ФЕДЕРАЛЬНОЕ Вариант № .
Нефтеперерабатывающий завод производит в месяц 1500000 л алкилата, 1200000 л крекинг - бензина и 1300000 л изопентола. В результате смешения этих компонентов в пропорциях 1:1:1 и 3:1:2 получается бензин сорта А и Б соответственно. Стоимость 1000 л бензина сорта А и Б соответственно равна 90 и 120 усл. ед.. Определить месячный план производства бензина сорта А и Б, приносящий предприятию максимальную прибыль.
Решите задачу графическим и симплекс-методом. Выполните постановку и найдите решение двойственной задачи.
1. Графический метод решения
| Характеристика |
Бензин |
Ограничения |
|
| А |
Б |
||
| Алкилат |
1 |
3 |
1500 |
| Крекинг – бензина |
1 |
1 |
1200 |
| Изопентол |
1 |
2 |
1300 |
| Прибыль (за 1000л) |
90 |
120 |
|
| План |
х1
|
х2
|
|
х1
+ 3х2
<
1500,
х1
+ х2
<
1200,
х1
+ 2х2
<
1300,
х1
>
0, х2
>
0.
Целевая функция:
f = 90х1
+ 120х2
→ max.
Строим прямые
х1
+ 3х2
= 1500, 1
х1
+ х2
= 1200, 2
х1
+2 х2
= 1300. 3
Строим направляющий вектор q {90, 120}.
Строим прямую, перпендикулярную направляющему вектору и проходящую через область допустимых решений.
Находим оптимальный план:
х1
+ х2
= 1200, х1
= 1100,
х1
+2 х2
= 1300. х2
= 100.
Максимальная прибыль допускается при выпуске 1100 бензина А и 100 бензина Б.
Оптимальное значение целевой функции:
f = 90х1
+ 120х2
, f = 90∙1100 + 120∙100 = 111000.
2. Симплекс-метод.
| Характеристика |
Бензин |
Ограничения |
|
| А |
Б |
||
| Алкилат |
1 |
3 |
1500 |
| Крекинг – бензина |
1 |
1 |
1200 |
| Изопентол |
1 |
2 |
1300 |
| Прибыль (за 1000л) |
90 |
120 |
|
| План |
х1
|
х2
|
|
Ограничения:
х1
+ 3х2
<
1500,
х1
+ х2
<
1200,
х1
+ 2х2
<
1300,
х1
>
0, х2
>
0.
Целевая функция: f = 90х1
+ 120х2
→ max,
Введем дополнительные переменные у1
, у2
, у3
.
1х1
+ 3х2
+ у1
= 1500,
1х1
+ 1х2
+ у2
= 1200,
1х1
+ 2х2
+ у3
= 1300,
х1
>
0, х2
>
0,
у1
>
0, у2
>
0, у3
>
0.
у1
= 1500 – (1х1
+ 3х2
),
у2
= 1200 – (1х1
+ 1х2
),
у3
= 1300 – (1х1
+ 2х2
),
х1
>
0, х2
>
0,
у1
>
0, у2
>
0, у3
>
0.
f = 0 – (-90х1
– 120х2
) → max.
Составим симплекс таблицу:
| Базисные переменные |
Свободные члены |
x1
|
x2
|
| у1
|
1500 |
1 |
3
|
| у2
|
1200 |
1 |
1 |
| у3
|
1300 |
1 |
2 |
| Индексная строка |
0 |
-90 |
-120 |
Так как в столбце свободных членов нет отрицательных элементов, то найдено допустимое решение. Так как в индексной строке есть отрицательные элементы, то полученное решение не оптимально. Для определения ведущего столбца найдем максимальный по модулю отрицательный элемент в индексной строке (-120). А ведущая строка та, у которой наименьшее положительное отношение свободного члена к соответствующему элементу ведущего столбца.
Пересчитаем таблицу
| Базисные переменные |
Свободные члены |
x1
|
у1
|
| x2
|
500 |
1/3 |
1/3 |
| у2
|
700 |
2/3 |
-1/3 |
| у3
|
300 |
1
|
-2/3 |
| Индексная строка |
60000 |
-50 |
40 |
Так как в столбце свободных членов нет отрицательных элементов, то найдено допустимое решение. Так как в индексной строке есть отрицательные элементы, то полученное решение не оптимально. Для определения ведущего столбца найдем максимальный по модулю отрицательный элемент в индексной строке (-50). А ведущая строка та, у которой наименьшее положительное отношение свободного члена к соответствующему элементу ведущего столбца.
Пересчитаем таблицу
| Базисные переменные |
Свободные члены |
у3
|
у1
|
| X2
|
200 |
-1 |
1 |
| у2
|
100 |
-2 |
1
|
| X1
|
900 |
3 |
-2 |
| Индексная строка |
105000 |
150 |
-60 |
Так как в столбце свободных членов нет отрицательных элементов, то найдено допустимое решение. Так как в индексной строке есть отрицательные элементы, то полученное решение не оптимально. Для определения ведущего столбца найдем максимальный по модулю отрицательный элемент в индексной строке (-60). А ведущая строка та, у которой наименьшее положительное отношение свободного члена к соответствующему элементу ведущего столбца.
Пересчитаем таблицу
| Базисные переменные |
Свободные члены |
у3
|
у2
|
| x2
|
100 |
1 |
-1 |
| у1
|
100 |
-2 |
1 |
| x1
|
1100 |
-1 |
2 |
| Индексная строка |
111000 |
30 |
60 |
Найдено оптимальное решение.
3. Постановка и решение двойственной задачи.
Основная задача:
х1
+ 3х2
<
1500,
х1
+ х2
<
1200,
х1
+ 2х2
<
1300,
х1
>
0, х2
>
0.
Целевая функция:
f = 90х1
+ 120х2
→ max.
Целевая функция двойственной задачи:
g = 1500y1
+ 1200y2
+ 1300y3
→ min.
у1
1 1 1 ∙ у2
3 1 2 у3
1у1
+ 1у2
+ 1у3
>
90,
3у1
+ 1у2
+ 2у3
>
120.
Переход от неравенства к равенству:
х1
+ 3х2
+ х3
= 1500,
х1
+ х2
+ х4
= 1200,
х1
+ 2х2
+ х5
= 1300,
хi
>
0.
1у1
+ 1у2
+ 1у3
- у4
= 90,
3у1
+ 1у2
+ 2у3
- у5
= 120.
уi
>
0.
| Осн. |
Осн. |
Доп. |
|||
| х1
|
х2
|
х3
|
х4
|
х5
|
|
| 1100 |
100 |
100 |
0 |
0 |
|
| Двойст. |
0 |
0 |
0 |
60 |
30 |
| у4
|
у5
|
у1
|
у2
|
у3
|
|
| Доп. |
Осн. |
||||