Кривые и поверхности второго порядка 2

Конспект
по математике.

Тема: Кривые и поверхности второго порядка.

Выполнила

Ерасова Екатерина

ГМУ 11

Окружность.

Окружность — замкнутая плоская кривая, все точки которой одинаково удалены от данной точки (центра), лежащей в той же плоскости, что и кривая.

Геометрическое место точек плоскости, равноудаленных от фиксированной точки, называемой центром окружности.

Получим уравнение окружности, если известны ее центр и радиус.

Теорема1. Окружность радиуса с центром в точке имеет уравнение (2)

Доказательство. Пусть - текущая точка окружности. По определению окружности расстояние равно (1)

(1)

По формуле для плоскости получаем, что точки окружности и только они удовлетворяют уравнению

Обе части уравнения неотрицательны. Поэтому после возведения их в квадрат получим эквивалентное уравнение(2).

Если в уравнении(2) раскрыть скобки и привести подобные члены, то вид его изменится. Однако любое уравнение окружности с помощью тождественных преобразований можно привести к виду(2). Для этого достаточно выделить полные квадраты по переменным и .

Сфера

(частный случай эллипсоида)

Сферой называется геометрическое место точек пространства, равноудаленных от фиксированной точки, называемой центром.

Теорема 13.1 Сфера радиуса с центром в точке имеет уравнение (13.2)

Доказательство аналогично доказательству теоремы (1)

ЭЛЛИПС.

Эллипсом называется геометрическое место точек, для которых сумма расстояний от двух фик­сированных точек плоскости, называе­мых фокусами, есть постоянная величина; требуется, чтобы эта по­стоянная была больше расстояния между фокусами. Фокусы эллипса при­нято обозначать через F1
и F2.

Пусть М
—произвольная точка эллипса с фокусами F
1
и F
2.
Отрезки F
1
М
и F
2
М
(так же как и длины этих отрезков) назы­ваются фокальными радиусами
точки М.
По­стоянную сумму фокаль­ных ра­диусов точки эллипса принято обозначать через 2а.
Таким образом, для любой точки М
эллипса имеем:

F
1
М +
F
2
М = 2а.

Расстояние F1
и F2
между фокусами обозначают через 2с. Пусть дан какой-нибудь эллипс с фоку­сами F1
,F2.

Возьмем на плоскости произвольную точку М
и обозначим ее координаты через х
и у.
Обозначим, далее, через r
1
и r
2
расстояния от точки М
до фокусов (
r
1
=
F
1
М,
r
2
=
F
2
М).
Точка М
будет нахо­диться на данном эллипсе в том и только в том случае, когда

r
1
+
r
2
= 2а.

Чтобы получить искомое уравнение, нужно в равенстве заменить переменные r
1
и r
2
их выраже­ниями через координаты х, у.

Заметим, что так как F
1
F
2
= 2с
и так как фокусы F
1
и F
2
распо­ложены на оси Ох
симметрично от­носительно начала координат, то они имеют соответственно координаты (—с; 0) и (+с; 0);
при­няв это во внимание находим:

Заменяя r
1
и r
2
,
получаем:

Это и есть уравнение рассматриваемого эллипса, так как ему удовлетворяют координаты точки

М (х; у),
когда точка М
лежит на этом эллипсе. Возведёмобе части равенства в квадрат, полу­чим:

или

Возводя в квадрат обе части последнего равенства, найдем:

а2
х2
— 2а2
сх + а2
с2
+ а2
у2
= а4
— 2а2
сх + с2
х2
,

откуда

(а2
—с2
)х2
+ а2
у2
= а2
(а2
—с2
).

Здесь мы введем в рассмотрение новую величину

;

а>с,
следовательно, а2
—с2
>0
и величина b
—вещественна.

b2
= a2
—c2
,

тогда

b2
x2
+ a2
y2
= a2
b2
,

или

.

Это уравнение называется каноническим уравнением эллипса.

Уравнение

,

определяющее эллипс в некоторой системе декартовых прямоугольных координат, есть уравнение второй степени; таким образом, эллипс есть линия второго порядка.

Эксцентриситетом эллипса называется отношение рас­стояния между фокусами этого эллипса к длине его большой оси;
обозначив эксцентриситет буквой ε,
получаем:

.

