Министерство образования Российской Федерации
Ставропольский Государственный университет
Кафедра математического анализа
Курсовая работа на тему :
«Дзета-функция Римана»
Выполнил: студент 2го
курса ФМФ группы «Б» Симонян Сергей Олегович
Ставрополь, 2004 г.
Введение.
Функция – одно из основных понятий во всех естественнонаучных дисциплинах. Не случайно ещё в средней школе дети получают интуитивное представление об этом понятии. Со школьной скамьи наш багаж знаний пополняется сведениями о таких функциях как линейная, квадратичная, степенная, показательная, тригонометрические и других. В курсе высшей математики круг известных функций значительно расширяется. Сюда добавляются интегральные и гиперболические функции, эйлеровы интегралы (гамма- и бета-функции), тета-функции, функции Якоби и многие другие.
Что же такое функция? Строгого определения для неё не существует. Это понятие является в математике первичным, аксиоматизируется. Однако, под функцией понимают закон, правило, по которому каждому элементу какого-то множества X
ставится в соответствие один или несколько элементов множества Y
. Элементы множества X
называются аргументами, а множества Y
– значениями функции. Если каждому аргументу соответствует одно значение, функция называется однозначной, если более одного – то многозначной. Синонимом функции является термин «отображение». В простейшем случае множество X
может быть подмножеством поля действительных R
или комплексных C
чисел. Тогда функция называется числовой. Нам будут встречаться только такие отображения.
Функции могут быть заданы многими различными способами: словесным, графическим, с помощью формулы. Функция, которую мы будем рассматривать в этой работе, задаётся через бесконечный ряд. Но, несмотря на такое нестандартное определение, по своему представлению в виде ряда она может быть хорошо изучена методами теории рядов и плодотворно применена к различным теоретическим и прикладным вопросам математики и смежных с ней наук.
Конечно же, речь идёт о знаменитой дзета-функции Римана, имеющей широчайшие применения в теории чисел. Впервые ввёл её в науку великий швейцарский математик и механик Леонард Эйлер и получил многие её свойства. Далее активно занимался изучением дзета-функции немецкий математик Бернгард Риман. В честь него она получила своё название, так как он опубликовал несколько исключительно выдающихся работ, посвящённых этой функции. В них он распространил дзета-функцию на область комплексных чисел, нашёл её аналитическое продолжение, исследовал количество простых чисел, меньших заданного числа, дал точную формулу для нахождения этого числа с участием функции и высказал свою гипотезу о нулях дзета-функции, над доказательством или опровержением которой безрезультатно бьются лучшие умы человечества уже почти 150 лет.
Научная общественность считала и считает решение этой проблемы одной из приоритетных задач. Так Давид Гильберт, выступавший на Международной Парижской математической конференции 1900 году с подведением итогов развития науки и рассмотрением планов на будущее, включил гипотезу Римана в список 23 проблем, подлежащих решению в новом столетии и способных продвинуть науку далеко вперёд. А на рубеже веков, в 2000 году американский The Clay Mathematics Institute назвал семь задач, за решение каждой из которых будет выплачен 1 миллион долларов. В их число также попала гипотеза Римана.
Таким образом, даже бы поверхностное знакомство с дзета-функцией будет и интересным, и полезным.
Глава 1.
Итак, приступим к изучению этой важной и интересной дзета-функции Римана. В данной главе мы получим некоторые свойства функции в вещественной области, исходя из её определения с помощью ряда.
Определение.
Дзета-функцией Римана ζ(
s
)
называют функцию, которая любому действительному числу s
ставит в соответствие сумму ряда
(1)
если она существует.
Основной характеристикой любой функции является область определения. Найдём её для нашей функции.
Пусть сначала s
≤
0, тогда s
=−t
, где t
принадлежит множеству неотрицательных действительных чисел R
+
{0}. В этом случае и ряд (1) обращается в ряд , который, очевидно, расходится как при t
>0, так и при t
=0. То есть значения s
≤
0 не входят в область определения функции.
Теперь пусть s
>0. Для исследования сходимости ряда (1) воспользуемся интегральным признаком Коши. При каждом s
рассмотрим функцию , где , которая является на промежутке непрерывной, положительной и монотонно убывающей. Возникает три различных возможности:
1) 0<s
<1. Тогда , поэтому ряд (1) расходится и промежуток (0;1) не входит в область определения дзета-функции;
2) s
=1. Получаем , то есть при s
=1 дзета-функция Римана также не определена;
3) s
>1. В этом случае
. Ряд (1) сходится.
