белгородский государственный университет
КАФЕДРА алгебры, теории чисел и геометрии
Тема работы: Показательно-степенные уравнения и неравенства.
Дипломная работа
студента физико-математического факультета
Научный руководитель:
______________________________
Рецензент : _______________________________
________________________
Белгород. 2006 г.
Содержание.
| Введение | 3 | ||
| Тема
I. |
Анализ литературы по теме исследования. | ||
| Тема
II. |
Функции и их свойства, используемые при решении показательно-степенных уравнений и неравенств. | ||
| I.1.
|
Степенная функция и ее свойства. | ||
| I.2.
|
Показательная функция и ее свойства. | ||
| Тема
III. |
Решение показательно-степенных уравнений, алгоритм и примеры. | ||
| Тема
IV. |
Решение показательно-степенных неравенств, план решения и примеры. | ||
| Тема
V. |
Опыт проведения занятий со школьниками по теме: «Решение показательно-степенных уравнений и неравенств». | ||
| V.
1. |
Обучающий материал. | ||
| V.
2. |
Задачи для самостоятельного решения. | ||
| Заключение.
|
Выводы и предложения. | ||
| Список используемой литературы.
|
|||
| Приложения
|
|||
Введение.
«…радость видеть и понимать…»
А.Эйнштейн.
В этой работе я попыталась передать свой опыт работы учителем математики, передать хоть в какой-то степени свое отношение к ее преподаванию — человеческому делу, в котором удивительным образом переплетаются и математическая наука, и педагогика, и дидактика, и психология, и даже философия.
Мне довелось работать с малышами и выпускниками, с детьми, стоящими на полюсах интеллектуального развития: теми, кто состоял на учете у психиатра и кто действительно интересовался математикой
Мне довелось решать множество методических задач. Я попытаюсь рассказать о тех из них, которые мне удалось решить. Но еще больше — не удалось, да и в тех, что вроде бы решены, появляются новые вопросы.
Но еще важнее самого опыта — учительские размышления и сомнения: а почему он именно такой, этот опыт?
И лето нынче на дворе иное, и разворот образования стал поинтереснее. «Под юпитерами» нынче не поиски мифической оптимальной системы обучения «всех и всему», а сам ребенок. Но тогда — с необходимостью — и учитель.
В школьном курсе алгебры и начал анализа, 10 – 11 класс, при сдаче ЕГЭ за курс средней школы и на вступительных экзаменах в ВУЗы встречаются уравнения и неравенства, содержащее неизвестное в основании и показатели степени – это показательно-степенные уравнения и неравенства.
В школе им мало уделяется внимания, в учебниках практически нет заданий на эту тему. Однако, овладение методикой их решения, мне кажется, очень полезным: оно повышает умственные и творческие способности учащихся, перед нами открываются совершенно новые горизонты. При решении задач ученики приобретают первые навыки исследовательской работы, обогащается их математическая культура, развиваются способности к логическому мышлению. У школьников формируются такие качества личности как целеустремленность, целеполагание, самостоятельность, которые будут полезны им в дальнейшей жизни. А также происходит повторение, расширение и глубокое усвоение учебного материала.
Работать над данной темой дипломного исследования я начала еще с написания курсовой. В ходе, которой я глубже изучила и проанализировала математическую литературу по этой теме, выявила наиболее подходящий метод решения показательно-степенных уравнений и неравенств.
Он заключается в том, что помимо общепринятого подхода при решении показательно-степенных уравнений (основание берется больше 0) и при решении тех же неравенств (основание берется больше 1 или больше 0, но меньше 1), рассматриваются еще и случаи, когда основания отрицательны, равны 0 и 1.
Анализ письменных экзаменационных работ учащихся показывает, что неосвещенность вопроса об отрицательном значении аргумента показательно-степенной функции в школьных учебниках, вызывает у них ряд трудностей и ведет к появлению ошибок. А также у них возникают проблемы на этапе систематизации полученных результатов, где могут в силу перехода к уравнению – следствию или неравенству – следствию, появиться посторонние корни. С целью устранения ошибок мы используем проверку по исходному уравнению или неравенству и алгоритм решения показательно-степенных уравнений, либо план решения показательно-степенных неравенств.
Чтобы учащиеся смогли успешно сдать выпускные и вступительные экзамены, я считаю, необходимо уделять больше внимания решению показательно-степенных уравнений и неравенств на учебных занятиях, либо дополнительно на факультативах и кружках.
Таким образом тема
, моей дипломной работы определена следующим образом: «Показательно-степенные уравнения и неравенства».
Целями
настоящей работы являются:
1. Проанализировать литературу по данной теме.
2. Дать полный анализ решения показательно-степенных уравнений и неравенств.
3. Привести достаточное число примеров по данной теме разнообразных типов.
4. Проверить на урочных, факультативных и кружковых занятиях как будет восприниматься предлагаемые приемы решения показательно-степенных уравнений и неравенств. Дать соответствующие рекомендации к изучению этой темы.
