Факторіальні кільця та їх застосування

«Факторіальні кільця та їх застосування»

Вступ

Завдання алгебри є вивчення алгебраїчних структур. Безперечно, алгебра вивчає далеко не всі алгебраїчні структури. Можна побудувати чимало прикладів алгебраїчних структур, але в переважній більшості вони не матимуть ніяких застосувань ні в теорії, ні в практиці, а «теорія» таких структур складатиметься з означень і тривіальних наслідків з них. Такі структури, очевидно, не можуть бути об'єктом вивчення.

У процесі розвитку математики виділилася й стала докладно вивчатися невелика кількість основних типів алгебраїчних структур, алгебраїчні операції в яких за своїми властивостями більш-менш близькі до операцій додавання і множення чисел. Найважливішими серед різних алгебраїчних структур є група, кільце, поле, лінійний простір, лінійна алгебра. Вивчення властивостей саме цих алгебраїчних структур, опис їх будови і зв'язків між ними й іншими основними математичними об'єктами є одним з найважливіших завдань алгебри на сучасному етапі її розвитку.

У цій роботі буде детально розглянуто властивості та особливості таких алгебраїчних структур, як кільця. А саме, розглядатимуться кільця, які є факторіальними, тобто кільця, що є областю цілісності і будь-який їхній елемент, відмінний від нуля і дільників одиниці, однозначно (з точністю до дільників одиниці і порядку множників) розкладається на добуток простих множників. Зокрема будуть досліджуватись кільця головних ідеалів, евклідові кільця, кільця многочленів від однієї та від кількох змінних.

Кожний розділ теоретичного матеріалу супроводжується задачами, в розв’язанні яких підтверджуються на практиці теореми та властивості, які були доведені в теоретичній частині, та розглядаються окремі конкретні випадки, які допомагають краще зрозуміти той чи інший нюанс тієї чи іншої теми зокрема та теорії кілець в цілому.

1. Кільця: означення та приклади

Означення Непорожня множина K на якій визначено дві бінарні алгебраїчні операції «+» і «·» називається кільцем, якщо виконуються умови:

1. "a, b [a+b=b+a];

2. "a, b, c [(a+b)+c=a+(b+c)];

3. $θ,"a [a+θ=a];

4. "a $ã [a+ã=θ];

5. "a, b, c [(ab) c=a(bc)];

6. "a, b, c [(a+b) c=ac+bc];

7. "a, b, c [c (a+c)=ca+cb];

Якщо операція множення комутативна, то кільце комутативне. Перші чотири аксіоми означають, що відносно операції додавання кільце утворює адитивну абелеву групу.

Приклади кілець, що наводяться нижче свідчать про те, що система аксіом кільця несуперечлива.

№1 Множина цілих чисел Z є комутативне кільце відносно визначених у ній операцій додавання і множення. Справді, множина Z є абелева група по додаванню, операція множення чисел, як відомо, асоціативна, комутативна і дистрибутивна відносно операції додавання.

№2 Множина парних чисел є комутативне кільце відносно операцій додавання і множення чисел. Справді, ця множина є абельова група по додаванню, в ній визначена операція множення: добуток парних чисел є парне число, причому операція множення асоціативна, комутативна і дистрибутивна відносно операції додавання.

№3 Множина R всіх дійсних чисел, очевидно також є кільце відносно визначених у ній операцій додавання і множення.

№4 Множина K всіх чисел виду , де a і b – будь-які раціональні числа, є комутативне кільце відносно визначених у ній операцій додавання і множення. Справді, які б ми не взяли числа a1
+b1
і a2
+b2
з множини K, їх сума (a1
+b1
)+(a2
+b2
)=(a1
+a2
)+(b1
+b2
), добуток (a1
+b1
) (a2
+b2
)= =(a1
a2
+2b1
b2
)+(a1
b2
+b1
a2
) і різниця (a1
+b1
) – (a2
+b2
)=(a1
–a2
)+(b1
–b2
) є числа виду , тобто належать до множини K. Отже в множині K визначені операції додавання та множення і здійсненна обернена додаванню операція віднімання. Оскільки операції додавання і множення дійсних чисел асоціативні й комутативні, а елементи множини K є дійсні числа, то операції додавання і множення елементів множини K також асоціативні й комутативні. З цієї ж причини в множині K операція множення дистрибутивна відносно операції додавання. Отже, множина є комутативне кільце.

