Теория поля и элементы векторного анализа

Математическая теория поля занимается изучением его свойств, отвлекаясь от его конкретного физического смысла. Поэтому получаемое в этой теории понятие и закономерности относятся ко всем конкретным полям.

Определение 1

Полем
называется совокупность значений той или иной величины (скорость, плотность, давление и т.п.), заданных в каждой точке рассматриваемой области.

Если рассматриваемая величина

а) скаляр
, то поле называется скалярным, например

– поле плотности

б) вектор
, то поле называется векторным

– поле скоростей

в) тензор
, то поле называется тензорным

– поле напряжений.

Определение 2

Если значения рассматриваемых величин не изменяются
во времени
, то поле называется стационарным
(установившимся), если же они изменяются
во времени
, то поле называется нестационарным.

Здесь мы остановимся на рассмотрении свойств стационарных полей.

Характеристики скалярного поля

1) Скалярное поле характеризуется поверхностью уровня
(см. рис.)

2) Градиент поля
определяется как вектор, составленный из частных производных

(1)

Он направлен по нормали к поверхностям уровня и характеризует величину и направление наибыстрейшего изменения величины поля. Полный дифференциал скалярного поля можно представить в виде:

, (2)

где .

3) Производная по направлению
(см. рис. 2) определяется как проекция градиента на данное направление

(3)

Частный случай: производная по нормали
:

(4)

4) Частные и полные производные по времени

Рассмотрим нестационарное скалярное поле:

Скорость изменения r в фиксированной точке равна и называется частной
производной (локальной
производной). Пусть задана некоторая траектория в пространстве, где определено скалярное поле (рис. 3)

Скорость изменения r вдоль траектории определяется как полная производная по t
от сложной функции и равна:

(5)

– конвективная производная, она связана с перемещением точки (частицы) из одной точки пространства в другую.

Замечание
:

ОператорÑ «набла
» – это греческое слово, означающее «арфа» – музыкальный инструмент, по форме напоминающий перевернутый треугольник.

Характеристики векторного поля

1) Векторная линия
– кривая, направление которой в каждой ее точке совпадает с направлением вектора , отвечающего этой точке (см. рис. 4)

и

– коллинеарные (параллельные) векторы и, следовательно,

|| =

= lÞ= l

(6)

2) Производная от вектора по направлению определяется следующим образом:

(7)

– направляющие косинусы вектора , в декартовой системе координат.

Доказательство
:

Учтем, что

и так далее, подставим в , получим:

+

+

Итак, мы доказали

.

3) Частная и полная производные по времени от вектора

(9)

Доказательство
:

4) Поток вектора через поверхность. Дивергенция

– поток векторной величины через элементарную площадку (элементарный поток)

(11)

векторный поток через незамкнутую площадку;

(12)

поток вектора через замкнутую площадку.

–

поток вектора скорости через поверхность S
равен объему жидкости, протекающей через эту площадку поверхности за единицу времени.

По теореме Остроградского-Гаусса (рис. 7)

(13)

Сжимая объем и, следовательно получим, используя теорему осреднения

(14)

Следовательно, можно определить как предел

(15)

Пример
:

В гидродинамике поле скоростей имеет

дивергенция равна количеству жидкости, рассчитанному на единицу объема, вытекающему из данной точки пространства за одну секунду, т.е. равна мощности источника жидкости (если > 0).

Если < 0, то в этих точках пространства расположен сток жидкости, с мощностью .

5. Циркуляция вектора вдоль линии

Роток векторного поля

Элементарная циркуляция вектора вдоль линии dl
равна (рис. 8а)

(16)

Циркуляция вектора вдоль замкнутой линии L
(рис. 8б)

(17)

Пусть контур L
ограничивает некоторую поверхность S
(рис. 8в). Используем теорему Стокса и преобразуем интеграл по кривой L
в интеграл по поверхности S
:

(18)

Роток (вихрь) вектора определяется как

(19)

Определение

Циркуляция
вектора вдоль замкнутого контура равна потоку его ротора
через поверхность, ограниченную этим контуром (рис. 9)

(20)

Потенциальное векторное поле

Определение
:

Векторное поле называется потенциальным, если существует скалярная величина , такая, что

– называется скалярным потенциалом поля.

Свойства потенциального поля

1. В потенциальном поле отсутствуют вихри (отсутствует ротация), т.е.

Доказательство:

2. Циркуляция по любому замкнутому контуру равна нулю (это следствие п.1)

3. Работа потенциального поля при перемещении точки из одного положения в другое не зависит от пути соединяющего эти положения и равна разности потенциалов в конечных точках.

Циркуляция потенциального поля не зависит от вида кривой, соединяющей две различные точки, и равна разности значений потенциала в данных точках.

отсюда получаем

4. Векторные линии потенциального поля не могут быть замкнутыми.

Доказательство от противоположного:

Допустим, что есть замкнутая векторная линия L
. Тогда по определению векторной линии вдоль соответствующего контура и, следовательно, и циркуляция по нему больше нуля , что противоречит свойству 2.

5. Сумма потенциальных векторных полей является потенциальным полем, и потенциал суммы полей равен сумме потенциалов.

Определение
:

Векторное поленазывается соленоидальным (вихревым), если существует векторная величина такая, что