Обобщив результаты, находим, что область определения дзета-функции есть промежуток . На этом промежутке функция оказывается непрерывной и дифференцируемой бесконечное число раз.
Докажем непрерывность функции ζ(
s
)
на области определения. Возьмём произвольное число s
0
>1. Перепишем ряд (1) в виде . Как было выше показано, ряд сходится, а функции при s
>s
0
монотонно убывают и все вместе ограничены единицей. Значит, по признаку Абеля для s
>s
0
ряд (1) сходится равномерно. Используя теорему о непрерывности суммы функционального ряда, получаем, что в любой точке s
>s
0
дзета-функция непрерывна. Ввиду произвольности s
0
ζ
(
s
)
непрерывна на всей области определения.
Теперь почленным дифференцированием ряда (1), пока формально, найдём производную дзета-функции Римана:
(2).
Чтобы оправдать этот результат, достаточно удостовериться в том, что ряд (2) равномерно сходится на промежутке и воспользоваться теоремой о дифференцировании рядов. Используем тот же приём. Зафиксируем любое s
0
>1 и представим ряд (2) в виде для s
>s
0
. Множители , начиная с n
=2, монотонно убывают, оставаясь ограниченными числом ln 2. Поэтому по признаку Абеля ряд (2) сходится равномерно при s
>
s
0
, а значит и при любом s
>1. Какое бы значение s
>1 ни взять его можно заключить между и , где , а ; к промежутку применима вышеуказанная теорема.
Таким же путём можно убедиться в существовании для дзета-функции производных всех порядков и получить их выражения в виде рядов:
.
Попытаемся построить наглядное изображение функции в виде графика. Для этого изучим сначала её поведение на бесконечности и в окрестности точки s
=1.
В первом случае, ввиду равномерной сходимости ряда (1), по теореме о почленном переходе к пределу, имеем . При n
=1 предел равен единице, остальные пределы равны нулю. Поэтому .
Чтобы исследовать случай , докажем некоторые вспомогательные оценки.
Во-первых, известно, что если для ряда существует непрерывная, положительная, монотонно убывающая функция , определённая на множестве , такая, что , и имеет первообразную , то остаток ряда оценивается так: , где . Применяя вышесказанное к ряду (1), найдём, что необходимая функция
, а и . Отсюда, подставляя в двойное неравенство, имеем
(3). В левом неравенстве положим n
=0, тогда , то есть . В правом же возьмём n
=1 и получим , далее , и, наконец, . Переходя в неравенствах к пределу при , находим .
Отсюда, в частности, следует, что . Действительно, положим . Тогда , то есть . Поэтому . Из того, что , а , вытекает доказываемое утверждение.
Можно, однако, получить ещё более точный результат для оценки поведения дзета-функции в окрестности единицы, чем приведённые выше, принадлежащий Дирихле. Будем отталкиваться от очевидного при произвольном n
равенства . Прибавим ко всем частям неравенств (3) сумму и вычтем . Имеем . Пусть здесь s
стремится к единице. По правилу Лопиталя легко вычислить и . Мы пока не знаем, существует ли предел выражения при , поэтому, воспользовавшись наибольшим и наименьшим пределами, напишем неравенства так:
. Ввиду произвольности n
возьмём . Первое и последнее выражения стремятся к эйлеровой постоянной C (C0,577). Значит , а, следовательно, существует и обычный предел и .
Найденные выше пределы позволяют получить лишь приблизительное представление о виде графика дзета-функции. Сейчас мы выведем формулу, которая даст возможность нанести на координатную плоскость конкретные точки, а именно, определим значения , где k
– натуральное число.
Возьмём известное разложение , где - знаменитые числа Бернулли (по сути, через него эти числа и определяются). Перенесём слагаемое в левую часть равенства. Слева получаем cth, а в правой части - , то есть cth. Заменяем на , получаем cth.
С другой стороны, существует равенство cth, из которого cth. Подстановкой вместо находим cth. Если , то для любого N
и по теореме о сложении бесконечного множества степенных рядов cth.
Приравняем полученные разложения:
, следовательно . Отсюда немедленно следует искомая формула
(4), где - k
-е число Бернулли. Она удобна тем, что эти числа хорошо изучены и для них составлены обширные таблицы.
Теперь, исходя из полученных результатов, можно построить эскиз графика дзета-функции Римана, достаточно хорошо отражающий её поведение на всей области определения.
