Линейное программирование, решение задач симплексным методом

Введение

Линейное программирование как раздел исследования операций имеет почти сорокалетнюю историю. Внедрение вычислительной техники дало значительный толчок исследованиям в этой области математики. Был разработан ряд алгоритмов решения задач линейного программи­рования, а в последующие годы были созданы программы и пакеты программ преимущественно для больших ЭВМ. Основная масса лите­ратуры по. линейному программированию в нашей стране выпущена в 60 - 70-е годы. Исследования в этой области (как теоретические, так и прикладные) продолжаются и в настоящее время.

Методы линейного программирования оказались весьма эффектив­ными для решения некоторых задач из области исследования операций. Слово "программирование" мы понимаем как планирование, и это определяет характер рассматриваемых приложений. Основные идеи линейного программирования возникли во время второй мировой войны в связи с поиском оптимальных стратегий при ведении военных операций. С тех пор они нашли широкое применение в промышленности, торговле и управлении — как в местных, так и в государственных мас­штабах. Этими методами можно решить многие (хотя не все) задачи, связанные с эффективным использованием ограниченных ресурсов.

Математические методы и модели хорошо известны, распространены и используются под различными названиями — математические методы в при­нятии решений; методы исследования операций; экономико-ма­тематические методы; методы экономической кибернетики; ме­тоды оптимального управления, прикладная математика в эко­номике и организации производства и пр. Во множестве публикаций на данную тему (более или менее всеохватывающих) они рассматриваются в тех или иных сочетаниях.

Исследование операций — научная дисциплина, занимающаяся разработкой и практическим применением методов наиболее эффективного управления различными организационными системами.

Управление любой системой реализуется как процесс, подчиняющийся определенным закономерностям. Их знание помогает определить условия, необходимые и достаточные для осуществления данного процесса. Для этого все параметры, характеризующие процесс и внешние условия, должны быть количественно определены, измерены. Следовательно, цель исследования операций — количественное обоснование принимаемых решений по организации управления.

Целью всякого моделирования является исследование объек­та вначале на качественном, а затем по мере накопления ин­формации и развития модели на все более точных количествен­ных уровнях.

Данные соображения могут быть проиллюстрированы про­стым примером. Существовал (и существует) метод «теория ве­роятностей» как широкий класс математических моделей, опе­рирующих понятиями «вероятность», «случайное событие», «случайная величина», «математические ожидание (среднее зна­чение) случайной величины», «дисперсия (рассеяние)» и т. д. На границе XIX и XX вв. появляется новый объект - коммутируе­мая система телефонной связи, с которой ассоциируются поня­тия «заявка на соединение», «отказ», «время ожидания соедине­ния», «коммутация» и другие характеристики системы.

В 20-е гг. А. К. Эрланг соединил эти метод и объект; в резуль­тате была создана математическая теоретико-вероятностная мо­дель процессов в коммутируемых телефонных сетях, оперирующая понятиями «поток заявок», «среднее время ожидания», «средняя длина очереди на обслуживание», «дисперсия времени ожидания», «вероятность отказа» и т. д. Дальнейшее развитие это­го научного направления показало плодотворность понятийной базы данной модели, ее широкие конструктивные возможности. Модель развилась в метод исследования сложных систем — «тео­рию массового обслуживания», терминология и понятийная база которого абстрагировались от ассоциаций с телефонными сетями и обрели общетеоретический характер. И теперь новые модели могут строиться путем применения теории массового обслужива­ния к другим объектам (производственные процессы, операцион­ные системы ЭВМ, транспортные потоки и пр.).

Таким образом, с одной стороны, метод определен, если развита однородная совокупность моделей, т. е. способов рас­смотрения различных объектов в одном аспекте, а с другой — объект познается тем глубже, чем больше моделей объекта разработано. При этом двойственная природа модели приводит к дуализму понятийной базы моделирования, включающей об­щие (от «метода») и специфичные (от «объекта») понятия.

Исследование операций — совокупность прикладных мате­матических методов используемых для решения практических организационных (в том числе экономических) задач. Это - комплексная научная дисциплина. Круг проблем, изучаемых ею, недостаточно определен. Иногда исследование операций пони­мают очень широко, включая в него ряд чисто математических методов, иногда, наоборот, очень узко — как практическую ме­тодику решения с помощью экономико-математических моделей строго определенного перечня задач.

Главный метод исследования операций — системный анализ целенаправленных действий (операций) и объективная (в част­ности, количественная) сравнительная оценка возможных результатов этих действий.

Среди важнейших классов задач исследования операций мож­но назвать задачи управления запасами, распределения ресур­сов и назначения (распределительные задачи), задачи массово­го обслуживания, задачи замены оборудования, упорядочения и согласования (в том числе теория расписаний), состязатель­ные (например, игры), задачи поиска и др. Среди применяе­мых методов — математическое программирование (линейное, нелинейное и т. п.), дифференциальные и разностные уравне­ния, теории графов, Марковских процессов, теория игр, теория (статистических) решений, теория распознавания образов и ряд других.

Считается, что исследование операций зародилось накануне второй мировой войны, когда в Англии на одной радиолокаци­онной станции была создана группа специалистов для решения технических задач с помощью математики. Они сосредоточили внимание на сравнении эффективности путей решения задач, поиске оптимального решения. Участие в этой группе предста­вителей разных специальностей предопределило комплексный, или, как теперь принято говорить, системный, подход. В настоя­щее время в этом направлении работают сотни исследователь­ских учреждений и групп в десятках стран. Организованы обще­ства исследования операций, объединяемые международной фе­дерацией (ИФОРС).

В создание современного математического аппарата и развитие многих направлений исследования операций большой вклад внесли российские ученые Л.В.Канторович, Н.П. Бусленко, Е.С. Вентцель, Н.Н. Воробьев, Н.Н. Моисеев,Д.Б. Юдин и многие другие.

