Строение конечной группы 24-го порядка, заданной образующими и определяющими соотношениями G

Московский Государственный Институт

Электронной Техники

(Технический Университет)

Курсовая работа

По дисциплине:

«
Дискретная Математика
»

Тема:

«Строение конечной группы 24-го порядка, заданной

образующими и определяющими соотношениями

G = < x, y | x2
=y2
=(xy)3
> »

Выполнил:
.

Группа:
ЭКТ-35

Проверил:
Клюшин А.В.

Москва 2009г.

Оглавление.

Титульный лист…………………………………………………………….1

Оглавление………………………………………………………………...2

1. Теоретическая часть…………………………………………………...3

1.1 Понятие группы……………………………………………………3

1.2 Определение группы. Свойства подгрупп………………………4

1.3 Изучения строения групп, заданных образующими и определяющими соотношениями……………………………….....5

2. Практическая часть…………………………………………………….7

2.1 Доказательство того, что в группе nэлементов………………..7

2.2 Оперделения порядка элементов…………………………………9

2.3 Вычисление таблицы умножения данной группы.

Нахождение центра группы………………………………………10

2.4 .
Составление таблицы подгрупп, порожденных

двумя элементами………………………………………………………11

2.5 Нахождение всех подгрупп группы G…………………………………13

2.6 Структура всех подгрупп……………………………………………….14

3. Список используемой литературы…………………………………..……..15

.

1.
Теоретическая часть.

1.1. Понятие группы.

Определение
1. Пусть G
— некоторое множество. Бинарной операцией на G

называется произвольное отображение G
´ G
® G. Если
(g1,g2)ÎG
1
´ G
2
, то

результат бинарной операции чаще всего будем обозначать g
1
• g
2
, где
(•) — знак

бинарной операции.

Определение 2.
Множество G с бинарной операцией
(•) называется группой, если

1) " g1 , g2,g3 Î G (g1• g2) • g3 =g1• ( g2• g3)

2)
$ e
ÎG: e
•g = g
•е = e, этот элемент е будем называть единицей группы G;

3) " g
ÎG
$ g-1
ÎG : g
• g
-1
= g
-1
• g = e, элемент g
-1
для элемента g будем

называть обратным к g.

Если к условиям 1)-3) добавить условие

4) " g1 ,
g2 Î G g1•g2 =
g2•g1 ,то группа G называется абелевой или коммутативной.

В этом случае знак бинарной операции чаще обозначают
(+), что мы и будем

делать.

Результат бинарной операции (•) в дальнейшем будем называть произведением.

Прежде всего заметим, что, благодаря условию 1), произведение нескольких

элементов группы можно записывать без скобок.

Определение 3.
Центр группы G, обычно обозначается Z(G), определяется как

Z(G) = {g
ÎG | gh = hg для любого h
ÎG }
.

Иначе говоря, это максимальная подгруппа элементов, коммутирующих с каждым

элементом G.

Предложение 1.
Единица в группе может быть только одна.

Доказательство. Действительно, если два элемента e1,e2 Î G
обладают свойством

2), то e1 =e1 • е2 =
e2 • e1

Предложение доказано.

Предложение 2. В

группе элемент, обратный к данному элементу g, может быть

только один.

Доказательство. Если два элемента g
-1

1
и g
-1

2
обладают свойством 3) для элемента

g,
то

g
1

-1
= g
1

-1
• e= g
1

-1
•g • g
2

-1
= e
• g
2

-1
= g
2

-1

Что и требовалось доказать.

Каждая конечная группа может быть задана таблицей умножения, которая иначе

называется "таблицей Кэли".

Для составления таблицы Кэли элементы группы выписываются по горизонтали и

вертикали в определенном порядке. В клетке на пересечении строки g
Î G и

столбца h
ÎG
пишется элемент gh.

Таблица Кэли обладает важным свойством: в каждой строке и каждом столбце

каждый элемент группы встречается ровно один раз. Таким образом, каждый

столбец и каждая строка являются некоторой перестановкой элементов группы.

1.2. Определение подгруппы. Свойства подгрупп.

Определение
1. Подмножество H группы G называется подгруппой, если

выполнены следующие условия

1) е
Î H;

2)
" h1 ,
h2 Î H h1 • h2 ÎH;

3)
" h ÎH h-1ÎH.

Как мы уже знаем, каждую конечную группу можно задать с помощью таблицы

умножений или таблицы Кэли. В каждой строке и каждом столбце таблицы Кэли

каждый элемент группы встречается ровно один раз. Если элементы группы

перенумеровать, то каждому элементу будет соответствовать некоторая

перестановка.

Определение 2.
Если H - подгруппа группы G и g
Î G, то множество gH = { gh | h

Î H}

называется левым смежным классом группы G по подгруппе
H. Соответственно,

множество Нg называется правым смежным классом.

