САРАТОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ СОЦИАЛЬНО-ЭКОНОМИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ
ФАКУЛЬТЕТ ИНФОРМАТИКИ И ИНФОРМАЦИОННЫХ ТЕХНОЛОГИЙ
КУРСОВАЯ РАБОТА
ВЫЧИСЛЕНИЕ ИНТЕГРАЛОВ МЕТОДОМ МОНТЕ - КАРЛО
Выполнил:
Руководитель:
Саратов, 2009
СОДЕРЖАНИЕ
ВВЕДЕНИЕ
1. МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ОБОСНОВАНИЕ АЛГОРИТМА ВЫЧИСЛЕНИЯ ИНТЕГРАЛА
1.1 Принцип работы метода Монте – Карло
1.2 Применение метода Монте – Карло для вычисления n – мерного интеграла.
1.3 Сплайн – интерполяция 8
1.4 Алгоритм расчета интеграла
2. ГЕНЕРАТОР ПСЕВДОСЛУЧАЙНЫХ ЧИСЕЛ
2.1 Генератор псевдослучайных чисел применительно к методу Монте – Карло.
2.2 Алгоритм генератора псевдослучайных чисел
2.3 Проверка равномерности распределения генератора псевдослучайных чисел.
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННЫХ ИСТОЧНИКОВ
ВВЕДЕНИЕ
Целью данной работы является создание программного продукта для участия в конкурсе, проводимом группой компаний «Траст» по созданию программных разработок. Для реализации было выбрано следующее технической задание:
Задание 12 Вычисление интегралов методом Монте – Карло.
Цель:
1) Реализация генератора случайных чисел для метода Монте – Карло.
2) Сравнение равномерного распределения и специально разработанного.
3) Вычисление тестового многомерного интеграла в сложной области.
Продукт:
1) Программный код в виде функции на языке С++ или Fortran .
2) Тестовые примеры в виде программы, вызывающие реализованные функции.
3) Обзор использованной литературы.
Для реализации данного технического задания был выбран язык C++. Код реализован в интегрированной среде разработки приложений Borland C++ Builder Enterprises и математически обоснован соответствующий способ вычисления интеграла.
1. МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ОБОСНОВАНИЕ АЛГОРИТМА ВЫЧИСЛЕНИЯ ИНТЕГРАЛА
1.1 Принцип работы метода Монте – Карло
Датой рождения метода Монте - Карло признано считать 1949 год, когда американские ученые Н. Метрополис и С. Услам опубликовали статью под названием «Метод Монте - Карло», в которой были изложены принципы этого метода. Название метода происходит от названия города Монте – Карло, славившегося своими игорными заведениями, непременным атрибутом которых являлась рулетка – одно из простейших средств получения случайных чисел с хорошим равномерным распределением, на использовании которых основан этот метод.
Метод Монте – Карло это статистический метод. Его используют при вычислении сложных интегралов, решении систем алгебраических уравнений высокого порядка, моделировании поведения элементарных частиц, в теориях передачи информации, при исследовании сложных экономических систем.
Сущность метода состоит в том, что в задачу вводят случайную величину , изменяющуюся по какому то правилу . Случайную величину выбирают таким образом, чтобы искомая в задаче величина стала математическим ожидание от , то есть .
Таким образом, искомая величина определяется лишь теоретически. Чтобы найти ее численно необходимо воспользоваться статистическими методами. То есть необходимо взять выборку случайных чисел объемом . Затем необходимо вычислить выборочное среднее варианта случайной величины по формуле:
. (1)
Вычисленное выборочное среднее принимают за приближенное значение .
Для получения результата приемлемой точности необходимо большое количество статистических испытаний.
Теория метода Монте – Карло изучает способы выбора случайных величин для решения различных задач, а также способы уменьшения дисперсии случайных величин.
1.2 Применение метода Монте – Карло для вычисления n – мерного интеграла.
Рассмотрим n
–
мерный интеграл
для . (2)
Будем считать, что область интегрирования , и что ограниченное множество в . Следовательно, каждая точка х
множества имеет n
координат: .
Функцию возьмем такую, что она ограничена сверху и снизу на множестве : .