Значительный вклад в формирование и развитие исследования операций внесли зарубежные ученые Р. Акоф, Р. Беллман, Г. Данциг, Г. Кун, Дж. Нейман, Т. Саати, Р. Черчмен, А. Кофман и др.

Методы исследования операций, как и любые математиче­ские методы, всегда в той или иной мере упрощают, огрубляют задачу, отражая нелинейные процессы линейными моделями, стохастические системы — детерминированными и т. д. Поэто­му не следует ни преувеличивать значения количественных ме­тодов исследования операций, ни преуменьшать его, ссылаясь на примеры неудачных решений. Известно парадоксальное оп­ределение, которое дал крупный американский специалист в этой области

Т. А. Саати: «Исследование операций представля­ет собой искусство давать плохие ответы на те практические вопросы, на которые даются еще худшие ответы другими спо­собами».

ЦЕНТРАЛЬНЫЙ МЕЖРЕГИОНАЛЬНЫЙ ТЕХНИКУМ ОТРАСЛЕВЫХ ТЕХНОЛОГИЙ И ПРЕДПРИНИМАТЕЛЬСТВА

Утверждаю

Зам. директора по учебной части

« » 200 г
.

ЗАДАНИЕ

на курсовое проектирование

по предмету «Математические методы»

Студенту: Сергееву Евгению Анатольевичу.

Тема проекта: «Линейное программирование, решение задач симплексным методом».

ПОЯСНИТЕЛЬНАЯ ЗАПИСКА

Введение
Теоретическая часть
Практическая часть

Задачи и их решение:

Задача первая:

Решить задачу симплекс методом:

X1
+3X2
≤300

X1
+X2
≤150

X1
≥0

X2
≥0

F = 2X1
+3X2
→ max

3.1.2 Задача вторая:

Предприятие выпускает продукцию двух видов. Виды сырья, его запасы, нормы расхода сырья на у. е. каждого вида продукции, прибыль производства от реализации продукции даны в таблице:

Виды сырья	Расход сырья на продукцию		Запасы сырья
	1	2
1	1	3	20
2	2	1	10
3	2	2	17
Прибыль	2	1

Как следует спланировать выпуск продукции, чтобы прибыль была наибольшей?

3.1.3. Задача третья:

На предприятии выпускают 3 вида изделий, при этом используют 3 вида сырья. Запасы сырья, нормы его расхода и прибыль от реализации каждого продукта приведены в таблице:

Виды сырья	Расход сырья на продукцию			Запасы сырья
	1	2	3
1	2	3	7	1250
2	1	1	0	250
3	5	3	0	900
Прибыль	41	35	96

Как следует спланировать выпуск продукции, чтобы прибыль была наибольшей?

3.1.4. Задача четвертая:

Для изготовления 4 видов продукции используются 3 вида сырья. Запасы сырья, нормы его расхода и прибыль от реализации каждого продукта приведены в таблице:

Виды сырья	Расход сырья на продукцию				Запасы сырья
	1	2	3	4
1	2	3	3	1	20
2	1	1	2	2	11
3	1	2	3	1	25
Прибыль	2	4	3	2

Как следует спланировать выпуск продукции, чтобы прибыль была наибольшей?

3.
Заключение

4.
Список литературы

Председатель цикловой комиссии
/Баранов В.А.

Руководитель курсового проекта
/Карпушкин А.Г.

Дата выдачи задания: Срок окончания:

« » 2007 г. « » 2007 г.

СИМПЛЕКСНЫЙ МЕТОД

Впервые симплексный метод был предложен американским ученым Дж. Данцигом в 1949 г., однако, еще в 1939 г. идеи метода были разработаны российским ученым

Л В.Канторовичем.

Симплексный метод, позволяющий решить любую задачу линейного программирования, универсален. В настоящее время он используется для компьютерных расчетов, однако несложные примеры с применением симплексного метода можно решать и вручную.

Для реализации симплексного метода — последовательного улучшения решения — необходимо освоить три основных

элемента:

• способ определения какого-либо первоначального допустимого

базисного решения задачи;

• правило перехода к лучшему (точнее, не худшему) решению;

• критерий проверки оптимальности найденного решения.

Для использования симплексного метода задача линейного программирования должна быть приведена к каноническому виду, т.е. система ограничений должна быть представлена в виде уравнений.

Обыкновенные жордановы исключения

Рассмотрим систему из m линейных уравнений с n неизвестными

a11
x1
+ a12
x2
+ … + a1n
xn
= b1,

……………

am1
x1
+ am2
x2
+ … + amn
xn
= bm
.

Запишем эту систему в виде таблицы

	x1	xj	xn
b1 =	a11 … a1j … a1n
………………..
bi =	ai1 … aij … ain
………………..
bm =	am1 … amj … amn

Шагом обыкновенного жорданова исключения (ОЖИ), произведенным над данной таблицей с разрешающим элементом aij
≠ 0 с I разрешающей строкой и j разрешающим столбцом, назовем операцию решения уравнения

bi
= ai
1
x1
+ ai
2
x2
+ … + aij
xj
+ … + ain
xn

относительно xj
, подстановки этого решения в исходную систему и записи вновь полученной системы в виде новой таблицы.

Нетрудно проверить, что новая таблица будет иметь вид

	x1	x2 …	bi …	xn
b1 =	b11 b12 … a1j … b1n
b2 =	b21 b22 … a2j … b2n
…	………………..
xj	-ai 1 –ai 2 … 1 ... -ain
…	………………..
bm =	bm1 bm2 … amj … bmn

: aij
,

где brs
= ars
aij
- arj
ais
(i ≠ r, j ≠ s),

причем все элементы таблицы нужно разделить на aij
.

