Применение экономико-математического моделирования в прогнозировании издержек

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ

Филиал

Государственного образовательного учреждения

высшего профессионального образования

Московского государственного

индустриального университета

в г.Кинешме

(КФ ГОУ МГИУ)

Кафедра: «Экономика и управление на предприятии (машиностроение)»

КУРСОВАЯ РАБОТА

по дисциплине:
«Экономико – математическое моделирование»

на тему:
«Применение экономико-математического моделирования в прогнозировании издержек»

Выполнил:

студент гр. № 5622 Сушин А.В.

Проверил: Широкая О.А.

Дата:

Оценка:

Подпись:

КИНЕШМА, 2008 г.

СОДЕРЖАНИЕ.

Введение

1. Теоретическая часть

1.1. Понятие и классификация издержек

1.2. Издержки производства в краткосрочном периоде 2. Экономико-математическое моделирование

2.1. Сущность и основные понятия экономико-математического моделирования

2.2. Этапы экономико-математического моделирования

2.3. Классификация экономико-математических методов и моделей

2.4. Теория корреляционного анализа

3. Практическая часть

3.1. Построение модели затрат на производство продукции

Заключение

Список использованной литературы

Введение

Важную роль в обеспечении повышения эффективности производства играет экономический анализ производственно-хозяйственной деятельности предприятия, являющийся составной частью экономических методов управления. Анализ является базой планирования, средством оценки качества планирования и выполнения плана.

Анализом хозяйственной деятельности называется научно разработанная система методов и приемов, посредством которых изучается экономика предприятия, выявляются резервы производства на основе учетных и отчетных данных, разрабатываются пути их наиболее эффективного использования.

Под предметом экономического анализа понимаются хозяй­ственные процессы предприятий, объединений, ассоциаций, со­циально-экономическая эффективность и конечные финансо­вые результаты их деятельности, складывающиеся под воздействием объективных и субъективных факторов, получающие отражение через систему экономической информации.

Целью математического моделирования экономических систем является использование методов математики для наиболее эффективного решения задач, возникающих в сфере экономики, с использование, как правило, современной вычислительной техники.

Целью данной курсовой работы является обобщение и закрепление пройденного курса экономико-математического моделирования.

Исходя из цели работы можно определить её задачу: самостоятельно построить модели затрат на производство продукции АО «Автоагрегат» на примере участка металлопокрытий.

1. Теоретическая часть.

1.1. Понятие и классификация издержек.

Каждая фирма в определении своей стратегии ориентируется на получение максимальной прибыли. В то же время любое производство товаров или услуг немыслимо без затрат. На приобретение факторов производства фирма осуществляет конкретные затраты. При этом она будет стремиться использовать такой производственный процесс, при котором заданный объём производства будет обеспечиваться с наименьшими затратами на применяемые факторы производства.

Затраты на приобретение применяемых производственных факторов называются издержками производства

. Затраты - это расходование ресурсов в их физическом, натуральном виде, а издержки - стоимостная оценка произведенных затрат.

С точки зрения отдельного предпринимателя (фирмы) выделяют индивидуальные издержки производства

, представляющие собой затраты конкретного хозяйствующего субъекта. Понесенные затраты на производство определённого объёма какой-то продукции с точки зрения всей национальной экономики есть общественные издержки

. Кроме непосредственных затрат на производство какого-либо ассортимента продукции, они включают в себя затраты на охрану окружающей среды, подготовку квалифицированной рабочей силы, проведение фундаментальных НИОКР и иные затраты.

Различают издержки производства и издержки обращения. Производственные издержки

- это издержки, непосредственно связанные с производством товаров или услуг. Издержки обращения

- это издержки, связанные с реализацией произведенной продукции. Они подразделяются на дополнительные и чистые издержки обращения. Первые включают в себя расходы на доведение произведенной продукции до непосредственного потребителя (хранение, расфасовка, упаковка, транспортировка продукции), увеличивающие конечную стоимость товара; вторые - расходы, связанные со сменой формы стоимости в процессе купли-продажи, превращением её из товарной в денежную (оплата труда торговых работников, расходы на рекламу и т.п.), не образующие новой стоимости и вычитаемые из стоимости товара.

Экономическое понимание издержек базируется на проблеме ограниченности ресурсов и возможности их альтернативного использования. Применение ресурсов в данном производственном процессе исключает возможность их использования по другому назначению. Например, древесина, используемая в строительном деле, не может быть применена, скажем, в производстве мебели, спичек и иных товаров. Выбор определённых ресурсов для производства какого-либо товара означает невозможность производства какого-то альтернативного товара. Экономические
,
или вменённые
,
издержки

любого ресурса, выбранного для применения в производственном процессе, равны его ценности при наилучшем из всех возможных вариантов использования.

С позиции отдельной фирмы экономические издержки - это те затраты, которые должна нести фирма в пользу поставщика ресурсов с тем, чтобы отвлечь эти ресурсы от их применения в альтернативных производствах. Такие затраты могут быть как внешними, так и внутренними. Затраты в денежной форме, которые фирма осуществляет в пользу поставщиков трудовых услуг, топлива, сырья, вспомогательных материалов, транспортных и иных услуг, называются внешними

или явными издержками

. В этом случае поставщики ресурсов не являются владельцами данной фирмы.

В то же время фирма может использовать и свои собственные ресурсы. В этом случае тоже неизбежны издержки. Издержки на собственный и самостоятельно используемый ресурс есть неоплачиваемые
,
или внутренние
(неявные
), издержки

. Фирма рассматривает их как эквивалент тех денежных выплат, которые бы были получены за самостоятельно используемый ресурс при самом оптимальном его применении.

Минимальная плата, необходимая для того, чтобы поддерживать чью-то деятельность в данной сфере бизнеса, называется нормальной прибылью

.

С позиций бухгалтерского подхода к производственным издержкам следует относить все реальные, фактические расходы, осуществляемые в денежной форме. Таковыми могут быть заработная плата рабочих; плата за аренду зданий, сооружений, станков, оборудования; оплата транспортных расходов; оплата услуг банков, страховых компаний и т.д.

С позиций экономического подхода к издержкам производства следует относить не только фактические затраты, осуществляемые в денежной форме, но и не оплачиваемые фирмой издержки, связанные с упущенной возможностью самого оптимального применения своих ресурсов. Согласно данному подходу в издержках производства следует учитывать все затраты - и внешние, и внутренние, включая в последние и нормальную прибыль.

Неявные (имплицитные) издержки нельзя отождествлять с так называемыми безвозвратными издержками. Безвозвратные издержки

- это издержки, которые осуществляются фирмой один раз и не могут быль возвращены ни при каких обстоятельствах. Если, например, владельцем предприятия понесены определённые денежные расходы на то, чтобы на стене этого предприятия была сделана надпись с его названием и родом деятельности, то, продавая такое предприятие, его владелец заранее готов понести определённые потери, связанные со стоимостью произведённой надписи. Безвозвратные издержки не относятся к разряду альтернативных, они не учитываются в текущих издержках фирмы, связанных с её производственной деятельностью.

Выделяют и такой критерий классификации издержек, как временные интервалы, на протяжении которых принимаются те или иные хозяйственные решения.

Затраты, которые несёт фирма, произведя заданный объём продукции, зависят не только от цен на применяемые факторы производства, но и от того, какие именно факторы (ресурсы) применяются и в каком количестве. Количество одних ресурсов (живой труд, топливо, сырьё, вспомогательные материалы и др.) и их комбинацию можно изменить сравнительно быстро; количество других (например, производственные мощности машиностроительного завода) может быть изменено в течение довольно продолжительного времени.

В зависимости от времени, затрачиваемого на изменение количества применяемых в производстве ресурсов, различают кратко- и долгосрочные периоды в деятельности фирмы.

Краткосрочным периодом

называют такой временной отрезок, в течение которого фирма не в состоянии изменить свои производственные мощности. Влиять на ход и результативность производства она может лишь путём изменения интенсивности использования своих мощностей. В этот период фирма может оперативно изменять свои переменные факторы - количество труда, сырья, вспомогательных материалов, топлива.

Долгосрочный период

- такой временной отрезок, в течение которого фирма в состоянии изменить количество всех используемых ресурсов, включая и производственные мощности. В то же время этот период по своей продолжительности должен быть достаточен для того, чтобы одни фирмы смогли покинуть данную отрасль, а другие, наоборот, войти в неё.

1.2. Издержки производства в краткосрочном периоде

В краткосрочном периоде количество некоторых производственных факторов остаётся неизменным, количество других изменяется. Соответственно и издержки в этом периоде подразделяются на постоянные и переменные.

