Некоторые линейные операторы

Содержание

Введение

§1. Определение линейного оператора. Примеры

§2. Непрерывные линейные операторы в нормированном пространстве. Ограниченность и норма линейного оператора

§3. Обратный оператор. Спектр оператора и резольвента

§4. Оператор умножения на непрерывную функцию

§5. Оператор интегрирования

§6. Оператор дифференцирования

§7. Оператор сдвига

Заключение

Введение

Наиболее доступными для изучения среде операторов, действующих в линейных нормированных пространствах, являются линейные операторы. Они представляют собой достаточно важный класс операторов, так как среди них можно найти операторы алгебры и анализа.

Целью дипломной работы является показать некоторые из линейных операторов, исследовать их на непрерывность и ограниченность, найти норму ограниченного оператора, а также спектр оператора и его резольвенту.

В первом и втором параграфах приведены основные сведения теории операторов: определение линейного оператора, непрерывности и ограниченности линейного оператора, его нормы. Рассмотрены некоторые примеры.

В третьем параграфе даны определения обратного оператора, спектра оператора и его резольвенты. Рассмотрены примеры.

В четвертом параграфе исследуется оператор умножения на непрерывную функцию: Ах(t) = g(t)x(t).

В пятом параграфе приведен пример оператора интегрирования Аf(t)=.

В седьмом параграфе исследуется оператор сдвига Af(x) = f(x+a).

Показана линейность, непрерывность, ограниченность, найдена норма, точки спектра и резольвента всех трех операторов.

В шестом параграфе исследуется оператор дифференцирования Дf(x)=f/
(x), в пространстве дифференцируемых функции D[
a
,
b
]
. Показана его линейность. Доказано, что Д не является непрерывным оператором, а также как из неограниченности оператора следует его разрывность.

§1. Определение линейного оператора. Примеры

Определение 1.
Пусть Ex
и Ey
[1]
– линейные пространства над полем комплексных (или действительных) чисел. Отображение А: Ex
® Ey
называется линейным оператором

, если для любых элементов х1
и х2
пространства Ex
и любого комплексного (действительного) числа выполняются следующие равенства [2]
:

1. А(х1
+х2
) = Ах1
+ Ах2
;

2. А(х) = А(х);

Примеры линейных операторов:

1) Пусть Е = Е1
– линейное топологическое пространство. Оператор А задан формулой:

Ax = x для всех x Е.

Такой оператор, переводящий каждый элемент пространства в себя является линейным и называется единичным оператором.

2) Рассмотрим D[
a
,
b
]
– пространство дифференцируемых функций, оператор дифференцирования Д в пространстве D[
a
,
b
]
задан формулой:

Дf(x) = f/
(x).

Где f(x) D[a, b]
, f/
(x) C[a, b]
.

Оператор Д определен не на всем пространстве C[
a
,
b
]
, а лишь на множестве функций имеющих непрерывную производную. Его линейность, очевидно, следует из свойств производной.

3) Рассмотрим пространство С[-, +]
– пространство непрерывных и ограниченных функций, оператор А сдвигает функцию на const a:

Аf(x) = f(x+a).

Проверим линейность оператора А:

1) А(f+g) = (f+g)(x+a) = f(x+a) + g(x+a) = А(f) + А(g).

Исходя из определения суммы функции, аксиома аддитивности выполняется.

2) A(kf(x)) = kf(x+a) = kA(f(x)).

Верна аксиома однородности.

Можно сделать вывод, что А – линейный оператор.

4) Пусть (пространство непрерывных функций на отрезке [0,1], и дано отображение 1
, заданное формулой:

Так как интеграл с переменным верхним пределом от непрерывной функции является функцией дифференцируемой, а, следовательно, непрерывной, то . В силу линейности определенного интеграла данное отображение является линейным оператором.

§2. Непрерывные линейные операторы в нормированном

пространстве. Ограниченность и норма линейного оператора

Пусть , – нормированные пространства.

Определение 2 .
Оператор А: Е Е1
называется непрерывным

в точке , если какова бы не была последовательность xn
x0
, А(xn
) сходится к А(x0
). То есть, при p (xn
, x0
) 0, p (А(xn
), А(x0
)) 0.

Известно и другое (равносильное) определение непрерывности линейного оператора.

Определение 3.
Отображение А называется непрерывным

в точке x0
, если какова бы не была окрестность[3]
U точки y0
= А (x0
) можно указать окрестность V точки x0
такую, что А(V) U.

