Решение задачи Дирихле методом Монте-Карло

Введение

Для сложных математических моделей аналитические решения удаётся получить сравнительно редко. Поэтому среди приближённых математических методов основными методами решения задач являются численные. Эти методы позволяют добиться хорошего качественного и количественного описания исследуемого процесса или явления.

Задача Дирихле может быть сформулирована следующим образом: найти функцию, непрерывную в данной замкнутой области , гармоническую в области и принимающую на ее границе непрерывные заданные значения.

Цель данной работы рассмотреть решение задачи Дирихле для уравнения Лапласа и уравнения Пуассона методом Монте-Карло на основе метода сеток.

Применяя метод сеток для решения краевых задач, прежде всего появляется задача замены дифференциальных уравнений разностными уравнениями – заданное дифференциальное уравнение заменяется в узлах построенной сетки соответствующим конечно-разностным уравнением.

Идея метода сеток восходит еще к Эйлеру. Однако практическое использование метода наталкивалось на серьезные трудности, так как получение достаточно точного решения краевой задачи приводило к системам алгебраических уравнений, на решение которых при ручном счете требовались затраты времени. Положение резко изменилось с появлением быстродействующих электронных вычислительных машин.

Методами Монте-Карло называются численные методы решения математических задач при помощи моделирования случайных величин и статистической оценки их характеристик. В данной работе приведено два метода решения задачи Дирихле для уравнения Лапласа с использованием методом Монте-Карло, и на основании одного из них приведена программа его реализующая.

1. Метод Монте-Карло

Общепринятого определения методов Монте-Карло пока нет. Назовем методами Монте-Карло численные методы решения математических задач при помощи моделирования случайных величин и статистической оценки их характеристик. При таком определении приходится к методам Монте-Карло причислить некоторые другие методы, как, например, стохастические приближения или случайный поиск, которые по традиции рассматриваются отдельно. Однако специалисты, занимающиеся этими вопросами, нередко сами называют свои приемы методами Монте-Карло. В то же время в определении подчеркивается что:

а) речь идет о численных методах (и конкурировать они могут с классическими численными методами, а не с аналитическими методами решения задач);

б) решать методами Монте-Карло можно любые математические задачи (а не только задачи вероятностного происхождения, связанные со случайными величинами).

Официальной датой рождения методов Монте-Карло считают 1949 год, когда появилась статья под заглавием «Метод Монте-Карло». Возникновение метода связывают обычно с именами Дж. Неймана, С. Улама, Н. Метрополиса, а также Г. Кана и Э. Ферми; все они в 40-х годах работали в Лос-Аламосе (США).

Необходимо сразу же подчеркнуть, что теоретические основы методов Монте-Карло были известны значительно раньше. Более того, фактически такие методы не раз использовались для расчетов в математической статистике. Однако до появления электронных вычислительных машин (ЭВМ) методы Монте-Карло не могли стать универсальными численными методами, ибо моделирование случайных величин вручную – весьма трудоемкий процесс.

Развитию методов Монте-Карло способствовало бурное развитие ЭВМ. Алгоритмы Монте-Карло (как правило, обладающие небольшой связностью)

сравнительно легко программируются и позволяют рассчитывать многие задачи, недоступные для классических численных методов. Так как совершенствование ЭВМ продолжается, есть все основания ожидать дальнейшего развития методов Монте-Карло и дальнейшего расширения

области их применения.

Важнейший прием построения методов Монте-Карло – сведение задачи к расчету математических ожиданий. Более подробно: для того чтобы приближенно вычислить некоторую скалярную величину а, надо придумать такую случайную величину , что ; тогда, вычислив независимых значений величины , можно считать, что .

Пример. Требуется оценить объем некоторой ограниченной пространственной фигуры .

Выберем параллелепипед , содержащий , объем которого известен. Выберем случайных точек, равномерно распределенных в , и обозначим через количество точек, попавших в . Если велико,

то, очевидно, : , откуда получаем оценку

.

В этом примере случайная величина равна , если случайная точка попадает в , и равна нулю, если точка попадает в . Нетрудно проверить, что математическое ожидание , а среднее арифметическое

.

Легко видеть, что существует бесконечно много случайных величин таких, что . Поэтому теория методов Монте-Карло должна дать ответы на два вопроса:

1) как выбрать удобную величину для расчета той или иной задачи;

2) как находить значения произвольной случайной величины ?