Так как с<
a
,
то ε<1,
т. е. эксцентриситет каждого эллипса меньше единицы.

Заметим, что c
2
=
a
2
—
b
2
;
поэтому

;

отсюда

и

Следовательно, эксцентриситет определяется отношением осей эллипса, а отношение осей, в свою очередь, определяется эксцен­триситетом. Таким образом, эксцентриситет характеризует форму эллипса.
Чем ближе эксцентриситет к единице, тем меньше 1— ε2
,
тем меньше, следова­тельно, отношение ; значит, чем больше эксцентриситет, тем более эллипс вытянут.
В случае окружности b
=
a
и ε=0.

Рассмотрим какой-нибудь эллипс и введем декартову прямо­угольную систему координат так, чтобы этот эллипс определялся каноническим уравнением

Предположим, что рассматриваемый эллипс не является окружностью, т. е. что а≠
b
и, следова­тельно, ε=0.
Предположим еще, что этот эллипс вытянут в направлении оси Ох,
т. е. что а>
b
.

Две прямые, перпендикулярные к большой оси эллипса и рас­положенные симметрично относи­тельно центра на расстоянии от него, называются директрисами эллипса.

Уравнения директрис в выбранной системе координат имеют вид

и .

Первую из них мы условимся называть левой, вторую—правой. Так как для эллипса ε<1,
то . Отсюда следует, что правая директриса расположена правее правой вершины эл­липса; аналогично, левая ди­ректриса расположена левее его левой вершины. Частным случаем эллипса является окружность.
Её уравнение имеет вид:

х2
+ у2
=
R
2
.

ГИПЕРБОЛА.

Гиперболой называется геометрическое место точек, для которых разность расстояний от двух фиксированных точек плоскости, на­зываемых фокусами, есть постоянная величина;
указанная разность берется по абсолютному значению;
кроме того, требуется, чтобы она была меньше расстояния между фокусами и отлична от нуля.
Фокусы гиперболы принято обозначать через F
1
и F
2
,
а расстояние между ними—через 2с.

Пусть М
—произвольная точка гиперболы с фокусами F
1
и F
2
.
Отрезки F
1
М
и F
2
М
(так же, как и дли­ны этих отрезков) называ­ются фокальными радиусами
точки М
и обозначаются че­рез r
1
и r
2
(
r
1
=
F
1
М,
r
2
=
F
2
М).
По определению гиперболы разность фокаль­ных радиусов ее точки М
есть по­стоянная величина; эту постоян­ную принято обозначать через 2а.

Пусть дана какая-нибудь гипербола с фокусами F
1
и F
2
.
Возьмем на плоскости произвольную точку М
и обозначим ее координаты че

рез х
и у,
а фокальные радиусы F
1
М
и F
2
М
через r
1
и r
2
.
Точка М
будет находиться на (данной) гиперболе в том и только в том случае, когда

r
1
—
r
2
= ±2а.

Так как F
1
F
2
=2с
и так как фокусы F
1
и F
2
располо­жены на оси Ох
симметрично относительно на­чала координат, то они имеют соответственно координаты (—с; 0) и (+с; 0);
приняв это во внима­ние находим:

, .

Заменяя r
1
и r
2
,
получаем:

.

Это и есть уравнение рассматриваемой гиперболы, так как ему удовлетворяют координаты точки М (х; у),
когда точка М
лежит на гиперболе.

Возведём обе части равенства в квадрат; получим:

,

или

.

Возводя в квадрат обе части этого равенства, найдем:

c2
x2
– 2a2
cx + a4
= a2
x2
– 2a2
cx + a2
c2
+ a2
y2
,

откуда

(c2
– a2
)x2
– a2
y2
= a2
(c2
– a2
) .

Здесь мы введем в рассмотрение новую величину

;

с>
a
,
следовательно, с2
—а2
>0
и величинаb
—вещественна.

b2
= с2
—а2
,

тогда

b
2
x
2
—
a
2
y
2
=
a
2
b
2
,

или

.

Уравнение

,

определяющее гиперболу в некоторой системе декартовых прямо­угольных коорди­нат, есть урав­нение второй степени; таким образом, гипербола есть линия второго порядка.

