого , . Пусть --- максимальная подгруппа группы такая, что . Тогда и перестановочна с каждой подгруппой группы .
Достаточность. Предположим, что --- произведение подгрупп и , где , --- сверхразрешимы подгруппы взаимно простых порядков, --- подгруппа Фиттинга группы , и каждая подгруппа группы простого порядка или порядка 4 наследственно -перестановочна с каждой подгруппой группы , и каждая подгруппа группы простого порядка или порядка 4 наследственно -перестановочна с каждой подгруппой группы . Предположим, что не является сверхразрешимой группой, и пусть --- контрпример минимального порядка. Доказательство разобьем на следующие этапы.
(1) В группе имеется несверхразрешимая максимальная подгруппа.
Предположим, что каждая максимальная подгруппа группы сверхразрешима. Тогда ввиду леммы , разрешима. Согласно леммы , для некоторого в группе имеется нормальная силовская -подгруппа , удовлетворяющая следующим условиям:
(i) свехразрешима и --- наименьшая нормальная подгруппа группы , факторгруппа по которой сверхразрешима;
(ii) если то ; если то экспонента подгруппы равна 2 или 4;
(iii) --- главный фактор группы .
Допустим, что . Тогда . Пусть и пусть --- такое простое число, что , --- силовская -подгруппа группы . Пусть --- такая холлова -подгруппа группы , что . Тогда . Поскольку , то содержится в некоторой максимальной подгруппе группы . Так как каждая максимальная подгруппа группы сверхразрешима, то сверхразрешима. Значит, в группе имеется такая нормальная подгруппа , что и поэтому , где . Следовательно, или . Для некоторого , мы имеем . Тогда по условию, . Поскольку субнормальна в и , то , и поэтому . Следовательно, --- циклическая группа. Так как --- сверхразрешимая группа, то сверхразрешима. Значит, --- сверхразрешимая группа. Это противоречие с выбором группы доказывает (1).
(2) Группа не является разрешимой.
Допустим, что разрешима и пусть --- произвольная максимальная подгруппа группы . Тогда для некоторого простого . Без ограничения общности мы можем предположить, что . Согласно теоремы , для некоторого . Покажем, что сверхразрешима. Используя тождество Дедекинда, получаем , где и --- сверхразрешимые подгруппы группы взаимно простых порядков. Пусть --- произвольная подгруппа группы простого порядка или порядка 4. И пусть --- подгруппа группы . Тогда по условию для некоторого . Поскольку , то . Значит, теорема справедлива для и ее подгрупп и . Так как , то по выбору группы , заключаем, что подгруппа сверхразрешима, и поэтому тоже сверхразрешима. Следовательно, каждая максимальная подгруппа группы сверхразрешима, что невозможно в силу (1). Этим доказано (2).
(3) Группа имеет нормальную силовскую подгруппу.
Пусть --- наибольший простой делитель . Без ограничения общности, мы можем предположить, что . Пусть --- силовская -подгруппа группы . Так как по условию, сверхразрешима, то ввиду леммы , . Пусть --- силовская -подгруппа группы , где . Тогда для некоторого , . Предположим, что . Согласно леммы , и поэтому . Тогда для некоторого , . Если , то по теореме Бернсайда, разрешима, что невозможно в силу (2). Значит, . Так как теорема справедлива для группы , то по выбору группы , мы заключаем, что группа сверхразрешима. Это влечет . Следовательно, .
(4) Заключительное противоречие.
Пусть --- нормальная силовская подгруппа группы . Тогда для некоторых и . Без ограничения общности, мы можем предположить, что . Покажем, что теорема справедлива для
.
Подгруппы и являются сверхразрешимыми подгруппами группы взаимно простых порядков. Предположим, что . Пусть --- произвольная подгруппа группы простого порядка (порядка 2 или 4, в случае, когда ). Тогда по теореме Шура-Цассенхауза , группа имеет такую подгруппу , что и . Пусть --- подгруппа группы . Используя тождество Дедекинда, мы имеем . По условию для некоторого , и поэтому
Поскольку , то . Значит, теорема справедлива для группы , и поэтому разрешима. Следовательно, --- разрешимая группа, что невозможно в силу (2). Этим противоречием завершается доказательство теоремы.