Постоянные издержки

TFC

- это такие издержки, величина которых не изменяется в зависимости от изменения объёма производства. Наличие таких издержек объясняется самим существованием некоторых производственных факторов, поэтому они имеют место даже тогда, когда фирма ничего не производит. На графике постоянные издержки изображаются горизонтальной линией, расположенной параллельно оси абсцисс (рис. 1). К постоянным издержкам относят затраты на оплату труда управленческого персонала, рентные платежи, страховые взносы, отчисления на амортизацию зданий и оборудования.

Рис. 1. Постоянные, переменные и общие издержки

Переменные издержки

TVC

- это издержки, величина которых изменяется в зависимости от изменения объёма производства. К ним относят затраты на оплату труда, приобретение сырья, топлива, вспомогательных материалов, оплата транспортных услуг, соответствующие социальные отчисления и т.п. Из рис. 1 видно, что переменные издержки увеличиваются по мере роста выпуска продукции. Однако здесь прослеживается одна закономерность: вначале рост переменных издержек в расчёте на единицу прироста продукции идёт замедленными темпами (до четвёртой единицы продукции по графику рис. 1), затем они растут всё возрастающими темпами. Здесь начинает сказываться закон убывающей отдачи.

Сумма постоянных и переменных издержек при каждом данном объёме производства образует общие издержки TC. Из графика видно, что для получения кривой общих издержек сумму постоянных издержек TFC необходимо прибавить к сумме переменных издержек TVC(рис. 1).

Для предпринимателя представляет интерес не только общая сумма издержек производимых им товаров или услуг, но и средние издержки

, т.е. издержки фирмы на единицу производимой продукции. При определении прибыльности или убыточности производства средние издержки сравниваются с ценой.

Средние издержки подразделяются на средние постоянные, средние переменные и средние общие.

Рис. 2. Кривые средних издержек фирмы в краткосрочном периоде

Средние постоянные издержки

AFC

- рассчитываются путём деления общих постоянных издержек на количество произведенной продукции, т.е. AFC = TFC/Q. Так как величина постоянных издержек не зависит от объёма производства, то конфигурация кривой AFC имеет плавный нисходящий характер и свидетельствует о том, что с ростом объёма производства сумма постоянных издержек приходится на всё возрастающее количество единиц производимой продукции.

Средние переменные издержки

AVC

- рассчитываются путём деления суммарных переменных издержек на соответствующее количество произведенной продукции, т.е. AVC = TVC/Q. Из рис. 2 видно, что средние переменные издержки сначала снижаются, а затем растут. Здесь также сказывается действие закона убывающей отдачи.

Средние общие издержки

ATC

- рассчитываются по формуле ATC = TC/Q. На рис. 2 кривая средних общих издержек получена путём сложения по вертикали величин средних постоянных AFC и средних переменных издержек AVC. Кривые ATC и AVC имеют U-образную конфигурацию. Обе кривые в силу закона убывающей отдачи загибаются вверх при достаточно высоких объёмах производства. При увеличении числа занятых работников, когда постоянные факторы неизменны, производительность труда начинает падать, вызывая соответственно рост средних издержек.

Для понимания поведения фирмы очень важна категория переменных издержек. Предельные издержки

MC

- это дополнительные издержки, связанные с производством каждой последующей единицы продукции. Поэтому MC можно найти путём вычитания двух рядом стоящих величин валовых издержек. Их также можно рассчитать по формуле MC = DTC/DQ, где DQ = 1. Если постоянные издержки не меняются, то предельные - это всегда предельные переменные издержки. Значит, их можно рассчитать также путём вычитания двух рядом стоящих величин суммарных переменных издержек.

Предельные издержки показывают изменения в издержках, связанные с уменьшением или увеличением объёма производства Q. Поэтому сравнение MC с предельной выручкой (выручкой от реализации дополнительно произведённой единицы продукции) имеет весьма важное значение для определения поведения фирмы в рыночных условиях.

Для анализа уровня и динамики изменения стоимости продукции используется ряд показателей. К ним относятся: смета затрат на производство, себестоимость товарной и реализуемой продукции, снижение себестоимости сравнимой товарной продукции и затраты на один рубль товарной (реализованной) продукции.

Смета затрат на производство

- наиболее общий показатель, который отражает всю сумму расходов предприятия по его производственной деятельности в разрезе экономических элементов. В ней отражены, во-первых, все расходы основного и вспомогательного производства, связанные с выпуском товарной и валовой продукции; во-вторых, затраты на работы и услуги непромышленного характера (строительно-монтажные, транспортные, научно-исследовательские и проектные и др.); в-третьих, затраты на освоение производства новых изделий независимо от источника их возмещений. Эти расходы исчисляют, как правило, без учета внутризаводского оборота.

В себестоимость товарной продукции

включают все затраты предприятия на производство и сбыт товарной продукции в разрезе калькуляционных статей расходов. Себестоимость реализуемой продукции

равна себестоимости товарной за вычетом повышенных затрат первого года массового производства новых изделий, возмещаемых за счет фонда освоения новой техники, плюс производственная себестоимость продукции, реализованной из остатков прошлого года. Затраты, возмещаемые за счет фонда освоения новой техники, включаются в себестоимость товарной, но не входят в себестоимость реализуемой продукции. Они определяются как разница между плановой себестоимостью первого года массового производства изделий и себестоимостью, принятой при утверждении цен:

СР
= СТ
- ЗН
+ (СП2
- СП1
),

где СР
- себестоимость реализованной продукции

СТ
- себестоимость товарной продукции

ЗН
- повышенные затраты первого года массового производства новых изделий, возмещаемые за счет фонда освоения новой техники

СП1
, СП2
- производственная себестоимость остатков нереализованной (на складах и отгруженной) продукции соответственно на начало и конец года.

Для анализа уровня себестоимости на различных предприятиях или ее динамики за разные периоды времени затраты на производство должны приводиться к одному объему. Себестоимость единицы продукции (калькуляция)

показывает затраты предприятия на производство и реализацию конкретного вида продукции в расчете на одну натуральную единицу. Калькуляция себестоимости широко используется в ценообразовании, хозяйственном расчете, планировании и сравнительном анализе.

Показатель снижения себестоимости сравнимой товарной продукции

применяется для анализа изменения себестоимости во времени при сопоставимом объеме и структуре товарной продукции на тех предприятиях, которые имеют устойчивый по времени ассортимент изделий. Под сравнимой понимают такую продукцию, которая производилась серийно или массово в предшествующем году. К ней относится и частично модернизированная продукция, если эти изменения не привели к введению новых моделей, стандартов и технических условий.

Затраты на один рубль товарной (реализованной) продукции

- наиболее известный на практике обобщающий показатель, который отражает себестоимость единицы продукции в стоимостном выражении обезличенно, без разграничения ее по конкретным видам. Он широко используется при анализе снижения себестоимости и позволяет, в частности, характеризовать уровень и динамику затрат на производство продукции в целом по промышленности.

Остальные встречающиеся на практике показатели себестоимости можно подразделить по следующим признакам:

- по составу учитываемых расходов - цеховая, производственная, полная себестоимость;

- по длительности расчетного периода - месячная, квартальная, годовая, за ряд лет;

- по характеру данных, отражающих расчетный период,- фактическая (отчетная), плановая, нормативная, проектная (сметная), прогнозируемая;

- по масштабам охватываемого объекта - цех, предприятие, группа предприятий, отрасль, промышленность и т.п.

Затраты на производство промышленной продукции планируются и учитываются по первичным экономическим элементам и статьям расходов.

Группировка по первичным экономическим элементам

позволяет разработать смету затрат на производство, в которой определяются общая потребность предприятия в материальных ресурсах, сумма амортизации основных фондов, затраты на оплату труда и прочие денежные расходы предприятия. Эта группировка используется также для согласования плана по себестоимости с другими разделами техпромфинплана, для планирования оборотных средств и контроля за их использованием. В промышленности принята следующая группировка затрат по их экономическим элементам:

- сырье и основные материалы,

- вспомогательные материалы,

- топливо (со стороны),

- энергия (со стороны),

- амортизация основных фондов,

- заработная плата,

- отчисления на социальное страхование,

- прочие затраты, не распределенные по элементам.

Соотношение отдельных экономических элементов в общих затратах определяет структуру затрат на производство. В различных отраслях промышленности структура затрат на производство неодинакова; она зависит от специфических условий каждой отрасли.

2. Экономико-математическое моделирование

2.1. Сущность и основные понятия

экономико – математического моделирования

Рассмотрим ряд основных понятий, связанных с систем­ным анализом и моделированием социально-экономических систем, чтобы с их помощью более полно раскрыть суть такого ключевого понятия, как экономико-математические методы. Термин экономико-математические методы

понимается в свою очередь как обобщающее название комплекса экономи­ческих и математических научных дисциплин, объединенных для изучения социально-экономических систем и процессов.