Каждое разбиение группы G
на левые (правые) смежные классы по любой

подгруппе H задает некоторое отношение эквивалентности.

Определение
3. Число элементов конечной группы или, соответственно,

подгруппы будем называть ее порядком.

Определение
4. Пусть а
1
,…
,а
n
Î G. Через
< а
1
,…
,а
n
> будем обозначать

наименьшую подгруппу в G, содержащую элементы а
1
,…
,а
n
. Если
< а
1
,…
,а
n
>= G,

то элементы {а
1
,…
,а
n
} будем называть системой образующих группы G. Систему

{а
1
,…
,а
n
} будем называть минимальной системой образующих группы G, если

после удаления любого элемента оставшееся множество уже не будет являться

системой образующих для G. Группу G будем называть циклической, если

найдется элемент g
Î G такой, что
<g>=G.

Теорема 2 (Лагранжа).
Порядок подгруппы делит порядок конечной группы.

Доказательство. Пусть G
— конечная группа, Н
— подгруппа. Рассмотрим

разбиение группы G
на левые смежные классы по подгруппе Н.
Во-первых, всегда

g
Î gH.
Значит, объединение всех левых смежных классов дает G.

Далее, покажем, что левые смежные классы либо не пересекаются, либо

совпадают. Действительно, если g3 Î g1H Ç g2H,
то g
3
= g
1
h
1
= g
2
h
2
для некоторых

h
1
, h
2
ÎH. Но тогда g1 = g
2
h
2
h
1

-1
Î g2H, а g
2
=g
1
h
1
h
2

-1
Îg1H. Отсюда следует, что g
1
H

= g
2
Н.

Теперь покажем, что все левые смежные классы состоят из одного и того же числа

элементов. Действительно, рассмотрим отображение H ® gH,
задаваемое правилом

g ® gh.
Разные элементы при этом отображении переходят в разные.

Действительно, если gh1=

gh
2
,
то, умножая равенство слева на g
-1
,
получим h
1
= h
2
.

Следовательно, |Н|
= |gН|.
Таким образом, конечное множество G
разбилось на

некоторое множество (пусть к)
подмножеств, состоящих из |Н|
элементов. Тогда

|G| = к •|Н|.

Теорема доказана.

Следствие. Если G - конечная группа, то порядки ее элементов являются

делителями числа |G|.

Доказательство. Если о(g)
== к,
то множество {g, g
2
,...
, gk-1, е} образует подгруппу в

G.
Следствие доказано.

1.3 Изучение строения групп, заданных образующими и определяющими

соотношениями.

Рассмотрим алфавит из символов х, у, х
-1
, у
-1
. Конечную последовательность

символов будем называть словом. Если z
- символ, договоримся записывать z
n

вместо {

n

z...z
. Слово, состоящее из пустого множества символов будем обозначать

е
. Кроме того, если n,m
- целые числа разных знаков, то слово z
n
z
m
договоримся

сокращать и записывать как z
n+m
. Например, х
3
х
-4
= х
-1
, х
2
х
-2
= е
.

На множестве слов рассмотрим бинарную операцию (·)
, которую будем на-

зывать умножением. Если u=z
1
...z
n
и v = t
1
…t
m
- два слова, то их произведением

будем называть слово uv = z
1
...z
n
t
1
...t
m
, в котором произведены все возможные

сокращения. Если одно из слов равно е
, то положим е·u = u·е = u
. Несложно

видеть, что данная бинарная операция ассоциативна, а элемент е
является

единицей. Кроме того, каждое слово имеет обратное. Действительно, если u =

z
1
...z
n
, то u
-1
=
1 1

n 1
z
- ...z
- .

Таким образом, множество всех слов в данном алфавите с определенной

выше бинарной операцией будет группой. Эта группа называется свободной

группой с двумя образующими х, у
.

Аналогично можно определить свободную группу с тремя образующими и

т.д.

Пусть F
- свободная группа с образующими x
1
...x
n
. Равенство двух слов u=v

будем называть соотношением. Всякое соотношение можно записать в виде u·v
-1
=

е
. Пусть задана система из k
соотношений

(1)

Рассмотрим все нормальные подгруппы группы F
, содержащие слова w
1
,...,

w
k
Одной из таких подгрупп является сама группа F. Пересечение всех нормальных

подгрупп, содержащих w
1
,..., w
k
, обозначим N
. Можно показать, что пересечение

нормальных подгрупп всегда будет являться нормальной подгруппой. Таким

образом, N
будет наименьшей нормальной подгруппой, содержащей элементы

w
1
,..., w
k
. Пусть G = F/N
- фактор-группа. Напомним, что элементами фактор-

группы являются смежные классы по подгруппе N
. Если u
- слово, u
Î F, то через

u
будем обозначать смежный класс, содержащий u
. Тогда в фактор-группе G

справедливы равенства 1
w
= k
w
= 1 . Группу G
будем называть группой с

образующими x
1
...x
n
и соотношениями (1) и задавать в следующем виде

1 n 1 1 k k
G=<x ,...,x | u = v ,...,u = v >

(2)

На практике в каждом смежном классе группы G = F/N
выбирают наиболее

"простое" слово. Если одно слово группы F
можно получить из другого с

помощью алгебраических преобразований, используя соотношения (1), то в группе

G такие слова равны (точнее, они лежат в одном смежном классе).

