РефератыМатематикаРеРешение уравнений с параметрами

Решение уравнений с параметрами

Городская открытая научно – практическая конференция


Тема: Решение уравнений с параметрами, связанных со свойствами показательной, логарифмической и тригонометрической функциями Автор: Научный руководитель: 2007 г.Содержание

1. Введение


2. Решение уравнений с параметрами


3. Решение уравнений с параметрами, связанных со свойствами показательной, логарифмической и тригонометрической функциями


4. Заключение


5. Используемая литература

Введение


Актуальность
данной темы определяется необходимостью уметь решать такие уравнения с параметрами при сдачи Единого Государственного экзамена и на вступительных экзаменах в высшие учебные заведения.


Цель
данной работы рассказать о решении уравнений с параметрами, связанных со свойствами показательной, логарифмической и тригонометрической функциями.


Для достижения поставленной цели необходимо решить следующие задачи
:


1) дать определения понятиям уравнение с параметрами;


2) показать принцип решения данных уравнений на общих случаях;


3) показать решение уравнений с параметрами, связанных со свойствами показательной, логарифмической и тригонометрической функциями.


Для выполнения поставленной цели были использованы следующие методы
: использование литературы разного типа, работа в группах на уроках алгебры и занятиях элективного курса по математике, участие проектной группы в городской конференции по данной теме в 2006 году.


Объектом исследовательской работы
было решение уравнений с параметрами, связанных со свойствами выше представленных функций.


Структура данной работы
включает в себя теорию, практическую часть, заключение, библиографический список.


Решение уравнений с параметрами


Задачи с параметрами играют важную роль в формировании логического мышления и математической культуры у школьников, но их решение вызывает у них значительные затруднения. Это связано с тем, что каждое уравнение с параметрами представляет собой целый класс обычных уравнений, для каждого из которых должно быть получено решение. Такие задачи предлагаются на едином государственном экзамене и на вступительных экзаменах в вузы.


Большинство пособий адресовано абитуриентам, однако начинать знакомиться с подобными задачами нужно намного раньше – параллельно с соответствующими разделами школьной программы по математике.


Если в уравнении некоторые коэффициенты заданы не конкретными числовыми значениями, а обозначены буквами, то они называются параметрами, а уравнение параметрическим.


Естественно, такой небольшой класс задач многим не позволяет усвоить главное: параметр, будучи фиксированным, но неизвестным числом, имеет как бы двойственную природу. Во-первых, предполагаемая известность позволяет «общаться» с параметром как с числом, а во-вторых, - степень свободы общения ограничивается его неизвестностью. Так, деление на выражение, содержащее параметр, извлечение корня четной степени из подобных выражений требуют предварительных исследований. Как правило, результаты этих исследований влияют и на решение, и на ответ.


Основное, что нужно усвоить при первом знакомстве с параметром, - это необходимость осторожного, даже, если хотите, деликатного обращения с фиксированным, но неизвестным числом. Этому, по нашему мнению, во многом будут способствовать наши примеры.


Необходимость аккуратного обращения с параметром хорошо видна на тех примерах, где замена параметра числом делает задачу банальной. К таким задачам, например, относятся: сравнить два числа, решить линейное или квадратное уравнение, неравенство и т.д.


Обычно в уравнение буквами обозначают неизвестные.


Решить уравнение - значит:


найти множество значений неизвестных, удовлетворяющих этому уравнению. Иногда уравнения, кроме букв, обозначающих неизвестное(X, Y,Z), содержат другие буквы, называемые параметрами(a, b, c). Тогда мы имеем дело не с одним, а с бесконечным множеством уравнений.


При одних значениях параметров уравнение не имеет корней, при других – имеет только один корень, при третьих – два корня.


При решении таких уравнений надо:


1) найти множество всех доступных значений параметров;


2) перенести все члены, содержащие неизвестное, в левую часть уравнения, а все члены, не содержащие неизвестного в правую;


3) привести подобные слагаемые;


4) решать уравнение ax = b.


Возможно три случая.


1. а 0, b – любое действительное число. Уравнение имеет единственное решение х = .


2. а = 0, b = 0. Уравнение принимает вид: 0х = 0, решениями являются все хR.


3. а = 0, b0. Уравнение 0х = b


решений не имеет.


Сделаем одно замечание. Существенным этапом решения уравнений с параметрами является запись ответа. Особенно это относится к тем примерам, где решение как бы «ветвится» в зависимости от значений параметра. В подобных случаях составление ответа – это сбор ранее полученных результатов. И здесь очень важно не забыть отразить в ответе все этапы решения.