Предметом
нашего исследования является разработка методики решения показательно-степенных уравнений и неравенств.
Цель и предмет исследования потребовали решения следующих задач:
1. Изучить литературу по теме: «Показательно-степенные уравнения и неравенства».
2. Овладеть методиками решения показательно-степенных уравнений и неравенств.
3. Подобрать обучающий материал и разработать систему упражнений разных уровней по теме: «Решение показательно-степенных уравнений и неравенств».
В ходе дипломного исследования было проанализировано более 20 работ, посвященных применению различных методов решения показательно-степенных уравнений и неравенств. Отсюда получаем.
План дипломной работы:
Введение.
Глава I. Анализ литературы по теме исследования.
Глава II. Функции и их свойства, используемые при решении показательно-степенных уравнений и неравенств.
II.1. Степенная функция и ее свойства.
II.2. Показательная функция и ее свойства.
Глава III. Решение показательно-степенных уравнений, алгоритм и примеры.
Глава IV. Решение показательно-степенных неравенств, план решения и примеры.
Глава V. Опыт проведения занятий со школьниками по данной теме.
1.Обучающий материал.
2.Задачи для самостоятельного решения.
Заключение. Выводы и предложения.
Список использованной литературы.
В I главе проанализирована литература по теме: «Решения показательно-степенных уравнений и неравенств».
В II главе теоретические сведения о степенной и показательной функциях и применение их свойств при решении показательно-степенных уравнений и неравенств, выявляются недостатки в понимании учащимися отрицательного аргумента показательно-степенной функции.
В III главе «Решение показательно-степенных уравнений, алгоритм и примеры» приведен полный анализ решения показательно-степенных уравнений, рассмотрен алгоритм решения показательно-степенных уравнений и примеры, и примеры в которых он применяется.
В IV главе «Решение показательно-степенных неравенств, план решения и примеры» приведен полный анализ решения показательно-степенных неравенств и рассмотрен план решения показательно-степенных неравенств и примеры, в которых он применяется.
В V главе рассматривается методика обучения учащихся решению показательно-степенных уравнений и неравенств, приведен обучающий материал, разработана система заданий с учетом разного уровня сложности, которая содержит в себе задания используемые на уроке, задания для самостоятельного решения.
Глава
II
. Функции и их свойства, используемые при решении показательно-степенных уравнений и неравенств.
Для решения показательно-степенных уравнений и неравенств необходимо знать свойства показательной и степенной функции и уметь ими пользоваться. В этой главе мы рассмотрим данный вопрос.
II
.1. Степенная функция и ее свойства.
Степенная функция с натуральным показателем.
Функция у = х
n
, где n
—
натуральное число, называется степенной функцией с натуральным показателем. При n = 1 получаем функцию у = х, ее свойства:
Прямая пропорциональность
. Прямой пропорциональностью называется функция, заданная формулой у =
kxn
,
где число k
называется коэффициентом пропорциональности.
Перечислим свойства функции у
=
kx
.
1) Область определения функции — множество всех действительных чисел.
2) y
=
kx
— нечетная функция (
f
( — х) =
k
( — х)= —
kx
= -
k
(х)).
3) При k
> 0
функция возрастает, а при k
< 0
убывает на всей числовой прямой.
График (прямая) изображен на рисунке II.1.
Рис. II.1.
При n
=2
получаем функцию y
= х2
,
ее свойства:
Функция у —х2
. Перечислим свойства функции у = х2
.
1) Область определения функции — вся числовая прямая.
2) у = х2
— четная функция (
f
( — х) = ( —
x
)2
=
x
2
=
f
(х)).
3) На промежутке [0; + οο) функция возрастает.
В самом деле, если , то , а это и означает возрастание функции.
4) На промежутке (—оо; 0] функция убывает.
В самом доле, если ,то — х1
> — х2
> 0
, а потому
(—х1
)2
> ( — х2
)2
,
т. е. , а это и означает убывание функции.
Графиком функции y
=х2
является парабола. Этот график изображен на рисунке II.2.
Рис. II.2.
При n
= 3
получаем функцию у
= х3
, ее свойства:
1) Область определения функции — вся числовая прямая.
2) y = х3
— нечетная функция (
f
( — х) = { —
x
)2
= —
х3
= —
f
(
x
)).
3) Функция y
=
x
3
возрастает на всей числовой прямой. График функции y
=
x
3
изображен на рисунке. Он называется кубической параболой.
График (кубическая парабола) изображен на рисунке II.3.
Рис. II.3.
Пусть n
— произвольное четное натуральное число, большее двух:
n
= 4, 6, 8,... .
В этом случае функция у = х
n
обладаеттеми же свойствами, что и функция у = х2
. График такой функции напоминает параболу у = х2
, только ветви графика при |
n
| >1
тем круче идут вверх, чем больше n
, а при тем «теснее прижимаются» к оси х
, чем больше n
.
