Методы минимизации логических функций

1 1

VH
V
1

V
2

V
3

V
4

¯
V
5

Z
1

­
V
6

V
7

VK

VH
– начало.

V1
– ввести матрицу ДСНФ исходной функции и простые импликанты, полученные в методе Квайна.

V2
– составить таблицу меток.

V3
– по таблице меток построить конъюнкцию дизъюнкций, каждая из которых есть совокупность тех импликант, которые в данном столбце имеют метки.

V4
– произвести раскрытие скобок в полученном выражении с учетом законов поглощения.

V5
– выбрать одну из полученных конъюнкций и представить ее как совокупность соответсвующих простых импликант.

Z1
– если выбранная комбинация не является минимальной, то перейти к пункту 6, в противном случае перейти к пункту 8.

V6
– формировать МДНФ.

V7
– вывод полученной матрицы.

VK
– конец.

Граф-схема алгоритма.

Описание машинных процедур

Procedure FormMatrix;

Данная процедура формирует матрицу меток путем попарного анализа дизъюнктов из ДСНФ и матрицы простых импликант. Если стравнение прошло успешно, то соответствующему элементу матрицы меток присваивается значение 1, в противном случае – значение 0.

Function Pokritie(var S: string16): boolean;

Данная функция проверяет, является ли данная комбинация простых импликант полной, то есть накрывает ли она все дизъюнкты матрицы ДСНФ. Это сравнение происходит следующим образом: вводится новый массив – массив соостветсвия столбцам. Каждому элементу нового массива сначала присваивается значение 0. Далее, пробегая все заданные строки матрицы,определяем в каких столбцах стоит 1 и в новом массиве ставим на соответсвующее место 1. Таким образом, если в векторе есть нули, значит данная комбинация дизъюнктов не накрывает полностью все столбцы матрицы. В этом случае функция возвращает значние False, в противном случае функция возвращает значение True.

Задание 3. Синтез схемы логического устройства.

1. Представление МДНФ в базисе Буля.
В базисе Буля используется 3 логические схемы: НЕ, ИЛИ, И. Вот их графическое изображение:

__

X X X1VX2 X1*X2

X2 X2

Для аппаратной реализации минимальной ДНФ нам потребуется 3 ИМС серии К155 : одна ИМС К155ЛН1 (элементы НЕ), одна ИМС К155ЛЛ1 (элементы ИЛИ) и одна ИМС К155ЛИ1 (элементы И). Но в них все элементы не используются. Так в ИМС К155ЛН1 не используются 3 элемента НЕ Это можно использовать в том случае, когда один из элементов выйдет из строя и его нечем будет заменить. Надо будет только перепаять контакты на незадействованный элемент. Всего в базисе Буля используются 11 логических элементов.

2. Представление МДНФ в базисе Шеффера.
Для того, чтобы реализовать минимальную ДНФ в базисе Шеффера, необходимо перевести базис Буля в базис Шеффера, в котором используется только один логический элемент: И-НЕ.

Формулы перевода из базиса Буля в базис Шеффера записываются следующим образом:

НЕ: X = X*X ИЛИ: X1
VX2
= X1
*X1
* X2
*X2

И: X1
*X2
= X1
*X2
* X1
*X2

Минимальная ДНФ выглядит так:

f(X1
, X2
, X3
, X4
) = X3
X4
VX2
X3
VX1
X3
VX1
X2
X4
VX1
X2
X4
;

Переведем ее в базис Шеффера с помощью указанных выше формул.

ОбозначимA = X3
X4
VX2
X3
VX1
X3
= X3
·( X4
VX2
VX1
) = X3
·X4
·X4
·X2
·X1
=

= X3
·X4
·X4
·X2
·X1
·X2
·X1
.

B = X1
X2
X4
VX1
X2
X4
= X1
·(X2
·X4
VX2
·X4
) = X1
·X1
·X2
·X2
·X4
·X4
·X2
·X4
.

Окончательно получим Y = A · B .

Отсюда видно, что для реализации минимальной ДНФ в базисе Шеффера требуется 12 элементов И-НЕ. Соответственно для аппаратной реализации нам потребуется 3 интегральные микросхемы К155ЛА3.

3. Представление МДНФ в базисе Пирса.
Для того, чтобы реализовать минимальную ДНФ в базисе Пирса, необходимо как и в предыдущем пункте перевести МДНФ из базиса Буля в базис Пирса, в котором используется только один элемент ИЛИ-НЕ.

Формулы перевода записываются следующим образом:

НЕ: X = XVXИЛИ: X1
VX2
= X1
VX2
V X1
VX2

И: X1
*X2
= X1
VX1
V X2
VX2

Переведем МДНФ в базис Пирса. Введем обозначения:

A = X3
X4
VX2
X3
VX1
X3
= X3
·X4
·X2
·X3
·X1
·X3
= X3
VX4
VX2
VX3
VX1
VX3
.