Таким образом, один шаг жорданова исключения (ШЖИ) переводит исходную таблицу в новую по схеме, состоящей из следующих 5 правил:

1) разрешающий элемент заменяется единицей

2) остальные элементы разрешающего столбца j остаются без изменения.

3) остальные элементы разрешающей строки i меняют лишь свои знаки.

4) остальные элементы brs
вычисляются по формуле brs
= ars
aij
- arj
ais

5) все элементы новой таблицы делятся на разрешающий элемент aij
.

Пример 1. Для таблицы

	X1	X2	X3
Y1 =	1	-2	3
Y2 =	-1	1	2
Y3 =	2	-1	-1

один шаг жорданова исключения с разрешающими 2-й строкой и 3-м столбцом приводим к таблице

	X1	X2	Y2
Y1 =	5	-7	3
X3 =	1	-1	1
Y3 =	3	-1	-1

: 2

Жордановы исключения позволяют от случайно взятой декартовой системы координатных плоскостей перейти к новой системе, в которой координатами точек являются их уклонения от более интересной для той или другой задачи системы плоскостей.

Модифицированные жордановы исключения

Если исходную систему уравнений ai
1
x1
+ ai
2
x2
+ … + ain
xn
= bi,
где i = 1,m,

записать в виде –ai
1
(-x1
) – ai
2
(-x2
) - … - ain
(-xn
) = bi

и составить таблицу

	-X1	-X2	…-Xn
b1 =	–a11	–a12	… –a1 n
….	…………..
bm =	–am 1	–am2	… –amn

то в этих случаях вместо ОЖИ пользуются МЖИ.

Один шаг МЖИ с разрешающим элементом “-ars
”, означает переход к новой таблице

-X1 …	-Yr …	-Xn
b1 =	b11 ...	a1 s …	b1 n
….	…………………….
xs =	-ar 1 …	1 …	-ar n
….	…………………….
bm =	bm 1 …	ams …	bmn

: (-ars
)

которая получается по правилам 1 – 5 ОЖИ с тем лишь изменением, что правила 2 и 3 меняются ролями:

1) остальные элементы разрешающей строки остаются без изменения

2) остальные элементы разрешающего столбца меняют лишь свои знаки

Рассмотрим систему

2X1
+ 3X2
– 5X3
= 16 = b1
,

3X1
- 2X2
+ 4X3
= 36 = b2
,

5X1
+ 7X2
– 11X3
= 44 = b3
.

Запишем ее в виде таблицы

	-x1	-x2	-x3
b1 =	-2	-3	5
b2 =	-3	2	-4
b3 =	-5	-7	11

и произведем один шаг МЖИ с разрешающим элементом “2”

	-x1	-b2	-x3
b1 =	-13	3	-2
x2 =	-3	1	-4
b3 =	-31	7	-6

: 2

Экстремумы линейной функции

Пусть рассматривается общая задача линейного програм­мирования. В основе вычислительных методов ЛП лежит следующая фундаментальная теорема.

Теорема. Если задача линейного программирования име­ет оптимальное решение

(в ограниченной области всегда, а в неограниченной области в зависимости от ограниченности функции Z), то оно совпадает по крайней мере с одним из опорных решений системы ограничительных уравнений.

Согласно этой теореме вместо исследования бесконечно­го множества допустимых решений с целью нахождения сре­ди них искомого оптимального решения, необходимо иссле­довать лишь конечное число опорных решений.

Данная теорема утверждает, что существует по край­ней мере одно опорное оптимальное решение, однако, в за­дачах могут встретиться несколько опорных оптимальных решений (альтернативный оптимум).

Следовательно, принципиальная схема решения задач линейного программирования следующая:

1. С помощью ЖИ найдем все опорные решения систе­мы.

a11
x1
+ a12
x2
+ … + a1n
xn
= b1
,

……...................

ak1
x1
+ ak2
x2
+ … + akn
xn
= bk
,

ak+1,1
x1
+ ak+1,2
x2
+ … + ak+1n
xn
≤ bk+1
,

……...................

am1
x1
+ am2
x2
+ … + amn
xn
≤ bm
.

2. Вычислим для каждого из них значение функции Z, определяемое соотношением.

Z = c1
x1
+ c2
x2
+ … + cn
xn
.

3. Выберем из них экстремальное Z.

Следует отметить, что может оказаться очень большое число опорных решений, поэтому нужно производить упо­рядоченный перебор опорных решений, добиваясь на

каж­дом шаге монотонного изменения функции Z.

Такая идея последовательного улучшения решения и за­ложена в основном вычислительном методе решения задач линейного программирования, получившим название симп­лексного метода.

Симплексный метод на основе полных таблиц

Постановка задачи об определении оптимального ассортимента продукции

Предприятие может производить два вида изделий А и В, располагая для их изготовления ограниченными ресурса­ми материала чугуна и стали соответственно в количествах 350 и 392 кг и оборудования в количестве 408 станко-часов. Данные, представленные в виде таблицы, характеризуют затраты каждого из перечисленных трех видов ресурсов на изготовление одного изделия А и В.

Требуется определить сколько изделий А и В должно про­изводить предприятие, чтобы достичь наибольшей прибыли.

Виды ресурсов	Объем ресурсов	Затраты на одно изделие
		А	В
Чугун	350	14	5
Сталь	392	14	8
Оборудование	408	6	12
Прибыль в руб.	10	5

Введем искомые неизвестные Х1
и X2
, обозначающие число изделий А и В, которые должно производить пред­приятие.

Тогда математически задачу можно сформулировать сле­дующим образом.

Среди множества неотрицательных решений системы неравенств

14X1
+ 5Х2
≤ 350, (1.1)

14Х1
+ 8Х2
≤ 392,

6Х1
+ 12Х2
≤ 408,

найти такое решение, для которого функция

Z = 10 Х1
+ 5 Х2

достигает наибольшего значения.