Эксцентриситетом гиперболы называется отношение рас­стояния между фокусами этой гиперболы к расстоянию между ее вершинами;
обозначив эксцентриситет бук­вой ε,
получим:

.

Так как для гиперболы с>
a
,
то ε>1;
т. е. эксцентриситет каждой гиперболы больше единицы.
Заме­тив, что c
2
=
a
2
+
b
2
,
находим:

;

отсюда

и .

Следовательно, эксцентриситет определяется отношением , а от­ношение в свою очередь оп­ределяется эксцентриситетом. Таким образом, эксцентриситет гиперболы ха­рактеризует форму ее основного прямоугольника, а значит, и форму самой гиперболы.

Чем меньше эксцентриситет, т. е. чем ближе он к единице, тем меньшеε2
—1,
тем меньше, следо­вательно, отношение ; значит, чем меньше эксцентриситет гиперболы, тем бо­лее вытянут ее ос­новной прямоугольник
(в направлении оси, соединяющей вершины). В случае равносторонней ги­перболы a
=
b
и ε
=√2.

Рассмотрим какую-ни­будь гиперболу и введем декартову прямоугольную систему координат так, чтобы эта гипербола определялась каноническим уравнением

.

Две прямые, перпендикулярные к той оси гиперболы, кото­рая ее пересекает, и расположенные симметрично относительно центра на расстоянии от него, называются директрисами гипер­болы.

Уравнения директрис в вы­бранной системе координат имеют вид

и .

Первую из них мы усло­вимся называть левой, вто­рую —правой.

Так как для гиперболы ε
>1,
то .

Отсюда следует, что правая директриса расположена между центром и правой вершиной гипер­болы; ана­логично, левая директриса расположена между центром и левой вершиной.

ПАРАБОЛА.

Параболой называется геометрическое место точек, для каждой из которых расстояние до некоторой фиксированной точки плоскости, называемой фо­ку­сом, равно расстоянию до некоторой фиксированной прямой, называемой ди­ректрисой
(пред­полагается, что эта прямая не проходит через фокус).

Фокус параболы принято обозначать буквой F
,
расстояние от фокуса до ди­ректрисы—буквой p
.
Величину р
называют параметром параболы.

Пусть дана какая-нибудь парабола. Возьмем на плоскости произвольную точку М
и обозначим ее координаты через х
и у.
Обозначим далее через r
рас­стояние от точки М
до фокуса (
r
=
FM
),
через d
—
расстояние от точки М
до дирек­трисы. Точка М
будет находиться на (данной) параболе в том и только в том случае, когда

r
=
d
.

Чтобы получить искомое уравнение, нужно заменить переменные r
и d
их выраже­ниями через те­кущие координаты х, у.

Заметим, что фокус F
имеет координаты ; приняв этово внимание, находим:

.

Обозначим через Q
основание перпендикуляра, опущенногоиз точки М
на директрису. Очевидно, точка Q
имеет координаты отсюда, получаем:

число положительное; это следует из того, что М (х; у)
должна находиться с той стороны от директрисы, где находится фокус, т. е. должно быть , откуда
.

Заменяя r
и d
,
найдем

Это и есть уравнение рассматриваемой параболы, так как ему удовлетворяют коорди­наты точки

М (х; у),
когда точка М
лежит на данной параболе.

Возведем обе части равенства в квадрат; получим:

или

у2
=2рх.

Это уравнение называется каноническим
уравнением параболы. Уравнение у2
=2рх,
определяющее параболу в некоторой системе декартовых прямоугольных координат, есть уравнение второй сте­пени; таким образом, парабола есть линия второго порядка.

Эллипсоид

a, b, c — полуоси

Однополостный гиперболоид

c — действительная полуось,

a и b — мнимые полуоси

Двухполостный гиперболоид

c — действительная полуось,

a и b — мнимые полуоси

Конус

Вершина конуса в начале координат, направляющая кривая — эллипс с полуосями а и b, плоскость которого находится на расстоянии с от начала координат

Эллиптический параболоид

Гиперболический параболоид

Эллиптический цилиндр

a и b — полуоси

Гиперболический цилиндр

Параболический цилиндр

p — фокальный параметр