До цього кільця належать, зокрема, всі раціональні числа (при b=0), а також число (при а=0, b=1). В цьому прикладі замість числа можна було взяти і інші.

№5 Множина, що складається з одного числа 0, очевидно, є кільце. Це кільце називають нульовим.

Означення Підмножина K´ кільця K називається його підкільцем, якщо вона сама утворює кільце відносно визначених в K операцій.

Теорема (критерій підкільця) K´ – підкільце кільця K тоді і тільки тоді, коли K´ÌK і "a, b [a, bÎK´Þ(a±b)ÎK´ÙabÎK´].

Означення Характеристикою кільця K з одиницею називають найменше натуральне число n, для якого справджується рівність

ne=0

Якщо це можливо лише коли n=0, то говорять, що кільце K має нульову характеристику.

Зрозуміло, що всі числові кільця мають нульову характеристику.

Наведемо приклад кільця, яке має ненульову характеристику:

Z4
={}, 4·=, n=4.

Теорема Якщо кільце K має характеристику n, то для будь–якого aÎK справджується рівність na=0.

Доведення

ne=0 за умовою

na=n(ea)=(ne) a=0a=0.

Доведено.

Означення Комутативне кільце з одиницею e, в якому немає дільників нуля називається областю цілісності.

Задачі

№1

На множині R
задані операції:

aÅb=a+b+1,

aÄb=a+b+ab,

де +, - звичайні арифметичні операції. Довести, що алгебра (R,Å,Ä), буде областю цілісності.

Доведення.

Властивості кільця перевіряються безпосередньою перевіркою. Перевіримо дистрибутивність

(aÅb)Äc=aÄcÅaÄb.

Нехай A=(aÅb)Äc, B=aÄcÅaÄb, тоді

A=(aÅb)Äc=(a+b+1)Äc=a+b+1+c+ac+ab+c=a+b+2c+ac+bc+1,

B=aÄcÅaÄb=(a+c+ac)+(b+c+bc)=a+c+ac+b+c+bc+1=a+b+2c+ac+bc+1,

Отже, A=B.

Перевіримо існування нульового елемента

aÅq=a,

a+q+1=a,

q=–1 – нульовий елемент.

Перевіримо існування симетричного елемента

aÅã=q,

a+ã+1=–1,

ã=–2-a – протилежний елемент.

aÄe=a

a+e+ae=a,

e (1+a)=0,

e=0 – одиничний елемент.

З’ясуємо чи існують дільники 0.

aÄb=–1, a≠–1, b≠–1,

a+b+ab=–1,

a+1+b (a+1)=0,

(a+1) (1+b)=0.

Оскільки a≠–1, b≠–1 і a, bÎR,
то дільників нуля немає.

Це означає, що K – область цілісності.

Доведено.

№2

Довести, що множина Z[] усіх чисел виду a+b, де a і b – цілі числа, є кільцем відносно звичайних операцій додавання і множення.

Доведення.

Застосуємо прийом, який дає змогу скоротити процес доведення. Якщо треба довести, що деяка непорожня множина K1
є кільцем, то її поміщають (якщо це можливо) в якесь відоме кільце K. Тоді треба лише довести, що K1
є підкільце кільця K, звідки випливає, що K1
– кільце.

Оскільки Z[] є підмножиною, наприклад, кільця всіх дійсних чисел R
, то доведемо, що Z[] – підкільце кільця R
. Застосуємо критерій підкільця.Насамперед, покажемо, що Z[]≠Ø. Це справді так, бо, наприклад, 0=0+0ÎZ[]. Нехай тепер t=a+b, s=c+d, де a, b, c, d ÎZ
, t, s ÎZ[].

Покажемо, що (t+s)ÎZ[], (t–s)ÎZ[], tsÎZ[].

Справді, t±s=(a+b)±(c+d)=(a±c)+(b±d)ÎZ[], оскільки (a±с)ÎZ, (b±d)ÎZ. Аналогічно для добутку дістанемо ts=(a+b)±(c+d)=(ac+3bd)+(ad+bc)ÎZ[], оскільки для цілих чисел a, b, c, d, 3 маємо ac, 3bd, ad, bcÎZ
.

Отже, Z[] – підкільце кільця дійсних чисел R
, а тому Z[] – кільце.

Доведено.