Изучение этих вопросов и должно составить основное содержание практического курса методов Монте-Карло.

Многие методы основаны на расчете математических ожиданий. Существуют методы случайного поиска (кроме простейшего) и стохастических приближений.

Среди методов Монте-Карло можно выделить методы, в которых полностью воспроизводится модель рассчитываемого процесса. Такие методы иногда называют «физическими», хотя автору представляется более удачным другое название этих методов — имитационные. Имитация естественных процессов широко используется в самых различных областях науки, техники, экономики. Однако приемы имитации в каждой области свои, и подробно излагать их более целесообразно в специальных руководствах, а не в общем курсе методов Монте-Карло.

2. Задаче Дирихле для уравнения Лапласа

2.1 Основные сведения о задаче Дирихле для уравнения Лапласа

Определение. Функция , имеющая непрерывные частные второго порядка в области и удовлетворяющая внутри уравнению Лапласа, называется гармонической функцией:

.

Простейшим примером гармонической функции двух переменных является функция вида , где (основное решение уравнения Лапласа).

Задача Дирихле в иных терминах может быть сформулирована следующим образом: найти функцию, непрерывную в данной замкнутой области , гармоническую в области и принимающую на ее границе непрерывные заданные значения.

Если , то задача Дирихле удовлетворяет уравнению Пуассона Единственность решения задачи Дирихле и непрерывная запись ее от краевых условий (корректность краевой задачи) вытекают из следующих гармонических функций.

Свойcтво1 (принцип максимума). Гармоническая в ограниченной области функция, непрерывная в замкнутой области , не может принимать внутри этой области значений больших, чем максимум ее значений на границе непрерывные заданные значения.

Доказательство. Пусть – максимум значений на границе . Допустим, что функция в некоторой точке внутри принимает значение , причем .

Составим вспомогательную функцию

,

где – диаметр области . Очевидно, имеем

,

причем при выполняется неравенство

.

Следовательно, функция достигает своего наибольшего значения внутри области в некоторой точке , причем в этой точке будут выполнены необходимые условия для максимума функции:

.

Из соотношения

вытекает, что по крайней мере одна из производных или положительна внутри . Поэтому функция ни в какой конкретной точке области не может иметь максимума, и, следовательно, приходим к противоречию. Таким образом, .

Аналогично доказывается, что , где – наименьшее значение функции на границе .

Следствие. Пусть функция – гармоническая в ограниченной области и непрерывная в замкнутой области . В таком случае справедливо равенство

,

где на , на .

Замечание. Можно доказать более сильное утверждение, что гармоническая в ограниченной и замкнутой области функция, отличная от константы, не принимает внутри наибольшего и наименьшего значений.

Свойство II (единственность решения задачи Дирихле). Задача Дирихле для замкнутой и ограниченной области может иметь лишь единственное решение, т. е. не существует двух непрерывных гармонических функций в замкнутой ограниченной области , принимающих, на границе одни и те же значения.

Доказательство. Допустим, что две функции и гармонические в области , совпадают всюду на ее границе. Рассмотрим функцию

.

Очевидно, что на – гармоническая функция, обращающаяся в нуль на границе. По свойству I эта функция не может принимать внутри значений больше или меньше нуля, следовательно, внутри и .

Замечание. Из свойства II не следует, что задача Дирихле для ограниченной замкнутой области имеет решение; это свойство лишь утверждает, что если существует решение задачи Дирихле для области , то оно единственно.

Можно доказать, что если область выпуклая, т. е. вместе с двумя своими точками содержит соединяющий их отрезок, и граница ее действительно имеет решение (теорем Неймана).

Свойство III (корректность задачи Дирихле). Решение задачи Дирихле для замкнутой и ограниченной области непрерывно зависит от граничных данных.

Доказательство. Допустим, что и – решения задачи Дирихле, соответственно принимающее на границе значение и .

Пусть всюду на выполнено неравенство

,

где – произвольное малое положительное число.

Рассмотрим гармоническую функцию

.

На границе эта функция принимает значение

.

Так как на , то по свойству I имеем

при ,

т. е. или .

Таким образом, для задачи Дирихле требование корректности выполнено при .