Под социально-экономической системой

будем понимать сложную вероятностную динамическую систему, охватываю­щую процессы производства, обмена, распределения и по­требления материальных и других благ. Она относится к классу кибернетических систем, т. е. систем управляемых. Рассмотрим прежде всего понятия, связанные с такими сис­темами и методами их исследования.

Центральным понятием кибернетики является понятие «система». Единого определения этого понятия нет; возмож­на такая формулировка: системой

называется комплекс взаимосвязанных элементов вместе с отношениями между элементами и между их атрибутами. Исследуемое множест­во элементов можно рассматривать как систему, если выяв­лены следующие четыре признака:

• целостность системы, т. е. принципиальная несводимость свойств системы к сумме свойств составляющих ее эле­ментов;

• наличие цели и критерия исследования данного множе­ства элементов,

• наличие более крупной, внешней по отношению к дан­ной, системы, называемой «средой»;

• возможность выделения в данной системе взаимосвязан­ных частей (подсистем).

Основным методом исследования систем является ме­тод моделирования

,
т. е. способ теоретического анализа и практического действия, направленный на разработку и ис­пользование моделей. При этом под моделью

будем пони­мать образ реального объекта (процесса) в материальной или идеальной форме (т. е. описанный знаковыми средства­ми на каком-либо языке), отражающий существенные свой­ства моделируемого объекта (процесса) и замещающий его в ходе исследования и управления. Метод моделирования основывается на принципе аналогии, т. е. возможности изуче­ния реального объекта не непосредственно, а через рассмот­рение подобного ему и более доступного объекта, его модели. В дальнейшем мы будем говорить только об экономико-матема­тическом моделировании, т. е. об описании знаковыми мате­матическими средствами социально-экономических систем.

Практическими задачами экономико-математического моделирования являются:

• анализ экономических объектов и процессов;

• экономическое прогнозирование, предвидение развития экономических процессов;

• выработка управленческих решений на всех уровнях

хозяйственной иерархии.

Следует, однако, иметь в виду, что далеко не во всех слу­чаях данные, полученные в результате экономико-математи­ческого моделирования, могут использоваться непосредст­венно как готовые управленческие решения. Они скорее мо­гут быть рассмотрены как «консультирующие» средства. Принятие управленческих решений остается за человеком. Таким образом, экономико-математическое моделирование является лишь одним из компонентов (пусть очень важным) в человеко-машинных системах планирования и управления экономическими системами.

Важнейшим понятием при экономико-математическом моделировании, как и при всяком моделировании, является понятие адекватности модели

,
т. е. соответствия модели мо­делируемому объекту или процессу. Адекватность модели — в какой-то мере условное понятие, так как полного соответствия модели реальному объекту быть не может, что характерно и для экономико-математического моделирования. При моделиро­вании имеется в виду не просто адекватность, но соответствие по тем свойствам, которые считаются существенными для ис­следования. Проверка адекватности экономико-математиче­ских моделей является весьма серьезной проблемой, тем более, что ее осложняет трудность измерения экономических величин. Однако без такой проверки применение результатов модели­рования в управленческих решениях может не только ока­заться мало полезным, но и принести существенный вред.

Социально-экономические системы относятся, как правило, к так называемым сложным системам.
Сложные системы в экономике обладают рядом свойств, которые необходимо учитывать при их моделировании, иначе невозможно гово­рить об адекватности построенной экономической модели. Важнейшие из этих свойств:

• эмерджентность как проявление в наиболее яркой форме свойства целостности системы, т.е. наличие у экономиче­ской системы таких свойств, которые не присущи ни од­ному из составляющих систему элементов, взятому в от­дельности вне системы. Эмерджентность есть результат возникновения между элементами системы так называе­мых синергических связей, которые обеспечивают увели­чение общего эффекта до величины, большей, чем сумма эффектов элементов системы, действующих независимо. Поэтому социально-экономические системы необходимо исследовать и моделировать в целом;

• массовый характер экономических явлений и процессов. Закономерности экономических процессов не обнаружи­ваются на основании небольшого числа наблюдений. По­этому моделирование в экономике должно опираться на массовые наблюдения;

• динамичность экономических процессов, заключающаяся в изменении параметров и структуры экономических систем под влиянием среды (внешних факторов);

• случайность и неопределенность в развитии экономиче­ских явлений. Поэтому экономические явления и про­цессы носят в основном вероятностный характер, и для их изучения необходимо применение экономико-матема­тических моделей на базе теории вероятностей и мате­матической статистики;

• невозможность изолировать протекающие в экономиче­ских системах явления и процессы от окружающей сре­ды, чтобы наблюдать и исследовать их в чистом виде;

• активная реакция на появляющиеся новые факторы, спо­собность социально-экономических систем к активным, не всегда предсказуемым действиям в зависимости от отношения системы к этим факторам, способам и мето­дам их воздействия.

Выделенные свойства социально-экономических систем. естественно, осложняют процесс их моделирования, однако эти свойства следует постоянно иметь в виду при рассмотрении различных аспектов экономико-математического моделиро­вания, начиная с выбора типа модели и кончая вопросами практического использования результатов моделирования.

2.2. Этапы экономико-математического моделирования

Процесс моделирования, в том числе и экономико-мате­матического, включает в себя три структурных элемента: объект исследования; субъект (исследователь); модель, опосредующую отношения между познающим субъектом и по­знаваемым объектом. Рассмотрим общую схему процесса моделирования, состоящую из четырех этапов.

Пусть имеется некоторый объект, который мы хотим исследовать методом моделирования. На первом этапе мы конструируем (или находим в реальном мире) дру­гой объект — модель исходного объекта-оригинала. Этап построения модели предполагает наличие определенных све­дений об объекте-оригинале. Познавательные возможности модели определяются тем, что модель отображает лишь не­которые существенные черты исходного объекта, поэтому любая модель замещает оригинал в строго ограниченном смысле. Из этого следует, что для одного объекта может быть построено несколько моделей, отражающих определен­ные стороны исследуемого объекта или характеризующих его с разной степенью детализации.

На втором этапе процесса моделирования модель выступает как самостоятельный объект исследования. На­пример, одну из форм такого исследования составляет про­ведение модельных экспериментов, при которых целена­правленно изменяются условия функционирования модели и систематизируются данные о ее "поведении". Конечным результатом этого этапа является совокупность знаний о модели в отношении существенных сторон объекта-оригинала, которые отражены в данной модели.

Третий этап заключается в переносе знаний с мо­дели на оригинал, в результате чего мы формируем множество знаний об исходном объекте и при этом переходим с языка модели на язык оригинала. С достаточным основани­ем переносить какой-либо результат с модели на оригинал можно лишь в том случае, если этот результат соответствует признакам сходства оригинала и модели (другими словами, признакам адекватности).

На четвертом этапе осуществляются практиче­ская проверка полученных с помощью модели знаний и их использование как для построения обобщающей теории реального объекта, так и для его целенаправленного преоб­разования или управления им. В итоге мы снова возвраща­емся к проблематике объекта-оригинала.

Моделирование представляет собой циклический про­цесс, т. е. за первым четырехэтапным циклом может после­довать второй, третий и т. д. При этом знания об исследуемом объекте расширяются и уточняются, а первоначально постро­енная модель постепенно совершенствуется. Таким образом, в методологии моделирования заложены большие возможно­сти самосовершенствования.

Перейдем теперь непосредственно к процессу экономико-математического моделирования, т. е. описания экономиче­ских и социальных систем и процессов в виде экономико-математических моделей. Эта разновидность моделирования обладает рядом существенных особенностей, связанных как с объектом моделирования, так и с применяемыми аппара­том и средствами моделирования. Поэтому целесообразно бо­лее детально проанализировать последовательность и содер­жание этапов экономико-математического моделирования, выделив следующие шесть этапов: постановка экономиче­ской проблемы, ее качественный анализ; построение мате­матической модели; математический анализ модели; подго­товка исходной информации; численное решение; анализ численных результатов и их применение. Рассмотрим каж­дый из этапов более подробно.

1. Постановка экономической проблемы и ее качествен­ный анализ.
На этом этапе требуется сформулировать сущность проблемы, принимаемые предпосылки и допу­щения. Необходимо выделить важнейшие черты и свой­ства моделируемого объекта, изучить его структуру и

взаимосвязь его элементов, хотя бы предварительно сформулировать гипотезы, объясняющие поведение и развитие объекта.

2. Построение математической модели.
Это этап формали­зации экономической проблемы, т. е. выражения ее в виде конкретных математических зависимостей (функ­ций, уравнений, неравенств и др.). Построение модели подразделяется в свою очередь на несколько стадий. Сначала определяется тип экономико-математической модели, изучаются возможности ее применения в данной задаче, уточняются конкретный перечень переменных и параметров и форма связей. Для некоторых сложных объектов целесообразно строить несколько разноаспектных моделей; при этом каждая модель выделяет лишь некоторые стороны объекта, а другие стороны учитыва­ются агрегировано и приближенно. Оправдано стремле­ние построить модель, относящуюся к хорошо изученному классу математических задач, что может потребовать не­которого упрощения исходных предпосылок модели, не искажающего основных черт моделируемого объекта. Однако возможна и такая ситуация, когда формализа­ция проблемы приводит к неизвестной ранее математи­ческой структуре.

