Рефераты → Математика → Ін → Інтегрування і пониження порядку деяких диференціальних рівнянь з вищими похідними

Інтегрування і пониження порядку деяких диференціальних рівнянь з вищими похідними

Реферат на тему:


Інтегрування і пониження порядку деяких ДР

з вищими похідними.


1. ДР що містять n-ту похідну від шуканої функції і незалежну змінну.


а) Розглянемо ДР (4.38)


Так як , то



Аналогічно , …..,


(4.39)


Остання формула дає розвязок загальний в області



Формулу (4.39) легко використати для знаходження розвязків задачі Коші з начальними умовами


(4.40)


Цей розвязок представляється в вігляді (4.41)


Ф-я



являється частиним розвязком ДР (4.38) з початковими умовами



яким відповідають константи


Для обчислення використовують ф-лу Коші


(4.42)


Дійсно інтеграл


можна розглядати як повторний інтеграл в заштрихованій області (мал. 1).


Міняючи порядок інтегрування, отримаємо


Аналогічно обчислюємо


.. і. т. д.


Приходимо до ф-ли (4.42)


Таким чином розвязок (4.41) записується у вигляді


Загальний розвязок ДР (4.38) можна також записати через невизначений інтеграл



Пр. 4.4 Розвязати рівняння


Послідовно знаходимо ,


б) Розглянемо випадок (4.43)


в якому співвіднощення (4.43) не можна розвязати відносно в елементарних ф-ях, або вирази для будуть досить складними.


Припустимо, що ДР (4.43) допускає параметризацію (4.44)


(4.44),


де та такі, що


Проводимо обчислення ,


Аналогічно обчислюємо


Остаточно маємо


(4.45) -загальний зорвязок в параметричній формі.


Відмітимо два випадки, в яких ДР (4.43) легко параметрмзується


I.(4.46)(частинні випадки )


II. (4.47), де і -однорідні ф-ї відповідного


виміру і .


Покладемо (4.48)


і розвяжемо р-ня (4.47) відносно через :


Піставляючи в (4.48), отримаємо (4.49)


Дальше вищеотриманим способом знаходимо загальний розвязок в параметричній формі.


Пр. 4.5 Розвязати р-ня


Зробимо заміну




остаточно маємо



2. Інтегрування ДР, які не містять шуканої ф-ї та похідної.


Розглянемо ДР (4.50), в якому є .


Введемо нову змінну (4.51)


отримаємо (4.52)


тобто ми понизили порядок ДР (4.50) на одиниць.


Припустимо, що ми розвязали ДР (4.52) і визначили (4.53)


Тоді р-ня (4.54)


інтегруємо і отримаємо загальний розвязок (4.55)


Якщо замість загального розвязку (4.53) можна знайти загальний інтеграл (4.54)


то отримаємо ДР типу (4.43)


Розглянемо два частичних випадка відносно ДР (4.50) :


а) ДР вигляду


якщо ДР (4.51) можна розвязати відносно :


(4.52)


то поклавши перейдемо до р-ня


Якщо - загальний розвязок останнього р-ня, то остотаточно маємо р-ня вигляду (4.38)


Припустимо, що ДР (4.51) не можна записати в вигляді (4.52), але воно допускає параметризацію (4.53)


то з співвідношення знаходимо


Звідки (4.54)


ДР (4.54) вигляду (4.44) і розвязки можна отримати в параметричній формі.

p>

б) ДР вигляду (4.55)


Нехай ДР (4.55) можно розвязати відносно


(4.56)


Позначимо і перейдемо до ДР (4.57)


Домножимо (4.57) на :


Звідки . Отже


з якого визначимо


.


Останнє ДР є р-ням з відокремлюваними змінними.


Знайшовши з нього



ми остаточно переходимо до ДР вигляду (4.38).


(4.58)


Припустимо, що ДР (4.55) не можна розвязати відносно але для нього можлива параметризація


Запишемо співвідношення


Домножимо першу рівність на :




Звідки.


Отже маємо


Прийшовши до отсанньої рівності ми отримаємо а)


3. Пониження порядку ДР які не містять незалежної змінної.


Ці ДР мають вигляд (4.59)


і його можна понизити на один порядок заміною


При цьому стане незалежною зміною, а - функцією


Обчислюємо




…..



і остаточно прийдемо до ДР порядку



Якщо - розвязок ДР (4.60) то



Інтегруємо ДР (4.61) і знайдемо загальний інтеграл.


Особливі зорвязки можуть появлятися при інтегруванні ДР (4.61). При переході до ДР (4.60) ми можимо загубити розвязки .


Для їх знаходження необхідно розвявати р-ня .


Якщо - розвязок однорідного р-ня, то - розвязок ДР (4.59)


Пр. 4.6 Розвязати р-ня


Вводимо змінну , ,


,


звідки , отже, ,


-загальний інтергал рівняння.


4. Однорідні ДР відносно шуканої ф-ї та її похідних.


Так називаються ДР вигляду в якому являється однорідною ф-єю відносно , тобто маємо


Шляхом заміни ДР (4.62) можна понизити на один порядок.


Обчислюємо



Тому ДР (4.62) прийме вигляд


(4.63)


Скорочуючи на ( при може бути розвязком ДР (4.62)), перейдемо до ДР порядку .


Якщо – загальний розвязок останнього ДР, то


звідки (4.64) – загальний розвязок ДР (4.62). Розвязок міститься в формулі (4.64) при .


Пр 4.7 Знайти загальний розвязок ДР



Це ДР являється однорідним відносно шуканої ф-ї і її похідних, тому .


Маємо ДР Бернулі – .


Інтегруючи отрімаємо , Звідки . Наше ДР має розвязок який не міститься в знайденому загальному інтергалі.


4. ДР, ліва частина якого є точна похідна.


Припустимо, що ДР (4.62), його ліва частина, є точна похідна по від деякої ф-ї , тобто ,


тоді ДР (4.62) має перший інтерграл (4.64) так, що яого порядок можна понизити на одиницю.


Пр 4.8 Розвязати ДР


Маємо , ,, – загальний інтеграл. Якщо ліва частина ДР (4.62) не являється точною похідною, то в деяких випадках можна знайти ф-ю , після домноження на яку р-ня (4.62), його ліва частина буде точною похідною. Ця ф-я називається інтергрувальним множником. Якщо ми знаємо ф-ю , то можна знайти не тільки перший інтеграл, а й особливі розвязки, які знаходяться з р-ня


Пр 4.9 Знайти загальний розвязок ДР .


Візьмемо , тоді .


При цьому , - розвязки нашого ДР.


Маємо .


- перший інтерал.


, загальний інтергал.


Особливих розвязків немає, так як ДР приводіть до розвязків , які містяться в загальному.
Сохранить в соц. сетях:
Обсуждение:
comments powered by Disqus

Название реферата: Інтегрування і пониження порядку деяких диференціальних рівнянь з вищими похідними

Слов:961
Символов:8231
Размер:16.08 Кб.