ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ
Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования
МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ОТКРЫТЫЙ УНИВЕРСИТЕТ
(филиал в г. Воскресенске)
Кафедра «Прикладной математики»
КУРСОВАЯ РАБОТА
Дисциплина: «Моделирование микроэкономических процессов и систем»
Тема: « Использование математических методов и моделей в управлении микроэкономическими системами »
Выполнил:
студент 4-го курса (очное отделение)
Петров А.Ю. (шифр1906361)
Специальность: 080116 –
«Математические методы в экономике»
Руководитель: ст. преподаватель Нидеккер И.А.
Воскресенск, 2009 г.
Оглавление
Данная курсовая работа состоит из двух частей: 25
Введение
Темой данной курсовой работы является «Использование математических методов и моделей в управлении микроэкономическими системами».
Курсовая работа имеет следующую структуру:
Введение
Раздел I «Сетевые модели».
Раздел II «Использование метода анализа иерархий для организации поставок».
Заключение
Список использованной литературы
Целью курсовой работы является изучение на практике современных методов управления и организации производства, совершенствование применения этих методов.
В первом разделе курсовой работы рассматривается ориентированная сеть, рассчитываются необходимые показатели этой сети для принятия в дальнейшем управленческих решений. На примерах описываются возможные применения данных методов.
Во втором разделе рассматривается проблема выбора поставщика. Оценивается по критериям каждый из них, и в результате расчетов принимается решение о продолжении сотрудничества с одним из поставщиков.
Раздел I. «Сетевые модели»
Построение сети.
Данная ориентированная сеть состоит из 7 вершин, соединенных 8 ребрами. Источник – вершина 1, сток – вершина 7. Веса ребер указаны на сети, а также в таблице 1.
Таблица 1
| Ребро (i, j) | Вес ребра (i, j) |
| (1, 2) | 5 |
| (1, 4) | 11 |
| (2, 3) | 4 |
| (3, 4) | 2 |
| (4, 5) | 3 |
| (4, 7) | 15 |
| (5, 6) | 8 |
| (6, 7) | 3 |
Построение минимального остовного дерева.
Минимальное остовное дерево - это остовное дерево графа, имеющее минимальный возможный вес, где под весом дерева понимается сумма весов входящих в него рёбер.
Шаг 0: C0 = Ш, = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}
Шаг 1: C1 = {1}, = {2, 3, 4, 5, 6, 7}
8
11
15
3
Шаг 2: min l (1-2) = 5, j* = {2}, C2 = {1, 2}, = {3, 4, 5, 6, 7}
Шаг 3: min l (2-3) = 4, j* = {3}, C3 = {1, 2, 3}, = {4, 5, 6, 7}
Шаг 4: min l (3-4) = 2, j* = {4}, C4 = {1, 2, 3, 4}, = {5, 6, 7}
Шаг 5: min l (4-5) = 3, j* = {5}, C5 = {1, 2, 3, 4, 5}, = {6, 7}
Шаг 6: min l (5-6) = 8, j* = {6}, C6 = {1, 2, 3, 4, 5, 6}, = {7}
Шаг 7: min l (6-7) = 3, j* = {7}, C7 = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}, = Ш
Минимальное остовное дерево будет выглядеть следующим образом:
Сумма весов ребер остовного дерева равна 5+4+2+3+8+3 = 25 ед.
Пример:
Необходимо соединить населенные пункты под номерами 1 – 7 автомобильными дорогами, при условии, что их протяженность будет минимальна.
Расстояния указаны рядом с каждым ребром сети.
Построение минимального остовного дерева решает эту задачу.
При этом протяженность автомобильных дорог, соединяющих все населенные пункты, будет равна 25 километрам.
Нахождение кратчайшего маршрута.
Нахождение кратчайшего маршрута заключается в соединении источника (1) со стоком (7) минимальным расстоянием.
Шаг 1: Начальная точка {1}.
Находим кратчайший маршрут до следующей точки.
Шаг 2: Точки {1} и {2} соединяем кратчайшим маршрутом со следующей точкой.