3. Математический анализ модели.
На этом этапе чисто математическими приемами исследования выявляются общие свойства модели и ее решений. В частности, важ­ным моментом является доказательство существования решения сформулированной задачи. При аналитическом исследовании выясняется, единственно ли решение, ка­кие переменные могут входить в решение, в каких пре­делах они изменяются, каковы тенденции их изменения и т. д. Однако модели сложных экономических объек­тов с большим трудом поддаются аналитическому ис­следованию; в таких случаях переходят к численным методам исследования.

4. Подготовка исходной информации.
В экономических задачах это, как правило, наиболее трудоемкий этап мо­делирования, так как дело не сводится к пассивному сбору данных. Математическое моделирование предъявляет жесткие требования к системе информации; при этом надо принимать во внимание не только принципиаль­ную возможность подготовки информации требуемого качества, но и затраты на подготовку информационных массивов. В процессе подготовки информации использу­ются методы теории вероятностей, теоретической и ма­тематической статистики для организации выборочных обследований, оценки достоверности данных и т.д. При системном экономико-математическом моделировании результаты функционирования одних моделей служат исходной информацией для других.

5. Численное решение.
Этот этап включает разработку ал­горитмов численного решения задачи, подготовку про­грамм на ЭВМ и непосредственное проведение расчетов;

при этом значительные трудности вызываются большой размерностью экономических задач. Обычно расчеты на основе экономико-математической модели носят много­вариантный характер. Многочисленные модельные экс­перименты, изучение поведения модели при различных условиях возможно проводить благодаря высокому бы­стродействию современных ЭВМ. Численное решение существенно дополняет результаты аналитического ис­следования, а для многих моделей является единствен­но возможным.

6. Анализ численных результатов и их применение.
На этом этапе прежде всего решается важнейший вопрос о правильности и полноте результатов моделирования и применимости их как в практической деятельности, так и в целях усовершенствования модели. Поэтому в первую очередь должна быть проведена проверка адек­ватности модели по тем свойствам, которые выбраны в качестве существенных (другими словами, должны быть произведены верификация и валидация модели). При­менение численных результатов моделирования в эко­номике направлено на решение практических задач (анализ экономических объектов, экономическое про­гнозирование развития хозяйственных и социальных процессов, выработка управленческих решений на всех уровнях хозяйственной иерархии).

Перечисленные этапы экономико-математического моде­лирования находятся в тесной взаимосвязи, в частности, мо­гут иметь место возвратные связи этапов. Так, на этапе по­строения модели может выясниться, что постановка задачи или противоречива, или приводит к слишком сложной ма­тематической модели; в этом случае исходная постановка задачи должна быть скорректирована. Наиболее часто необ­ходимость возврата к предшествующим этапам моделирова­ния возникает на этапе подготовки исходной информации. Если необходимая информация отсутствует или затраты на ее подготовку слишком велики, приходится возвращаться к этапам постановки задачи и ее формализации, чтобы при­способиться к доступной исследователю информации.

Выше уже сказано о циклическом характере процесса моделирования. Недостатки, которые не удается исправить на тех или иных этапах моделирования, устраняются в по­следующих циклах. Однако результаты каждого цикла име­ют и вполне самостоятельное значение. Начав исследование с построения простой модели, можно получить полезные ре­зультаты, а затем перейти к созданию более сложной и более совершенной модели, включающей в себя новые условия и более точные математические зависимости.

2.3. Классификация экономико-математических методов и моделей

Суть экономико-математического моделирования заклю­чается в описании социально-экономических систем и про­цессов в виде экономико-математических моделей. Экономико-математические ме­тоды следует понимать как инструмент, а экономико-мате­матические модели — как продукт процесса экономико-ма­тематического моделирования.

Рассмотрим вопросы классификации экономико-матема­тических методов. Эти методы, как отмечено выше, представляют собой комплекс экономико-математических дис­циплин, являющихся сплавом экономики, математики и ки­бернетики. Поэтому классификация экономико-математических методов сводится к классификации научных дисцип­лин, входящих в их состав. Хотя общепринятая классифи­кация этих дисциплин пока не выработана, с известной сте­пенью приближения в составе экономико-математических методов можно выделить следующие разделы:

• экономическая кибернетика

:
системный анализ эконо­мики, теория экономической информации и теория управляющих систем;

• математическая статистика

:
экономические прило­жения данной дисциплины — выборочный метод, дис­персионный анализ, корреляционный анализ, регресси­онный анализ, многомерный статистический анализ, факторный анализ, теория индексов и др.;

• математическая экономия

и изучающая те же вопросы с количественной стороны эконометрия

:
теория эконо­мического роста, теория производственных функций, межотраслевые балансы, национальные счета, анализ спроса и потребления, региональный и пространствен­ный анализ, глобальное моделирование и др.;

• методы принятия оптимальных решений

,
в том числе исследование операций в экономике. Это наиболее объ­емный раздел, включающий в себя следующие дисцип­лины и методы: оптимальное (математическое) програм­мирование, в том числе методы ветвей и границ, сетевые методы планирования и управления, программно-целе­вые методы планирования и управления, теорию и мето­ды управления запасами, теорию массового обслужива­ния, теорию игр. теорию и методы принятия решений. теорию расписаний. В оптимальное (математическое) программирование входят в свою очередь линейное про­граммирование, нелинейное программирование, динами­ческое программирование, дискретное (целочисленное) программирование, дробно-линейное программирование, параметрическое программирование, сепарабельное про­граммирование, стохастическое программирование, гео­метрическое программирование;

• методы и дисциплины, специфичные отдельно как для централизованно планируемой экономики, так и для. ры­ночной (конкурентной) экономики

.
К первым можно отнести теорию оптимального функционирования эконо­мики, оптимальное планирование, теорию оптимального ценообразования, модели материально-технического снаб­жения и др. Ко вторым — методы, позволяющие разра­ботать модели свободной конкуренции, модели капита­листического цикла, модели монополии, модели индика­тивного планирования, модели теории фирмы и т. д. Многие из методов, разработанных для централизованно планируемой экономики, могут оказаться полезными и при экономико-математическом моделировании в усло­виях рыночной экономики;

• методы экспериментального изучения экономических явлений

.
К ним относят, как правило, математические методы анализа и планирования экономических экспери­ментов, методы машинной имитации (имитационное мо­делирование), деловые игры. Сюда можно отвести также и методы экспертных оценок, разработанные для оценки явлений, не поддающихся непосредственному измерению. Перейдем теперь к вопросам классификации экономико-математических моделей, другими словами, математических моделей социально-экономических систем и процессов. Единой системы классификации таких моделей в настоя­щее время также не существует, однако обычно выделяют более десяти основных признаков их классификации, или классификационных рубрик. Рассмотрим некоторые из этих рубрик.

По общему целевому назначению эконо­мико-математические модели делятся на теоретико-анали­тические

,
используемые при изучении общих свойств и за­кономерностей экономических процессов, и прикладные

,
применяемые в решении конкретных экономических задач анализа, прогнозирования и управления. Различные типы прикладных экономико-математических моделей как раз и рассматриваются в данном учебном пособии.

По степени агрегирования объектов моделирования модели разделяются на макроэкономические

и микроэкономические

.
Хотя между ними и нет четкого раз­граничения, к первым из них относят модели, отражающие функционирование экономики как единого целого, в то время как микроэкономические модели связаны, как правило, с та­кими звеньями экономики, как предприятия и фирмы.

По конкретному предназначению, т. е. по цели создания и применения, выделяют балансовые

модели, выражающие требование соответствия наличия ресурсов и их использования; трендовые

модели, в которых развитие моделируемой экономической системы отражается через тренд (длительную тенденцию) ее основных показателей; оп­тимизационные

модели, предназначенные для выбора наи­лучшего варианта из определенного числа вариантов произ­водства, распределения или потребления; имитационные

модели, предназначенные для использования в процессе ма­шинной имитации изучаемых систем или процессов и др.

По типу информации, используемой в модели экономико-математические модели делятся на аналитичес­кие

,
построенные на априорной информации, и идентифи­цируемые

,
построенные на апостериорной информации.

По учету фактора времени модели подразде­ляются на статические

,
в которых все зависимости отнесе­ны к одному моменту времени, и динамические

,
описываю­щие экономические системы в развитии.

