Проводники в электрическом поле. Электростатический метод изображений.
М.И. Векслер, Г.Г. Зегря
Поле внутри проводника равно нулю, поэтому проводники геометрически ограничивают область, где должны решаться уравнения электростатики. На поверхности проводника φ = const (эквипотенциальность). Это достигается индуцированием зависящей от координаты поверхностной плотности заряда σ. Поле ортогонально к поверхности проводника, но не обязательно однородно. Заряд σ на поверхности связан с полем как σ = ε0E.
Метод изображений состоит в замене системы "заряды + проводящая поверхность" на систему "заряды + изображения". Правила построения изображений обеспечивают эквипотенциальность требуемой поверхности. Для точечного заряда q, расположенного на расстоянии l от плоскости или центра сферы, а также для прямой нити λ, расположенной на расстоянии l от оси цилиндра:
|
|
плоскость q → q' = –q, l → l' = l
заземленная сфера q → q' = –qR/l, l → l' = R2/l
цилиндр λ → –λ, l → l' = R2/l
Если сфера не заземлена, то надо еще дополнительно поставить заряд +qR/l в начало координат. Цилиндр и плоскость заземлены по определению (они простираются до бесконечности, где φ = 0).
Основным практическим случаем является проводящая плоскость: например Земля. Он легко обобщается на систему зарядов (нитей, колец и т. д.) - всю ее надо отобразить относительно плоскости.
Задача. Точечный заряд q находится на расстоянии l от проводящей плоскости. Найти плотность индуцированного заряда как функцию расстояния r от проекции заряда на плоскость.
Ответ:
|
|
Задача. Бесконечная прямая нить, несущая заряд λ на единицу длины, висит над проводящей плоскостью на расстоянии l от нее. Найти распределение электрического поля и поверхностной плотности индуцированного заряда вблизи плоскости.
Решение: Сначала находим поле одной нити по теореме Гаусса, затем отображаем нить и ищем поле от нити-изображения –λ, далее векторно суммируем эти поля. После этого можно найти σ в любой точке как –ε0· Ewire+image.
Поле одной нити на расстоянии s от нее равно
|
|
и направлено от оси нити или к ней. Поэтому поле одной нити в плоскости на расстоянии x от проекции нити на плоскость будет ():
|
|
Такое же по абсолютной величине поле создается нитью-изображением. При векто
|
|
Соответственно, имеем плотность индуцированного заряда:
|
|
Проинтегрировав σ(x) по x от –∞ до +∞, можно убедиться, что суммарный индуцированный заряд на единицу длины проекции нити составляет –λ, как и должно быть.
Задача. Очень длинная равномерно заряженная зарядом λ0 нить расположена по оси z и не доходит до проводящей плоскости xy на расстояние l. Найти поле вблизи плоскости xy как функцию расстояния r от начала координат.
Ответ:
|
|
Задача. На расстоянии l от центра заземленной сферы радиуса R<l расположен точечный заряд q. Найти плотность заряда, индуцированного в ближайшей к заряду и в наиболее удаленной от него точках шара.
Решение: По правилам размещения заряда-изображения, помещаем заряд –qR/l в точку на оси "центр сферы - заряд q", удаленную от центра на расстояние R2/l. Тогда расстояние от заряда-изображения до ближайшей к заряду точки сферы будет R–R2/l. В этой точке и поле от истинного заряда, и поле от заряда-изображения направлены к центру сферы, а их сумма по абсолютной величине будет
| Enear |
= |
|
|
| = |
|
Сразу же находится σ:
|
|
Аналогично находим плотность индуцированного заряда в удаленной точке, только там поле от заряда q направлено от центра, а от изображения - на центр. Сумма этих полей оказывается направленной к центру и по модулю равной:
| Efar |
= |
|
так что
|
|
Список литературы
1. И.Е. Иродов, Задачи по общей физике, 3-е изд., М.: Издательство БИНОМ, 1998. - 448 с.; или 2-е изд., М.: Наука, 1988. - 416 с.
2. В.В. Батыгин, И.Н. Топтыгин, Сборник задач по электродинамике (под ред. М.М. Бредова), 2-е изд., М.: Наука, 1970. - 503 с.
3. Л.Д. Ландау, Е.М. Лифшиц, Теоретическая физика. т.8 Электродинамика сплошных сред, 2-е изд., М.: Наука, 1992. - 661 с.