B = X1
·(X2
X4
VX2
X4
) = X1
·(X2
·X4
·X2
·X4
) = X1
·X2
VX4
VX2
VX4
=

= X1
VX2
VX4
VX2
VX4
.

Y = A V B.

Чтобы реализовать каждую отдельную логическую сумму нам потребуется 2 элемента ИЛИ-НЕ, т.е. для 4-х логических сумм, которые составляют функцию, нам потребуется 6 логических элементов.

Всего на реализацию МДНФ в базисе Пирса понадобится 16 логических элементов ИЛИ-НЕ, а для аппаратной реализации 4 ИМС серии К155 (К155ЛЕ1).

Итак, можно подвести итоги: на реализацию МДНФ в различных базисах требуется разное кол-во логических элементов, но целесообразно выбрать тот базис, который будет более универсальным и на реализацию которого потребуется меньшее кол-во логических элементов. В нашем случае это базис Буля (11 логических элементов).

Заключение

В данной курсовой работе были рассмотрены методы минимизации ФАЛ от 4х
переменных: методы Квайна, Квайна-Маккласки, карт Карно, неопределенных коэффициентов, а также рассмотрено прямое алгебраическое преобразование. Для двух из них (метода неопределенных коэффициентов и метода Квайна) были разработаны программы. При этом особенно трудно было реализовать процедуры, отвечающие за логические операции. Причем просматривалась следующая закономерность: чем легче был метод для ручного исполнения, тем труднее было написать для него программу. Взять хотя бы метод карт Карно. С его помощью вручную очень легко получить МДНФ, составить таблицу и выбрав правильные прямоугольники. Но если взяться за реализацию этого метода программно, то сразу возникают трудности, особенно при написании процедуры выбора правильных прямоугольников. Это будет очень сложная логическая процедура, кажется, что все просто.

Иначе выглядит метод неопределенных коэффициентов. Для машинной реализации он подходит больше других, так как в нем мы имеем дело с массивами, для работы с которыми не надо особо сложной логики. И конечно ручное исполнение этого метода крайне нерационально, так как приходиться решать систему из 16-ти уравнений. Это для четырех переменных, а для пяти это будет 32 уравнения. Такой метод для ручного исполнения не подходит.

В задаче курсовой работы также входил синтез логической схемы. Полученная схема МДНФ была реализована в трех базисах: Буля, Пирса, Шеффера. Анализ и оценка аппаратурных затрат также приведена в данной записке.

Список литературы

1. Гаджиев А.А. Методические указания к выполнению курсовой работы по дисциплине “Дискретная математика” для студентов специальности 22.01 (ВМКСиС). Махачкала, 1998 г.

2. Гаджиев А.А. Методические указания к выполнению лабораторного практикума по дисциплине “Дискретная математика” (часть 2. Математическая логика). Махачкала, 1998 г.

Приложение

Программа для метода Квайна

Uses Crt;

Const

R = 4;

SR = 16;

Type

Diz = string[R];

Var

S :array[1..SR*2] of Diz;

Rez :array[1..SR*2] of Diz;

Flag :array[1..SR*2] of byte;

Y :array[1..SR] of byte;

IndexS : byte;

IndexRez : byte;

i, j, k : byte;

FData : Text;

FRez : Text;

FDSNF : file of Diz;

FSImp : file of Diz;

{Функцияформированиядизъюнкта}

Function MakeDiz(Number: byte): Diz;

Var

i : byte;

S : Diz;

C : char;

Begin

S:='';

for i:=0 to R-1 do

begin

C:=chr(((Number shr i) and $01) + 48);

Insert(C, S, 1);

end;

MakeDiz:=S;

End;

{Функциясклеивания}

Procedure Stuck(S1, S2: Diz; IndexS1, IndexS2 : byte);

Var

i, k, n: byte;

Begin

k:=0; {кол-во разных}

for i:=1 to R do

if S1[i] <> S2[i] then

begin

k:=k+1;

n:=i;

end;

case k of

0 : begin

Inc(IndexRez);

Rez[IndexRez]:=S1;

Flag[IndexS1]:=1;

Flag[IndexS2]:=1;

end;

1 : if (S1[n]<>'*') and (S2[n]<>'*') then

begin

S1[n]:='*';

Inc(IndexRez);

Rez[IndexRez]:=S1;

Flag[IndexS1]:=1;

Flag[IndexS2]:=1;

end;

end;

End;

{Функция проверки на удаление пустого дизъюнкта}

Function Del(S : Diz): Boolean;

Var

i, k : byte;