Пусть n
— произвольное нечетное число, большее трех: n
= = 5, 7, 9, ... . В этом случае функция у = х
n
обладает теми же свойствами, что и функция у = х3
.
График такой функции напоминает кубическую параболу (только ветви графика тем круче идут вверх, вниз, чем больше n
.
Отметим также, что на промежутке (0; 1) график степенной функции у = х
n
тем медленнее отдаляется от оси х
с ростом х
, чем больше n
.
Степенная функция с целым отрицательным показателем.
Рассмотрим функцию у = х-
n
, где n
— натуральное число. При n
= 1
получаем у = х-
n
или у =
Свойства этойфункции:
График (гипербола) изображен на рисунке II.4.
Пусть n
— нечетное число, большее единицы,
n
= 3, 5, 7, ... .
В этом случае функция у = х-
n
обладает в основном теми жесвойствами, что и функция у =
График функции у = х-
n
(n
= 3, 5, 7, ...)
напоминает
Рис. II.4.
график функции у =
. Пусть n
— четное число, например п
= 2. Перечислим некоторые свойства функции у = х-2
, т. е. функции y = .
1) Функция определена при всех х0
.
2) y
=
четная функция.
3) y
= убывает на (0; +оо) и возрастает на (—оо;0).
Теми же свойствами обладают любые функции вида y
= х-
n
при четном n
, большем двух.
График функции у = изображен на рисунке. Аналогичный вид имеет график функции , если n
= 4, 6, ... .
Функции вида , , обладают теми же свойствами, как и функция .
Степенная функция с положительным дробным показателем.
Рассмотрим функцию у = х
r
,
где r
— положительная несократимая дробь. Перечислим некоторые свойства этойфункции.
1) Область определения — луч [0; + оо).
2) Функция ни четная, ни нечетная.
3) Функция у = х
r
возрастает на [0; +оо).
Рис. II.5.
На рисунке II.5. изображен график функции Он заключен между графиками функций у = х2
и у = х3
, заданныхна промежутке [0; + оо).
Подобный вид имеет график любой функции вида у = х
r
, где .
На том же рисунке изображен график функции . Подобный вид имеет график любой степенной функции у = х
r
, где .
Степенная функция с отрицательным дробным показателем.
Рассмотрим функцию у = х-
r
, где r
— положительная несократимая дробь. Перечислим свойства этой функции.
1) Область определения — промежуток (0; + оо).
2) Функция ни четная, ни нечетная.
3) Функция у = х-
r
убывает на (0; +оо).
Построим для примера график функции у — х
таблицу значений функции:
Нанесем полученные точки на координатную плоскость и соединим их плавной кривой (см. рис. II.6.).
Подобный вид имеетграфик любой функции
у = х
r
, где r
— отрицательная дробь.
Рис. II.6.
II
. 2. Показательная функция и ее свойства.
Функция, заданная формулой вида у = ах
, где а
— некоторое положительное число, не равное единице, называется показательной.
1.Функция у = ах
при а>1
обладает следующими свойствами (см. рис. II.7.):
а) область определения — множество всех действительных чисел;
б) множество значений — множество всех положительных чисел;
Рис. II.7.
в) функция возрастает;
г) при х = 0
значение функции равно 1;
д) если x
> 0
, то а
x
> 1
;
е) если х < 0
, то 0 < ах
< 1
.
3. Функция у = ах
при 0<а< 1
обладает следующими свойствами (см. рис. II.8.):
а) область определения D
(
f
)=
R
;
б) множество значений E
(
f
)=
R
+
;
в) функция убывает;
г) при х = 0 значение функции равно 1;
д) если х > 0,
то 0 < ах
< 1
;
е) если х < 0
, то ах
> 1
.
Рис. II.8.
Глава
III
. Решение показательно-степенных уравнений, алгоритмы и примеры.
Так называются уравнения вида , где неизвестное находится и в показателе и в основании степени.
Можно указать совершенно четкий алгоритм решения уравнении вида . Для этого надо обратить внимание на то, что при а(х)
не равном нулю, единице и минус единице равенство степеней с одинаковыми основаниями (будь-то положительными или отрицательными) возможно лишь при условии равенства показателей То - есть все корни уравнения будут корнями уравнения f
(
x
) =
g
(
x
)
Обратное же утверждение неверно, при а(х)
< 0
и дробных значениях f
(
x
)
и g
(
x
)
выражения а(х)
f
(
x
)
и
а(х)
g
(
x
)
теряют смысл. То - есть при переходе от к f
(
x
) =
g
(
x
)
(при и могут появиться посторонние корни, которые нужно исключить проверкой по исходному уравнению. А случаи а =
0, а = 1, а =-1
надо рассмотреть отдельно.