2. Факторизуемые группы с -перестановочными силовскими подгруппами
Строение конечной группы тесно связано с условиями, налагаемыми на силовские подгруппы некоторых выделенных подгрупп этой группы. Отметим, в частности, что в работе Хупперта, было доказано, что разрешимая группа является свехразрешимой, если все максимальные подгруппы всех силовских подгрупп из перестановочны со всеми членами некоторой силовской системы группы . Целью данного раздела является дальнейшее изучение строения факторизуемых групп, у которых силовские подгруппы некоторой выделенной подгруппы группы перестановочны или -перестановочны с некоторой системой ее подгрупп.
Пусть --- разрешимая группа и --- произведение -сверхразрешимых подгрупп и взаимно простого порядка. Предположим, что делит порядок подгруппы и
(1) если , то и каждая ее подгруппа простого порядка перестановочна с каждой силовской подгруппой группы ;
(2) если , то и каждая ее подгруппа порядка 2 и 4 перестановочна с каждой силовской подгруппой группы .
Тогда --- -сверхразрешимая группа.
Доказательство. Предположим, что теорема неверна и пусть --- контрпример наименьшего порядка. Пусть --- класс всех -сверхразрешимых групп.
Пусть --- -абнормальная максимальная в подгруппа. Тогда для некоторого или для некоторого и . Предположим сначала, что . Поскольку делит и согласно теоремы Холла, имеет такой элемент , что , то без ограничения общности мы можем предположить, что . Покажем, что --- -сверхразрешимая группа. Используя тождество Дедекинда, мы имеем , где и -сверхразрешимые подгруппы группы взаимно простых порядков. Если является -подгруппой, то -группа и поэтому -сверхразрешима. Предположим теперь, что . Пусть --- произвольная подгруппа группы простого порядка (или 4, в случае, если ). И пусть --- силовская -подгруппа группы . Тогда по условию, и поскольку , то . Итак, теорема справедлива для группы и ее подгрупп и . Но и поэтому согласно выбора группы , мы заключаема, что группа -сверхразрешима. Пусть теперь, , где . Рассуждая как выше, мы можем показать, что -сверхразрешима. Следовательно, каждая -абнормальная максимальная в подгруппа -сверхразрешима.
Так как разрешима, то ввиду леммы , имеет нормальную -подгруппу , удовлетворяющую следующим условиям:
(i) -сверхразрешима и наименьшая нормальная подгруппа группы , факторгруппа по которой -сверхразрешима;
(ii) если то экспонента подгруппы равна ; если то экспонента подгруппы равна 2 или 4;
(iii) --- главный фактор группы .
Ясно, что . Пусть и пусть --- такое простое число, что , --- силовская -подгруппа группы . Пусть --- некоторая такая холлова -подгруппа группы , что . Тогда . Рассуждая как выше, видим, что -сверхразрешима. Тогда в группе имеется такая нормальная подгруппа , что и поэтому , где . Ясно, что или . Согласно лемме , для некоторого , мы имеем . Тогда по условию, . Так как субнормальна в и , то , и поэтому . Следовательно, --- циклическая группа. Ясно, что -сверхразрешима и поэтому -сверхразрешима, противоречие. Теорема доказана.
Прежде, чем дать доказательство следующего основного результата этого раздела, нам необходимо установить справедливость следующей леммы.
Пусть --- простое число, , где , --- разрешимая группа, -перестановочна с каждой силовской подгруппой группы , где --- подгруппа Фиттинга группы . Тогда разрешима.
Доказательство. Предположим, что эта лемма не верна и пусть группа --- контрпример минимального порядка. Тогда:
(1) не простая группа
.
Предположим, что --- простая группа. Тогда . Пусть --- силовская -подгруппа группы . Тогда по условию . Действительно, поскольку для каждого мы имеем
где и . Тогда ввиду леммы , непроста.
(2) --- разрешимая группа для каждой неединичной нормальной подгруппы группы .
Пусть --- неединичная нормальная подгруппа группы . Если , то разрешима.