По учету фактора неопределенности мо­дели распадаются на детерминированные

,
если в них ре­зультаты на выходе однозначно определяются управляющи­ми воздействиями, и стохастические

(вероятностные), если при задании на входе модели определенной совокупности значений на ее выходе могут получаться различные резуль­таты в зависимости от действия случайного фактора.

Экономико-математические модели могут классифициро­ваться также по характеристике математиче­ских объектов, включенных в модель, другими сло­вами. по типу математического аппарата, используемого в модели. По этому признаку могут быть выделены матричные

модели, модели линейного

и нелинейного

программирования, корреляционно-регрессионные
модели, модели теории массового обслуживания

,
модели сетевого планирования и управления

,
модели теории игр

и т.д.

Наконец, по типу подхода к изучаемым социально-экономическим системам вы­деляют дескриптивные

и нормативные

модели. При деск­риптивном (описательном) подходе получаются модели, предназначенные для описания и объяснения фактически наблюдаемых явлений или для прогноза этих явлений; в качестве примера дескриптивных моделей можно привести названные ранее балансовые и трендовые модели. При норма­тивном подходе интересуются не тем, каким образом устроена и развивается экономическая система, а как она должна быть устроена и как должна действовать в смысле определен­ных критериев. В частности, все оптимизационные модели относятся к типу нормативных; другим примером могут служить нормативные модели уровня жизни.

2.4. Теория корреляционного анализа.

В экономических исследованиях часто решают задачу выявления факторов, определяющих уровень и динамику экономического процесса. Такая задача чаще всего решается методами корреляционного, регрессионного, факторного и компонентного анализа.

Все многообразие факторов, которые воздействуют на изучаемый процесс, можно разделить на две группы: главные (определяющие уровень изучаемого процесса) и второстепенные. Последние часто имеют случайный характер, определяя специфические и индивидуальные особенности каждого объекта исследования.

Взаимодействие главных и второстепенных факторов и определяет колеблемость исследуемого процесса. В этом взаимодействии синтезируемая как необходимое, типическое, определяющее закономерность изучаемого явления, так и случайное, характеризующее отклонение от этой закономерности. Случайные отклонения неизбежно сопутствуют любому закономерному явлению.

для достоверного отображения объективно существующих в экономике процессов необходимо выявить существенные взаимосвязи и не только выявить, но и дать им количественную оценку. Этот подход требует вскрытия причинных зависимостей. Под причинной зависимостью понимается такая связь между процессами, когда изменение одного из них является следствием изменения другого.

Основными задачами корреляционного анализа являются оценка силы связи и проверка статистических гипотез о наличии и силе корреляционной связи.

Не все факторы, влияющие на экономические процессы, являются случайными величинами. Поэтому при анализе экономических Явлений обычно рассматриваются связи между случайными и неслучайными величинами. Такие связи называются регрессионными, а метод математической статистики, их изучающий, называется регрессионным анализом.

Методами факторного анализа можно подтвердить существующую гипотезу или сформулировать новую гипотезу на основе большого числа наблюдений. Факторный анализ надо рассматривать как статистический метод вне зависимости от области его приложения. В факторном анализе мы исходим из того, что несколько измеряемых параметров сильно коррелируют между собой. В этом случае эти характеристики процессов взаимно определяют друг друга; например, выработка предприятия и производительность труда, оцениваемая как выработка на одного работника. В связи с накоплением большого статистического материала при изучении сложных экономических явлений, например при анализе производственно-хозяйственной деятельности, при прогнозировании по многим параметрам, становится очень трудным, а зачастую и невозможным решить проблему на основе одних логических рассуждений. Факторный анализ позволяет: упорядочить данные, описать взаимосвязи, получить дополнительный материал для проверки интуитивных соображений руководителя или исследователя.

Использование возможностей современной вычислительной техники, оснащенной пакетами программ машинной обработки статистической информации на ЭВМ, делает практически осуществимым оперативное решение задач изучения взаимосвязи показателей коммерческой деятельности методами корреляционно-регрессионного, факторного и компонентного анализа.

При машинной обработке исходной информации на ЭВМ, оснащенных пакетами стандартных программ ведения анализов, вычисление параметров применяемых математических функций является быстро выполняемой счетной операцией. Результаты выдаются в виде соответствующих машинограмм (распечаток) ЭВМ.

Методика корреляционно-регрессионного анализа

Исследование начинается с построения матрицы парных коэффициентов корреляции. Анализ этой матрицы позволит получить начальное представление об исследуемых взаимозависимостях между показателями (теснота и направление связи). Оценить значимость можно как по самим значениям коэффициентов корреляции, так и по соответствующим значениям t-статистики.

Чтобы оценить дублирование информации необходимо построить матрицу частных коэффициентов корреляции порядка (L-2), где L-число исходных переменных, включая результативный признак.

Исследование парных и частных коэффициентов корреляции должно помочь в выборе регрессоров для выполнения следующего этапа. Здесь следует учитывать возможность появления мультиколлинеарности. Явные признаки этого - коэффициенты корреляции между потенциальными регрессорами, по модулю большие, чем 0,8.

После составления набора объясняющих показателей, которые могут быть включены в модель, исследование продолжается с помощью регрессионного анализа. Рекомендуется использовать пошаговый регрессионный анализ по схеме последовательного включения в уравнение наиболее информативных объясняющих признаков. По матрице R по строке, соответствующей результативному признаку, выбирается наиболее коррелируемый с y-ом регрессор и строится МНК - уравнение на него. Проверяется его значимость.

Далее возвращаемся в корреляционный анализ и рассчитываем матрицу частных коэффициентов корреляции при фиксировании включенного в уравнение признака. И в этой матрице по строке, соответствующей результативному признаку, выбирается наиболее коррелированный показатель. Этот регрессор и вводится в модель, проверяется значимость уравнения и отдельных коэффициентов. Процесс прекращается, если введен незначимый регрессор.

При проведении интерпретации оценивается не только содержательный смысл модели, но и информативность, например, с помощью множественного коэффициента корреляции (детерминации) этого окончательного уравнения по сравнению с аналогичным, построенным по полному набору исходных объясняющих показателей. Потери информации ( R2
) могут быть достаточно большими и тогда целесообразно перейти к регрессии на главные компоненты и общие факторы.

Статистическое моделирование связи методом
корреляционного и регрессионного анализа.

Задачи корреляционного анализа сводятся к измерению тесноты известной связи между варьирующими признаками, определению неизвестных причинных связей (причинный характер которых должен быть выяснен с помощью теоретического анализа) и оценки факторов, оказывающих наибольшее влияние на результативный признак.

Задачами регрессионного анализа являются выбор типа модели (формы связи), установление степени влияния независимых переменных на зависимую и определение расчётных значений зависимой переменной (функции регрессии). Решение всех названных задач приводит к необходимости комплексного использования этих методов.

Корреляционный и регрессионный анализ.
Исследование связей в условиях массового наблюдения и действия случайных факторов осуществляется, как правило, с помощью экономико-статистических моделей. В широком смысле модель – это аналог, условный образ (изображение, описание, схема, чертёж и т.п.) какого-либо объекта, процесса или события, приближенно воссоздающий «оригинал». Модель представляет собой логическое или математическое описание компонентов и функций, отображающих существенные свойства моделируемого объекта или процесса, даёт возможность установить основные закон

омерности изменения оригинала. В модели оперируют показателями, исчисленными для качественно однородных массовых явлений (совокупностей). Выражение и модели в виде функциональных уравнений используют для расчёта средних значений моделируемого показателя по набору заданных величин и для выявления степени влияния на него отдельных факторов.

По количеству включаемых факторов модели могут быть однофакторными и многофакторными (два и более факторов). В зависимости от познавательной цели статистические модели подразделяются на структурные, динамические и модели связи.

Двухмерная линейная модель корреляционного и регрессионного анализа (однофакторный линейный корреляционный и регрессионный анализ). Наиболее разработанной в теории статистики является методология так называемой парной корреляции, рассматривающая влияние вариации факторного анализа х
на результативный признак у
и представляющая собой однофакторный корреляционный и регрессионный анализ. Овладение теорией и практикой построения и анализа двухмерной модели корреляционного и регрессионного анализа представляет собой исходную основу для изучения многофакторных стохастических связей.

Важнейшим этапом построения регрессионной модели (уравнения регрессии) является установление в анализе исходной информации математической функции. Сложность заключается в том, что из множества функций необходимо найти такую, которая лучше других выражает реально существующие связи между анализируемыми признаками. Выбор типов функции может опираться на теоретические знания об изучаемом явлении, опят предыдущих аналогичных исследований, или осуществляться эмпирически – перебором и оценкой функций разных типов и т.п.