Воспользуемся ограниченностью множества и впишем его в некоторый n
– мерный параллелепипед , следующим образом:
,
где - минимумы и максимумы, соответственно, - ой координаты всех точек множества : .
Доопределяем подынтегральную функцию таким образом, чтобы она обращалась в ноль в точках параллелепипеда , которые не принадлежат :
(3)
Таким образом, уравнение (2) можно записать в виде
. (4)
Область интегрирования представляет собой n
–
мерный параллелепипед со сторонами параллельными осям координат. Данный параллелепипед можно однозначно задать двумя вершинами , которые имеют самые младшие и самые старшие координаты всех точек параллелепипеда.
Обозначим через n
-мерный вектор, имеющий равномерное распределение в параллелепипеде : , где .
Тогда ее плотность вероятностей будет определена следующим образом
(5)
Значение подынтегральной функции от случайного вектора будет случайной величиной , математическое ожидание которой является средним значением функции на множестве :
. (6)
Среднее значение функции на множестве равняется отношению значения искомого интеграла к объему параллелепипеда :
(7)
Обозначим объем параллелепипеда .
Таким образом, значение искомого интеграла можно выразить как произведение математического ожидания функции и объема n
- мерного параллелепипеда :
(8)
Следовательно, необходимо найти значение математического ожидания . Его приближенное значение можно найти произведя n
испытаний, получив, таким образом, выборку случайных векторов, имеющих равномерное распределение на . Обозначим и . Для оценки математического ожидания воспользуемся результатом
, (9)
где ,
,
- квантиль нормального распределения, соответствующей доверительной вероятности .
Умножив двойное неравенство из (9) на получим интервал для I
:
. (10)
Обозначим точечную оценку . Получаем оценку (с надежностью ):
. (11)
Аналогично можно найти выражение для относительной погрешности :
. (12)
Если задана целевая абсолютная погрешность , из (11) можно определить объем выборки, обеспечивающий заданную точность и надежность:
. (13)
Если задана целевая относительная погрешность, из (12) получаем аналогичное выражение для объема выборки:
. (14)
1.3 Сплайн – интерполяция.
В данном программном продукте реализована возможность задавать дополнительные ограничения области интегрирования двумя двумерными сплайн – поверхностями (для подынтегральной функции размерности 3). Для задания этих поверхностей используются двумерные сплайны типа гибкой пластинки 4.
Под сплайном (от англ. spline - планка, рейка) обычно понимают агрегатную функцию, совпадающую с функциями более простой природы на каждом элементе разбиения своей области определения. Сплайн – функция имеет следующий вид:
. (15)
Исходные данные представляют собой троек точек .
Коэффициенты и определяются из системы:
, (16)
где ,
.
1.4 Алгоритм расчета интеграла
Реализованный алгоритм включает следующие шаги:
1) выбирается начальное значение , разыгрываются случайные векторы из и определяются и ;
2) в зависимости от вида погрешности (абсолютная, относительная) определяется достигнутая погрешность; если она меньше целевой, вычисление прерывается;
3) по формулам (13) или (14) вычисляется новый объем выборки;
4) объем выборки увеличивается на 20%
5) переход к шагу 1;
6) конец.
2. ГЕНЕРАТОР ПСЕВДОСЛУЧАЙНЫХ ЧИСЕЛ
2.1 Генератор псевдослучайных чисел применительно к методу Монте – Карло.
В любом алгоритме использующем метод Монте – Карло генератор псевдослучайных чисел играет очень важную роль. Степень соответствия псевдослучайных чисел заданному распределению является важным фактором проведения качественных статистических испытаний.
2.2 Алгоритм генератора псевдослучайных чисел
В программе реализован конгруэнтный метод генерации псевдослучайных чисел 3:
, (17)
где =8192,
=67101323.
Авторский код, реализующий защиту от переполнения был, реализован на С++. Перед использование первые три числа последовательности удаляются. Для получении чисел из интервала (0,1) все числа делятся на .
2.3 Проверка равномерности распределения генератора псевдослучайных чисел.