Геометрическое решение задачи

Прежде всего, построим область допустимых решений, соответствующую системе неравенств.

Для этого, заменив каждое из неравенств равенством

14Х1
+ 5Х2
= 350, (1-я прямая),

14X1
+ 8Х2
= 392, (2-я прямая),

6Х1
+ 12Х2
= 408, (3-я прямая),

строим граничную линию. Учитывая, что Х1
≥ 0 и Х2
≥ 0, полу­чаем заштрихованную часть плоскости, образующую много­угольник решений OABCD (рис.1).

Затем строим линию уровня 10Х1
+ 5Х2
= 0 и вектор (10;5), которые взаимно перпендикулярны. Нетрудно показать, что вектор дает направление наибольшего возрастания линей­ной функции.

Действительно

Z0
= 10X10
+ 5Х20
= 10 * 0 + 5 * 0 = 0,

ZА
= 10X1
A
+ 5Х2
A
= 10 * 0 + 5 * 34 = 170,

ZD
= 10X1
D
+ 5X2
D
= 10 * 25 + 5 * 0 = 250 и т. д.

Из всех линий уровня выбираем две, из которых одна проходит через точку 0 и дает min значение функции Z, а другая проходит через точку С и функция Z для нее прини­мает mах значение. Эти линии уровня называются опорными.

Рис. 1

Точка C образована первой и второй прямыми. Следова­тельно, решая систему уравнений

14Хl
+ 5Х2
= 350,

14Х1
+ 8Х2
= 392,

найдем координаты точки C

Х1
= 20, Х2
= 14,

при этом Zmax
= 10 * 20 + 5 * 14 = 270 руб.

Таким образом, mах прибыль в 270 руб. будет получена, если предприятие произведет 20 изделий вида А и 14 изде­лий вида В.

Отыскание максимума линейной функции

В основе симплексного метода решения задач линейного программирования лежит с некоторыми дополнениями разоб­ранный ранее метод последовательных исключений, представ­ляющий собой совокупность удобных вычислительных алгорит­мов, построенных на последовательном применении тождествен­ных (симплексных) преобразований системы уравнений.

Добавляя к левой части неравенств

14X1
+ 5Х2
≤ 350,

14Х1
+ 8Х2
≤ 392,

6Х1
+ 12Х2
≤ 408,

некоторую нео­трицательную величину Yj
≥ 0 (i = 1, 2, 3), (1.2)

называемую выравнивающей или базисной переменной, пре­вратим их в уравнения:

14	Х1 + 5Х2 + У1	= 350,
14	Х1 + 8Х2	+ У2	= 392,
6	X1 + 12Х2	+ У3	= 408,
-10	X1 - 5Х2	+ Z = 0.

(1.3)

При этом можно показать, что каждому решению систе­мы неравенств (1.1) соответствует единственное решение си­стемы уравнений (1.3) и неравенств (1.2) и наоборот.

Каждая из переменных Y1,
У2
, У3
входит только в одно уравнение и зависит от переменных Х1
и X2
, которые мы на­зываем свободными.

Системе (1.3) соответствует исходное допустимое базис­ное решение X1
= X2
= 0;

Y1
= 350; Y2
= 392; Y3
= 408 и Z = 0.

Выполняем первое тождественное преобразование системы уравнений (1.3). Выбираем разрешающий столбец, соот­ветствующий наименьшему отрицательному элементу в Z стро­ке, ибо теоретически установлено, что при этом можно ожи­дать при прочих равных условиях большего увеличения фун­кции Z. Правую часть уравнений делим на элементы разре­шающего столбца и выбираем наименьшее положительное отношение, соответствующее разрешающей строке (уравне­нию). На пересечении выделенных столбца и строки стоит разрешающее число.

Первое уравнение делим на разрешающее число и вы­писываем получившееся уравнение. Умножая это уравнение на 14, 6 и -10 и вычитая соответственно из 2-го, 3-го и 4-го уравнений системы (1.3), придем к следующей системе (1.4):

X1 +	5/14	X2 + 1/4 Y1 = 25,
3	Х2 – Y1 + Y2	= 42,
138/14	X2 – 6/14 Y1 + У3	= 258,
-20/14	X2 + 10/14 Y1	+ Z = 250.

(1.4)

Подобное тождественное преобразование, при котором выбор разрешающего числа производится по указанному правилу, будем называть симплексным преобразованием.

Таким образом, симплексное преобразование выполня­ется по следующему правилу:

1. Выбирается разрешающий столбец, соответствующий наименьшему отрицательному элементу в Z - строке.

2. Выбирается разрешающая строка, которая соответству­ет наименьшему положительному из отношений элементов правой части уравнений на соответствующие элементы раз­решающего столбца. На пересечении разрешающего столбца и разрешающей строки стоит разрешающее число.

3. Элементы разрешающей строки делятся на разрешаю­щее число.

4. Вычисляются элементы всех остальных строк по фор­муле:

Новые эл-ты	=	Старые эл-ты	_	соответствующее число в разрешающей строке		*	соответствующее число в разре­шающем столбце
				разрешающее число

Из системы (1.4) находим второе допустимое базисное решение Х2
= Yl
= 0; X1
= 25; Y2
= 42; Y3
= 258, которому соответствует новое увеличенное значение функции Z = 250.

Таким образом, процесс последовательных симплексных преобразований является процессом последовательного улуч­шения решения. При этом:

1. Если в Z - строке найдется хотя бы один отрицатель­ный элемент и

а) в разрешающем столбце найдется хотя бы один положительный элемент, то можно улучшить решение;

б) если же разрешающий столбец не содержит поло­жительных элементов, то функция Z неограниченно воз­растает.

2. Если все элементы в Z - строке неотрицательны, то достигнуто оптимальное решение.