Итак, для полного решения уравнения рассматриваем случаи:
1. а(х) =
О
. Если при значении х, удовлетворяющем этому уравнению, f
(
x
)
и g
{
x
)
будут положительными числами, то это решение. В противном случае, нет
2. а(х)
= 1
. Корни этого уравнения являются корнями и исходного уравнения.
3. а(х) =
-1
. Если при значении х, удовлетворяющем этому уравнению, f
(
x
)
и g
(
x
)
являются целыми числами одинаковой четности (либо оба четные, либо оба нечетные) , то это решение. В противном случае, нет
4. При и решаем уравнение f
(
x
)=
g
(
x
)
и подстановкой полученных результатов в исходное уравнение отсекаем посторонние корни.
Примеры решения показательно-степенных уравнений.
Пример №1.
Решение
1)x – 3 = 0, x = 3. т.к. 3 > 0, и 32
> 0, то x1
= 3 - это решение.
2)x – 3 = 1, x2
= 4.
3)x – 3 = -1, x = 2. Оба показателя четные. Это решение x3
= 1.
4)x – 3 ≠ 0 и x ≠ ± 1. x = x2
, x = 0 или x = 1. При x = 0, (-3)0 =
(-3)0
–верно это решение x4
= 0. При x = 1, (-2)1 =
(-2)1
– верно это решение x5
= 1.
Ответ: 0, 1, 2, 3, 4.
Пример №2.
Решение
По определению арифметического квадратного корня: x – 1 ≥ 0, x ≥ 1.
1)x – 1 = 0 или x = 1, = 0, 00
это не решение.
2)x – 1=1 x 1
=2.
3)x – 1 = -1 x2
= 0 не подходит в ОДЗ.
4) =
Д = (-2) – 4*1*5 = 4 – 20 = -16 – корней нет.
Ответ: 2.
Пример №3.
Решение
1) = 0 решения нет, т.к. 0 в любой степени не равен 1.
2) ≠ 0 т.е. . Тогда можем записать:
3) = 1. = 0
и
4) = -1 х = 0 или х = 1. При х = 0 = -1. (-1)-1
≠ (-1)0
. Это не решение. При х = 1 (-1)0
= (-1)0
. Это решение х3
= 1.
5) ≠ 0 и ≠ ±1 имеем = 0, = -1 или
= 1. Эти корни уже учтены.
Ответ: -1, 1, 2.
Пример №4.
Решение
1) При решений нет, т.к. 0 в любой степени не равен 1.
при ,
2) , .
3) , .
, (-1)0
= (-1)0
это решение.
.
4) и
или
При (-4)0
= 1 – верно.
Ответ: -1, 2, 4.
Пример №5.
Решение
1) , , это не решение.
2) , и .
3) отрицательных значений основание не имеет. При и , , ,
х = 5, 315
= 315
– верно. х3
= 5,
х = 2 – не является решением.
Ответ: 1,3,5.
Пример №6
Решение
1) не дает решений, т.к. 0 ни в какой степени не равен 1.
2) . или .
3) отрицательных значений не имеет.
4) При ,
, т.к. , то . Проверка 20
= 1 – верно.
Ответ: -1, 1, 2.
Пример №7
Решение
1) , , , . Это решение .
2) , .
3) , , - четное и -3х – четное. Это решение. х2
= -4.
4) и , , , , 4-3
= 4-3
– верно. .
Ответ: -4, -3, -2, 1
Пример №8
Решение
ОДЗ:
,
, ,
и
Все решения принадлежат уравнению =2.
, , и . Оба значения принадлежат к ОДЗ.
Ответ: -4, -1.
Пример №9
Решение
ОДЗ:
, , .
1) решений не имеет, т.к. 0 в любой степени не равен 1.
При , или ,
ОДЗ, ОДЗ.
Значит все решения содержатся в уровнении = 0, или .
Проверка: , 20
= 1 – верно.
, - верно.
Ответ: 0, 3/2.
Пример №10
Решение
1) решений не дает, т.к. 0 в любой степени не равен 1.
2) При , , . Все решения принадлежат уравнению . или .
3
Второе решение не подходит, т.к , . А является решением
Ответ: , 2, 4.
Пример №11
Решение
1) , , и это решение .
2) , .
3) , , - четное, - нечетное. Это является решением.
4) или , , , , .
Проверка: , - верно.
Но не является корнем!
Выражение (-1,5)52,5
, которое получается при проверке не имеет смысла, т.к. степень отрицательно числа имеет смысл только для целых показателей. Равенство = только для . Значит, отрицательное число можно возводить только в степень с целым показателем.
Ответ: -4, -2, -1.
Пример №12
Решение
ОДЗ:
. Значит 0,1 и -1 отпадают.
и все решения содержатся в уравнении.
, ,
Ответ: 5.
Пример №13
Решение
1) , , . Это решение .
2) , , .
3) отрицательных значений не имеет.
При или все решения в уравнении , и .
При , - верно. .
Ответ: -1, 2, 3, 4.