Проверка равномерности распределения псевдослучайных чисел проводилась с помощью стандартного критерия χ2
2.
Были использованы 3 последовательности псевдослучайных чисел, определяемых стартовыми значениями 1, 1001, 1000000 длиной 300000.
Интервал (0,1) подразделялся на 50 равных интервалов и программно подсчитывались абсолютные частоты (рис. 1).
Рис. 1
Результаты проверки приведены в Таблице 1.
Таблица 1
| стартовое значение ГСЧ |
|||
| 1 |
1001 |
1000000 |
|
| хи-квадрат |
44.0533333333333 |
45.007 |
48.618 |
| df |
50 |
50 |
50 |
| p-значение |
0.709735881642893 |
0.673522612551685 |
0.528941919633451 |
Следовательно, равномерность распределения не отвергается на уровне 5%.
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
В заключение можно сказать, что поставленная задача была полностью выполнена. То есть на языке С++ были разработаны генератор псевдослучайных чисел, функция рассчитывающая интеграл методом Монте – Карло (Приложение 1); был проведен расчет тестовых многомерных интегралов (Приложение 2); в интегрированной среде разработки приложений Borland C++ Builder Enterprises 7.0 был создан программный продукт «CarloS», реализующий описанные выше алгоритмы (Приложение 3).
СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННЫХ ИСТОЧНИКОВ
1. Бережная Е. В., Бережной В. И. Математические методы моделирования экономических систем. – М.: Финансы и статистика, 2001. – 368 с.
2. Мюллер П., Нойман П., Шторм Р. Таблицы по математической статистике. – М.: Финансы и статистика, 1982. – 278 с.
3. Теннант-Смит Дж. Бейсик для статистиков. – М.: Мир, 1988. – 208 с.
4. Baranger J. Analyse numérique. Hermann, 1991.
5. Маделунг Э. Математический аппарат физики. Справочное руководство. М.: Наука, 1968., с.287.
6. В.Е. Гмурман Теория вероятностей и математическая статистика – М.: Высшая школа, 2003
ПРИЛОЖЕНИЕ 1
ЛИСТИНГИ ОСНОВНЫХ ФУНКЦИЙ
Листинг 1 Функция расчета интеграла
void
integral ()
{
// вычисление интеграла методом Монте – Карло
// размерность области интегрирования
unsigned
d_int=fun_dim;
//----- 3 d
график
--------------------------------------------------------
//
максимальное число троек
unsigned
plot_dim_max=10000;
//
матрица троек
pmatd xyz,xyz_tmp;
if (d_int==3) xyz=new matd(plot_dim_max,3);
//-------------------------------------------------------------------------
//
индикатор относительной погрешности
mcres.relok=Read1double("error_type.txt");
//
целевая погрешность
mcres.dlt_int=Read1double("error_value.txt");
// номер стандартного значения доверительной вероятности (начиная с 0)
int
nome_int=Read1double("error_omega.txt");
//
ГСЧ
unsigned long
b=m_rng*m_rng-d_rng,c,r,i,PSChunk;
// "
росток
"
ГСЧ
mcres.rng_seed=Read1double("rng_seed.txt");
pmatd fun_b, fun_A, con_b, con_A, con_U, con_v,
a_int, b_int, ba_int, x_int, xyz_top, xyz_bottom;
unsigned