Пусть . Тогда --- произведение подгруппы простого порядка и разрешимой группы . Пусть --- силовская -подгруппа группы . Тогда для некоторой силовской -подгруппы группы , и поэтому по условию,
для некоторого . Итак, теорема справедлива для факторгруппы . Но , и поэтому ввиду выбора группы , факторгруппа разрешима.
(3) Заключительное противоречие.
Если , то ввиду (2), разрешима и поэтому --- разрешимая группа, противоречие. Значит, . Путсь --- минимальная нормальная подгруппа группы . Тогда ввиду (1), . Допустим, что . Тогда . Так как по условию, разрешима, то разрешима и поэтому согласно (2), --- разрешимая группа, противоречие. Следовательно, . Поскольку --- холлова -подгруппа группы , то --- холлова -подгруппа группы . Ясно, что , и по тождеству Дедекинда, . Путсь --- силовская -подгруппа группы , --- силовская -подгруппа группы такая, что . Тогда по условию, , и поэтому . Следовательно, теорема справедлива для группы и поэтому разрешима. Следовательно, --- разрешимая группа, противоречие с выбором группы . Лемма доказана.
Пусть --- группа и --- ее подгруппа Фиттинга. Если , где и --- сверхразрешимые подгруппы группы , каждай примарная циклическая погруппа группы -перестановочна с каждой силовской подгруппой группы и каждай примарная циклическая погруппа группы -перестановочна с каждой силовской подгруппой группы , то сверхразрешима.
Доказательство. Предположим, что теорема неверна и пусть --- минимальный контрпример. Тогда:
(1) Для каждой нормальной неединичной подгруппы в фактогруппа сверхразрешима.
Пусть --- неединичная нормальная подгруппа в . Заметим, что --- произведение сверхразрешимых подгрупп и . Пусть --- примарная циклическая подгруппа группы . Ясно, что для некоторой примарной циклической подгруппы группы , . Поскольку , то для некоторого , имеющего примарный порядок и для некоторого , и поэтому . Пусть --- силовская -подгруппа группы . Тогда для некоторой силовской -подгруппы группы . Так как по условию, для некоторого , и поэтому
Ясно, что . Итак, теорема справедлива для . Но , и ввиду выбора группы , мы имеем (1).
(2) разрешима.
Допустим, что не является разрешимой группой.
Если , то ввиду (1), сверхразрешима и поэтому разрешима, противоречие с выбором группы . Следовательно, . Пусть --- наибольший простой делитель . Без ограничения общности, мы можем предположить, что . Пусть --- -подгруппа группы . Тогда по условию, сверхразрешима. Ввиду леммы , . Следовательно, имеет такую минимальную нормальную подгруппу, скажем , что . Если , то ввиду леммы , . Поскольку теорема справедлива для , то сверхразрешима и поэтому минимальная нормальная подгруппа группы , которая содержится в , абелева. Ввиду (1), разрешима, противоречие. Пусть и пусть , где --- силовские подгруппы группы . Тогда по условию, перестановочна со всеми , . Допустим, что . Поскольку теорема справедлива для и , то мы заключаем, что сверхразрешима. Но , и поэтому ввиду леммы и (1), мы снова приходим к противоречию. Допустим теперь, что . Ввиду леммы , мы можем предположить, что . Пусть --- силовская -подгруппа группы . Тогда , и . Поскольку , то , и поэтому ввиду (1), разрешима, противоречие. Это доказывает (2).
(3) имеет единственную минимальную нормальную подгруппу и , где для некоторого простого числа , сверхразрешимая максимальная подгруппа группы и .
Пусть --- произвольная минимальная нормальная подгруппа группы . Так как класс всех сверхразрешимых групп образует насыщенную формацию, то ввиду (1), --- единственная минимальная нормальная подгруппа в , причем . Пусть --- максимальная подгруппа группы , не содержащая и . Тогда по тожеству Дедекинда, Так как ввиду (2), абелева, то и поэтому . Следовательно, и сверхразрешима и согласно леммы , .
(4) --- наибольший простой делитель порядка группы .