Begin

Del:=False;

k:=0;

for i:=1 to R do

if S[i]='*' then

k:=k+1;

if k=R then

Del:=True;

End;

Procedure Clear;

Var

i, j : byte;

Begin

IndexS:=0;

for i:=1 to SR*2 do

begin

Flag[i]:=0;

S[i]:='';

end;

for i:=1 to IndexRez-1 do

if Flag[i]=0 then

for j:=i+1 to IndexRez do

if Rez[i]=Rez[j] then

Flag[j]:=1;

for i:=1 to IndexRez do

if Flag[i]=0 then

begin

Inc(IndexS);

S[IndexS]:=Rez[i];

end;

End;

{Вывод на экран массива Rez}

Procedure PrintRezult(Step: Byte);

Var

i : byte;

Begin

WriteLn('{------------------------------------------------}');

WriteLn(FRez, '{-----------------------------------------}');

if Step=0 then

begin

Write('ИсходнаяДНФ.');

Write(FRez, 'Исходная ДНФ.');

end

else

begin

Write('Шагномер :', Step:2, '.');

Write(FRez, 'Шагномер :', Step:2, '.');

end;

WriteLn(' Количество дизъюнктов :', IndexS:2);

WriteLn(FRez, ' Количество дизъюнктов :', IndexS:2);

for i:=1 to IndexS do

begin

WriteLn(S[i]);

WriteLn(FRez, S[i]);

end;

ReadKey;

End;

{Основная программа}

Begin

ClrScr;

Assign(FDSNF, 'dsnf.dat');

Rewrite(FDSNF);

Assign(FSImp, 'simplimp.dat');

Rewrite(FSImp);

Assign(FRez, 'rezult.dat');

ReWrite(FRez);

{Считать массив Y из файла}

Assign(FData, 'func.dat');

Reset(FData);

for i:=1 to SR do

Read(FData, Y[i]);

Close(FData);

{Получить массив S}

for i:=1 to SR do

S[i]:=MakeDiz(i-1);

{Преоразовать S: оставив только те элементы, для которых Y=1. Результатав Rez}

IndexRez:=0;

for i:=1 to SR do

if Y[i]=1 then

begin

Inc(IndexRez);

Rez[IndexRez]:=S[i];

end;

for i:=1 to SR*2 do

S[i]:=Rez[i];

IndexS:=IndexRez;

for i:=1 to IndexS do

Write(FDSNF, S[i]);

PrintRezult(0);

{склеивание}

for i:=1 to R do

begin

IndexRez:=0;

{------------------------------------------------------------}

for j:=1 to SR*2 do {подготовкамассива Flag подсклеивание}

Flag[j]:=0;

{------------------------------------------------------------}

for j:=1 to SR*2 do {склеивание}

Rez[j]:='';

for j:=1 to IndexS-1 do

for k:=j+1 to IndexS do

Stuck(S[j], S[k], j, k);

{------------------------------------------------------------}

for j:=1 to IndexS do {копирование несклеившихся компонент}

if Flag[j]=0 then

begin

Inc(IndexRez);

Rez[IndexRez]:=S[j];

end;

{------------------------------------------------------------}

Clear; {удаление одинаковых дизъюнктов}

{------------------------------------------------------------}

PrintRezult(i); {вывод результата на экран}

end;

{Удалить все дизъюнкты вида '****'}

IndexRez:=0;

for i:=1 to IndexS do

if not Del(S[i]) then

begin

Inc(IndexRez);

Rez[IndexRez]:=S[i];

end;

for i:=1 to IndexS do

Write(FSImp, S[i]);

PrintRezult(R+1);

Close(FSImp);

Close(FDSNF);

Close(FRez);

End.

Результаты работы программы (файл
rezult
.
dat
).

{----------------------------------------------------------------}

Исходная ДНФ. Количество дизъюнктов : 9

0000

0010

0011

0101

0110

0111

1010

1011

1111

{----------------------------------------------------------------}

Шаг номер : 1. Количество дизъюнктов :11

00*0

001*

0*10

*010

0*11

*011

01*1

011*

*111

101*

1*11

{----------------------------------------------------------------}

Шаг номер : 2. Количество дизъюнктов : 5

0*1*

*01*

**11

00*0

01*1

{----------------------------------------------------------------}

Шаг номер : 3. Количество дизъюнктов : 5

0*1*

*01*

**11

00*0

01*1

{----------------------------------------------------------------}

Шаг номер : 4. Количество дизъюнктов : 5

0*1*

*01*

**11

00*0

01*1

{----------------------------------------------------------------}

Шаг номер : 5. Количество дизъюнктов : 5

0*1*

*01*

**11

00*0

01*1

Программа для метода Петрика.