Это и есть достаточные условия существования оптималь­ного плана решения.

В системе (1.4) коэффициент при Х2
в Z - строке отри­цательный, поэтому второй столбец будет разрешающим. Находим, что вторая строка будет разрешающей. Далее про­изводим симплексное преобразование системы (1.4) соглас­ном указанному правилу:

X1
+ 8/42 Y1
– 5/42 Y2
= 20,

X2
– 1/3 Y1
+ 1/3 Y2
= 14,

20/7 Y1
– 23/7 Y2
+ Y3
= 120,

10/42 Y1
+ 20/42 Y2
+ Z = 270, (1.5)

Так как в Z - строке все элементы неотрицательны, то данный план является оптимальным. При этом Yl
= Y2
= 0; X1
= 20; Х2
= 14 и Zmax
= 270.

Выполнение симплексных преобразований связано с кро­потливыми и часто довольно громоздкими вычислениями. Эти вычисления можно в значительной степени упростить, ис­пользуя для решения задач так называемые симплексные таблицы.

Каждое симплексное преобразование системы сводится к переходу от одной симплексной таблицы к другой.

Соответственно исходной системе уравнений (1.3) состав­ляем первую симплекс-таблицу (табл. 1.1).

X1	X2	Y1	Y2	Y3	контр. столбец
Y1	350	14	5	1	0	0	370
Y2	392	14	8	0	1	0	415
Y3	408	6	12	0	0	1	427
Z	0	-10	-5	0	0	0	-15

Таблица 1.1

Первый столбец - это столбец базисных переменных, во втором столбце стоят свободные коэффициенты правой части уравнений (1.3), в первой строке располагаются все переменные, последний столбец - это контрольный столбец и коэффициенты в нем равны сумме всех коэффициентов по строке.

Из табл. 1.1 имеем первое допустимое решение системы (1.3) Х1
= Х2
= 0, Y1
= 350,

Y2
= 392, Y3
= 408, Z = 0, которое соответствует вершине О (0,0) многоугольника допустимых решений OABCD (рис.1).

Переход ко второй симплекс-таблице (табл. 1.2) выпол­няется согласно указанному в этом пункте правилу для сим­плексных преобразований систем уравнений, при этом раз­решающая переменная Х1
идет в базис вместо разрешающей переменной Y1
Получаем табл. 1.2.

X1	X2	Y1	Y2	Y3	контр. столбец
X1	25	1	5/14	1/14	0	0	370/14
Y2	42	0	3	-1	1	0	45
Y3	258	0	138/14	-6/14	0	1	3758/14
Z	250	0	-20/14	10/14	0	0	3490/14

Таблица 1.2

После заполнения табл. 1.2 следует проверить правиль­ность ее заполнения, для чего суммируем коэффициент по строкам и эта сумма должна быть равна коэффициентам, сто­ящим в соответствующих клетках контрольного столбца. Из табл. 1.2 второе допустимое решение будет Х1
= 25, Х2
= 0, Y1
= 0, Y2
= 42, Y3
= 258 и Z = 250.

Нетрудно видеть, что эта таблица соответствует систе­ме (1.4), а опорное решение

Х1
= 25, Х2
= 0 соответствует вершине D(25,0) многоугольника решений.

Так как в Z - строке имеется отрицательный элемент, то улучшаем решение, для чего составляем симплексную табл. 1.3.

X1	X2	Y1	Y2	Y3	контр. столбец
X1	20	1	0	4/21	-5/42	0	295/14
X2	14	0	1	-1/3	1/3	0	15
Y3	120	0	0	20/7	-23/7	1	844/7
Z	270	0	0	5/21	10/21	0	1895/7

Таблица 1.
3

* Примечание. Для простоты вычислений следует помнить, что в новой таб­лице на месте элементов разрешающего столбца (кроме разрешающего элемента) стоят нули. Если в разрешающей строке стоят нули, то в новую таблицу соответствующие столбцы переносятся без изменения:

Так как в Z - строке нет отрицательных элементов, то данное решение будет оптимальным.

Табл. 1.3 соответствует системе уравнений (1.5) и опти­мальному решению Х1
= 20,

Х2
= 14 и Zmax
= 270 и вершине С (20,14) многоугольника допустимых решений OABCD.

Подобные удлиненные таблицы, содержащие в первой строке все переменные, благодаря наличию контрольного столбца позволяют контролировать правильность заполнения таблиц и избежать арифметических ошибок.

Симплексный метод на основе укороченных таблиц

Рассмотрим систему уравнений (1.3) и запишем ее в виде таблицы 1.4

СП БП	1	X1	X2
Y1	350	14	5
Y2	392	14	8
Y3	408	6	12
Z	0	-10	-5

Таблица 1.4

В первый столбец записываем базисные переменные (БП), а в первую строку – свободные переменные (СП). Далее переход к новой таблице 1.5 совершаем по правилу:

1) меняем местами СП и БП

2) на месте разрешающего элемента стоит величина ему обратная

3) элементы разрешающей стоки делим на разрешающее число

4) элементы разрешающего столбца делим на разрешающее чисто и меняем знак

5) остальные элементы находятся как в главе “Отыскание максимума линейной функции” правило 4 (правило прямоугольников для ОЖИ). Получаем таблицу 1.5.

СП БП	xt-align:center;">1	Y1	X2
X1	25	1/14	5/14
Y2	42	-1	3
Y3	258	-6/14	138/14
Z	250	10/14	-20/14

Таблица 1.5

Улучшаем этот опорный план, производя симплексное преобразование с разрешающим элементом “3” (табл. 1.6).