При изучении связи экономических показателей производства (деятельности) используют различного вида уравнения прямолинейной и криволинейной связи. Внимание к линейным связям объясняется ограниченной вариацией переменных и тем, что в большинстве случаев нелинейные формы связи для выполнения расчётов преобразуют (путём логарифмирования или замены переменных) в линейную форму. Уравнение однофакторной (парной) линейной корреляционной связи имеет вид:

y = a
0 + a
1 x
,

где y
- теоретические значения результативного признака, полученные по уравнению регрессии;

a
0, a
1- коэффициенты (параметры) уравнения регрессии.

Поскольку a
0 является средним значением у
в точке х=0
, экономическая интерпретация часто затруднена или вообще невозможна.Коэффициент парной линейной регрессии a
1 имеет смысл показателя силы связи между вариацией факторного признака х
и вариацией результативного признака у
. Вышеприведенное уравнение показывает среднее значение изменения результативного признака у
при изменении факторного признака х
на одну единицу его измерения, то есть вариацию у
, приходящуюся на единицу вариации х
. Знак a
1 указывает направление этого изменения.

Понятие корреляции и регрессии.

В экономике различают два вида зависимости между показателями- функциональную и корреляционную. Функциональная зависимость проявляется определенно и точно в каждом конкретном случае, в каждом наблюдении.

В отличии от функциональной корреляции зависимость проявляется приблизительно и лишь в массе наблюдений. Две случайные величины называются корреляционно связанными, если математическое ожидание одной из них меняется в зависимости от изменения другой.

Корреляционный анализ позволяет количественно оценить связи между большим числом взаимодействующих факторов.

Корреляционный анализ-

это один из методов математической статистики, широко применяемый в научных исследованиях, инженерных и экономических расчетах и многих других областях.

Задачами корреляционного анализа экономической деятельности предприятия, его подразделений является выявление факторов, влияющих на результаты производства, количественное измерение подразумеваемой связи в виде уравнений регрессии, оценка вклада каждого из факторов в изменение результата.

При проведении корреляционного анализа необходимо выполнить ряд этапов:

1.

Определить показатели результатов производства и набор факторов на них влияющих.

2.

Собрать статистические данные по этим показателям.

3.

Выбрать функции для построения уравнения регрессии.

4.

Оценить качественные характеристики построенных уравнений.

5.

Провести экономический анализ показателей, вытекающих из полученных расчетов.

Регрессионным анализом называют систему методов оценки параметров регрессии - коэффициентов регрессии на основе имеющихся наблюдений x и y. Регрессионный анализ является как бы частью корреляционного анализа.

Важным этапом анализа является постановка задачи регрессионного анализа. На этом этапе определяются показатели, включаемые в уравнение регрессии, форма взаимосвязи, требуемые статистические данные для проведения расчетов.

Виды уравнений регрессии.

При исследовании корреляционной зависимости прежде всего должно быть построено уравнение регрессии.

Уравнение регрессии - это модель, которая в численной форме выражает зависимость показателя результатов деятельности от влияющих на нее факторов.

Простейший случай представляет собой парная корреляция (простая линейная регрессия), где рассматривается зависимость между двумя показателями: показателем результатов (y) и одним фактором (x), от которого зависит этот показатель. Такие модели называются однофакторными. Форма зависимости может быть линейной и нелинейной. Нелинейность может проявляться как относительно факторов, так и входящих в функцию коэффициентов. В экономических исследованиях наиболее часто встречаются шесть следующих формул:

1.
y
=
a
0+
a
1*
x
– линейная.

2.
y
=
a
0+
a
1/
x
– гиперболическая.

3. y= a0+a1*x+a2*x^2 –
квадратная
или
полином
y=a0+a1*x+a2*x^2+…+an*x^n.

4.
y
=
a
0*
x
^
a
1 – степенная.

5.
y
=
a
0*
a
1^
x
– показательная.

6.
y
=
e
^
a
1*
x
– экспоненциальная

Исходными материалами для составления уравнения регрессии являются значения показателей x и y по наблюдениям, т.е. имеется некоторая таблица, в которой фактическим значением x соответствует фактическое значение y, другими словами задана табличная функция.

Графический способ предполагает построение корреляционного поля по осям абсцисс и ординат откладывается фактические значения x и y по каждому наблюдению. В результате получим множество точек, по которым ещё нельзя судить о характере функции взаимосвязи. Разделим диапазон значений x на равные интервалы и в каждом из этих интервалов среднему значению x точек интервала поставим в соответствие среднее значение y. Таким образом, в каждом интервале вместе всех попавших в неё точек, получаем одну. Соединим средние величины на каждом интервале и выявим эмпирическую линию регрессии, по которой уже можно судить о том, как с изменением x будет меняться y.

Если значительно увеличить число наблюдений и уменьшить величину интервала, то эмпирическая линия регрессии будет приближаться к теоретической линии регрессии, которая и характеризует сложившуюся взаимосвязь между исследуемыми показателями. Уравнение теоретической линии регрессии может быть чрезвычайно сложным, поэтому выбирают одну из известных функций, график которой приближается к теоретической линии регрессии.

Статистические характеристики

Следующий шаг в регрессионном анализе – это решение вопроса о надёжности оценок, полученных из регрессионного анализа. Для этого рассчитывается ряд статистических характеристик, которые можно разделить на две группы:

1) Характеристики качества исходной информации;

2) Характеристики качества уравнения регрессии.

К первой группе относятся коэффициенты парной корреляции, средние квадратические отклонения, и коэффициенты вариации.

Из курса математической статистики известно, что лучшей характеристикой ряда наблюдений считается среднеарифметическое. Для характеристики степени отклонения индивидуальных значений от среднего используют дисперсию, а квадратный корень из дисперсии называют среднеквадратическим отклонением. С помощью уравнения регрессии найдена количественная связь между зависимой и независимой переменной. Насколько оценка по уравнению надёжнее оценок с помощью средней? На этот вопрос можно ответить коэффициентом детерминации R2
. Он показывает на сколько сократилась сумма квадратов отклонений при переходе от средней арифметической к оценке по уравнению регрессии. Коэффициент детерминации обычно рассчитывается программой регрессионного анализа и равен:

S2
факт
– S2
рас

R2
= --------------------------------

S2
факт

S2
рас
– среднее квадратическое отклонение исследуемой величины, рассчитанной по уравнению регрессии;

S2
факт
– среднее квадратическое отклонение исследуемой величины из экспериментальных наблюдений.

Коэффициент детерминации представляет собой отношение квадратов отклонений. Часто он выражается в процентах и интерпретируется, как количество точек, охваченных построенным уравнением регрессии.

Корень квадратный из коэффициента детерминации называется коэффициентом корреляции – r.

____

r = √ R2

Таким образом уравнение связи и коэффициент корреляции являются двумя важнейшими характеристиками корреляционной зависимости изучаемыми показателями. Уравнение в конкретной количественной форме показывает, какая существует зависимость между переменными, а коэффициент корреляции позволяет судить о силе этой зависимости, о тесноте изучаемой связи. Для коэффициента парной корреляции r возможно три крайних случая: r ≈ 1, r ≈ -1, r ≈ 0. По абсолютной величине он не превышает единицы. Когда r близок к единице, то можно говорить о положительной, прямой взаимосвязи между переменными, если r близок к -1, то имеется обратная зависимость. Близкая к нулю говорит об отсутствии статистической зависимости между показателями.

3. Практическая часть

3.1. Построение модели затрат на производство продукции

В ходе данной работы необходимо построить модель величины затрат на производство продукции АО «Автоагрегат» на участке металлопокрытий. Исходными данными является величина издержек производства за последние 2 года 2006-2007 г.г.(см. таблицу.№1)

Необходимо рассчитать предполагаемые затраты на период с января по июнь 2008 года. Расчет производится методом корреляционного анализа с использованием программы Excel.

Затраты на производство АО "Автоагрегат (2006-2007 гг.)
Год, месяц	Затраты, тыс. руб.
2006 1	1205,2
2	1313,8
3	1281,5
4	1393,2
5	1305,7
6	1188,5
7	896,1
8	1025,4
9	1049,7
10	1310,1
11	1470,4
12	1468,2
2007 1	1365,9
2	1106,8
3	1245,7
4	1351,2
5	1324,1
6	1235,0
7	1378,4
8	1365,3
9	1209,4
10	1113,2
11	1263,8
12	1355,2

Таблица№1. Исходные данные.

Выберем функцию для построения уравнения регрессии. В качестве приближающей функции может быть выбрана одна из следующих:

-Линейная ;

-Степенная ;

-Показательная ;

-Многочлен .

Для этого рассмотрим каждую из функций.

Линейная функция:

в таблице №2 представлен расчет коэффициентов уравнения a
,
b
.

Введем условные обозначения: x – месяц, y – затраты.

Основываясь на методе наименьших квадратов, суть которого в том, что необходимо подобрать такую приближающую функцию, при которой сумма квадратов отклонений точного и расчетного значений будет минимальной, расчет значения коэффициентов исходного уравнения будем проводить по формулам:

;

.