Uses Crt;

Type

string4 = String[4];

string16 = String[16];

TImpArray = array[1..16] of string4;

Var

DSNF : TImpArray; {ДСНФ}

SimpleImp : TImpArray; {Простыеимпликанты}

IndexDSNF : Integer;

IndexSImp : Integer;

QM : array[1..16, 1..16] of integer; {матрицапокрытия}

S16Min : string16;

Procedure Input;

Var

FData : file of string4;

i : integer;

Begin

{вводматрицыДСНФ}

Assign(FData, 'dsnf.dat');

Reset(FData);

i:=0;

while not eof(FData) do

begin

Inc(i);

Read(FData, DSNF[i]);

end;

IndexDSNF:=i;

Close(FData);

{вводпростыхимпликант}

Assign(FData, 'simplimp.dat');

Reset(FData);

i:=0;

while not eof(FData) do

begin

Inc(i);

Read(FData, SimpleImp[i]);

end;

IndexSImp:=i;

Close(FData);

{конецввода}

End;

Function Metka(n, m: integer): boolean;

Var

i, S : integer;

Begin

Metka:=False;

S:=0;

for i:=1 to 4 do

if SimpleImp[n, i]='*' then

S:=S+1

else

if SimpleImp[n, i]=DSNF[m, i] then

S:=S+1;

if S=4 then

Metka:=True;

End;

Procedure FormMatrix;

Var

i, j : integer;

Begin

for i:=1 to IndexSImp do

for j:=1 to IndexDSNF do

if Metka(i, j) then

QM[i, j]:=1

else

QM[i, j]:=0;

End;

Procedure PrintMatrix;

Var

i, j: integer;

Begin

TextColor(LIGHTGREEN);

Write(' ');

for i:=1 to IndexDSNF do

Write(DSNF[i]:6);

WriteLn;

for i:=1 to IndexSImp do

begin

TextColor(LIGHTGREEN);

Write(SimpleImp[i]:6);

for j:=1 to IndexDSNF do

case QM[i, j] of

1 : begin TextColor(LIGHTRED); Write(' 1'); end;

0 : begin TextColor(RED); Write(' -'); end;

end;

WriteLn;

end;

End;

Function Bin(N :integer): string16;

Var

i : integer;

S : string16;

Begin

S:='0000000000000000';

i:=0;

while N>0 do

begin

Inc(i);

Insert(Chr((N mod 2)+48), S, i);

N:=N div 2;

end;

Bin:=S;

End;

Function Pokritie(var S: string16): boolean;

Var

V : array[1..16] of integer;

i, j, Sum: integer;

Begin

Pokritie:=False;

for i:=1 to 16 do

V[i]:=0;

for i:=1 to IndexSImp do

if S[i]='1' then

for j:=1 to IndexDSNF do

if QM[i, j]=1 then

V[j]:=1;

Sum:=0;

for i:=1 to IndexDSNF do

if V[i]=1 then

Sum:=Sum+1;

if Sum=IndexDSNF then

Pokritie:=True;

End;

Function Count(S: string16): integer;

Var

i, j, C: integer;

Begin

C:=0;

for i:=1 to IndexSImp do

if S[i]='1' then

for j:=1 to 4 do

if SimpleImp[i, j]<>'*' then

C:=C+1;

Count:=C;

End;

Procedure ActionsPetrik;

Var

i, j, Index : integer;

S16 : string16;

Begin

Index:=(1 shl IndexSImp)-1;

S16Min:='1111111111111111';

for i:=1 to Index do

begin

S16:=Bin(i);

if Pokritie(S16) then

if Count(S16)<Count(S16Min) then

S16Min:=S16;

end;

End;

Procedure PrintRezult;

Var

i : integer;

Begin

WriteLn;

WriteLn;

TextColor(LIGHTGREEN);

WriteLn('Минимальнаядизъюнктивнаянормальнаяформа.');

WriteLn;

TextColor(LIGHTRED);

for i:=1 to IndexSImp do

if S16Min[i]='1' then

WriteLn(SimpleImp[i]:8);

End;

Begin

ClrScr;

Input; {вводданных}

FormMatrix; {формирование матрицы покрытия для ее дальнейшей обработки}

PrintMatrix; {вывод матрицы}

ActionsPetrik; {формирование конъюнкции дизъюнкций

по методу Петрика и выбор минимальной из них}

PrintRezult; {печатьМДНФ}

ReadKey;

End.

Результаты работы программы.

0000 0010 0011 0101 0110 0111 1010 1011 1111

0*1* - 1 1 - 1 1 - - -

*01* - 1 1 - - - 1 1 -

**11 - - 1 - - 1 - 1 1

00*0 1 1 - - - - - - -

01*1 - - - 1 - 1 - - -

Минимальная дизъюнктивная нормальная форма.

0*1*

*01*

**11

00*0

01*1