Пример №14
Решение
ОДЗ:
1) При решений нет, т.к. 0 в любой степени не равен 1.
При
2) , и . - решение, а .
3) для всех . При и все решения содержатся в уравнении , или . При , .
При , - верно. .
Ответ: 4, 5.
Пример №15.
,
Решение
используя свойства логарифма и получили:
=
В первой части уравнения выполнили преобразования
. Получили уравнение . Все решения содержатся в уравнении.
или .
Ответ: 2.
Пример №16
Решение
ОДЗ:
Преобразуем знаменатель дроби в правой части уравнения
; .
, , где
1) , - верно.
2) ,
Пасть , тогда
, или .
Следовательно; или , , .
Ответ: 1, 0,1, 0, 0,01.
Пример №17
Решение
ОДЗ: и
Выполним преобразования.
+= 2+2
+= 4
Пусть , а ,
Следовательно, или
,
2*2t
= 4
2t
= 4/2
2t
= 2
t = 1
Ответ: 2.
Пример №18
Решение
ОДЗ:
;
Прологарифмируем обе части равенства:
, где .
Умножим обе части уравнения на 2.
Пусть , тогда
, или
1) ,
или
Ответ: 0.1, 10.
Пример №19
Решение
ОДЗ:
Обратите внимание ниоткуда не следует! Наоборот, из ОДЗ видно, что может быть отрицательным!
,
или
Оба значения в ОДЗ.
Так как возводили в квадрат, корни надо проверить.
, - верно.
, - верно.
Ответ: -3, 3.
Пример №20
ОДЗ:
Возведем обе части уравнения в квадрат (т.к. они положительны, то посторонние корни не появляются)
или
Прологарифмируем по основанию 10.
или
1) или
,
Ответ: 0.01, 100.
Пример №21
Решение
ОДЗ:
Прологарифмируем по основанию 10.
, где .
Пусть , тогда:
умножим на 4
,
, или
1)
2)
Ответ: 0,0001, 10.
Пример №22
Решение
ОДЗ:
Заменим: , получим:
, где .
Решаем уравнение:
; или
1) ; ; . .
2) , , , , .
; ; ; .
Ответ: 0,1, 1, 10.
Пример №23
Решение
и
:
Подставим во второе уравнение вместо число 5, получим:
или
составляем систему уравнений:
Ответ: (13;8)
Пример №24
Решение
ОДЗ:
;
,
; или
, .
Ответ: 5.
Пример №25
Решение
ОДЗ:
Прологарифмируем правую и левую части данного уравнения по основанию 10:
Получим:
или
Обозначив , перепишем записанное уравнение в виде:
.
Решая его относительно , находим , .
Используя обозначения , из первого решения квадратного уравнения имеем . Отсюда . Используя решение , получаем . Преобразуем правую часть этого уравнения:
. Значит, , т.е. .
Ответ: 30, 100.
Пример №26
Решение
Так как , то при и имеем равносильное уравнение:
или
.
,
Ответ: 5.
Пример № 27
Решение
ОДЗ:
Так как обе части уравнения положительны, то прологарифмируем по основанию 10:
,
; или
1) 2)
Ответ: 0.1, 100.
Пример №28
Решение
ОДЗ:
Так как обе части уравнения положительны, то прологарифмируем по основанию 3:
и , поэтому
Пусть , тогда
или .
1)
;
2)
Ответ: , 3.
Пример №29
Решение
1) , т.к. 0 в любой степени не равен 1.
2) = 1, =1, , или
=-1, , .
Так как 1 в любой степени равна 1, то это решения.
3) (т.к. )
При все решения принадлежат уравнению . или .
При = 0, что не удовлетворяет уравнению
,
Ответ: , .
, .
, .
Пример №30
Решение
ОДЗ:
=
1) , , .
2) Так как , то остальные решения получаем из уравнения : Отсюда или . , и , .
Ответ: , -, и , .
Пример №31
Решение
1) или, и . Это решение. .
2) , и
3) Так как , то ;
;
; . Это решение.
Ответ: ; 5; 3; 4.
Пример №32
Решение
при всех
1) , - решений нет.
2). Потому при левая часть равна единице, а правая нет. Это решение.
3) ;
;
;
;
;
;
;
и ;
; ;
; ;
;
;
- решений нет.
Ответ: -3, 3.
Пример №33
Решить графически уравнение:
Решение
У функции Д(y): x > 0 и log2
x > 0, т.е.,
x> 1. обл. определения х > 1.
А теперь: (формула перехода к новому основанию и определение логарифма).
Тогда (определение логарифма: ).
Так, что нужно только учитывать, что Д(у): x > 0.
Построим график функции (рис III.1).
у
2
1
0 1 4 х
Рис. III.1.
Ответ: (4; 2).
Пример №34
Решить систему уравнений:
Решение:
По определению логарифма имеем:
.
Прологарифмируем первое уравнение системы по основанию х
.