Иначе >0 >0, что как только p (x, x0
) < , p (f(x), f(x0
)) < .

Теорема 1.

Если линейный оператор непрерывен в точке х0
= 0, то он непрерывен и в любой другой точке этого пространства.

Доказательство.
Линейный оператор А непрерывен в точке х0
=0 тогда и только тогда, когда . Пусть оператор А непрерывен в точке х0
=0. Возьмем последовательность точек пространства хn
®х1
, тогда хn
–х1
®0, отсюда А(хn
–х1
)®А(0)=0, т. е. А(хn
–х1
)®0.

Так как А – это линейный оператор, то А(хn
–х1
)®Ахn
–Ах0
, а тогда

Ахn
-Ах0
® 0, или Ахn
®Ах0
.

Таким образом, из того, что линейный оператор А непрерывен в точке х0
=0, следует непрерывность в любой другой точке пространства.

т. д-на.

Пример.

Пусть задано отображение F(y) = y(1) пространства С[0, 1]
в R. Проверим, является ли это отображение непрерывным.

Решение.

Пусть y(x) – произвольный элемент пространства С[0, 1]
и yn
(x) – произвольная сходящаяся к нему последовательность. Это означает:

p (yn
, y) = |yn
(x)- y(x))| = 0.

Рассмотрим последовательность образов: F(yn
) = yn
(1).

Расстояние в R определено следующим образом:

p (F(yn
), F(y)) = |F(yn
) - F(y))| = | yn
(1) - y(1)| |yn
(x)- y(x))|=p(yn
,y),

то есть p (F(yn
), F(y)) 0.

Таким образом, F непрерывно в любой точке пространства С[
a
,
b
]
, то есть непрерывно на всем пространстве.

С понятием непрерывности линейного оператора тесно связано понятие ограниченности.

Определение 4.
Линейный оператор А: Е Е1
называется ограниченным

, если можно указать число K>0 такое, что

||Аx|| K||x||. (1)

Теорема 2.

Среди всех констант K, удовлетворяющих (1), имеется наименьшее.

Доказательство:

Пусть множество S – множество всех констант K, удовлетворяющих (1), будучи ограниченным снизу (числом 0), имеет нижнюю грань k. Достаточно показать, что k S.

По свойству нижней грани в S можно указать последовательность (kn
), сходящуюся к k. Так как kn
S, то выполняется неравенство: |А(x)| kn
||x||, (xE). Переходя в этом неравенстве к пределу

получаем |А(x)| k||x||, где (xE), (k S).

т. д-на.

Определение 5.
Наименьшая из этих констант K, для которых выполняется неравенство (1), называется нормой

оператора А и обозначается ||A||[4]
.

||А|| K, для K, подходящего для (1), то есть |А(x)| ||А||||x||, где

||А|| = xE.

Между ограниченностью и непрерывностью линейного оператора существует тесная связь, а именно справедлива следующая теорема.

Теорема 3.

Для того, чтобы линейный оператор А действующий из Ex
в Ey
был ограничен, необходимо и достаточно, чтобы оператор А был непрерывен.

Необходимость
:

Дано: А – ограничен;

Доказать: А – непрерывен;

Доказательство:

Используя теорему 1 достаточно доказать непрерывность А в нуле.

Дано, что ||Аx|| K||x||.

Докажем, что А непрерывен в нуле, для этого должно выполняться >0, >0 что ||x||< ||Ax|| < .

Выберем так, чтобы K*||x|| < , ||x|| < , (К>0), значит = , тогда если ||x||< , то ||Аx|| K||x|| < K =

Непрерывность в нуле доказана, следовательно доказана непрерывность в точке.

Достаточность
:

Дано: А – непрерывен;

Доказать А – ограничен;

Доказательство:

Допустим, что А не ограничен. Это значит, что числу 1 найдется хотя бы один соответственный вектор x1
такой, что ||A x1
|| > 1|| x1
||.

Числу 2 найдется вектор x2
, что ||A x2
|| > 2|| x2
|| и т.д.

Числу n найдется вектор xn
, что ||A xn
|| > n|| xn
||.

Теперь рассмотрим последовательность векторов yn
= , где

||yn
|| = .

Следовательно последовательность yn
0 при n .