Леонард Эйлер, впервые рассмотревший дзета-функцию, получил замечательное разложение её в бесконечное произведение, которое иногда тоже принимают за определение:
, где pi
– i
-е простое число (4).
Докажем тождественность ряда (1) и произведения (4). Вспомнив формулу суммы геометрической прогрессии, получаем равенство
Если перемножить конечное число таких рядов, отвечающих всем простым числам, не превосходящим заданного натурального числа N
, то получившееся частичное произведение окажется равным , где символ * означает, что суммирование распространяется не на все натуральные числа, а лишь на те из них (не считая единицы), которые в своём разложении содержат только простые числа меньшие N
. Так как первые N
натуральных чисел этим свойством обладают, то
(5).
Сумма содержит не все числа, большие N
+1, поэтому, очевидно, . Из (5) получаем
(6).
Ввиду сходимости ряда (1), выражение справа, представляющее его остаток после N
-го члена, стремится к нулю при N
стремящимся к бесконечности, а есть произведение (4). Значит из неравенства при , что и требовалось доказать.
Формула (4) важна потому, что она связывает натуральный ряд, представленный множеством значений аргумента дзета-функции, со множеством простых чисел. Ещё один шаг в этом направлении мы сделаем, оценив , а именно показав, что , где остаётся ограниченным при .
Из (4) следует, что , где N
, а при . Возьмём логарифм от обеих частей равенства, тогда . Натуральные логарифмы под знаком суммы разлагаются в ряд: . Подставив полученные разложения в равенство и устремив N
к бесконечности, имеем . Остаётся доказать ограниченность последнего слагаемого. Ясно, что . Последнее равенство справедливо, так как . Далее, очевидно, , что и завершает доказательство.
На этом закончим изложение свойств дзета-функции Римана для действительного аргумента, так как наибольший теоретический и прикладной интерес представляет случай изложенный во второй главе.
Глава 2.
Все результаты первой главы, касающиеся дзета-функции Римана, были получены в предположении, что её аргумент s
– действительное число. Однако, самые выдающиеся исследования и многочисленные важные приложения стали возможны лишь после включения в область определения
Для комплексной дзета-функции остаётся в силе определение, данное в главе 1, с тем лишь изменением, что теперь там будет C
.
Возникает необходимость найти новую область определения. С этой целью докажем следующее утверждение: в полуплоскости ( действительная часть числа x
) ряд
(1) сходится абсолютно.
Пусть . Подсчитаем абсолютные величины членов ряда (1), . Первый множитель содержит только вещественные числа и , так как . Ко второму же множителю применим знаменитую формулу Эйлера, получим . Значит, . Ввиду сходимости ряда при α>1, имеем абсолютную сходимость ряда (1).
На своей области определения дзета-функция аналитична. Действительно, при всяком q
>0 и фиксированном α>1+q
, числовой ряд мажорирует ряд из абсолютных величин , где , откуда, по теореме Вейерштрасса, следует равномерная сходимость ряда в полуплоскости . Сумма же равномерно сходящегося ряда из аналитических функций сама является аналитической функцией.
Нетрудно показать, что все полученные для дзета-функции формулы без изменений переносятся на случай комплексного аргумента. Доказательства претерпевают незначительные преобразования, связанные с переходом к абсолютным величинам.
В связи с этим замечанием становится возможным использовать разложение дзета-функции в произведение , где s
теперь любое комплексное число, такое, что . Применим его к доказательству отсутствия у функции корней.
Оценим величину , используя свойство модуля : , где как обычно . Так как , то , а , следовательно, дзета-функция в нуль не обращается.
Вопрос о нулях дзета-функции, а также другие прикладные вопросы получают новые широкие возможности для исследования, если распространить её на всю комплексную плоскость. Поэтому, сейчас мы одним из многих возможных способов найдём аналитическое продолжение дзета-функции и выведем её функциональное уравнение, характеризующее и однозначно определяющее .
Для этого нам понадобится формула
(2), которая выводится следующим образом. Используя свойства интегралов можно записать . Для любого d
при , значит и , а . . Следовательно, . Интеграл можно найти интегрированием по частям, принимая , ; тогда , а . В результате . Вычтем из этого интеграла предыдущий и получим , отсюда легко следует равенство (2).
Теперь положим в (2) , , a
и b
– целые положительные числа. Тогда . Пусть сначала , примем a
=1, а b
устремим к бесконечности. Получим . Прибавим по единице в обе части равенств:
(3).