j,ii,jj,con_ok;
struct
date dat;
struct
time tim;
pspl2d sp_top,sp_bottom;
// квантили нормального распределения
double
omegas_int[6]={
0.9,0.95,0.99,0.999,0.9999,0.99999}
;
double
zs_int[6]={
1.64485362695147,1.95996398454005,2.5758293035489,
3.29052673149191, 3.89059188641317, 4.4171734134667}
;
mcres.omega_int=omegas_int[nome_int];
mcres.z_int=zs_int[nome_int];
double
fun_cd,con_wd,fu_int,con_sum,sum1_int,sum2_int;
// вид интегрируемой функции
// 0 - постоянная
// 1 - линейная
// 2 - квадратичная
mcres.fun_type=Read1double("fun_kind.txt");
// вид системы ограничений
// 0 – отсутствуют (весь параллелепипед)
// 1 -
линейные
// 2 -
квадратичное
// 3 –
сплайн
-
поверхности
mcres.con_type=Read1double("con_type.txt");
//
загрузка параметров интегрируемой функции
switch
(mcres.fun_type)
{
case
2: fun_A=new
matd("fun_A.txt");
case
1: fun_b=new
matd("fun_b.txt");
case
0: fun_cd=Read1double("fun_c.txt");
}
//
загрузка параметров ограничений
switch
(mcres.con_type)
{
case
3: //
сплайн - поверхности
//
верхняя
xyz_top=new
matd("xyz_top.txt");
//
нижняя
xyz_bottom=new
matd("xyz_bottom.txt");
//
двумерная интерполяция
sp_top=new
spl2d(xyz_top);
sp_bottom=new
spl2d(xyz_bottom);
break;
case
2: //
квадратичная функ
con_U=new
matd("con_U.txt");
con_v=new
matd("con_v.txt");
con_wd=Read1double("con_w.txt");
break;
case
1: //
линейные ограничения
con_b=new
matd("con_b.txt"); con_A=new
matd("con_A.txt");
}
//
объемлющий параллелепипед
a_int=new
matd("con_xmin.txt");
b_int=new
matd("con_xmax.txt");
//
разность границ параллелепипеда
ba_int=new
matd;
ba_int=&(*b_int - (*a_int));
//
аргумент интегрируемой функции
x_int=new
matd(d_int,1);
//
объем объемлющего параллелепипеда
mcres.V0_int=1;
for
(j=1; j <= d_int; j++)
{
if
(_p(ba_int,j,1) <= 0)
{
DbBox("Нижняя граница объемлющего параллелепипеда выше верхней для
координаты ",j);
goto
clean_exit;
}
mcres.V0_int=mcres.V0_int*_p(ba_int,j,1);
}
//
начальный объем выборки
mcres.n1_int=10000;
// основной цикл для достижения заданной точности
// число итераций, потребовавшихся для достижения заданной точности
mcres.n_ite=0;
getdate(&dat); gettime(&tim); mcres.t_start=dostounix(&dat,&tim);
WaitForm->Show();
while
(1)
{
mcres.n_ite++;
WaitForm->Edit1->Text=mcres.n_ite;
WaitForm->Edit2->Text=mcres.n1_int;
WaitForm->ProgressBar1->Position=0;
WaitForm->Refresh();
// генерация случайных точек и накопление суммы
sum1_int=0; sum2_int=0;
mcres.in_G_int=0;
PSChunk=long
(mcres.n1_int/50.0);
//
запуск ГСЧ
r=mcres.rng_seed;
for
(i=1; i < 3; i++)
{
c=int
(r/m_rng);
r=b*c+m_rng*(r-m_rng*c);
if
(r > d_rng) r=r-d_rng;
}
for
(i=1; i <= mcres.n1_int; i++)
{
//
случайный вектор
for
(j=1; j <= d_int; j++)
{
//
случайное число
c=int
(r/m_rng);
r=b*c+m_rng*(r-m_rng*c);
if
(r > d_rng) r=r-d_rng;
_p(x_int,j,1)=_p(a_int,j,1)+_p(ba_int,j,1)*double(r)/d_rng;