Так как оператор А непрерывен в нуле, то Аyn
0, однако

||Аyn
|| = ||A|| = ||Axn
|| > n|| xn
|| = 1, получаем противоречие с Аyn
0, то есть А – ограничен

Для линейных операторов ограниченность и непрерывность оператора эквивалентны.

Примеры.

1) Покажем, что норма функционала[5]
F(y) = в C[
a
,
b
]
, где p(x) – непрерывная на [a,b] функция, равна .

По определению 5: ||F|| = |F(x)| = ||.

|| || = |y(x)||| |y(x)|||;

||F|| = (|y(x)|||) = ||y(x)|||| = || .

Таким образом, норма F(y) = будет ||F|| = ;

2) Найдем норму функционала, определенного на C[0, 2], где p(x)=(x-1)

F(y) = .

По выше доказанному ||F|| = = 1.

§3.
Обратный оператор. Спектр оператора и резольвента

Пусть , – нормированные пространства, – линейный оператор, DA
- область определения оператора,
а RA
– область значений.

Определение 6.
Оператор А называется обратимым

, если для любого элемента у, принадлежащего RA
, уравнение Ах=у имеет единственное решение.

Если оператор А обратим, то каждому элементу у, принадлежащему RA
, можно поставить в соответствие единственный элемент х, принадлежащий DA
и являющийся решением уравнения Ах=у. Оператор, осуществляющий это соответствие, называется обратным оператором

к оператору А и обозначается А-1
.

Теорема 4.

Для того чтобы линейный оператор имел ограниченный обратный оператор необходимо и достаточно, чтобы выполнялось неравенство:

, (m>0).

Доказательство:

Достаточность.

Пусть выполняется данное неравенство. Тогда равенство Ax=0 возможно лишь тогда, когда x – нулевой вектор. Получим 0 m*||x||, отсюда ||x|| 0, но так как норма не может быть <0, то x=0. А обращается в ноль лишь на нулевом векторе. Итак, А-1
существует.

Докажем его ограниченность.

y=Ax.

x=A-1
y, норма ||A-1
y||=||x||, но ||x|| ||Ax||=||y||.

Отсюда ||A-1
y|| ||y||, то есть обратный оператор существует и он ограничен.

Если за m возьмем наибольшую из возможных, то получим, что ||A-1
||=.

Необходимость.

Пусть от А имеется ограниченный обратный А-1
на нормированном пространстве.

Итак, ||A-1
y|| М||y||.

Подставляем значение y и значение A-1
y,получим ||x|| M||Ax|| (М всегда можно считать положительным числом).

Отсюда ||Ax|| ||x||.

Положим =m, получим ||Ax|| m||x||.

т. д-на.

В теории операторов важную роль играет понятие спектра оператора. Рассмотрим это понятие сначала для конечномерного пространства.

Определение 7.
Пусть А – линейный оператор в n-мерном пространстве Еn
. Число λ называется собственным значением
оператора А, если уравнение Ах=λх имеет ненулевые решения. Совокупность всех собственных значений называется спектром

оператора А, а все остальные значения λ – регулярными.
Иначе говоря, λ есть регулярная точка, если оператор , где I – единичный оператор, обратим, При этом оператор (А – λI)-1
, как и всякий оператор в конечномерном пространстве, ограничен. Итак, в конечномерном пространстве существуют две возможности:

1) уравнение Ах=λх имеет ненулевое решение, то есть λ является собственным значением для оператора А; оператор (А – λI)-1
при этом не существует;

2) существует ограниченный оператор (А – λI)-1
, то есть λ есть регулярная точка.

В бесконечном пространстве имеется еще и третья возможность, а именно:

3) оператор (А – λI)-1
существует, то есть уравнение Ах=λх имеет лишь нулевое решение, но этот оператор не ограничен.

Введем следующую терминологию. Число λ мы назовем регулярным
для оператора А, действующего в линейном нормированном пространстве Е, если оператор (А – λI)-1
, называемый резольвентой
оператора А, определен на всем пространстве Е и непрерывен.
Совокупность всех остальных значений λ называется спектром
оператора А. Спектру принадлежат все собственные значения оператора А, так как, если (А – λI)х=0 при некотором х≠0, то оператор (А – λI)-1
не существует. Их совокупность называется точечным спектром
. Остальная часть спектра, то есть совокупность тех λ, для которых (А – λI)-1
существует, но не непрерывен, называется непрерывным спектром.
Итак, каждое значение λ является для оператора А или регулярным, или собственным значением, или точкой непрерывного спектра. Возможность наличия у оператора непрерывного спектра – существенное отличие теории операторов в бесконечномерном пространстве от конечномерного случая.