В только что разобранном примере запись ответа практически повторяет решение. Тем не менее, я считаю целесообразным привести ответ.


Ответ:


х = при а 0, b – любое действительное число;


х – любое число при а = 0, b = 0;


решений нет при а = 0, b ≠ 0.


Решение уравнений с параметрами, связанных со свойствами показательной, тригонометрической и логарифмической функциями


1. Найдем значения параметра n, при которых уравнение 15·10 х
– 20 = n – n · 10х + 1
не имеет корней?


Решение
: преобразуем заданное уравнение: 15·10 х
– 20 = n – n · 10х + 1
; 15·10 х
+ n· 10х + 1
= n + 20; 10 х
·(15 + 10n) = n + 20; 10 х
= .


Уравнение не будет иметь решений при ≤ 0, поскольку 10 х
всегда положительно.


Решая указанное неравенство методом интервалов, имеем: ≤ 0; (n + 20)·(15 + 10n) ≤ 0; - 20 ≤ n ≤ - 1,5.


Ответ
: .


2. Найдем все значения параметра а
, при которых уравнение lg2
(1 + х2
) + (3а – 2)· lg(1 + х2
) + а2
= 0 не имеет решений.


Решение
: обозначим lg(1 + х2
) = z, z > 0, тогда исходное уравнение примет вид: z2
+ (3а – 2) · z + а2
= 0. Это уравнение – квадратное с дискриминантом, равным (3а – 2)2
– 4а2
= 5а2
– 12а + 4. При дискриминанте меньше 0, то есть при 5а2
– 12а + 4 < 0 выполняется при 0,4 < а <2.


Ответ: (0,4; 2).


3. Найдем наибольшее целое значение параметра а
, при котором уравнение cos2x + asinx = 2a
– 7 имеет решение.


Решение
: преобразуем заданное уравнение:


cos2x + a
sinx = 2a
– 7; 1 – 2sin2
х – asinx = 2a
– 7; sin2
х - a
sinx + a – 4 = 0;


(sinх – 2) · = 0.


Решение уравнения (sinх – 2) · = 0 дает:


(sinх – 2) = 0; х принадлежит пустому множеству.


/>

sinх - = 0; х = (-1)n
arcsin + πn, nZ при ≤ 1. Неравенство ≤ 1 имеет решение 2 ≤ а
≤ 6, откуда следует, что наибольшее целое значение параметра а равно 6.


Ответ
: 6.


4. Указать наибольшее целое значение параметра а
, при котором корни уравнения 4х2
- 2х + а
= 0 принадлежит интервалу (- 1; 1).


Решение
: корни заданного уравнения равны: х1
=(1+ )


х2
=, при этом а
≤ .


По условию -1 < (1+ ) < 1 < < 3,


- 1 < < 1 > > - 3.


Решением, удовлетворяющим указанным двойным неравенствам, будет решение двойного неравенства: - 3 < < 3.


Неравенство - 3 < выполняется при всех а ≤ , неравенство < 3 – при - 2 < а
≤ . Таким образом, допустимые значения параметра а
лежат в интервале (-2; .


Наибольшее целое значение параметра а из этого интервала, которое одновременно принадлежит и интервалу (-1; 1), равно 0.


Ответ
: 0.


5. При каких значениях параметра а
число корней уравнения


2
-х = 0 равно а?


Решение
: построим эскиз графика функции, у = 2
-х при этом учтем, что функция у – четная и ее график – симметричен относительно оси ординат, в силу чего можно ограничиться построением только его правой части ( х ≥ 0). Также учтем, что трехчлен х2
- 8х + 7 имеет корни х = 1 и х = 7, при х = 0 у = 7, а при х = 4 – минимум, равный – 9. На рисунке: пунктирными прямыми изображена парабола


у = х2
- 8х + 7 с минимумом умин
равным - 9 при х мин
= 4, и корнями х1
= 1 и х2
= 7;



сплошными линиями изображена часть параболы у = 2
– 8х + (1 < х < 7), полученная зеркальным отражением относительно оси 0х части параболы


х2
- 8х + 7 при 1 < х < 7.


(Эскиз левой части графика функции при х < 0 можно получить, отразив эскиз правой части графика симметрично относительно оси 0у).


Проводя горизонтали у = а
, а
N, получаем kточек ее пересечение с линиями эскиза графика. Имеем:


















а 0 [1; 6] 7 8 9
к 4 8 7 6 4 2

Таким образом, а
= k при а
= 7.


Ответ
: 7.


6. Указать значение параметра а
, при котором уравнение


х4
+ (1 – 2а)х2
+ а2
– 4 = 0 имеет три различных корня.