}
//
прогресс
if
(!(i % PSChunk))
{
WaitForm->ProgressBar1->Position=100.0*(i-1)/(mcres.n1_int-1);
WaitForm->Refresh();
}
//
проверка ограничения
con_ok=1;
switch
(mcres.con_type)
{
case
3: //
сплайн
–
поверхности
if
((_p(x_int,3,1) < sp_bottom->f(_p(x_int,1,1),
_p(x_int,2,1)))||(_p(x_int,3,1) > sp_top->f(_p(x_int,1,1),_p(x_int,2,1)))) con_ok=0;
break
;
case
2: //
квадратичная функция ограничений
con_sum=0;
for
(ii=1; ii <= d_int; ii++)
for
(jj=1; jj <= d_int; jj++)
if
(_p(con_U,ii,jj) != 0)
con_sum += _p(x_int,ii,1)*_p(con_U,ii,jj)*_p(x_int,jj,1);
for
(ii=1; ii <= d_int; ii++)
if
(_p(con_v,ii,1) != 0)
con_sum += _p(con_v,ii,1)*_p(x_int,ii,1);
if
(con_sum > con_wd) con_ok=0;
break
;
case
1: //
линейная функция ограничений
for
(ii=1; ii <= con_A->nl; ii++)
{
con_sum=0;
for
(jj=1; jj <= d_int; jj++)
con_sum += _p(con_A,ii,jj)*_p(x_int,jj,1);
if
(con_sum > _p(con_b,ii,1)) {
con_ok=0; break
; }
}
}
fu_int=0;
if
(con_ok != 0)
{
mcres.in_G_int++;
//
точки
3d
графика
if
(d_int==3)
if
(mcres.in_G_int <= plot_dim_max)
{
_p(xyz,mcres.in_G_int,1)=_p(x_int,1,1);
_p(xyz,mcres.in_G_int,2)=_p(x_int,2,1);
_p(xyz,mcres.in_G_int,3)=_p(x_int,3,1);
}
//
значение интегрируемой функции
switch
(mcres.fun_type)
{
case
2: //
квадратичный член
for
(ii=1; ii <= d_int; ii++)
for
(jj=1; jj <= d_int; jj++)
if
(_p(fun_A,ii,jj) != 0)
fu_int += _p(x_int,ii,1)*_p(fun_A,ii,jj)*_p(x_int,jj,1);
case
1: //
линейный член
for
(ii=1; ii <= d_int; ii++)
if
(_p(fun_b,ii,1) != 0)
fu_int += _p(fun_b,ii,1)*_p(x_int,ii,1);
case
0: //
постоянная
fu_int += fun_cd;
}
}
sum1_int+=fu_int; sum2_int+=fu_int*fu_int;
}
// оценка мат. ожидания и дисперсии
mcres.f1_int=sum1_int/mcres.n1_int;
mcres.vari_int=(sum2_int-sum1_int*sum1_int/mcres.n1_int)/(mcres.n1_int-1);
//
расчет погрешности
if
(mcres.relok==0)
{
//
абсолютная погрешность
mcres.deltar=mcres.V0_int*mcres.z_int*sqrt(mcres.vari_int/mcres.n1_int);
}
else
{
//
относительная погрешность
if
(mcres.f1_int!=0)
{
mcres.deltar=mcres.z_int/fabs(mcres.f1_int)*sqrt(mcres.vari_int/mcres.n1_int);
}
else
{
// форма результатов
mcres.inte_int=0;
mcres.deltar=0;
getdate(&dat); gettime(&tim); mcres.t_end=dostounix(&dat,&tim);
mcres.t_calc=mcres.t_end-mcres.t_start;
InfoBox("Оценка интеграла = 0 (выбрана относ. погрешность), вычисление
прервано
.");
ResultForm->Show();
WaitForm->Close();
goto
clean_exit;
}
}
WaitForm->Edit3->Text=mcres.deltar;
WaitForm->Refresh();
if
(mcres.deltar < mcres.dlt_int)
{
//
точность достаточна
mcres.inte_int=mcres.V0_int*mcres.f1_int;
getdate(&dat); gettime(&tim); mcres.t_end=dostounix(&dat,&tim);
mcres.t_calc=mcres.t_end-mcres.t_start;
ResultForm->Show();
break
;
}
//
вычисление нового объема выборки
if
(mcres.relok==0)
{
//
абс
.
погрешность
mcres.n1_int=ceil(mcres.vari_int*pow(mcres.V0_int*mcres.z_int/mcres.dlt_int,2));
}
else
{
//
отн
.