Для этого рассчитаем вспомогательные показатели: x2
, xy
,
также рассчитаем среднеарифметическое значение показателей x

,

y

, x2
, xy.

Для того чтобы сделать вывод о выборе подходящей приближающей функции, рассчитаем коэффициенты корреляции и детерминации.

- коэффициент детерминации

- дисперсия вычисленная с учетом фактических значений;

- дисперсия, вычисленная с использованием рассчитанных значений,

Где yi
– i
-значение результата (фактическое);

yir
– i
-значение результата (расчетное).

- коэффициент корреляции.

Для этого рассчитываем вспомогательные значения (y-yr
)2
(y-ys
)2
.

Оба рассчитанных показателя удовлетворяют условию, что эти коэффициенты должны стремиться к 1. Однако делать вывод о том, является ли линейная функция приближающей рано, так как не рассчитаны значения коэффициентов для других функций.

Таблица №2

Предполагаемая приближающая функция: y=a + x*b
№	x	y	x^2	xy	yr	(y-yr)^2	(y-ys)^2
1	1	1205,2	1	1205,19	1226,98	474,81	2921,54
2	2	1313,8	4	2627,6	1229,79	7058,45	2976,66
3	3	1281,5	9	3844,5	1232,59	2392,12	495,45
4	4	1393,2	16	5572,8	1235,40	24902,09	17944,95
5	5	1305,7	25	6528,5	1238,20	4556,07	2158,42
6	6	1188,5	36	7131	1241,01	2756,95	5004,32
7	7	896,1	49	6272,7	1243,81	120903,64	131871,57
8	8	1025,4	64	8203,2	1246,62	48937,10	54681,73
9	9	1049,7	81	9447,3	1249,42	39889,13	43907,54
10	10	1310,1	100	13101	1252,23	3349,17	2586,61
11	11	1470,4	121	16174,4	1255,03	46382,83	44588,02
12	12	1468,2	144	17618,4	1257,84	44251,92	43663,76
13	13	1365,9	169	17756,7	1260,64	11078,84	11376,09
14	14	1106,8	196	15495,2	1263,45	24538,98	23238,33
15	15	1245,7	225	18685,5	1266,25	422,49	183,37
16	16	1351,2	256	21619,2	1269,06	6747,00	8456,41
17	17	1324,1	289	22509,7	1271,87	2728,48	4206,66
18	18	1235,0	324	22230	1274,67	1573,75	587,64
19	19	1378,4	361	26189,6	1277,48	10185,69	14198,81
20	20	1365,3	400	27306	1280,28	7228,21	11248,46
21	21	1209,4	441	25397,4	1283,09	5429,69	2484,15
22	22	1113,2	484	24490,4	1285,89	29822,45	21328,05
23	23	1263,8	529	29067,4	1288,70	619,86	20,78
24	24	1355,2	576	32524,8	1291,50	4057,38	9208,08
Сумма	300	30222	4900	380998	30221,79	450287,10	459337,38
Ср.ариф.	12,50	1259,24	204,17	15874,94	1259,24	18761,96	19139,06
b	2,81	R2	0,019702896
a	1224,174783	r	0,140367004

Степенная функция

: в таблице №3 представлен расчет коэффициентов уравнения a
,
b
,А.

Расчет ведется по формулам:

Заглавные буквы означают логарифмированные данные. Кроме того, в таблице рассчитываются вспомогательные показатели

X, Y, X2
, XY, yr
, (y-yr
)2
, (y-ys
)2
.

Рассчитаем значение коэффициентов корреляции и детерминации:

Таблица №3

Предполагаемая функция: y=a * x^b
№	x	y	X	Y	X^2	XY	yr	(y-yr)^2	(y-ys)^2
1	1	1205	0,00	7,09	0,00	0,00	1211,10	34,89	2921,54
2	2	1314	0,69	7,18	0,48	4,98	1223,09	8227,71	2976,66
3	3	1282	1,10	7,16	1,21	7,86	1230,17	2635,19	495,45
4	4	1393	1,39	7,24	1,92	10,04	1235,21	24961,19	17944,95
5	5	1306	1,61	7,17	2,59	11,55	1239,13	4430,94	2158,42
6	6	1189	1,79	7,08	3,21	12,69	1242,35	2900,00	5004,32
7	7	896	1,95	6,80	3,79	13,23	1245,08	121785,64	131871,57
8	8	1025	2,08	6,93	4,32	14,42	1247,44	49303,77	54681,73
9	9	1050	2,20	6,96	4,83	15,28	1249,54	39934,30	43907,54
10	10	1310	2,30	7,18	5,30	16,53	1251,41	3444,60	2586,61
11	11	1470	2,40	7,29	5,75	17,49	1253,11	47216,46	44588,02
12	12	1468	2,48	7,29	6,17	18,12	1254,66	45600,18	43663,76
13	13	1366	2,56	7,22	6,58	18,52	1256,09	12058,91	11376,09
14	14	1107	2,64	7,01	6,96	18,50	1257,41	22683,79	23238,33
15	15	1246	2,71	7,13	7,33	19,30	1258,65	167,59	183,37
16	16	1351	2,77	7,21	7,69	19,99	1259,80	8353,71	8456,41
17	17	1324	2,83	7,19	8,03	20,37	1260,89	3995,77	4206,66
18	18	1235	2,89	7,12	8,35	20,58	1261,91	724,32	587,64
19	19	1378	2,94	7,23	8,67	21,28	1262,88	13343,98	14198,81
20	20	1365	3,00	7,22	8,97	21,63	1263,81	10301,16	11248,46
21	21	1209	3,04	7,10	9,27	21,61	1264,68	3056,16	2484,15
22	22	1113	3,09	7,01	9,55	21,68	1265,52	23201,21	21328,05
23	23	1264	3,14	7,14	9,83	22,39	1266,32	6,35	20,78
24	24	1355	3,18	7,21	10,10	22,92	1267,09	7764,02	9208,08
Сумма	300	30222	55	171	141	391	30027,33	456131,83	459337,38
Ср.ариф.	12,50	1259,24	2,28	7,13	5,87	16,29	1251,14	19005,49	19139,06
b	0,0142	R2	0,0070
A	7,0993	a	1211,0965	r	0,0835

Показательная функция:

в таблице №4 представлен расчет коэффициентов уравнения a
,
b
,А,
B
.

Расчет ведется по формулам:

Заглавные буквы означают логарифмированные данные. Кроме того, в таблице рассчитываются вспомогательные показатели

Y, x2
, xY, yr
, (y-yr
)2
, (y-ys
)2
.

Рассчитаем значение коэффициентов корреляции и детерминации:

Таблица №4

Предполагаемая функция: y=a * b^x
№	x	y	Y	x^2	xY	yr	(y-yr)^2	(y-ys)^2
1	1	1205	7,09	1	7,09	1215,17	99,68	2921,54
2	2	1314	7,18	4	14,36	1218,25	9129,26	2976,66
3	3	1282	7,16	9	21,47	1221,34	3619,29	495,45
4	4	1393	7,24	16	28,96	1224,43	28481,99	17944,95
5	5	1306	7,17	25	35,87	1227,54	6109,58	2158,42
6	6	1189	7,08	36	42,48	1230,65	1776,32	5004,32
7	7	896	6,80	49	47,59	1233,76	114017,26	131871,57
8	8	1025	6,93	64	55,46	1236,89	44728,17	54681,73
9	9	1050	6,96	81	62,61	1240,02	36223,31	43907,54
10	10	1310	7,18	100	71,78	1243,17	4480,16	2586,61
11	11	1470	7,29	121	80,23	1246,32	50213,74	44588,02
12	12	1468	7,29	144	87,50	1249,47	47841,28	43663,76
13	13	1366	7,22	169	93,85	1252,64	12828,00	11376,09
14	14	1107	7,01	196	98,13	1255,81	22204,87	23238,33
15	15	1246	7,13	225	106,91	1258,99	176,75	183,37
16	16	1351	7,21	256	115,34	1262,18	7923,73	8456,41
17	17	1324	7,19	289	122,20	1265,38	3447,73	4206,66
18	18	1235	7,12	324	128,14	1268,59	1128,20	587,64
19	19	1378	7,23	361	137,34	1271,80	11362,96	14198,81
20	20	1365	7,22	400	144,38	1275,03	8149,55	11248,46
21	21	1209	7,10	441	149,06	1278,26	4741,10	2484,15
22	22	1113	7,01	484	154,33	1281,49	28322,96	21328,05
23	23	1264	7,14	529	164,26	1284,74	438,53	20,78
24	24	1355	7,21	576	173,08	1288,00	4516,35	9208,08
Сумма	300	30222	171	4900	2142	30030	451961	459337
Ср.ариф.	12,5	1259,24	7,13174	204,167	89,268	1251,247303	18831,69832	19139,05747
B	0,0025	b	1,00253	R2	0,0161
A	7,1001	a	1212,1	r	0,1267

Многочлен:

в таблице №5 представлен расчет вспомогательных показателей x
2

,
x
3

,
x
4

,
xy
,
x
2

*
y
,
yr

, (
y
-
yr

)2
, (
y
-
ys

)2

Расчет коэффициентов уравнения a
,
b
,с
проведем, используя метод Гаусса-Жордана. Расчет проводим следующим образом:

Составим расширенную матрицу и преобразуем ее таким образом, чтобы на главной диагонали остались единицы, а остальные значения были равны 0, при этом крайний столбец даст значение коэффициентов.