Шаг 3: Точки {1} и {3} соединяем кратчайшим маршрутом со следующей точкой.
В результате получаем два альтернативных пути – один из них обозначен пунктиром.
Шаг 4: Точку {4} соединяем кратчайшим маршрутом со следующей точкой.
Шаг 5: Точки {4} и {5} соединяем кратчайшим маршрутом со следующей точкой.
Шаг 6: Точки {4} и {6} соединяем кратчайшим маршрутом со следующей точкой.
В результате итераций мы нашли кратчайшие маршруты, записанные ниже в таблицу 2.
Таблица 2
| Узел сети | Кратчайший маршрут | |
| топология | протяженность | |
| 2 | 1-2 | 5 |
| 3 | 1-2-3 | 9 |
| 4 | 1-2-3-4 или 1-4 | 11 |
| 5 | 1-2-3-4-5 или 1-4-5 | 14 |
| 6 | 1-2-3-4-5-6 или 1-4-5-6 | 22 |
| 7 | 1-2-3-4-5-6-7 или 1-4-5-6-7 | 25 |
Пример:
Транспортная компания выбирает маршрут из пункта 1 в пункт 7 для доставки товара и желает сократить время в пути своего автотранспорта. Время необходимое для перевозки товара по каждому участку пути обозначено рядом с каждым ребром сети. Необходимо проложить маршрут, обеспечивающий минимальное время автотранспорта в пути.
С помощью алгоритма построения кратчайшего маршрута такой тип задачи можно решить. В результате расчетов минимальное время в пути будет составлять 25 часов.
Нахождение максимального потока.
Найти максимальный поток можно одним из нижеописанных способов.
4.1 Серия последовательных шагов.
На графиках укажем степень насыщения потока над каждым ребром, а в скобках остаточную пропускную способность.
Шаг 1: построим поток 1-2-3-4-5-6-7 и найдем максимальную пропускную способность этого пути.
Min (Cij) = C34 = 2
Φ1 = 2
Поток не полный
Шаг 2: построим поток 1-4-5-6-7
Min (Cij) = C45 = 1
Φ2 = Φ1 + 1= 3
Поток не полный
Шаг 3: построим поток 1-4-7
Min (Cij) = C14 = 10
Φ3 = Φ2 + 10= 13
Φ3 =13 – полный поток
Метод разделяющих сечений
Обозначим все возможные разделяющие сечения данной сети и опишем их характеристики ниже.
Χ = {1}, = {2, 3, 4, 5, 6, 7}
С1 = С(1; 2) + С(1; 3) = 5+11=16
Χ = {1, 2}, = {3, 4, 5, 6, 7}
С2 = С(1; 4) + С(2; 3) = 11+4=15
Χ = {1, 3}, = {2, 4, 5, 6, 7}
С3 = С(1; 2) + С(2; 3) + С(1, 4) + С(3, 4) = 5+4+11+2=22
Χ = {1, 2, 3}, = {4, 5, 6, 7}
С4 = С(1; 4) + С(3, 2) = 11+2=13
Χ = {1, 2, 3, 4}, = {5, 6, 7}
С5 = С(4; 5) + С(4, 7) = 3+15=18
Χ = {1, 2, 3, 4, 5}, = {6, 7}
С6 = С(4; 7) + С(5, 6) = 8+15=23
Χ = {1, 2, 3, 4, 6}, = {5, 7}
С7 = С(4; 5) + С(4, 7) + С(5, 6) + С(6, 7) = 3+15+8+3=29
Χ = {1, 2, 3, 4, 5, 6}, = {7}
С8 = С(4; 7) + С(6, 7) = 15+3=18
Минимальное сечение:
Max Φ = min Ci = min(16, 15, 22, 13, 18, 23, 29, 18) = 13
Ребра, обеспечивающие пропуск максимального потока через заданную сеть – выделены зеленым цветом. В скобках указана неиспользованная пропускная способность ребра.
Пример:
Компания, занимающаяся прокладкой газопровода, решает задачу о замене некоторых участков, в связи с увеличившимся спросом у потребителей. Для этого необходимо выявить «узкие» участки газопровода. Пропускные способности каждого участка указаны рядом с ребрами.