СП БП	1	Y1	Y2
X1	20	4/21	-5/42
X2	14	-1/3	1/3
Y3	120	20/7	-23/7
Z	270	5/21	10/21

Таблица 1.6

Получили оптимальный план Zmax
= 270 при X1
=20, X2
= 14, а ресурсы оборудования оказались в избытке в количестве 120 станко–часов.

Решение задачи линейного программирования

Найти максимум целевой функции

F = 10x + 5y

при ограничениях

14x + 5y ≤ 350

7x + 4y ≤ 196

x + 2y ≤ 68

Решение задачи с использованием программы
Microsoft
Excel.

Отведем А3 и B3 под значения переменных x и y.

В ячейку C4 введем функцию цели

= 10*A3 + 5*B3

В ячейки A7:A9 введем левые части ограничений

= 14*A3 + 5*B3

= 7*A3 + 4*B3

= A3 + 2*B3

а в ячейки B7:B9 – правые части ограничений.

После этого выберем команду Сервис
, Поиск решения
(Tools, Solver) и заполним открывшееся диалоговое окно Поиск решения (
Solver) как показано на рис. 2. После нажатия кнопки Выполнить
(Solve) открывается окно Результаты поиска решения
(Solver Results), которое сообщает, что решение найдено (рис. 3).

Рис. 2.
Поиск решения

Рис. 3. Результаты поиска решения

Геометрическое решение задачи с применением программы
MATHCAD 2000.

Установите режим автоматических вычислений.
Запишите в виде y = kx + b уравнения прямых, ограничивающих область допустимых значений переменных. Для того чтобы ввести и разрешить относительно y ограничение 14x + 5y ≤ 350, введите левую часть неравенства, нажмите кнопку Ctrl и нажмите одновременно кнопку =, удерживая предыдущую до тех пор пока выскочит жирный знак =, пометьте выделяющей рамкой переменную y, щелкните в меню Symbolic (Символы) по строке Solve (Вычислить) – результат вычислений будет выведен в рабочем документе справа от уравнения; введите имя функции (в рассматриваемом примере y1(x)) и присвойте ей полученное выражение. Таким образом, определено уравнение одной из прямых, ограничивающих область допустимых значений. Аналогично введите остальные ограничения. Введите уравнение 10x + 5y = C линии уровня (опорная прямая) целевой функции. Действуйте так же, как и при вводе ограничений, но перед тем как разрешить уравнение относительно y, присвойте какое-нибудь значение константе C.
Изобразите на графике соответствующие прямые и определите область допустимых решений системы.
Изменяя значения константы C, например C = 100,150,200,250,..., наблюдайте за движением опорной прямой и сформулируйте вывод о разрешимости задачи.
Если задача имеет единственное решение, найдите вершину, в которой Z = Zmax
. В нашем примере максимум целевой функции достигается в точке пересечения прямых 14x + 5y = 350 и 7x + 14y = 196. Найдите координаты точки, используя функцию Find.
Вычислите значение целевой функции в найденной точке.

14x + 5y = 350 (-14/5)x + 70 y1(x):= (-14/5)x + 70

7x + 4y = 196 (-7/4)x + 49 y2(x):= (-7/4)x + 49

x + 2y = 68 (-1/2)x + 34 y3(x):= (-1/2)x + 34

10x + 5y = C -2x + (1/5)C y4(x):= -2x + (1/5)C

C:= 100;

Рис. 4.

Данным

14x + 5x = 360

7x + 4y = 196

Найти (x, y) → (20, 14)

f(x, y): = 10x + 5y

fmin: = f(20, 14)

fmin: = 270

Аналитическое решение задачи с применением программы
MATHCAD 2000.

Аналитическое решение задачи в MathCAD значительно проще.

Установите режим автоматических вычислений.
Запишите задачу произвольным x и y присвойте произвольные (допустимые) значения, чтобы программа могла начать счет.

Z(x, y): = 10x + 5y

X: = 1y: = 1

Данным

14x + 5x ≤ 360

7x + 4y ≤ 196

x + 2y ≤ 68

M: = Максимизировать (z, x, y) M = (20, 14) Z (M0
, M1
) = 270

Задача максимизации линейной функции при наличии отрицательных свободных коэффициентов

Найти максимум линейной функции

Z = X1
+ X2

при ограничениях

X1
– X2
≤ 3,

X1
+ X2
≥ 5,

2X1
– 3X2
≤ 6,

X2
≤ 6,

X1
≥ 0, X2
≥ 0.

Запишем систему в виде

Y1
= -X1
+ X2
+ 3 ≥ 0

Y2
= X1
+ X2
- 5 ≥ 0

Y3
= -2X1
+ 3X2
+ 6 ≥ 0

Y4
= -X2
+ 6 ≥ 0

Составим таблицу.

-X1	-X2	1
Y1	1	-1	3
Y2	-1	-1	-5
Y3	2	-3	6
Y4	0	1	6
Z	-1	-1	0

В столбце имеется отрицательный элемент “-5”, его надо убрать, чтобы на этом месте был положительный элемент. Совершаем ШМЖИ с разрешающим элементом 1. Получаем таблицу.

-Y1	-X2	1
X1	1	-1	3
Y2	1	-2	-2
Y3	-2	-1	0
Y4	0	1	6
Z	1	-2	3

Продолжаем работать со 2-й строкой, так как отрицательный элемент не пропал. Совершаем ШМЖИ с разрешающим элементом -2. Получаем таблицу.

-Y1	-Y2	1
X1	1/2	-1/2	4
X2	-1/2	-1/2	1
Y3	-5/2	-1/2	1
Y4	1/2	1/2	5
Z	0	-1	5

Все свободные переменные положительные, находим опорное решение, полагая

Y1
= Y2
= 0, X1
= 4, X2
= 1, Y3
= 1, Y4
= 5. Так как план не оптимальный, то совершаем ШМЖИ с разрешающим элементом 1/2. Получаем таблицу, из которой имеем оптимальное решение X1
= 9, X2
= 6 и Zmax
= 15.