В нашем случае система примет вид:

Составим расширенную матрицу из коэффициентов при неизвестных

1	12,50	204,167	1259,24
12,50	204,167	3750	15874,9
204,167	3750	73459,2	260516

Для того, чтобы в первом столбце получились нули, необходимо из первой строки вычесть вторую строку умноженную на 12,50, а из третьей строки вычесть первую строку умноженную на 204,167. При этом получим матрицу вида:

1	12,50	204,167	1259,24
0	47,9167	1197,92	134,421
0	1197,92	31775,1	3421,14

Для того, чтобы получить 1 во второй строке во втором столбце необходимо разделить 49,917 на 49,917. Для получения нулей в этом столбце нужно из первой строки вычесть вторую, умноженную на 12,50, а из третей строки вычесть вторую, умноженную на 1197,92. При этом получим матрицу вида:

1	0	-108,333	1224,17
0	1	25	2,80532
0	0	1827,22	60,6037

Для того, чтобы в третьей строке третьем столбце получить 1 необходимо разделить 1827,22 на 1827,22. Для получения нулей в этом столбце нужно из первой строки вычесть третью, умноженную на – 108,333, а из второй строки вычесть третью, умноженную на 25. При этом получим матрицу вида:

1	0	0	1227,77	a
0	1	0	1,97614	b
0	0	1	0,3317	c

Последний столбец полученной матрицы выражает значение коэффициентов a
,
b
,с.

Рассчитаем значение коэффициентов корреляции и детерминации:

Предполагаемая приближающая функция: y=a + b*x+c*x^2
№	x	y	x^2	x^3	x^4	xy	x^2 y	yr	(y-yr)^2	(y-ys)^2
1	1	1205,19	1	1	1	1205,19	1205,19	1229,78	604,53	2921,54
2	2	1313,8	4	8	16	2627,6	5255,2	1231,85	6715,34	2976,66
3	3	1281,5	9	27	81	3844,5	11533,5	1233,99	2256,74	495,45
4	4	1393,2	16	64	256	5572,8	22291,2	1236,20	24648,02	17944,95
5	5	1305,7	25	125	625	6528,5	32642,5	1238,48	4518,83	2158,42
6	6	1188,5	36	216	1296	7131	42786	1240,82	2737,25	5004,32
7	7	896,1	49	343	2401	6272,7	43908,9	1243,23	120496,50	131871,57
8	8	1025,4	64	512	4096	8203,2	65625,6	1245,70	48531,96	54681,73
9	9	1049,7	81	729	6561	9447,3	85025,7	1248,24	39418,00	43907,54
10	10	1310,1	100	1000	10000	13101	131010	1250,85	3511,04	2586,61
11	11	1470,4	121	1331	14641	16174,4	177918,4	1253,52	47037,52	44588,02
12	12	1468,2	144	1728	20736	17618,4	211420,8	1256,26	44919,57	43663,76
13	13	1365,9	169	2197	28561	17756,7	230837,1	1259,06	11414,16	11376,09
14	14	1106,8	196	2744	38416	15495,2	216932,8	1261,93	24066,74	23238,33
15	15	1245,7	225	3375	50625	18685,5	280282,5	1264,87	367,59	183,37
16	16	1351,2	256	4096	65536	21619,2	345907,2	1267,88	6942,74	8456,41
17	17	1324,1	289	4913	83521	22509,7	382664,9	1270,95	2825,18	4206,66
18	18	1235	324	5832	104976	22230	400140	1274,08	1527,60	587,64
19	19	1378,4	361	6859	130321	26189,6	497602,4	1277,29	10223,66	14198,81
20	20	1365,3	400	8000	160000	27306	546120	1280,56	7181,29	11248,46
21	21	1209,4	441	9261	194481	25397,4	533345,4	1283,89	5549,28	2484,15
22	22	1113,2	484	10648	234256	24490,4	538788,8	1287,30	30309,36	21328,05
23	23	1263,8	529	12167	279841	29067,4	668550,2	1290,76	727,08	20,78
24	24	1355,2	576	13824	331776	32524,8	780595,2	1294,30	3708,87	9208,08
Сумма	300	30221,8	4900	90000	1763020	380998,49	6252389,49	30221,79	450238,86	459337,38
Ср.ариф.	12,5	1259,24	204,167	3750	73459,16667	15874,93708	260516,2288	1259,24125	18759,95256	19139,05747
1	12,5	204,167	1259,24	R2	0,0198
12,5	204,167	3750	15874,9	r	0,1407
204,167	3750	73459,2	260516
1	12,5	204,167	1259,24
0	47,9167	1197,92	134,421	25	1297,901
0	1197,92	31775,1	3421,14	26	1301,568
27	1305,302
1	0	-108,333	1224,17	28	1309,103
0	1	25	2,80532	29	1312,969
0	0	1827,22	60,6037	30	1316,902
Итого:	7843,747
1	0	0	1227,77	a
0	1	0	1,97614	b
0	0	1	0,03317	c

Таблица №5

Оценим качественные характеристики построенных уравнений:

R2	r
Линейная	0,0197	0,1403
Степенная	0,0070	0,0835
Показательная	0,0161	0,1267
Многочлен	0,0198	0,1407

Статистические характеристики по всем приближающим функциям удовлетворяют заданному условию (стремление к 1), однако наиболее близки к 1 значения коэффициентов, если в качестве приближающей функции выбрать многочлен.

Именно с помощью данной приближающей функции и проведем прогнозирование объема продаж на 6 последующих месяца. Для этого к имеющимся исходным данным добавим значения показателя мясяц (таблица №6).

Таблица №6 Прогнозирование затрат.

Затраты на производство АО "Автоагрегат (2006-2007 гг.)
Год, месяц	Затраты, тыс. руб.
2006 1	1205,2
2	1313,8
3	1281,5
4	1393,2
5	1305,7
6	1188,5
7	896,1
8	1025,4
9	1049,7
10	1310,1
11	1470,4
12	1468,2
2007 13	1365,9
14	1106,8
15	1245,7
16	1351,2
17	1324,1
18	1235,0
19	1378,4
20	1365,3
21	1209,4
22	1113,2
23	1263,8
24	1355,2
2008 25	1297,901
26	1301,568
27	1305,302
28	1309,103
29	1312,969
30	1316,902

Прогнозные значения получаем следующим образом:

y=a+b*x+c*x^2=1227,77+1,97614*25+0,03317*252=
1297,901 (

январь

)

y=a+b*x+c*x^2=1227,77+1,97614*26+0,03317*262=
1301,568 (

февраль

)

y=a+b*x+c*x^2=1227,77+1,97614*27+0,03317*272=
1305,302 (

март

)

y=a+b*x+c*x^2=1227,77+1,97614*28+0,03317*282=
1309,103 (

апрель

)

y=a+b*x+c*x^2=1227,77+1,97614*29+0,03317*292=
1312,969 (

май

)

y=a+b*x+c*x^2=1227,77+1,97614*30+0,03317*302=
1316,902(

июнь

)

Заключение.

В ходе данной курсовой работы обобщены теоретические аспекты рассмотрения издержек производства продукции предприятия и экономико – математического моделирования.

В практической части работы рассчитана предполагаемая величина затрат на участке металлопокрытий АО «Автоагрегат». На первое полугодие 2008 года эти показатели равны:

январь – 1297,9 тыс.руб.

февраль – 1301,6 тыс.руб.

март – 1305,3 тыс. руб.

апрель – 1309,1 тыс.руб.

май – 1312,9 тыс.руб.

июнь – 1316,9 тыс.руб.

Анализируя исходные данные, можно сделать вывод, что планируемые затраты в 2008 году варьируют в незначительных пределах.

Список литературы.

1. Миненко С.Н., Гамазина Г.И. Экономико-математическое моделирование производственных систем. М., МГИУ, 1997 г.

2. Хазанова Л.Э. Математическое моделирование в экономике. Изд. БЕК, М, 1998 г.

3. Шелобаев С.И. Математические методы и модели в экономике, финансах, бизнесе. Изд. ЮНИТИ-ДАНА, М, 2000 г.