.
Из второго уравнения системы выразим у
через х
:
,
Тогда:
Пусть , , Д = (-5)2
-4*1*4 = 9, , или .
1) 2)
Д = (-3)2
– 4*1*(-4) = 25
пусть , тогда
или
Д = (-1)2
– 4*3*4 = -47<0
или корней нет
(-1,-1) – удовлетворяет ОДЗ
(4,4) решение системы уравнений.
Ответ: (4, 4).
Пример №35
Решите систему уравнений:
Решение.
По определению логарифма имеем:
Основание логарифма может быть:
1) (дробное)
(-1, 0) – не удовлетворяет ОДЗ.
2)
Выполним преобразования:
Прологарифмируем первое уравнение системы по основанию х
:
,
, ,
или
Пусть , тогда
Д = (-)2
-4*1*(-2) = 9
или
: (х+
1)
, где
;
1)
или
Решаем биквадратное уравнение
Примем , тогда получим
D
= 32
– 4*1*(-4) = 25
; или
а)
б) ; (не удовлетворяет ОДЗ
)
- решение системы уравнений.
2)
или
- (не удовлетворяет ОДЗ
)
D
= (-1)2
-4*4*3 = -47
– корней нет.
Ответ: . [ ]
Пример № 36
Решение
Для любого х
и ОДЗ
этого уравнения состоит из всех х
удовлетворяющих условию , т.е. ОДЗ
есть множество всех х из промежутка на этом множестве. Исходное уравнение равносильно совокупности уравнений.
и
Решаем ее.
принадлежат . Они и являются решениями исходного уравнения.
Ответ: .
Глава
IV
. Решение показательно-степенных неравенств, план решения и примеры.
Неравенства вида (или меньше) при а(х)>0
и решаются на основании свойств показательной функции: для 0 < а(х) < 1
при сравнении f
(
x
)
и g
(
x
)
знак неравенства меняется, а при а(х)
> 1
– сохраняется.
Самый сложный случай при а(х) <
0
. Здесь можно дать только общее указание: определить, при каких значениях х
показатели f
(
x
)
и g
(
x
)
будут целыми числами, и выбрать из них те, которые удовлетворяют условию
Наконец, если исходное неравенство будет выполняться при а(х) =
0
или а(х)
= 1
(например, когда неравенства нестрогие), то нужно рассмотреть и эти случаи.
Пример 1.
Решить неравенство:
23
x
:
+7
< 22
x
-1
.
Решение.
Здесь основание степени больше 1, поэтому, сравнивая показатели, запишем неравенство того же смысла: Зх + 7 < 2х - 1. Решив это неравенство, получим х < -8.
Ответ:-8.
Пример
2.
Решить неравенство:
Решение.
Так как 625 = 252
= , то заданное неравенство можно записать в виде
Так как 0 < 0,04 < 1
, то, сравнивая показатели, запишем неравенство противоположного смысла 5х - х2
- 8 = -2. Имеем последовательно
,
,
,
.
Решив последнее неравенство, получим 2
х
3.
Таким образом множество решений заданного неравенства есть отрезок [2; 3].
Ответ: [2; 3].
Пример 3.
Решим неравенство
0,57-Зх
< 4.
Решение
Пользуясь тем, что 0,5 -2
= 4
, перепишем заданное неравенство в виде
0,57-Зх
< 0,5-2
. Показательная функция y
= 0,5
x
убывает (основание 0,5 меньше 1). Поэтому данное неравенство равносильно неравенству 7 – Зх > - 2, откуда х < 3.
Ответ: ( — оо ; 3).
Пример 4.
Решим неравенство
Показательная функция y
= 6
x
возрастает. Поэтому данное неравенство равносильно неравенству х2
+ 2
x
> 3
, решая которое, получим: (-оо; -3)
и (1; оо).
Ответ: (-оо; -3) и (1; оо).
Пример 5.
Решим неравенство:
Сделаем замену , тогда и неравенство перепишется в виде , откуда . Следовательно, решением данного неравенства являются числа х
, удовлетворяющие неравенствам , и только такиечисла. Но , , а функция убывает,
поскольку < 1. Поэтому решением неравенств будут числа х
, удовлетворяющие неравенствам - 2 < х < 1.
Ответ: ( - 2; 1).
Пример 6.
Решение
1)
2 3 10
Изобразим на числовом луче
Должны выполняться все три неравенства, т.к. это система. Но при взятое не выполняется. Решений нет.
2)
Изобразим на числовом луче
10
Если , то
-решение системы неравенств.
Остальные случаи не дают решений, т.к. или
1 не удовлетворяют условию, а при т.е. получаем отрицательные числа с дробными показателями степени.
Ответ:
Пример 7
Решение
При , х
= 2,5 или х
= -1
При или можно записать .
При второе неравенство не выполняется. Система решений не имеет.
Изобразим на числовом луче решение системы неравенств
-1 2,5 3
Система не имеет решений.