Определение 8.
Оператор , где – регулярная точка оператора А, называется резольвентой[6]


оператора А и обозначается (или ).

Теорема 5.
Пусть – линейный непрерывный оператор, его регулярные числа. Тогда .

Доказательство.
Умножим обе части равенства на : (==. С другой стороны получим . Так как числа – регулярные для оператора А, то оператор имеет обратный. Значит, из равенства следует, что . Значит, утверждение теоремы верно.

т. д-на.

Примеры.

1) Рассмотрим в пространстве C[0,1]
оператор умножения на независимую переменную t: Ax = tx(t).

Уравнение Аx=x принимает в этом случае вид:

tx(t) - x(t) = y(t),

решение x(t) этого уравнения есть функция, тождественно ему удовлетворяющая.

Если лежит вне отрезка [0, 1], то уравнение Аx=x имеет при любом y(t) единственное непрерывное решение:

x(t) = y(t),

откуда следует, что все такие значения параметра являются регулярными, и резольвента есть оператор умножения на :

R
(y) = y(t).

Все значения параметра, принадлежащие отрезку[0, 1], являются точками спектра. В самом деле, пусть 0
[0, 1]. Возьмем в качестве y(t) какую-нибудь функцию, не обращающуюся в нуль в точке 0
, y(0
) = a 0. Для такой функции равенство (t - 0
)x(t) = y(t), не может тождественно удовлетворяться ни при какой непрерывной на отрезке [0, 1] функции x(t), ибо в точке t = 0
левая часть его равна нулю, в то время как правая отлична от нуля. Следовательно, при = 0
уравнение Аx=x не имеет решения для произвольной правой части, что и доказывает принадлежность 0
спектру оператора A. Вместе с тем ни одна точка спектра не является собственным значением, так как решение однородного уравнения (t - )x(t) = 0, [0, 1], при любом t, отличном от , а следовательно, в силу непрерывности и при t = , обращается в нуль, т.е. тождественно равно нулю.

2) Пусть оператор А действующий из Е Е, задается матрицей А=.

Аx = = .

Введем обозначения:

= y1

= y2

x1
, x2
, y1
, y2
E;

A - *I = , найдем определитель A - *I:

D(A - *I) = = (2-)*(-2-) – 3 = 2
– 7;

Если определитель отличен от нуля, то есть если не есть корень уравнения 2
– 7 = 0, следовательно, все такие значения параметра регулярные.

Корни уравнения 2
– 7 = 0 образуют спектр:

1
= ; 2
= -;

1
, 2
– собственные значения.

Найдем собственные векторы для собственных значений :

при = получаем:

откуда x1
= (2+)x2
; 1-й собственный вектор: ((2+)x, x);

при = - получаем:

откуда x1
= (2 - )x2
; 2-й собственный вектор: ((2 - )x, x);

§4.
Оператор умножения на непрерывную функцию

Рассмотрим пространство непрерывных на отрезке функций, и оператор А, заданный формулой:

Ах(t) = g(t) x(t).

g(t) - функция, непрерывная на [a, b]; a,bR.

Проверим является ли оператора А линейным, то есть, по определению 1, должны выполняться аксиомы аддитивности и однородности.

1) Аксиома аддитивности: A(f+g) = A(f) + A(g).

A(f+g) = (g(t)+f(t))x(t) = g(t)x(t)+f(t)x(t) = A(f) + A(g).

2) Аксиома однородности: A(k*f) = k*A(f).

A(k*f) = A(k*x(t)) = k*g(t)x(t) = kA(x(t)) = k*A(f).

По средствам арифметических операции над функциями, аксиомы аддитивность и однородность выполняются. Оператор А является линейным по определению.

3) Проверим, является ли А непрерывным, для этого воспользуемся определением непрерывности:

p (fn
(x), f0
(x)) 0 p (A fn
(x), Af0
(x)) 0.

Оператор А, действует в пространстве C[
]
, в котором расстояние между функциями определяется следующим образом:

p (fn
(x), f0
(x)) = | fn
(x) - f0
(x)|.

Решение:

p (A xn
(t), Ax0
(t)) = |Axn
(t) - Ax0
(t)| = |xn
(t)g(t) - x0
(t)g(t)| |g(t)| |xn
(t) - x0
(t)| = |g(t)|p (xn
(t), x0