2. Ідеали кільця

2.1 Поняття ідеалу

В теорії подільності цілих чисел, а також в загальній теорії подільності в кільцях, важливу роль відіграє теорема про можливість і однозначність розкладу елемента (числа) в добуток простих множників. Виявляється в деяких кільцях розклад елемента на добуток простих множників не однозначний.

Наприклад, 60=2·30=6·10, а 2, 6, 30, 10 – прості елементи в Z2

Один і той же елемент в різних кільцях може бути простим і складеним.

Наприклад, 17 в Z[i] – складене 17=(4-i) (4+i).

Щоб з’ясувати, в яких кільцях справджується загальна теорема про існування і єдиність розкладу елемента в добуток простих множників, треба узагальнити поняття подільності елементів, що робиться за допомогою ідеалу.

Означення Непорожня множина I кільця K називається його ідеалом, якщо вона замкнена відносно віднімання і множення на довільний елемент кільця.

Переконаємося, що ідеал І замкнений відносно операції додавання. Справді із замкнутості відносно операції віднімання випливає, що 0ÎА (а–а=0), – еÎІ і поряд з кожним bÎI I'(–b) – b=–eb. Тому з кожним елементом a–b містить a – (–b)=a+b. (a+b)ÎI.

Звідси випливає, що ідеал І кільця К є його підкільцем. Проте не всяке підкільце кільця буде його ідеалом.

Розглянемо деякі приклади:

№1 К–ідеал самого себе. Цей ідеал називається одиничним. Позначається Іе
.

№2 Кожне кільце містить підкільце {0}, яке теж буде ідеалом кільця К. Цей ідеал називається нульовим. Позначається І0
.

Іе
та І0
– тривіальні ідеали. В розумінні відношення включення Іе
– найбільший, а І0
– найменший серед усіх ідеалів кільця.

Означення Ідеал І кільця К називається головним, якщо він складається з усіх елементів ка кільця К, аÎК, кÎК. Говорять, що він породжений елементом а. Позначають (а).

Наприклад, ідеал Z2
кільця Z буде головним, він породжений елементом 2 або –2.

2.1 Операції над ідеалами

Теорема Перетин ab ідеалів a, bÎK є ідеалом кільця K.

Доведення.

З того, що a, bÎI1
ÇI2
випливає, що abÎI1
, abÎI2
. Так як I1
та I2
–ідеали, то (a–b)ÎI1
, (a–b)ÎI2
Þ (a–b)ÎI1
ÇI2
. aÎI1
ÇI2
Þ aÎI1
, aÎI2
.

kÎK Þ kaÎI1
, kaÎI2
, kaÎI1
ÇI2
.

Отже, I1
ÇI2
ÎK.

Доведено.

Слід зауважити, що об’єднання ідеалів не завжди буде ідеалом кільця. Ця властивість поширюється на перетин n ідеалів.

Операції додавання й множення підмножин кільця можна, звичайно, застосувати до ідеалів.

Означення Сумою ідеалів I1
, I2
кільця K називається множина I1
+I2
, яка визначається рівністю

I1
+I2
={a+bï aÎI1
, bÎI2
}.

Означення Добуток ідеалів I1
I2
кільця К теж буде ідеалом кільця К.

Нехай а і b – довільні ідеали кільця К.

Теорема
2
. Сума а + b
ідеалів a
і b
кільця К
є ідеал цього кільця.

Доведення.

Справді, сума (а1
+b1
) + (a2
+ b2
) будь-яких двох елементів a1
+b1
і a2
+b2
множини a+b
належить до a+b
, оскільки (a1
+a2
)Îa
, (b1
+b2
)Îb
, і елемент – (а+b) = (–а) + (–b), протилежний довільно вибраному елементу (a+b)Î(a+b),
також належить до a+b
, бо (–a)Îa
, (–b)Îb
.

Отже, а + b
є підгрупа адитивної групи кільця K
. Крім того, для будь-яких елементів a+bÎa+b
і хÎK
x (a+b)=xa+xbÎa+b
і (a+b) x=ax+bxÎa+b
.

Цим теорему доведено.

Теорема 3.
Добуток ab
ідеалів а
і b
кільця К
. також є ідеал кільця К
.

Доведення.

Справді, сума + будь-яких двох елементів множини аb
є, очевидно, елемент цієї самої множини, і елемент , протилежний довільно вибраному елементу Îab
, належить до ab
. Крім того, для будь-яких

Îab
і xÎK
Îab
й Îab
.

Цим теорему доведено.