Выражение является ограниченным, так как , а функция абсолютно интегрируема на промежутке при , то есть при , . Значит, интеграл абсолютно сходится при , причём равномерно в любой конечной области, лежащей в комплексной плоскости справа от прямой . Тем самым он определяет аналитическую функцию переменной s
, регулярную при . Поэтому правая часть равенства (3) представляет собой аналитическое продолжение дзета-функции на полуплоскость и имеет там лишь один простой полюс в точке с вычетом, равным единице.
Для можно преобразовать выражение (3) дзета-функции. При имеем , значит, и. Теперь при (3) может быть записано в виде .
Немного более сложными рассуждениями можно установить, что в действительности (3) даёт аналитическое продолжение дзета-функции на полуплоскость . Положим , а , то есть первообразная для . ограничена, так как , а интеграл и ограничен из-за того, что . Рассмотрим интеграл при x
1
>x
2
и . Проинтегрируем его по частям, приняв , , тогда , а по указанному выше утверждению . Получаем . Возьмём , а . Имеем , , потому что является ограниченной функцией. Значит,
(4).
Пользуясь абсолютной сходимостью интеграла , если , и ограниченностью функции , делаем вывод, что в левой части равенства (4) интеграл тоже сходится при . Значит формулой (3) можно продолжить дзета-функцию и на полуплоскость правее прямой .
Нетрудно установить, что для отрицательных , поэтому из (3) имеем
(5) при .
Из теории рядов Фурье известно, что для нецелых значений x
справедливо разложение в ряд
(6).
Подставим его в равенство (5) и проинтегрируем ряд почленно:
. Сделаем в полученном интеграле подстановку , отсюда следует , а , и получим далее . Известно, что , значит . Из известного соотношения для гамма-функции , по формуле дополнения , следовательно
Итак, мы получили функциональное уравнение дзета-функции Римана
(7),
которое само по себе может служить средством изучения этой функции, так как вполне характеризует её, в том смысле, что любая другая функция , удовлетворяющая равенству (7), а также ещё некоторым естественным условиям, тождественна с .
Пока, правда, как следует из рассуждений, мы доказали формулу (7) для . Однако правая часть этого равенства является аналитической функцией s
и при . Это показывает, что дзета-функция может быть аналитически продолжена на всю комплексную плоскость, причём не имеет на ней никаких особенностей, кроме упоминавшегося полюса при .
Чтобы доказательство было строгим, мы должны ещё обосновать почленное интегрирование. Поскольку ряд (6) сходится почти всюду и его частичные суммы остаются ограниченными, почленное интегрирование на любом конечном отрезке допустимо. Ввиду для любого , остаётся доказать, что при . Но интегрируя внутренний интеграл по частям имеем
. Отсюда без труда получается наше утверждение.
Функциональное уравнение дзета-функции (7) может быть записано многими способами. Например, заменим s
на 1-s
, получаем равносильное равенство
(8). Из него можно получить два небольших следствия.
Подставим в (8) вместо s
число 2m
, где m
– натуральное число. Имеем . По формуле (4) первой главы , а , поэтому и произведя в правой части все сокращения, учитывая, что , получим .
Покажем ещё, что . Для этого прологарифмируем равенство (8): и результат продифференцируем . В окрестности точки s
=1 , , , где С
– постоянная Эйлера, а k
– произвольная постоянная. Следовательно, устремляя s
к единице, получим , то есть . Опять из формулы (4) главы 1 при k
=0 , значит, действительно, .
Глава 3.
Как уже было сказано, дзета-функция Римана широко применяется в математическом анализе. Однако наиболее полно важность её выявляется в теории чисел, где она оказывает неоценимую помощь в изучении распределения простых чисел в натуральном ряду. К сожалению, рассказ о серьезных и нетривиальных применениях дзета-функции Римана выходит за рамки этой работы. Но чтобы хотя бы немного представить мощь этой функции, докажем с её помощью несколько интересных утверждений.
Например, известно, что простых чисел бесконечно много. Самое знаменитое элементарное доказательство принадлежит Евклиду. Оно состоит в следующем. Предположим, что существует конечное число простых чисел, обозначим их p
1
, p
2
, … , pn
. Рассмотрим число p
1
p
2
…
pn
+1, оно не делится ни на одно из простых и не совпадает ни с одним из них, то есть является простым числом, отличным от вышеуказанных, что противоречит предположению. Значит, количество простых чисел не может быть конечным.