-Y1	-Y4	1
X1	1	1	9
X2	0	1	6
Y3	-2	1	6
Y2	1	2	10
Z	1	2	15

Задача минимизации линейной функции

Сведение задачи минимизации к задаче максимизации линейной функции

Мы рассматривали решение симплекс-методом задачи отыскания максимума линейной функции

W = c1
x1
+ c2
x2
+ … + cn
xn
.

Однако во многих экономических задачах требуется найти минимум линейной функции. Для этого достаточно положить

W = -Z = -c1
x1
– c2
x2
- … - cn
xn

и решать задачу максимизации полученной функции W при соответствующих ограничениях. Так как ясно, что

min Z = -max W.

Минимизировать линейную функцию

Z = -2X1
+ 5X2

при выполнении ограничений

7X1
+ 2X2
≥ 14,

5X1
+ 6X2
≤ 30,

3X1
+ 8X2
≥ 24,

X1
≥ 0, X2
≥ 0.

Геометрическое решение задачи на (рис. 5) и ему отвечает оптимальное решение в точке

С (48/11, 15/11) и при этом Zmin
= -21/11.

Рис 5. Геометрическое решение задачи

Вводя выравнивающие переменные Yi
≥ 0 и функцию W = -Z = 2X1
- 5X2
→ max, задачу запишем в виде.

Y1
= 7X1
+ 2X2
- 14,

Y2
= -5X1
- 6X2
+ 30,

Y3
= 3X1
+ 8X2
- 24,

W = 2X1
- 5X2
.

Записываем эту систему в виде таблицы.

-X1	-X2	1
Y1	-7	-2	-14
Y2	5	6	30
Y3	-3	-8	-24
W	2	5	0

Так как имеются отрицательные свободные члены, то от них избавляемся. Выбираем наименьший отрицательный член в Y3
– строке и в этой строке берем отрицательный элемент “-8”, который соответствует разрешающему столбцу. Свободные члены делим на соответствующие элементы разрешающего столбца и выбираем наименьшее положительное отношение, тогда Y3
– строка разрешающая. Производя ШМЖИ с разрешающим элементом “-8”, получаем таблицу.

-X1	-Y3	1
Y1	-50/8	-2/8	-8
Y2	22/8	6/8	12
X2	3/8	-1/8	3
W	-31/8	5/8	-15

Избавляемся от отрицательного свободного члена в Y1
– строке, совершая ШМЖИ с разрешающим элементом “-50/8”, получаем таблицу.

-Y1	-Y3	1
X1	-8/50	2/50	64/50
Y2	22/50	32/50	424/50
X2	3/50	-7/50	126/50
W	-31/50	39/50	-502/50

Так как все свободные члены в 1 – столбце неотрицательные, то выбираем разрешающий элемент как в МЖИ для задачи на max. Совершаем ШМЖИ с разрешающим элементом “22/50”, получаем таблицу.

	-Y2	-Y3	1
X1	4/11	3/11	48/11
Y1	25/11	16/11	212/11
X2	-3/22	-5/22	15/11
W	31/22	37/22	21/11

Так как в W – строке и в 1 – столбце нет отрицательных элементов, то получили оптимальное решение X1
= 48/11, X2
= 15/11, Wmax
– 21/11 или Zmin
= –Wmax
= -21/11,

Практическая часть

1.
Решить задачу симплекс методом.

X1
+ 3X2
≤ 300 F = 2X1
+ 3X2
→ max

X1
+ X2
≤ 150

X1
≥ 0

X2
≥ 0

Решение

X1
+ 3X2
+ X3
= 300 F - 2X1
- 3X2
= 0

X1
+ X2
+ X4
= 150

Б	С.Ч	X1	X2	X3	X4
X3	300	1	3	1	0
X4	150	1	1	0	1
F	0	-2	-3	0	0

Б	С.Ч	X1	X2	X3	X4
X2	100	1/3	1	1/3	0
X4	50	2/3	0	1/3	1
F	300	-1	0	1	0

(-1) (3)

Б	С.Ч	X1	X2	X3	X4
X2	75	0	1	1/2	-1/2
X1	75	1	0	-1/2	3/2
F	375	0	0	1/2	3/2

(-1/3) (1)

Ответ: X1
= 75; X2
= 75; X3
= 0; X4
= 0.

Задача №1.

Предприятие выпускает продукцию двух видов. Виды сырья, его запасы, нормы расхода сырья на у.е. каждого вида продукции, прибыль производства от реализации продукции даны в таблице.

Как следует спланировать выпуск продукции, чтобы прибыль предприятия была наибольшей?

Решение

X1
+ 3X2
≤ 20 F = 2X1
+ X2
→ max

2X1
+ X2
≤ 10

2X1
+ 2X2
≤ 17

X1
+ 3X2
+ X3
= 20 F - 2X1
- X2
= 0

2X1
+ X2
+ X4
= 10

2X1
+ 2X2
+ X5
=17

Б	С.Ч	X1	X2	X3	X4	X5
X3	20	1	3	1	0	0
X4	10	2	1	0	1	0
X5	17	2	2	0	0	1
F	0	-2	-1	0	0	0

Б	С.Ч	X1	X2	X3	X4	X5
X3	15	0	5/2	1	-1/2	0
X1	5	1	1/2	0	1/2	0
X5	7	0	1	0	-1	1
F	10	0	0	0	1	0

(-1)(-2)(2)

Ответ: X1
= 5; X2
= 0; X3
= 15; X4
= 0; X5
= 7.

Задача №2.

На предприятии выпускается три вида изделий, при этом используется три вида сырья. Запасы сырья, нормы его расхода и прибыль от реализации каждого продукта приведены в таблице.