Таким чином, у множині ідеалів кільця К
здійсненні операції додавання й множення. Операція додавання ідеалів – асоціативна і комутативна, а операція множення – асоціативна. Якщо кільце К
– комутативне, то операція множення ідеалів також комутативна.

Задачі

№1

Нехай K1
– підкільце кільця K. Довести, що K1
ÇI –ідеал кільця K1
.

Доведення.

Введемо позначення D=K1
ÇI. Покажемо спочатку, що ідеал I, як і будь–який ідеал, містить нуль–елемент кільця K. Справді, оскільки I≠Ø, то в I існує хоч один елемент а. Тоді згідно з першим пунктом означення ідеалу, елемент а–а, тобто 0, теж належить ідеалу I. Оскільки 0ÎK1
, 0ÎI, то 0ÎD і тому D≠Ø.

Якщо a, bÎD, то a, bÎK1
і a, bÎI. Згідно з означенням ідеалу і критерієм підкільця, a±bÎI, a±bÎK1
, а тому a±bÎD.

Нехай aÎD, bÎK1
. Покажемо, що ab і ba належать D. Справді, оскільки DÍK1
, то a, bÎK1
і за критерієм підкільця K1
маємо, що

ab, ba ÎK1
. (1)

Оскільки DÍI, а I – ідеал кільця K, то для будь–якого елемента aÎDÍI і будь–якого елемента bÎK1
ÎK маємо, що

ab, baÎI. (2)

ab, baÎK1
ÇI=D.

Отже, D=K1
ÇI –ідеал кільця K1
.

Доведено.

№2

Чи є ідеалом (лівим або правим) така підмножина

Розв’язання

Перевіримо чи буде множина S лівим ідеалом

Перевіримо множення з ліва

Отже, дана підмножина лівим ідеалом кільця M (2, Z).

Перевіримо чи буде правим ідеалом

Отже правим ідеалом буде.

Відповідь:
є правим ідеалом.

3. Факторіальні кільця

3.1 Кільця головних ідеалів та евклідові кільця

3.1.1 Подільність в області цілісності

В теорії кілець особливої уваги заслуговують кільця, які за своїми властивостями досить близькі до кільця цілих чисел. Зокрема, для цих кілець можна розвинути теорію подільності, аналогічну теорії подільності цілих чисел. Ці кільця дістали назву кілець головних ідеалів. Вивченням їх ми і будемо займатись. Але спочатку викладемо деякі загальні відомості, що стосуються подільності в області цілісності з одиницею.

Нехай R
– область цілісності з одиницею. Оскільки область цілісності – комутативне кільце, то в ній поняття правого і лівого дільника елемента збігаються і тому означення подільності формулюється так:

Означення 1.
Якщо для елементів а і b області цілісності R
в R
існує такий елемент с, що а == bс, то говорять, що а ділиться на b або b ділить а і пишуть відповідно аM b; b/а або а == 0 (mod b).

Як бачимо, означення 1 є поширенням на область цілісності означення подільності в кільці цілих чисел, яке є конкретним прикладом області цілісності.

З означення 1 випливають такі властивості подільності в області цілісності:

1. "(a, b, cÎR
) [aM bÙbM cÞaM c].

2. "(a, b, cÎR
) [aM cÙbM cÞ(a+b)M c Ù(a-b)M c].

3. "(a, b, cÎR
) [aM b Þ acM b].

4. "(a1,
b1,
a2,
b2,…
, an,
bn,
cÎ R
) [a1
M cÙa2
M c Ù… Ùan
M c Þ (a1
b1
+a2
b2
+ … + +an
bn
) M c].

Ці властивості, як легко бачити, є поширенням на область цілісності відповідних властивостей подільності в кільці цілих чисел.

5. Кожен елемент аÎR
ділиться на будь-який дільник ε одиниці е. Справді, а = ε (ε-1
а) і, отже, ε/а.

6. Якщо а ÎR
ділиться на bÎR,
то а ділиться і на bε, де ε – будь-який дільник одиниці.

Справді, з рівності а = bс випливає рівність а == bε (ε-1
с) і, отже, bε/а.

7. Кожен з дільників одного з елементів а ÎR
і aεÎR
де ε – будь-який дільник одиниці, є дільником і іншого.

Справді, з рівності а = сg випливає рівність aε == с (εg), а з рівності аε = сq – рівність а == с (ε-1
q). Отже, якщо с/а, то с/аε, і навпаки.

Всюди далі будемо розглядати елементи області цілісності R
, відмінні від нуля.

Означення 2.
Елементи а і b області цілісності R
називаються асоційованими, якщо кожен з них є дільником іншого:

а = bс, b= аd. (1)

З рівностей (1) випливає, що а = а (сd). Звідси, скоротивши обидві частини рівності на а≠0, дістаємо сd = 1. Отже, с і d є дільники одиниці. Таким чином, якщо а і b – асоційовані елементи, то b = аε, де ε – деякий дільник одиниці. З другого боку, який би ми не взяли дільник одиниці ε, елементи а і аε асоційовані між собою, оскільки а = (аε) ε-1
.

Означення 2'.
Елементи а і b області цілісності R
називаються асоційованими, якщо b= аε, де ε – деякий дільник одиниці.

В кільці цілих чисел, наприклад, асоційованими є кожні два числа т і – т.

Якщо а і b – асоційовані елементи, тобто а = bс і b = аd, то (а) Í (b) і (b) Í (а) і, отже, (а) = (b).

Таким чином, два асоційовані елементи а і b породжують той самий головний ідеал.

Нехай а і b – довільні елементи області цілісності R
.

Означення 3.
Елемент сÎR
називається спільним дільником елементів а і b, якщо кожен з цих елементів ділиться на с. За властивістю 5, всі дільники одиниці е області цілісності R
є спільними дільниками елементів а і b. Але в елементів а і b можуть бути й інші спільні дільники. Ми хочемо ввести поняття найбільшого спільного дільника цих елементів. Означення НСД двох цілих чисел, за яким найбільшим спільним дільником називають найбільший із спільних дільників, поширити на область цілісності не можна, оскільки в довільній області цілісності R
немає відношення порядку. Проте ми знаємо й інше означення НСД двох чисел, а саме: НСД двох чисел називають такий спільний дільник цих чисел, який ділиться на будь-який інший їхній спільний дільник. Саме це означення ми й поширимо на область цілісності.

Означення 4.
Найбільшим спільним дільником елементів а і b області цілісності R
називається такий спільний дільник цих елементів, який ділиться на будь-який інший їхній спільний дільник.

Щоб зазначити, що d є найбільший спільний дільник елементів а і b, пишуть а=(а, b).

Якщо також d' = (а, b), то елементи d і d' діляться один на одного і, отже, вони асоційовані. З другого боку, якщо d = (а, b) і ε – будь-який дільник одиниці, то, очевидно, dе = (а, b). Як бачимо, найбільший спільний дільник елементів а і b визначається з точністю до множника ε, що є дільником одиниці.

Означення 5.
Елементи а, bÎR
називаються взаємно простими, якщо вони не мають спільних дільників, відмінних від дільників одиниці, тобто якщо (а, b) = 1.

Нехай ε – будь-який дільник одиниці і а – довільний елемент області цілісності R
. Тоді а = аε• ε-1
. З цієї рівності випливає, що всі елементи, асоційовані з елементом а, і всі дільники одиниці ε дільниками елемента а. Їх називають тривіальними, або невласними, дільниками елемента а. Всі інші дільники елемента а, тобто дільники, відмінні від аε і ε, якщо такі існують, називають нетривіальними, або власними. Так, в кільці цілих чисел Z
тривіальними дільниками числа 10 є числа ±1, ±10 і нетривіальними – числа ±2, ±5.

Означення 6.
Елемент аÎR
називається нерозкладним, або простим, якщо він не є дільником одиниці й не має нетривіальних дільників; елемент аÎR
називається розкладним, або складеним, якщо він має нетривіальні дільники.

Інакше кажучи, елемент аÎR
називається розкладним, якщо його можна записати у вигляді добутку а = bс двох нетривіальних множників b і с; він називається нерозкладним, якщо його не можна записати у вигляді добутку двох нетривіальних дільників, тобто якщо з а = bс завжди випливає, що один з множників b і с є дільник одиниці, а інший – асоційований з а. Так, у кільці цілих чисел Z
нерозкладними є числа ±2, ±3, ±5,… (тобто числа прості й протилежні простим); всі інші числа, відмінні від ±1, – розкладні.

Наведемо такі дві властивості нерозкладних елементів.

1. Якщо елемент рÎR
нерозкладний, то і будь-який асоційований з ним елемент рε також нерозкладний. Ця властивість випливає з властивості 7 подільності елементів області цілісності R
.

2. Якщо а – будь-який, а р – нерозкладний елемент з R
, то або а ділиться на р, або а і р – взаємно прості.

Справді, якщо (а, р) = d, то d, як дільник нерозкладного елемента р, або є деякий дільник ε одиниці, або елемент вигляду рε. У першому випадку а і р взаємно прості, в другому – а ділиться на р.

Задачі

№1

Довести, що (-8+3)M (1+2) в кільці z [].

Доведення.

Поділимо ці гаусові числа, домноживши чисельник і знаменник частки на число спряжене із знаменником

.

Так як 2–ÎZ[], то (-8+3)M (1+2).

Доведено.

№2

Довести, що в області цілісності К елементи 25–17 і 7- асоційовані, якщо К=z[].

Доведення.

Асоційованість доводиться тим, що одне число ділиться на друге і навпаки.

Оскільки 3–2Î Z[], то (25–17)M(7-).

Бачимо, що і (7-)M(25–17).

Отже, дані елементи асоційовані.

Доведено.

№3

Довести, що характеристикою області цілісності є або нуль, або просте число.

Доведення.

Нехай K – область цілісності, а е – одиниця кільця К. Якщо me≠0 для жодного натурального числа m1
, то характеристика кільця K дорівнює нулю.

Нехай тепер me=0 і m найменше натуральне число, що має цю властивість, тобто m – характеристика кільця K. Тоді m≠1, оскільки е≠0. Якщо m просте число, то твердження задачі доведено.

Нехай m складене число. Тоді існують натуральні числа s і t такі, що 1<s, t<m і m=st. Внаслідок комутативності кільця K маємо

0=me=(st) e=(se) (te).

Крім того, оскільки m – характеристика кільця K і s<m, t<m, то se≠0, te≠0 і тому (se) (te)=me≠0, бо K, як область цілісності, є кільцем без дільників нуля. Отже, ми прийшли до суперечності.

Тому характеристикою області цілісності є або нуль, або просте число.

Доведено.

3.1.2 Кільце головних ідеалів

Перейдемо тепер до вивчення кілець головних ідеалів.

Означення.
Кільцем головних ідеалів називається область цілісності з одиницею, в якій кожен ідеал є головний.

Найпростішим прикладом кілець головних ідеалів є кільце цілих чисел Z:
кільце Z,
як відомо, є область цілісності з 1 і, за теоремою, кожен його ідеал головний.

Кожне поле Р є кільце головних ідеалів. Справді, поле Р є областю цілісності з одиницею; якщо U є ненульовий ідеал поля Р, то разом з будь-яким своїм елементом а ≠ 0 він містить і елемент аa-1
= 1 і, отже, U = (1). Кільцем головних ідеалів є також кільце многочленів від змінної х з коефіцієнтами з поля Р
.

Звичайно, не кожна область цілісності з одиницею є кільцем головних ідеалів. Нижче ми наведемо приклади таких областей цілісності. А тепер займемося вивченням властивостей кілець головних ідеалів. Всюди далі вважатимемо, що R
– кільце головних ідеалів.

Теорема 1.
Будь-які два елементи а і b кільця головних ідеалів R
мають найбільший спільний дільник d, причому d= rа + sb, де r і s – деякі елементи кільця R
.

Доведення.

Якщо один з елементів а і b дорівнює нулю, то справедливість теореми очевидна. Нехай а і b – будь-які відмінні від нуля елементи кільця R
. Вони породжують ідеал (а, b), який складається з усіх елементів вигляду ха + уb, де х і у – будь-які елементи кільця R
. Оскільки R
– кільце головних ідеалів, то ідеал (а, b) є головний, тобто породжується деяким елементом dÎR
: (а, b) = (d).

Тому

d = rа + sb (r, sÎR
), (2)

а = gd, b = hd (g, hÎR
). (3)

З рівностей (3) випливає, що d є спільний дільник елементів а і b;

з рівності ж (2) випливає, що d ділиться на будь-який спільний дільник елементів а і b. Отже, а = (а, b).

Доведено.

Спираючись на теорему 1, доведемо твердження, яке є критерієм взаємної простоти двох елементів кільця головних ідеалів.

Теорема 2.
Елементи а і b кільця головних ідеалів R
взаємно прості тоді і тільки тоді, коли в кільці R
є такі елементи r і s, що rа +sb = 1.

Доведення.

Необхідність умови очевидна: якщо а і b – взаємно прості, тобто (а, b) = 1, то, за теоремою 1, в кільці R
існують такі елементи r і s, що rа + sb = 1. Доведемо достатність умови. Припустимо, що в кільці R
існують такі елементи r і s, що rа + sb = 1.

З цієї рівності випливає, що спільними дільниками елементів а і b можуть бути лише дільники одиниці і, отже, елементи а і b взаємно прості.

Доведено.

Теорема 3.
Якщо елемент аÎR
взаємно простий з кожним із елементів bÎR
і сÎК, то він взаємно простий і з добутком цих елементів.

Доведення
.

Оскільки а і b – взаємно прості, то, за теоремою 2, існують такі r, sÎR
, що

rа + sb = 1.

Помноживши цю рівність на с, дістаємо: а (rc) + (bс) s = с. З цієї рівності випливає, що кожен спільний дільник елементів а і bс буде дільником і елемента с. Але за умовою теореми спільними дільниками елементів а і с є лише дільники одиниці, тому і спільними дільниками a і bс будуть лише дільники одиниці й, отже, а і bс взаємно прості.

Теорема 4.
Якщо добуток елементів aÎR
і bÎR
ділиться на елемент с ÎR
, але а і с взаємно прості, то b ділиться на с.

Доведення.

Оскільки а і с – взаємно прості, то в кільці R
існують такі r і s, що

rа + sc = 1.

Помноживши цю рівність на b, дістаємо:

(аb) r+с (bs) = b.

Обидва доданки лівої частини останньої рівності діляться на с, а тому і права її частина b ділиться на с.

Теорема 5.
Якщо елемент а ÎR
ділиться на кожен з елементів bÎR
і сÎR
, які між собою взаємно прості, то а ділиться і на добуток bс.

Доведення.

Справді, за умовою теореми, а.:
b, тобто а = bg. Оскільки а M с, то bgM с. Але b і с взаємно прості, тому, за теоремою 4, g:
с, тобто g=cq.

Отже, а == (bс) q, тобто аMbс.

Доведено.

Теорема 6.
Якщо R
– кільце головних ідеалів і р – простий елемент цього кільця, то фактор-кільце R/(р)
є поле.

Доведення.

Одиничний елемент = 1 + (р) кільця R/(р)
відмінний від = (р). Справді, якби = , то елемент 1 містився б в ідеалі (р) і тому р/1. Але елемент р не може бути дільником одиниці, оскільки він нерозкладний. Отже, в кільці R/(р)
є принаймні один відмінний від нуля елемент.

Покажемо, що в кільці R/(р)
здійсненна операція ділення, крім_ділення на нуль, тобто що для будь-яких елементів = a + (р) ≠ 0 і = + (р) кільця R/(р)
рівняння • = має в цьому кільці розв'язок. Справді, оскільки ≠, то а не ділиться на р. Отже, за другою властивістю нерозкладних елементів, елементи а і р – взаємно прості, тобто (а, р) = 1. Тому, за теоремою 2, в кільці R
існують такі елементи r і s, що аr + рs = 1. Звідси

аrb + рsb =b, аrb º b (тоd p),

і, отже, • = . Таким чином, = є розв'язком рівняння =.

Доведено.

Наслідок.
Якщо добуток кількох елементів кільця головних ідеалів R
ділиться на простий елемент рÎR
, то принаймні один із співмножників ділиться на р.

Доведення.

Припустимо, що добуток a1
• а2
•… • as
(ai
ÎR
) ділиться на нерозкладний елемент р ÎR
, тобто що a1
а2…
аs
Î (р).

Розглянемо елементи ai
= аi
+(р) (і =1, 2,…. s) і
= a1
a2
…as
+(р). За означенням операції множення в кільці R/(р)
=Оскільки a1
a2
…as
Î(р), то
= і, отже, = Звідси, оскільки, за теоремою 6, R/(р)
є поле, випливає, що для деякого m (1 < т < s) =. Але =означає, що am
Î(p), тобто що am
M р.

Цим справедливість наслідку доведено.

Нашою метою буде тепер доведення твердження про можливість розкладу кожного елемента кільця головних ідеалів у добуток простих (нерозкладних) множників. Воно ґрунтується на такій лемі.

Лема.
В кільці головних ідеалів R
не існує нескінченної строго зростаючої послідовності ідеалів

U0

Ì
U1

Ì
U2

Ì
…
Ì
UN

Ì
….
(4)

Доведення.

Припустимо, що нескінченна строго зростаюча послідовність (4) існує. Позначимо символом b об'єднання всіх ідеалів послідовності (4). Множина b є ідеал кільця R
. Справді, якщо aєb
і bєb
, то а є елемент деякого ідеалу Us,
і b – деякого ідеалу Ul
. Тому а і b є елементи ідеалу Um
, де m – більший з індексів s і l. Отже, (а + b)є Um
Ìb
, (а – b)єUm
Ìb
і для будь-якого rєR
arєUm
Ìb
. Оскільки R
– кільце головних ідеалів, то ідеал b головний. Нехай b= (b). Елемент b, як елемент об'єднання ідеалів послідовності (4), належить до деякого ідеалу Uk
, а отже, і до кожного ідеалу Ui,
при і ≥k

Тому (b) = Uk
=Uk+1
= Uk+2
=…. А це суперечить нашому припущенню.

Доведено.

Теорема
7.
В кільці головних ідеалів R
кожен відмінний від нуля елемент, що не е дільником одиниці, розкладається в добуток простих множників.

Доведення.

Для кожного простого елемента кільця R
теорема справедлива: для простого елемента добуток, про який говориться в теоремі, складається з одного множника. Припустимо, що в кільці R
є відмінний від нуля елемент а, який не можна розкласти в добуток простих множників. Елемент а не простий і, отже, а = a1
a2
, де a1
і a2
– нетривіальні дільники елемента а.

Принаймні один з елементів a1
і a2
не можна розкласти в добуток простих множників, бо в противному разі і елемент а розкладався б у добуток простих множників. Не втрачаючи загальності міркувань, припустимо, що a1
не можна розкласти в добуток простих множників. Тоді a1
=a11
a12,
де a11
та a12
–нетривіальні дільники. Принаймні один з елементів a11
та a12
також не можна розкласти в добуток простих множників. Нехай цим елементом є a11
. Для елемента a11
міркування повторимо і т.д. Цей процес послідовного розкладу, очевидно, не може обірватися. Таким чином, ми дістанемо нескінченну послідовність елементів

а, a1
, a11
, a111
,…, (5)

у якій кожен наступний член є власним дільником попереднього.

Якщо ai+1
є власним дільником ai
, то (ai+1
)Ì(ai
), оскільки ai
=ai+1
r, де r – деякий елемент R
. Тому головні ідеали, породжені елементами послідовності (5), утворюють нескінченну строго зростаючу послідовність ідеалів

(а)Ì(a1
)Ì(a11
)Ì(a111
)Ì…,

а це суперечить доведеній вище лемі. Отже, наше припущення неправильне.

Доведено.

Покажемо тепер, що розклад, про який іде мова в теоремі 7, однозначний з точністю до порядку співмножників і до дільників одиниці.

Теорема
8.
Якщо

a =p1
p2
…pr
=q1
q2
…qs

є два розклади елемента а кільця головних ідеалів R
в добуток простих множників, то r=s і, при відповідній нумерації співмножників, справджуються рівності qi
=εi
pi
(і == 1, 2,…, r), де εi
– деякий дільник одиниці кільця R
.

Доведення.

Доводитимемо індукцією по r. При r = І справедливість твердження очевидна.

Справді, оскільки елемент а = р1
простий, то добуток q1
q2
…qs

може містити лише один множник q1=
p1
.

Припустимо, що теорема правильна для r – 1 (2 £ r), і доведемо, що в такому разі теорема справедлива й для r. Справді, оскільки

a =p1
p2
…pr
і a = q1
q2
…qs
то

p1
p2
…pr
=q1
q2
…qs
(6)

З рівності (6) випливає, що q1
q2
…qs
ділиться на p1
. Тому, за наслідком з теореми 6, принаймні один із співмножників q1,
q2,
…, qs
ділиться на pi
. Ми вважатимемо, що на p1
ділиться множник q1
: цього завжди можна досягти зміною нумерації множників q1,
q2,
…, qs.
Оскільки q1
– простий елемент і ділиться на простий елемент p1
, то q1
=e1
p1
, де e1
– деякий дільник одиниці кільця R
. Підставивши в рівність (6) e1
p1
замість q1
і скоротивши обидві частини одержаної рівності на р1