Другое доказательство этого факта, использующее дзета-функцию, было дано Эйлером. Рассмотрим данное в первой главе равенство (5) при s
=1, получим , отсюда и ввиду расходимости гармонического ряда, имеем при
(1). Если бы количество простых чисел было конечным, то и это произведение имело конечное значение. Однако, полученный результат свидетельствует об обратном. Доказательство завершено.
Теперь перепишем (1) в виде . Опираясь на теорему о сходимости бесконечного произведения, из расходимости предыдущего делаем вывод, что ряд расходится. Это предложение даёт некоторую характеристику роста простых чисел. Подчеркнём, что оно гораздо сильнее утверждения о расходимости гармонического ряда, так как здесь речь идёт лишь о части его членов, тем более что в натуральном ряде имеются сколь угодно длинные промежутки без простых чисел, например: , , … , .
Несмотря на свою простоту приведённые выше предложения важны в концептуальном плане, так как они начинают череду исследований всё более и более глубоких свойств ряда простых чисел, которая продолжается по сей день. Первоначально, основной целью изучения дзета-функции как раз и было исследование функции , то есть количества простых чисел не превосходящих x
. В качестве примера формулы, связывающей и , мы сейчас получим равенство
(2).
Сначала воспользуемся разложением дзета-функции в произведение: . Из логарифмического ряда , учитывая, что , приходим к ряду . Значит, .
Теперь вычислим интеграл в правой части (2). Так как при , то . Во внутреннем интеграле положим , тогда и , отсюда .В промежутке интегрирования , поэтому верно разложение и . Получаем . Теперь . Если сравнить полученное значение интеграла с рядом для , то увидим, что они тождественны и равенство (2) доказано.
Используем формулу (2) для доказательства одной очень серьёзной и важной теоремы, а именно получим асимптотический закон распределения простых чисел, то есть покажем, что .
В качестве исторической справки отмечу, что великий немецкий математик Карл Фридрих Гаусс эмпирически установил эту закономерность ещё в пятнадцатилетнем возрасте, когда ему подарили сборник математических таблиц, содержащий таблицу простых чисел и таблицу натуральных логарифмов.
Для доказательства возьмём формулу (2) и попытаемся разрешить это уравнение относительно , то есть обратить интеграл. Сделаем это с помощью формулы обращения Меллина следующим образом. Пусть . Тогда
(3). Этот интеграл имеет нужную форму, а не повлияет на асимптотику . Действительно, так как , интеграл для сходится равномерно в полуплоскости , что легко обнаруживается сравнением с интегралом . Следовательно, регулярна и ограничена в полуплоскости . То же самое справедливо и относительно , так как .
Мы могли бы уже применить формулу Меллина, но тогда было бы весьма затруднительно выполнить интегрирование. Поэтому прежде преобразуем равенство (3) следующим образом. Дифференцируя по s
, получаем . Обозначим левую часть через и положим , , (, и полагаем равными нулю при ). Тогда, интегрируя по частям, находим при , или .
Но непрерывна и имеет ограниченную вариацию на любом конечном интервале, а так как , то () и (). Следовательно, абсолютно интегрируема на при . Поэтому при , или при . Интеграл в правой части абсолютно сходится, так как ограниченна при , вне некоторой окрестности точки . В окрестности и можно положить , где ограниченна при , и имеет логарифмический порядок при . Далее, . Первый член равен сумме вычетов в особых точках, расположенных слева от прямой , то есть . Во втором члене можно положить , так как имеет при лишь логарифмическую особенность. Следовательно, . Последний интеграл стремится к нулю при . Значит,
(4).
Чтобы перейти обратно к , используем следующую лемму.
Пусть положительна и не убывает и пусть при . Тогда .
Действительно, если - данное положительное число, то (). Отсюда получаем для любого . Но так как не убывает, то . Следовательно, . Полагая, например, , получаем .
Аналогично, рассматривая , получаем , значит , что и требовалось доказать.
Применяя лемму, из (4) имеем, что , , поэтому и теорема доказана.
Для ознакомления с более глубокими результатами теории дзета-функции Римана могу отослать заинтересованного читателя к прилагаемому списку использованной литературы.
Список использованной литературы.
1. Титчмарш Е.К. Теория дзета-функции Римана. Череповец, 2000 г.
2. Фихтенгольц Г.М. Курс дифференциального и интегрального исчисления, том II. М.,1970 г.
3. Привалов И.И. Введение в теорию функций комплексного переменного. М.,1999 г.
4. Айерленд К., Роузен М. Классическое введение в современную теорию чисел. М.,1987 г.
5. Шафаревич З.А. Теория чисел. М.,1986г.