Решение
: всякое биквадратное уравнение в общем случае имеет две пары корней, причем корни одной пары различаются только знаком. Три корня возможны в случае, если уравнение имеет одну пару в виде нуля.


Корни заданного уравнения равны:


х =


Одна из пар корней будет равна 0, если (2а-1) = . Решая это уравнение при условии 2а-1 > 0 > , имеем: (2а – 1) = (2а – 1)2
= 17 – 4а


4а2
– 4а +1 = 17 – 4а а = 2.


Ответ
: 2.


7. Указать целое значение параметра p
, при котором уравнение


cosx – 2sinx = + имеет решение.


Решение
: р
≥ 0; 2 – р
≥ 0 р
≤ 2; объединяя допустимые значения параметра р
, имеем:


0 ≤ р
≤ 2.


При р
= 0 исходное уравнение принимает вид – 2sinх = 2х принадлежит пустому множеству ( в силу ограниченности синуса).


При р
= 1 исходное уравнение принимает вид:


cosx-2sinx = +1.


Максимальное значение разности (cosx-2sinx) составляет


= (- sinx – 2cosx) = 0 tgx = -2, при этом sinx=


sin (arctg(-2)) = , cosx – 2sinx = , что меньше +1.


Следовательно, при р
= 1 уравнение решений не имеет.


При р
= 2 исходное уравнение принимает вид


.


Максимальное значение разности составляет при х = arctg(-) (при этом sinx = , cosx = ). Поскольку > +1, то уравнение = будет иметь решение.


Ответ
: 2.


8. Определить число натуральных n, при которых уравнение не имеет решения.


Решение
: х ≠ 0, n ≠ 10.



Уравнение х2
– 8х – n(n – 10) = 0 не имеет решения, если его дискриминант меньше 0, т.е. 16 + n(n-10) < 0 n2
-10n +16 < 0 (n-2) (n-8) <0 2 < n < 8.


В найденном интервале 5 натуральных чисел: 3, 4, 5, 6 и 7. Учитывая условие n ≠ 10, находим, что общее число натуральных n, при которых уравнение не имеет решений, равно 6.


Ответ
: 6.


9. Найти наименьшее целое значение параметра а, при котором уравнение (0 < х < ) имеет решение.


Решение
: по условию 1 > sinx> 0 1 < < + ,


1 > cosx> 01 < < + ,


Следовательно, 2 < а < + .


Возводя обе части заданного уравнения в квадрат, имеем:


= а2
= а2


= а2
.


Введем переменную z = . Тогда исходное уравнение примет вид:


z2
+ 2z – а2
= 0. Оно имеет решение при любом а,
поскольку его дискриминант


D = 1 + а2
положителен при любом а
.


Учитывая, что 2 < а
< + , заключаем, что наименьшее целое значение параметра а
, при котором заданное уравнение имеет решение равно 3.


Ответ
: 3.


Заключение


Во время создания данного проекта мы усовершенствовали свои старые знания по теме «Уравнения с параметрами, связанных со свойствами показательной, логарифмической и тригонометрической функциями » и в какой-то мере получили новые.


По завершению работы мы пришли к выводу, что эта тема должна изучаться не только на элективных курсах и дополнительных занятиях, но и в школьной программе, так как она формирует логическое мышление и математическую культуру у школьников. Учащимся (студентам) знания по этой теме помогут сдать Единый Государственный Экзамен и вступительные экзамены в ВУЗы.


Используемая литература.


1. П.И.Горнштейн, В.Б.Полонский, М.С.Якир «Задачи с параметрами», 2002г.


2. Н.Ю.Глаголева «Задачи по математике для поступающих в вузы», 1994г.


3. В.В.Локоть «Задачи с параметрами», 2003г.


4. В.В.Ткачук «Математика – абитуриенту», 1994г.


5. Г.А.Ястребинецкий «Уравнения и неравенства, содержащие параметры», 1972г.


6. А.Г.Мордкович «Алгебра и начала анализа», 1987г.


7. В.С.Крамов «Повторяем и систематизируем школьный курс алгебры и начала анализа», 1994г.


8. «Математика. Решение задач повышенной сложности», 2004г.


9. М.И. Шабунин, М.В. Ткачева, Н.Е. Федорова, Р.Г. Газарян «Алгебра и начала анализа», 2000г.


10. А.П. Карп «Даю уроки математики…», 1992 г.


11. В.В. Ткачук «Математика – абитуриенту», 1996 г.

Сохранить в соц. сетях:
Обсуждение:
comments powered by Disqus

Название реферата: Решение уравнений с параметрами

Слов:2122
Символов:15137
Размер:29.56 Кб.