Как следует спланировать выпуск продукции, чтобы прибыль предприятия была наибольшей?

Решение

2X1
+ 3X2
+ 7X3
≤ 1250 F = 41X1
+ 35X2
+ 96X3
→ max

X1
+ X2
≤ 250

5X1
+ 3X2
≤ 900

2X1
+ 3X2
+ 7X3
+ X4
= 1250 F - 41X1
- 35X2
- 96X3
= 0

X1
+X2
+ X5
= 250

5X1
+3X2
+ X6
= 900

Б	С.Ч	X1	X2	X3	X4	X5	X6
X4	1250	2	3	7	1	0	0
X5	250	1	1	0	0	1	0
X6	900	5	3	0	0	0	1
F	0	-41	-35	-96	0	0	0

Б	С.Ч	X1	X2	X3	X4	X5	X6
X3	1250/7	2/7	3/7	1	1/7	0	0
X5	250	1	1	0	0	1	0
X6	900	5	3	0	0	0	1
F	120000/7	-95/7	43/7	0	96/7	0	0

(96)

Б	С.Ч	X1	X2	X3	X4	X5	X6
X3	890/7	0	9/35	1	1/7	2/7	-2/35
X5	70	0	2/5	0	0	1	-1/5
X1	180	1	3/5	0	0	0	1/5
F	137100/7	0	100/7	0	96/7	0	19/7

Ответ: X1
= 180; X2
= 0; X3
= 890/7; X4
= 0; X5
= 70; X6
= 0.

Задача №3.

Для изготовления четырех видов продукции используется три вида сырья.

Запасы сырья, нормы его расхода и прибыль от реализации каждого продукта приведены в таблице.

Как следует спланировать выпуск продукции, чтобы прибыль предприятия была наибольшей?

Решение

2X1
+ 3X2
+ 3X3
+ X4
≤ 20 F = 2X1
+ 4X2
+ 3X3
+ 2X4
→ max

X1
+ X2
+ 2X3
+ 2X4
≤ 11

X1
+ 2X2
+ 3X3
+ X4
≤ 25

2X1
+ 3X2
+ 3X3
+ X4
+ X5
= 20 F - 2X1
- 4X2
- 3X3
- 2X4
= 0

X1
+ X2
+ 2X3
+ 2X4
+ X6
= 11

X1
+ 2X2
+ 3X3
+ X4
+ X7
= 25

X1
+ 3X2
≤ 20 F = 2X1
+ X2
→ max

2X1
+ X2
≤ 10

2X1
+ 2X2
≤ 17

Б	С.Ч	X1	X2	X3	X4	X5	X6	X7
X5	20	2	3	3	1	1	0	0
X6	11	1	1	2	2	0	1	0
X7	25	1	2	3	1	0	0	1
F	0	-2	-4	-3	-2	0	0	0

Б	С.Ч	X1	X2	X3	X4	X5	X6	X7
X2	20/3	2/3	1	1	1/3	1/3	0	0
X6	13/3	1/3	0	1	5/3	-1/3	1	0
X7	35/3	-1/3	0	1	1/3	-2/3	0	1
F	80/3	2/3	0	1	-2/3	4/3	0	0

(-1)(-2)(4)

Б	С.Ч	X1	X2	X3	X4	X5	X6	X7
X2	29/5	3/5	1	4/5	0	2/5	-1/5	0
X4	13/5	1/5	0	3/5	1	-1/5	3/5	0
X7	54/5	-2/5	0	4/5	0	-3/5	-1/5	1
F	282/5	4/5	0	7/5	0	6/5	2/5	0

(-1/3)(-1/3)(2/3)

Ответ: X1
= 0; X2
= 29/5; X3
= 0; X4
= 13/5; X5
= 0; X6
= 0; X7
= 54/5.

Заключение

Остановимся на простейших истолкованиях симплексно­го метода.

Алгебраический смысл симплексного метода состоит в том, что, совершая тождественные алгебраические преобра­зования, мы переходим от одного допустимого решения сис­темы алгебраических уравнений к другому улучшенному, достигая оптимального решения задачи.

С геометрической точки зрения тождественные преобразования по симплексному методу представляют собой последовательные движения от одной вершины выпуклого многоугольника решений к соседней, от нее к следующей и так к оптимальной вершине по сторонам этого многоугольника.

Экономическая сущность симплексного метода заключается в том, что он является методом последовательного улучшения решений. Этот метод дает возможность, выбрав отправной – опорный план действий, постепенно передвигаться вперед и в конечном итоге достичь оптимальный план, если, конечно, такой существует.

Симплекс – выпуклый многоугольник в n – мерном пространстве с n + 1 вершинами, не лежащими на одной гиперплоскости. Симплексы выделены в отдельный класс потому, что симплекс – это простейший многоугольник, содержащий некоторый объем n – мерного пространства.

Доказано, что если оптимальное решение существует то оно обязательно будет найдено через конечное число шагов (за исключением так называемой “вырожденной задачи”, при которой возможно явление “зацикливания”, т.е. многократного возврата к одному и тому же положению).

Линейное программирование - область математического программирования, посвященная теории и методам решения экстремальных задач, характеризующихся линейной зависимостью между переменными.

Математическое программирование (оптимальное программирование) – область математики, объединяющая различные математические методы и дисциплины: линейное программирование, динамическое программирование, выпуклое программирование и др. Общая задача математического программирования состоит в нахождении оптимального (максимального или минимального) значения целевой функции, причем значения переменных должны принадлежать некоторой области допустимых значений.

Список использовавшейся литературы

1) А. С. Шапкин, Н. П. Мазаева;
Математические методы и модели исследования
операций
, 2005.

2) Н.Ш. Кремер, Б А Путко, И.М. Тришин, М.Н. Фридман
; Исследование операций в
экономике
. - ЮНИТИ, 2002.

3)