В дальнейшем мы ограничимся рассмотрением только конечных групп, за-

данных образующими и соотношениями. Поскольку в конечной группе каждый

элемент имеет конечный порядок, можно ограничиться словами, в которые каждый

6

символ входит в неотрицательной степени. Действительно, если , х
n
=
1 (n
> 1), то х

-1
= х
n-
1.

На множестве слов введем порядок. Сначала упорядочим множество ис-

ходных символов, т.е. будем считать, что x
1
< x
2
< ...
< x
n
. В слове

1 k

1 k
u
= t
a ...t
a можно предполагать, что следующий символ отличен от предыдущего,

т.е. i 1 i
t t
+ ¹ . Пусть имеются два слова 1 k

1 k
u
= t
a ...t
a и 1 m

1
m
v
= s
b ...
s
b , где i
i
t
,
s
Î{ x
1
...
x
n
}.

Будем считать, что u
< v
, если 1 k 1 m
a + ...
+a < b + ...
+ b . В случае

1 k 1 m
a + ...
+a = b + ...
+ b будем считать, что u
< v
, если 1 1
t
< s
или 1 1
t
= s
, но

1 1
a > b . Если 1 1
t
= s
и 1 1
a = b , то для сравнения слов u
и v
надо рассмотреть

следующие символы и т.д..

Таким образом, в алфавите х, у получается следующая последовательность

слов, расположенных по возрастанию.

1, x, y, x
2
,xy, yx, y
2
,x
3
,x
2
y,xyx,xy
2
, yx
2
, yxy, y
2
x, y
3
,...

Имея задание группы в виде (2), прежде всего нужно убедиться, что в G

лишь конечное число элементов. Используя соотношения (1) нужно в каждом

смежном классе выбрать наименьшее слово. Это иногда является непростой

задачей, т.к. не существует алгоритма позволяющего определить, являются ли два

слова равными в силу соотношений (1).

Центром группы называется множество всех ее элементов, коммутирующих

со всеми элементами группы. Центр группы G
является подгруппой и обозначается Z(G)
. Если имеется таблица умножений, то центр образуют те элементы, для

которых соответствующая строка в таблице умножений равна столбцу с тем же

номером.

2. Практическая часть

Рассмотрим группу G с образующими элементами x и y, введенной

бинарной операцией (∙), которую будем называть умножением.

G=< x, y|
x
2
= y
2
=(
xy
)3
>
, n = 24.

По определению группы операция умножения ассоциативна, а элемент e

является единицей, и для нее справедливы известные соотношения. Минимальной

системой образующих для нашей группы будет являться система из двух

элементов - {x, y}. Определим единицу данной группы.

xy
=
yxyx
y
2
=(
yxyxxyxy
)
xy
,
yxyxxyxy
=
e
,
x
8
=
y
8
=
e

2.1. Доказательство того, что в группе
n
элементов.

Путем анализа определяющих соотношений убедиться, что число

элементов этой группы действительно равно n. Выразить все элементы

через образующие.

Рассмотрим каждый элемент группы в виде слова, записанного с помощью букв x и

y. Будем для начала рассматривать слова длины 1, т.е. элементы x и y. Путем

дописывания справа от имеющегося слова букв x или y, будем получать слова

длины на единицу больше, чем данное. Новое слово будем пытаться свести к уже

имеющимся с помощью определяющих соотношений: x
8
= e
, y
8
= e
, x
2
= y
2
=(
xy
)3
.

Если нам это удается, то для полученного “старого” слова

процесс прекращаем, иначе продолжаем действовать по той же схеме, т.е.

дописываем буквы и пытаемся свести полученное слово к уже имеющимся. В

итоге, каждое неприводимое слово будет новым элементом группы.

1. e

2. x

3. y

4. x2

5. xy= x2
yxyx

6. yx= x3
yxy

7. x3

8. x2
y =y x2
= y3

9. xyx

10. x y2
= y2
x

11. yxy= x5
yx= x3
yx y2

12. x4
=x y2
x= x2
y2

13. x3
y= x y3
=xy x2