2)
Изобразим на числовом луче решение системы неравенств
решение системы неравенств.
3) , - выражение имеет смысл тогда, когда х –
3 – целое число, чтобы показатель х
– 3 был целым числом. Таким образом х
– целое число в промежутке (-1; 2,5) т.е. х
может принимать значения 0,1,2.
Проверка:
При - верно.
При - верно.
При - верно.
4) , х2
= 2,5 и х1
= -1
При х = -1 – не имеет смысла выражение 0-4
.
При х = 2,5, 02,5
– не имеет смысла.
5)
;
При ; - верно.
При ; - верно.
Ответ: или .
Глава
V
. Опыт проведения занятий со школьниками
по данной теме
.
Анализируя опыт проведения занятий по решению показательно-степенных уравнений и неравенств с учащимися в старших классах я пришла к выводу, что недостаточно времени уделяется на решения заданий и упражнений по данной теме. Всего в школьном курсе на изучение математики отводится 850 часов, из них на решение всех уравнений и неравенств всего лишь 12% учебного времени, а на решение показательно-степенных уравнений и неравенств вообще ничтожное количество часов. Однако, используя факультативные занятия в старших классах, кружковую работу, элективные курсы можно значительно увеличить возможность учащихся реализовать себя, усилить их подготовку к выпускным и вступительным экзаменам.
Проводя занятия с учащимися я стараюсь больше внимания уделять решению конкретных заданий и упражнений, на основе чего строю алгоритм решения и создаю модель решения заданий одного вида или похожих между собой
Задачи для самостоятельного решения.
Решить уравнения.
1. Ответ: .
2. Ответ: 2.
3. Ответ: 7; 14.
4. Ответ: .
5. Найдите произведение корней уравнения
Ответ: .
6. Ответ: .
7. Ответ: .
8. Ответ: .
9. Ответ:
10. Ответ: .
11. Ответ: 2; 3; 4; 11.
12. Ответ: .
13. Ответ: .
14. Ответ: -2; 0; 2.
15. Ответ: 1; 4; 5.
16. Ответ: нет решений.
17. Ответ: 1; 10; 10-3
.
18. Ответ: 1; 8.
19. Ответ: -1; 1; 2.
20. Ответ: .
21. Ответ: 2; 10-1
; 10-3
.
22. Ответ: 0; 3.
23. Ответ: 0.
24. Ответ: .
25. Ответ: .
26.
Ответ: .
27. Ответ: .
28.
Ответ: .
29. Ответ: .
30. Ответ: .
31.
Ответ: .
32.
Ответ: .
33.
Ответ: .
34. Ответ: 0; 1.
35. Ответ: 1; 3.
36. Ответ: 0; 1; 5.
37. Ответ: 0; 5; 4.
38.
Ответ: .
39. Ответ: .
40. Ответ: .
41. Ответ: .
42. Ответ: .
43. Ответ: 1; 0,1; 0,01.
44.
45. Ответ: -2; -1; 3.
46. Ответ: -2; 0,6.
47. Ответ: .
48. Ответ: -4; -3,5; -2; -1.
49. Ответ: -0,2; 0,5; 1; 3.
50. Ответ: -2; 0,6.
Решить системы уравнений
1. Ответ: .
2. Ответ: (5;-1).
3. Ответ: .
4. Ответ: .
5. Ответ: .
6. Ответ: .
7. Ответ: .
8. Ответ: .
9. Ответ: .
10. Ответ: .
11.
Ответ: .
12. Ответ: .
13.
Ответ: .
14.
15.
16.
17.
Ответ: .
18.
Ответ: .
19.
Ответ: .
20. Ответ: .
21. Ответ: .
22. Ответ: .
23. Ответ: .
Решить неравенства.
1.
Ответ: если , то если то .
2. Ответ: .
3. Ответ: .
4. Ответ: .
5. Ответ: .
6. Ответ: .
7. Ответ: .
8. Ответ: .
9. Ответ: .
10. Ответ: .
11. Ответ: .
12. Ответ: .
13. Ответ: .
14. Ответ: .
15. Ответ: .
16. Ответ: .
17. Ответ: .
18. Ответ: .
19. Ответ: .
20. Ответ: .
21. Ответ: .
Заключение.
Подводя итоги данного дипломного исследования, можно сделать следующие выводы:
1. Показательно-степенные уравнения и неравенства представляют интерес для их изучения и использования в курсах школьной математики и элементарной математики в ВУЗе. Между тем, почти во всех пособиях они, если и рассматриваются, то не полно или не точно.
2. Для этого вида уравнений и неравенств может быть предложен алгоритм решения. Наибольшие трудности могут встретиться при решении показательно-степенных уравнений и неравенств в случае, когда основание степени отрицательно.