2.2 Решение задачи Дирихле для уравнения Лапласа методом сеток

Идея метода сеток (или, иначе, метода конечных разностей) для приближенного решения краевых задач для двумерных дифференциальных уравнений заключается в следующем:

1. в плоскостной задаче, в которой разыскивается решение, строится сеточная область , состоящая из одинаковых ячеек (рис. 1, Приложение А) и приближающая данную область ;

2. заданное дифференциальное уравнение заменяется в узлах построенной сетки соответствующим конечно-разностным уравнением;

3. на основании граничных условий устанавливаются значения искомого решения в граничных узлах области .

Решив полученную систему конечно-разностных уравнений, для чего, вообще говоря, нужно решить алгебраическую систему с большим числом неизвестных, мы найдем значения искомой функции в узлах сетки, т. е. будем иметь численное решение задачи.

Выбор сеточной области производится в зависимости от конкретной задачи, но во всех случаях контур сеточной области следует выбирать так, чтобы он возможно лучше аппроксимировал контур заданной области .

Сеточная область может состоять из квадратных, прямоугольных, треугольных и других клеток. От выбора основного размера клетки зависит величина остаточного члена при замене дифференциального уравнения конечно-разностным. Следовательно, размер теоретически должен определяться требованием, чтобы этот остаточный член был меньше погрешности, допустимой при решении. Однако такой путь не всегда целесообразен, так как получаемый при этом размере настолько мал и, следовательно, число клеток настолько велико, что решение оказывается практически невыполнимым.

Обычно задача решается сначала при большом значении , т. е. при малом числе клеток, и лишь, после того, как задача грубо приближенно решена для этой крупной сетки или во всей рассматриваемой области, или в какой-нибудь ее части.

Идея метода сеток восходит еще к Эйлеру. Однако практическое использование этого метода наталкивалось на серьезные трудности, так как получение с его помощью достаточно точного решения краевой задачи обычно приводило к системам алгебраических уравнений, на решение которых при ручном счете требовались затраты времени. Положение резко изменилось с появлением быстродействующих электронных вычислительных машин. Метод сеток допускает удобную реализацию на электронных счетных машинах, так как его применении сводится к повторяемости однородных циклов. В настоящее время метод сеток является одним из наиболее эффективных методов решения линейных, а также нелинейных задач математической физики.

Покажем применение метода сеток для построения решения задачи Дирихле

при и при , (1)

где – заданная непрерывная функция, причем для простоты рассмотрим лишь случай квадратной сетки. Будем предполагать, что область ограничена простым замкнутым кусочно-гладким контуром .

Выбрав шаг , построим квадратную сетку

с таким расчетом, чтобы узлы сетки принадлежали области , или отстояли от ее границы на расстоянии меньшем, чем .

Точки (узлы) называются соседними, если они удалены друг от друга в направлении оси или оси на расстояние, равное шагу сетки . Узел сетки называется внутренним, если он принадлежит области , а все четыре соседних с ним узла – множеству ; в противном случае он называется граничным (например, узлы сетки ) (рис. 1, Приложение А – внутренние узлы обозначены светлыми кружками, а граничные – темными кружками и темными треугольниками).

Граничный узел сетки называется узлом первого рода, если он имеет соседний внутренний узел этой сетки (например, узел – рис. 1, Приложение А); в противном случае граничный узел называется узлом второго рода (узел – рис. 1, Приложение А). Внутренние узлы и граничные узлы первого рода сетки называются расчетными точками. Граничные узлы второго рода не входят в вычисление и могут быть изъяты из сетки (рис. 1, Приложение А – граничные узлы второго рода обозначены темными треугольниками).

Относительно сетки предположим, что множество ее расчетных точек «связное», т. е. любые две расчетные точки можно соединить цепочкой узлов, каждые два смежных элемента которой являются соседними узлами. Кроме того, будем считать многоугольную сеточную область выбранной так, чтобы ее геометрическая граница возможно ближе примыкала к границе области . Заметим, что узловые точки контура могут лежать внутри, так и вне .

Значение искомой функции в точках обозначим через . Для каждой внутренней точки сетки заменяем дифференциальное уравнение (1) конечно-разностным уравнением

, (2)

где – расчетные точки.

В граничных узлах первого рода сетки полагаем

, (3)

где – ближайшая к точка границы .

Система (2) является неоднородной линейной системой, причем число неизвестных (т. е. число внутренних узлов сетки) равно числу уравнений. Система (2) всегда совместна и имеет единственное решение. Чтобы доказать это, достаточно убедиться в том, что соответствующая однородная система, очевидно, формально может быть записана в виде системы (2), с той лишь разницей, что значение функции на границе следует положить тождественно равным нулю: .