После построения полного и максимального потока видно, что участки 1 – 4, 3 – 4, 4 – 5, 6 – 7 нагружены полностью, в то время как на участках 1 – 2, 2 – 3, 4 – 7, 5 – 6 не использована пропускная способность в размерах 3, 2, 5, 5 соответственно.
Раздел II. «Использование метода анализа иерархий для организации поставок»
Предприятие решает вопрос о продлении договора на поставку с одним из поставщиков, основываясь на результатах работы по уже заключенным договорам. Поставщики оцениваются по критериям:
К1 – надежность поставки
К2 – цена
К3 – качество товара
К4 – условия платежа
К5 – возможность внеплановых поставок
Матрица сравнений критериев относительно цели:
Матрицы сравнения альтернатив (поставщиков) относительно критериев:
k1 k2 k3 k4 k5
Найдем веса критериев и проверим согласованность матрицы сравнения критериев. При несогласованности матрицы найдем противоречия в суждениях ЛПР, изменим результаты сравнения и проверим согласованность матрицы заново.
Для матрицы сравнения критериев относительно цели найдем собственный вектор и вес каждого критерия:
| Критерий | k1 | k2 | k3 | k4 | k5 | собственный вектор | вес |
| k1 | 1 | 5 | 8 | 2 | 7 | 3,545 | 0,535 |
| k2 | 1/5 | 1 | 3 | 4 | 1/2 | 1,037 | 0,157 |
| k3 | 1/8 | 1/3 | 1 | 2 | 1 | 0,608 | 0,092 |
| k4 | 1/2 | 1/4 | 1/2 | 1 | 1/3 | 0,461 | 0,070 |
| k5 | 1/7 | 2 | 1 | 3 | 1 | 0,970 | 0,146 |
| Σ | 6,621 | 1,000 |
Проверим согласованность матрицы:
n = 5
L = 0,229
R = 1,120
T = 0,204 > 0,1 – уровень согласованности не приемлем.
Изменим суждения ЛПР для достижения согласованности матрицы.
n = 5
L = 0,049
R = 1,120
T = 0,043 < 0,1 – уровень согласованности приемлем.
Найдем веса альтернатив по критериям и проверим их согласованность.
Альтернативы относительно критерия k1
| Альтернативы | A1 | A2 | A3 | A4 | собственный вектор | вес |
| A1 | 1,000 | 7,000 | 0,500 | 8,000 | 2,300 | 0,480 |
| A2 | 0,143 | 1,000 | 0,125 | 3,000 | 0,481 | 0,100 |
| A3 | 2,000 | 8,000 | 1,000 | 0,200 | 1,337 | 0,279 |
| A4 | 0,125 | 0,333 | 5,000 | 1,000 | 0,676 | 0,141 |
| 4,795 |
padding: 0in;"> 1,000 |
Проверим согласованность матрицы:
n = 4
L = 0,925
R = 0,900
T = 1,027 > 0,1 – матрица не согласована.
Альтернативы относительно критерия k2
| Альтернативы | A1 | A2 | A3 | A4 | собственный вектор | вес |
| A1 | 1,000 | 4,000 | 6,000 | 8,000 | 3,722 | 0,654 |
| A2 | 0,250 | 1,000 | 8,000 | 0,143 | 0,731 | 0,129 |
| A3 | 0,167 | 0,125 | 1,000 | 3,000 | 0,500 | 0,088 |
| A4 | 0,125 | 7,000 | 0,333 | 1,000 | 0,735 | 0,129 |
| 5,688 | 1,000 |
n = 4
L = 0,495
R = 0,900
T = 0,550 > 0,1 – матрица не согласована.
Альтернативы относительно критерия k3
| Альтернативы | A1 | A2 | A3 | A4 | собственный вектор | вес |
| A1 | 1,000 | 4,000 | 0,111 | 8,000 | 1,373 | 0,282 |
| A2 | 0,250 | 1,000 | 1,000 | 2,000 | 0,841 | 0,173 |
| A3 | 9,000 | 1,000 | 1,000 | 3,000 | 2,280 | 0,468 |
| A4 | 0,125 | 0,500 | 0,333 | 1,000 | 0,380 | 0,078 |
| 4,873 | 1,000 |
n = 4
L = 0,760
R = 0,900
T = 0,844 > 0,1 – матрица не согласована.
Альтернативы относительно критерия k4
| Альтернативы | A1 | A2 | A3 | A4 | собственный вектор | вес |
| A1 | 1,000 | 4,000 | 6,000 | 8,000 | 3,722 | 0,637 |
| A2 | 0,250 | 1,000 | 3,000 | 2,000 | 1,107 | 0,189 |
| A3 | 0,167 | 0,333 | 1,000 | 3,000 | 0,639 | 0,109 |
| A4 | 0,125 | 0,500 | 0,333 | 1,000 | 0,380 | 0,065 |
| 5,848 | 1,000 |
n = 4
L = 0,041
R = 0,900
T = 0,046 < 0,1 – матрица согласована.
Альтернативы относительно критерия k5
| Альтернативы | A1 | A2 | A3 | A4 | собственный вектор | вес |
| A1 | 1,000 | 0,250 | 6,000 | 8,000 | 1,861 | 0,402 |
| A2 | 4,000 | 1,000 | 0,333 | 2,000 | 1,278 | 0,276 |
| A3 | 0,167 | 3,000 | 1,000 | 3,000 | 1,107 | 0,239 |
| A4 | 0,125 | 0,500 | 0,333 | 1,000 | 0,380 | 0,082 |
| 4,626 | 1,000 |
n = 4
L = 0,808
R = 0,900
T = 0,898 > 0,1 – матрица не согласована.
Определим наилучшую альтернативу-поставщика, с которым следует продлить договор.
VA1 = 0,489
VA2 = 0,143
VA3 = 0,249
VA4 = 0,119
Наилучшая альтернатива A1, следовательно, необходимо продлить договор с первым поставщиком.
Заключение
Данная курсовая работа состоит из двух частей:
Раздел I «Сетевые модели».
Раздел II «Использование метода анализа иерархий для организации поставок».
В 1 разделе рассматривалась задача о минимизации протяженности дорог между 7-ю населенными пунктами. В итоге была построена ориентированная сеть с начальным и конечным узлами. Построено минимальное остовное дерево, сумма весов ребер (протяженность дорог) которого составила 25 км.
Рассмотрена задача о минимизации времени в пути автотранспорта из начального узла в конечный узел сети, который составил 25 часов.
Найден максимальный поток для сети газопровода, составляющий 13 куб.ед., а также в результате расчетов выявлены «узкие» участки газопровода.
Во 2 разделе рассматривалась задача, в которой предприятию необходимо было решить вопрос о продлении договора на поставку с одним из поставщиков, основываясь на результатах работы по уже заключенным договорам.
После решения данной задачи была выбрана наилучшая первая альтернатива, в которой говорится, что надежнее продлить договор с первым поставщиком.
Литература
Шикин Е.В., Шикина Г.Е. Исследование операций: учеб. – М.: «Издательство Проспект»,2006.
Таха Хемди А. Введение в исследование операций. – М. Издательский дом «Вильямс», 2005.
Экономико-математическое моделирование: учебник под общ.ред. И.Н.Дрогобыцкого. – М. «Экзамен», 2006.
Ларичев О.И. Теория и методы принятия решений: - М.: Логос, 2003.
Тимашков П.С. Математические методы принятия решений: Учеб.пособие МГУПЭСИ – М., 2003.
Лагоша Б.А. Моделирование микроэкономических процессов и систем в инвестиционной деятельности : Учеб.пособие. – М.: Изд-во МГОУ, 2007.
Бережная Е.В., Бережной В.И. Математические методы моделирования экономических систем: - М.: Финансы и статистика, 2002.
Математические методы и модели исследования операций: учеб. Под ред. В.А.Колемаева. – М.: ЮНИТИ – ДАНА, 2008.