3. Проведенные по теме: «Показательно-степенные уравнения и неравенства» на уроках и факультативных занятия в школе показали доступность этой темы для учеников, интересующихся математикой. Для таких занятий изготовлен задачник, содержащий более 70 показательно-степенных уравнений и неравенств.
Мое предложение – больше уделять времени решению показательно-степенных уравнений и неравенств, т.к. это поможет учащимся успешно сдать ЕГЭ и вступительные экзамены в ВУЗы.
Материал, приведенный в данной работе может служить методическим пособием в работе с учащимися на уроках и факультативах.
Список используемой литературы.
1. Авербух Б.Г., Рубинштейн А.И. Об определении степени и решении уравнений и неравенств, содержащих показательно степенную функцию.//Математика в школе. – 1996.-№2.-с.29-33.
2. Алгебра и начала анализа: Учебник для 10-11 классов общеобразовательных учреждений: Колмагоров А.Н., Абрамов А.М., Дудинцын Ю.П. и др.; Под редакцией Колмагорова А.Н. – 12-е изд. – М.: Просвещение, 2002.
3. Белоненко Т.В., Васильев А.Е., Васильева Н.И., Крымская .Д. Сборник конкурсных задач по математике. – СПб.: Спецлитература, 1997.
4. Василенко Ю.К. Тождества, уравнения, неравенства: Пособие для повышения квалификации учителей математики. – Белаидит. Белгород, 2003.
5. Василюк Л.И., Куваева Л.А. Математика для абитуриентов: Справочник в экзаменационных вопросах и ответах. – Мн. Амалфея, 1999.
6. Давыденко И.О. Пособие по математике. Для поступающих в высшие учебные заведения (с анализом ошибок абитуриентов).- 2-е изд. – Томск,из-во Томского университета, 1973.
7. Дорофеев Г.В., Потапов М.К., Розов Н.Х. Математика для поступающих в ВУЗы. – М.: Дрофа, 2000.
8. Дудинцын Ю.П., Смирнова В.К. Содержание и анализ письменных экзаменационных работ по алгебре и началам анализа: Пособие для учителя. – М.: Просвещение, 1995.
9. Единый государственный экзамен: Математика: Контрольно-измерительные материалы./ Денищева Л.О., Бойченко Е.М., Глазков6 под редакцией Ковалевой Г.С; М-во образования Российской Федерацию – М.: Просвещение, 2003.
10. Крамор В.С. Повторяем и систематизируем школьный курс алгебры и начал анализа. – 2-е изд. - М.: Просвещение, 1993.
11. Кутасов А.Д., Пиголкина Т.С., Чехлов В.И., Яковлева Т.Х.; под редакцией Яковлева Г.Н.. Пособие по математике для поступающих в ВУЗы.- 2-е изд.- М.: Наука, 1985.
12. Математика. Методические указания по подготовке к вступительным экзаменам./ СПбГИТМО. – СПб., 2000.
13. Нараленков М.И. Вступительные экзамены по математике. Алгебра: как решать задачи: Учебно-практическое пособие. – М.: Экзамен, 2003.
14. Норин А.В. Сборник задач по математике для поступающих в ВУЗы: Учебное пособие. – Спб.: Питер, 2003.
15. Потапов М.К., Олейник С.Н., Нестеренко Ю.В. Конкурсные задачи по математике: Справочное пособие. – 2-е изд. – М.: Физмалит, 2001.
16. Потапов М.К., Александров А.В., Пасиченко П.И. Алгебра и начала анализа. Современный курс для поступающих в ВУЗы. – М.: Экзамен, 1998.
17. Сборник задач по математике для поступающих в ВУЗы./ Под ред. Проф. Прилепко А.И. – М.: Высшая школа, 1983.
18. Симонов А.Я., Бакаев Д.С., Элельман А.Г. Система тренировочных задач и упражнений по математике. – М.: Просвещение, 1991.
19. Сканави М.И. Сборник задач по математике для поступающих в ВУЗы. - М.: Просвещение, 1988.
20. Цыпкин А.Г., Пинский А.И. Справочник пособие по методам решения задач по математике для средней школы. – М.: Наука. ГРФМЛ, 1984.
21. Черкасов О.Ю., Якушев А.Г. Математика. Интенсивный курс подготовки к экзаменам. – М.: Рольф, 1997.
22. Шарыгин И.Ф. Математика. Для поступающих в ВУЗы: Учебное пособие. – 4-е изд. –М.: Дрофа, 2002.
23. Шарыгин И.Ф., Голубев В.И. Решение задач: Учебное пособие для 11 класса общеобразовательных учреждений. – 2-е изд. – М.: Просвещение, 1995.
24. Шахно К.У. Сборник задач по элементарной математике повышенной трудности: Высшая школа, 1967.
25. Якушева Е.В., Попов А.В., Черкасов О.Ю., Якушев А.Г. Экзаменационные вопросы и ответы. Алгебра и начало анализа 9 и 11 выпускные классы: Учебное пособие.- М.: АСТ-Пресс, 2000.