Однородная система (2) всегда совместна, так как эта система имеет тривиальное решение . Покажем, что однородная система (2) не может иметь решения . Пусть, например, для некоторого решения одно из ее неизвестных . Для определенности будем считать . Обозначим через наибольшую компоненту рассматриваемого решения, т. е. положим

(4)

для всех узлов сетки . В силу неравенства (4) будем иметь

. (5)

На основании системы (2) получаем

. (6)

Учитывая неравенство (4), заключаем, что

.

Ни одно из последних четырех неравенств не является строгим, так как если бы это имело место, то, складывая все четыре неравенства и учитывая формулу (6), мы получили бы .

Поэтому

. (7)

Проводя аналогичные рассуждения для точек сетки с ближайшей точкой , где положено

.

Таим образом, из цепи равенств (7) имеем , что противоречит неравенству (5).

Так, однородная система (2) не может иметь положительных решений. Аналогично доказывается, что эта система не может иметь отрицательных решений. Следовательно, для каждого решения, и, значит, неоднородная система (2) совместна и имеет единственное решение.

Решив систему (2), получим приближенные значения искомой функции в узлах сеточной области . Тем самым будет найдено приближенное численное решение задачи Дирихле для области . Можно показать, что в общем случае погрешность приближенного решения имеет порядок .

2.3 Понятие о решение задачи Дирихле для уравнения Лапласа методом Монте-Карло

Пусть на плоскости дана область с кусочно-гладкой границей . В области построим квадратную сетку с шагом :

, (1)

Мы предполагаем, что сетка состоит из внутренних узлов и граничных узлов первого рода. Граничные узлы сетки образуют ее границу. Грубо говоря, граница представляет собой линейный ряд точек , аппроксимирующий криво-криволинейную границу области с точностью до .

Представим себе частицу , которая совершает равномерное случайное блуждание по узлам сетки (1). А именно, находясь во внутреннем узле сетки , эта частица за один переход с одной и той же вероятностью, равной 1/4, может переместиться в один из четырех соседних узлов: или в (шаг влево), или в (шаг вправо), или в (шаг вниз), или в (шаг вверх), причем каждый такой единичный переход совершенно случаен и не зависит от положения частицы и ее прошлой истории. Будем считать, что блуждание частицы заканчивается, как только эта частица попадет на границу ; в этом смысле граница представляет собой «поглощающий экран». Можно доказать, что с вероятностью, равной 1, блуждание точки через конечное число шагов заканчивается на границе.

Если частица начала свое блуждание с фиксированной внутренней точки сетки , то конечная совокупность последовательных положений этой частицы: где и , называется траекторией частицы (с шагами) или историей блуждания.

Равномерное случайное блуждание частицы на плоскости можно организовать с помощью равномерно распределенной последовательности одноразрядных случайных чисел, принимающих значения. Для этого, например, достаточно производить розыгрыш, т. е. случайную выборку из чисел , придерживаясь инструкции, указанной в таблице 1 (Приложение B); причем числа 8 и 9 переигрываются.

Случайные числа берутся из готовых таблиц или вырабатываются электронной машиной. Последний способ при работе на счетной машине предпочтительнее, так как он позволяет не загружать сильно память машины.

Пусть в точках границы Г области G определена некоторая функция . Перенесем эти значения на границу сетки . Например, для каждого граничного узла определим ближайшую по горизонтали (или вертикали) точку и положим

.

Для краткости введем обозначение

.

Пусть – вероятность того, что траектория частицы, вышедшей из узла сетки , закончится в граничном узле . Так как блуждание точки неизбежно заканчивается на границе в первой же точке выхода ее на границу, то

, (2)

где суммирование распространяется на все точки границы , причем

(3)

где – граничный узел.

Составим сумму

, (4)

где точка пробегает всю границу . Если функцию рассматривать как случайную величину, принимающую значения на границе , то сумма (4) представляет собой математическое ожидание (среднее значение) функции на границе для траекторий, начинающихся в точке («премия за выход на границу» из начальной точки ). Частица, начавшая свое случайное блуждание из внутреннего узла , после первого шага с вероятностью, равной 1/4, попадает в один из четырех соседних узлов. Поэтому случайные блуждания, начинающиеся в узле , в зависимости от вида траекторий распадаются на четыре категории новых случайных блужданий: