Вариант 1
Задание 1
Дан треугольник АВС: А(5;4), В(2;0), С(8;3). Найти:
1) длину стороны АВ;
2) внутренний угол А с точностью до градуса;
3) уравнение и длину высоты, опущенной из вершины С;
4) точку пересечения высот;
5) уравнение медианы, проведенной из вершины С;
6) систему линейных неравенств, определяющих треугольник АВС.
Сделать чертеж.
Решение:
1) Найдем координаты вектора :
.
Длина стороны АВ равна
.
2) Внутренний угол А будем искать как угол между векторами и :
.
Тогда угол .
3) Прямая проходит через точку С(8;3) и имеет нормалью вектор .
По формуле получим уравнение высоты:
, ,
- уравнение СК.
Длину высоты будем искать как расстояние от точки С до прямой АВ. Эта прямая проходит через точку А и имеет направляющий вектор . По формуле получим
, ,
- уравнение прямой АВ.
Воспользуемся формулой .
.
4) Известно, что высоты треугольника пересекаются в одной точке Р. Уравнение высоты СК найдено. выведем аналогичным способом уравнение высоты ВН, проходящей через точку В перпендикулярно вектору .
, .
Координаты точки Р найдем как решение системы:
, , .
Р(4;6).
5) Координаты основания медианы будут:
6)
, ,
М(3.5;2).
Уравнение медианы найдем, используя формулу , как уравнение прямой, проходящей через две точки: С и М.
, , ,
- уравнение медианы СМ.
7) Треугольник АВС задается пересечением трех полуплоскостей, определяемых через уравнения прямых АВ, ВС, АС.
Найдем уравнения ВС и АС по формуле .
, , ,
- уравнение ВС.
, , ,
- уравнение АС.
- уравнение АВ.
Чтобы определить полуплоскость, в которой лежит треугольник АВС относительно прямой АВ, подставим координаты точки С в уравнение АВ:
4∙8-3∙3-8=32-9-8=15≥0.
Тогда полуплоскость, в которой лежит треугольник АВС относительно прямой АВ, определяется неравенством: .
Аналогично для прямых ВС и АС.
; .
; .
Таким образом, треугольник АВС определяется системой неравенств:
.
Ответ003A
1) ;
2) ;
3) ; ;
4) Р(4;6);
5) ;
6) .
Задание 2
Даны векторы . Доказать, что векторы образуют базис четырехмерного пространства, и найти координаты вектора в этом базисе.
Решение:
- система из четырех четырехмерных векторов. Следовательно, чтобы доказать, что она является базисом пространства , достаточно доказать ее линейную независимость.
Составим и вычислим определитель матрицы, столбцами которой являются векторы :
.
Для вычисления этого определителя, разложим его по четвертому столбцу:
.
Определитель Δ≠0, следовательно - линейно независимая система из четырех четырехмерных векторов, то есть базис пространства .
Для нахождения координат вектора в этом базисе, разложим вектор по базису :
.3
Найдем - координаты вектора в этом базисе.
.
Решим эту систему методом Гаусса.
Поменяем местами первое и третье уравнение:
Первое уравнение, умноженное последовательно на (-1) и (2), прибавим соответственно ко второму и третьему уравнениям системы:
Поменяем местами второе и четвертое уравнения, третье разделим на 5:
Прибавим к третьему уравнению второе:
Поменяв местами третье и четвертое уравнение, получим систему треугольного вида:
Система имеет единственное решение. Решаем снизу вверх:
Вектор в базисе имеет координаты .
Задание 3
Найти производные функций:
а)
и
.
б)
и
.
в)
.
г)
,
.
За
1. Область определения .
2. На концах области определения: .
- значит - вертикальная асимптота.
Найдем наклонные асимптоты, если они есть:
У функции есть горизонтальная асимптота .
3. Так как область определения не симметрична относительно 0, функция не является ни четной, ни нечетной, т. е. функция общего вида.
4. Функция периодичностью не обладает.
5. Найдем первую производную функции:
.
Решая уравнение , получим две критические точки , еще одна критическая точка .
Результаты исследования на монотонность и экстремум оформим в виде таблицы:
| x | (-∞;-2) | -2 | (-2;0) | 0 | (0;1) | 1 | (1;+∞) |
| y’ | - | 0 | + | 0 | - | Не существует | - |
| y | Убывает | -80/27 min |
Возрастает | 0 max |
Убывает | Не существует | Убывает |
6. Находим вторую производную функции:
Решая уравнение , получим ,
- это критические точки. Еще одна критическая точка .
Результаты исследования на выпуклость и точки перегиба оформим в виде таблицы:
x |
1 | (1;+∞) | |||||
| y” | - | 0 | + | 0 | - | Не существует | + |
| y | Выпукла | -2.63 перегиб |
Вогнута | -0.71 перегиб | Выпукла | Не существует | Вогнута |
7. Учитывая результат пункта 2 и непрерывность функции при , значения функции заполняют промежуток (-∞;+∞).
8. Пересечение с осью Ох: , , точка (0;0). Она же – точка пересечения с Оу.
9. Необходимости в дополнительных точках нет.
Задание 5
Применяя таблицу интегралов и метод замены переменных, найти неопределенные интегралы. Результаты проверить дифференцированием.
Произведем замену переменной: , тогда
Проверка:
Произведем замену переменной: , тогда
Проверка:
Применяя метод интегрирования по частям, найти неопределенные интегралы. Результаты проверить дифференцированием.
Возьмем
Применяя формулу интегрирования по частям: , получим:
Проверка:
Применяя метод интегрирования рациональных алгебраических функций, найти неопределенные интегралы. Результаты проверить дифференцированием.
Подынтегральное выражение представляет собой неправильную дробь. Выделим целую часть, деля числитель на знаменатель.
Следовательно:
Разложим многочлен .
, тогда
.
Умножим обе части этого тождества на , получим
, тогда
. Решая эту систему, получим А=1.225; В=0.4.
Таким образом:
Проверка:
Ответ: ; ; ;
.
Задание 6
Вычислить площадь фигуры, ограниченной графиками функций
Находим координаты точек пересечения двух парабол, решая систему уравнений:
. Приравнивая правые части, получим квадратное уравнение:
. Его решения . Тогда координаты точек пересечения А(0;-1), В(1;-1).
, поэтому
кв. ед.
Вычислить площадь фигуры, ограниченной графиками функций
Находим координаты точек пересечения прямой и параболы, решая систему уравнений:
. Приравнивая правые части, получим квадратное уравнение:
. Его решения . Тогда координаты точек пересечения А(-1;1), В(0;-1).
, поэтому
кв. ед.