Пусть и --- такие максимальные подгруппы группы , что , . Так как , то ввиду леммы , для некоторого . Поскольку ввиду леммы , , то либо , либо . Пусть . И пусть --- наибольший простой делитель . Тогда силовская -подгруппа группы нормальна в , и поэтому содержится в . Следовательлно, --- наибольший простой делитель . Если не является холловой подгруппой группы ,то справедливо (4). Пусть --- холлова подгруппа группы и допустим, что , где наибольший простой делитель порядка группы . Тогда для некоторого . Так как , то ввиду (1), порядок силовской -подгруппы группы . Ясно, что . Пусть --- силовская -подгруппа группы . По условию, для некоторого и ввиду леммы , . Согласно леммы , . Поскольку , то имеет нормальную подгруппу простого порядка такую, что и для некоторого . Согласно леммы , , и поэтому ввиду (2), , противоречие. Полученное противоречие доказывает (4).
(5) --- силовская -подгруппа группы .
Допустим, что это утверждение не верно. Тогда . Это влечет и поэтому ввиду (4), и леммы, , что противоречит (3). Итак, --- силовская -подгруппа группы .
(6) Заключительное противоречие.
Поскольку и --- силовская -подгруппа группы , то либо , либо . Допустим, что и пусть --- минимальная нормальная в подгруппа, содержащаяся в .
По условию, для некоторого , где --- некоторое простое число, и --- холлова -подгруппа группы . Тогда
Значит, и поэтому . Таким образом, . Следовательно, --- сверхразрешимая группа, что противоречит выбору группы . Теорема доказана.
Заключение
В данной главе получены новые критерии сверхразрешимости факторизуемых групп на основе условия -перестановочности некоторых подгрупп. Полученные здесь результаты показывают, что строение группы в существенной мере определяется наличием в ней факторизаций системами перестановочных и -перестановочных подгрупп.
Пальчик Э.М., Конторович Н.П. О группах, все -максимальные подгруппы которых перестановочны с силовской подгруппой.
Литература
1.Подгорная В.В. Полунормальные подгруппы и сверхразрешимость конечных групп // Весцi НАН Беларусi. Сер. фiз.-матэм. навук. --- 2000. --- № 4. --- С. 22---25.
2.Подгорная В.В. Факторизации конечных групп дисперсивными и сверхразрешимыми подгруппами // Веснiк Вiцебскага дзяржаунага Унiверсiтэта. --- 1999. --- № 4(14). --- С. 80---82.
3.Поляков Л.Я. Конечные группы с перестановочными подгруппами // Конечные группы. --- Минск: Наука и техника, 1966. --- С.75---88.
4.Самусенко (Подгорная) В.В. О конечных группах с заданными минимальными добавлениями к подгруппам // Вопросы алгебры. Выпуск 13. --- 1998. --- С. 177---182.
5.Самусенко (Подгорная) В.В. О сверхразрешимости конечных групп с циклическими добавлениями к подгруппам // Вопросы алгебры. Выпуск 14. --- 1999. --- С. 141---146.
6.Сергиенко В.И. Критерий -разрешимости для конечных групп // Мат. заметки. --- 1971. --- Т. 9, № 4. --- С. 375---383.
7.Сергиенко В.И. Некоторые свойства квазинормальных групп // Подгрупповое строение конечных групп: труды гомельского семинара / Под ред. В.С. Монахова. --- Мн.: Наука и техника, 1981. --- С.149---152.
8.Скиба А.Н. -перестановочные подгруппы // Известия Гомельского государственного университета имени Ф.Скорины. --- 2003. --- № 4(19). --- C. 37---39.
9.Черников Н.С. Группы, разложимые в произведение перестановочных подгрупп. --- Киев: Наук. думка, 1987. ---208с.
10.Черток В.Д. Порождение конечной группы системами недостижимых подгрупп // ИАН БССР. Сер. физ.-матем. наук. --- 1967. --- № 2. --- С. 80---84.
11.Чунихин С.А. Об условиях теорем типа Силова // ДАН СССР. --- 1949. --- Т. 69, № 6. --- С. 735---737.
12.Чунихин С.А. Подгруппы конечных групп. --- Минск: Наука и техника, 1964. --- 158 с.
13.Шеметков Л.А. Формации конечных групп. --- М.: Наука, 1978.--- 272 с.
14.Шмидт О.Ю. Группы, все подгруппы которых специальные // Мат. сб. --- 1924. --- Т. 31. --- С. 366---372.