погрешность
mcres.n1_int=ceil(mcres.vari_int*pow(mcres.z_int/mcres.dlt_int/mcres.f1_int,2));
}
// корректировка объема выборки в большую сторону
//
для сокращения числа итераций
mcres.n1_int=1.2*mcres.n1_int;
//
минимальный объем выборки
if
(mcres.n1_int < 1000) mcres.n1_int=1000;
}
//
конец основного цикла
WaitForm->Close();
// 3d
график
if
(d_int==3)
{
if
(mcres.in_G_int==0)
{
//
множество точек пусто
Zero_File("xyz.txt");
}
else
if
(mcres.in_G_int < xyz->nl)
{
// точек не набралось, чтобы заполнить матрицу
xyz_tmp=new matd(mcres.in_G_int,3);
for
(i=1; i <= mcres.in_G_int; i++)
{
_p(xyz_tmp,i,1)=_p(xyz,i,1);
_p(xyz_tmp,i,2)=_p(xyz,i,2);
_p(xyz_tmp,i,3)=_p(xyz,i,3);
}
xyz_tmp->txprint("xyz.txt");
delete
xyz_tmp;
}
else
{
//
вся матрица заполнена
xyz->txprint("xyz.txt");
}
}
//
конец
d_int==3
clean_exit:
//
очистка памяти
if
(d_int==3) delete
xyz;
switch
(mcres.fun_type)
{
case
2: delete
fun_A;
case
1: delete
fun_b;
}
switch
(mcres.con_type)
{
case
3: delete
xyz_top,xyz_bottom,sp_top,sp_bottom; break
;
case
2: delete
con_U,con_v; break
;
case
1: delete
con_b,con_A;
}
delete
a_int,b_int,ba_int,x_int;
}
//integral
Листинг 2 структура для хранения результатов расчета интеграла
struct
mcres_struct
{
// индикатор относительной погрешности
int
relok;
//
целевая погрешность
double
dlt_int;
//
достигнутая погрешность
double
deltar;
//
доверительная вероятность
double
omega_int;
//
квантиль норм. распределения
double
z_int;
// "
росток
"
ГСЧ
unsigned
long
rng_seed;
// ÷число итераций, потребовавшихся для достижения заданной точности
unsigned
n_ite;
// объем выборки на последней итерации
unsigned
long
n1_int;
// число точек попавших в область интегрирования
unsigned
in_G_int;
//
интеграл
double
inte_int;
//
объем объемлющего параллелепипеда
double
V0_int;
//
выборочное среднее
double
f1_int;
//
выборочная дисперсия
double
vari_int;
//
время начала счета
time_t t_start;
// время окончания счета
time_t t_end;
// продолжительность вычисления интеграла
time_t t_calc;
// вид интегрируемой функции
int
fun_type;
// вид системы огрничений
int
con_type;
}
; //
mcres_struct
ПРИЛОЖЕНИЕ 2
ТЕСТОВЫЕ ПРИМЕРЫ
Пример 1 Интеграл от квадратичной функции по 3-мерному симплексу.
Точное значение интеграла:
Приближенное значение найдено для целевой абсолютной погрешности 0.00001.
Погрешность: 0.000034416630896 или 0.014749984670 %.
Примеры 2-10 Объемы многомерных шаров
Точные и приближенные объемы многомерных шаров приведены в следующей таблице.
|
|
Объем точный[1]
|
Объем приближенный[2]
|
Оценка CarloS[3]
|
Относительная погрешность, % |
| 2 |
|
3.1415926535897932385 |
3.1504 |
0.280346543342 |
| 3 |
|
4.1887902047863909846 |
4.2032 |
0.344008520578 |
| 4 |
|
4.9348022005446793096 |
4.98099547511312 |
.936071451118 |
| 5 |
|
5.2637890139143245968 |
5.18913116403891 |
-1.4183290720439 |
| 6 |
|
5.1677127800499700296 |
5.16153372226575 |
-.1195704569352 |
| 7 |
|
4.7247659703314011698 |
4.70163814726423 |
-.4895019819476 |
| 8 |
|
4.0587121264167682184 |
3.98117943332154 |
-1.9102782035357 |
| 9 |
|
3.2985089027387068695 |
3.30542485033746 |
.209668908064 |
| 10 |
|
2.5501640398773454440 |
2.55096385956571 |
.31363460384e-1 |
[1]
Источник [5], с. 287.
[2]
Вычислено в Maple (20 значащих цифр).
[3]
Расчет с целевой относительной погрешностью 2%