Лекция 10. Квадратичные формы и их связь с симметричными матрицами. Свойства собственных векторов и собственных чисел симметричной матрицы. Приведение квадратичной формы к каноническому виду.
Определение 10.1. Квадратичной формой действительных переменных х1, х2,…,хn называется многочлен второй степени относительно этих переменных, не содержащий свободного члена и членов первой степени.
Примеры квадратичных форм:
(n = 2),
(n = 3). (10.1)
Напомним данное в прошлой лекции определение симметрической матрицы:
Определение 10.2. Квадратная матрица называется симметрической, если , то есть если равны элементы матрицы, симметричные относительно главной диагонали.
Свойства собственных чисел и собственных векторов симметрической матрицы:
1) Все собственные числа симметрической матрицы действительные.
Доказательство (для n = 2).
Пусть матрица А имеет вид: . Составим характеристическое уравнение:
(10.2) Найдем дискриминант:
следовательно, уравнение имеет только действительные корни.
2) Собственные векторы симметрической матрицы ортогональны.
Доказательство (для n = 2).
Координаты собственных векторов и должны удовлетворять уравнениям:
Следовательно, их можно задать так:
. Скалярное произведение этих векторов имеет вид:
По теореме Виета из уравнения (10.2) получим, что Подставим эти соотношения в предыдущее равенство: Значит, .
Замечание. В примере, рассмотренном в лекции 9, были найдены собственные векторы симметрической матрицы и обращено внимание на то, что они оказались попарно ортогональными.
Определение 10.3. Матрицей квадратичной формы (10.1) называется симметрическая матрица . (10.3)
Таким образом, все собственные числа матрицы квадратичной формы действительны, а все собственные векторы ортогональны. Если все собственные числа различны, то из трех нормированных собственных векторов матрицы (10.3) можно построить базис в трехмер
Приведение квадратичной формы к каноническому виду
Определение 10.4. Каноническим видом квадратичной формы (10.1) называется следующий вид: . (10.4)
Покажем, что в базисе из собственных векторов квадратичная форма (10.1) примет канонический вид. Пусть
- нормированные собственные векторы, соответствующие собственным числам λ1,λ2,λ3 матрицы (10.3) в ортонормированном базисе . Тогда матрицей перехода от старого базиса к новому будет матрица
. В новом базисе матрица А примет диагональный вид (9.7) (по свойству собственных векторов). Таким образом, преобразовав координаты по формулам:
,
получим в новом базисе канонический вид квадратичной формы с коэффициентами, равными собственным числам λ1, λ2, λ3:
. (10.5)
Замечание 1. С геометрической точки зрения рассмотренное преобразование координат представляет собой поворот координатной системы, совмещающий старые оси координат с новыми.
Замечание 2. Если какие-либо собственные числа матрицы (10.3) совпадают, к соответствующим им ортонормированным собственным векторам можно добавить единичный вектор, ортогональный каждому из них, и построить таким образом базис, в котором квадратичная форма примет канонический вид.
Пример.
Приведем к каноническому виду квадратичную форму
x² + 5y² + z² + 2xy + 6xz + 2yz.
Ее матрица имеет вид В примере, рассмотренном в лекции 9, найдены собственные числа и ортонормированные собственные векторы этой матрицы:
Составим матрицу перехода к базису из этих векторов:
(порядок векторов изменен, чтобы они образовали правую тройку). Преобразуем координаты по формулам:
.
Получим:
Итак, квадратичная форма приведена к каноническому виду с коэффициентами, равными собственным числам матрицы квадратичной формы.
||Оглавление||