Формулы сокр. умножения и разложения на множители :
(ab)=a2ab+b
(ab)=a3ab+3abb
a-b=(a+b)(a-b)
ab=(ab)(a∓ab+b),
(a+b)=a+b+3ab(a+b)
(a-b)=a-b-3ab(a-b)
xn-an=(x-a)(xn-1+axn-2+axn-3+...+an-1)
ax+bx+c=a(x-x1)(x-x2)
где x1 и x2 корни уравнения
ax+bx+c=0
Степени и корни :
apag = ap+g
ap:ag=a p-g
(ap)g=a pg
ap /bp = (a/b)p
apbp = abp
a0=1; a1=a
a-p = 1/a
pa =b => bp=a
papb = pab
a ; a 0
____
/ __ _
p ga = pga
___ __
pkagk = pag
p ____
/ a pa
/ =
b pb
a 1/p = pa
pag = ag/p
Квадратное уравнение
ax+bx+c=0; (a0)
x1,2= (-bD)/2a; D=b -4ac
D>0 x1x2 ;D=0 x1=x2
D<0, корней нет.
Теорема Виета:
x1+x2 = -b/a
x1 x2 = c/a
Приведенное кв. Уравнение:
x + px+q =0
x1+x2 = -p
x1x2 = q
Если p=2k (p-четн.)
и x+2kx+q=0, то x1,2 = -k(k-q)
Нахождение длинны отр-ка
по его координатам
((x2-x1)-(y2-y1))
Логарифмы:
loga x = b => ab = x; a>0,a0
a loga x = x, logaa =1; loga 1 = 0
loga x = b; x = ab
loga b = 1/(log b a)
logaxy = logax + loga y
loga x/y = loga x - loga y
loga xk =k loga x (x >0)
logak x =1/k loga x
loga x = (logc x)/( logca); c>0,c1
logbx = (logax)/(logab)
Прогрессии
Арифметическая
an = a1 +d(n-1)
Sn = ((2a1+d(n-1))/2)n
Геометрическая
bn = bn-1 q
b2n = bn-1 bn+1
bn = b1qn-1
Sn = b1 (1- qn)/(1-q)
S= b1/(1-q)
Тригонометрия.
sin x = a/c
cos x = b/c
tg x = a/b=sinx/cos x
ctg x = b/a = cos x/sin x
sin (-) = sin
sin (/2 -) = cos
cos (/2 -) = sin
cos ( + 2k) = cos
sin ( + 2k) = sin
tg ( + k) = tg
ctg ( + k) = ctg
sin + cos =1
ctg = cos / sin , n, nZ
tg ctg = 1, (n)/2, nZ
1+tg = 1/cos , (2n+1)/2
1+ ctg =1/sin , n
Формулы сложения:
sin(x+y) = sin x cos y + cos x sin y
sin (x-y) = sin x cos y - cos x sin y
cos (x+y) = cos x cos y - sin x sin y
cos (x-y) = cos x cos y + sin x sin y
tg(x+y) = (tg x + tg y)/ (1-tg x tg y )
x, y, x + y /2 + n
tg(x-y) = (tg x - tg y)/ (1+tg x tg y)
x, y, x - y /2 + n
Формулы двойного аргумента.
sin 2 = 2sin cos
cos 2 = cos - sin = 2 cos - 1 =
= 1-2 sin
tg 2 = (2 tg)/ (1-tg)
1+ cos = 2 cos /2
1-cos = 2 sin /2
tg = (2 tg (/2))/(1-tg(/2))
Ф-лы половинного аргумента.
sin /2 = (1 - cos )/2
cos/2 = (1 + cos)/2
tg /2 = sin/(1 + cos ) = (1-cos )/sin
+ 2n, n Z
Ф-лы преобразования суммы в произв.
sin x + sin y = 2 sin ((x+y)/2) cos ((x-y)/2)
sin x - sin y = 2 cos ((x+y)/2) sin ((x-y)/2)
cos x + cos y = 2cos (x+y)/2 cos (x-y)/2
cos x - cos y = -2sin (x+y)/2 sin (x-y)/2
sin (x+y)
tg x + tg y = —————
cos x cos y
sin (x - y)
tg x - tgy = —————
cos x cos y
Формулы преобр. произв. в сумму
sin x sin y = (cos (x-y) - cos (x+y))
cos x cos y = (cos (x-y)+ cos (x+y))
sin x cos y = (sin (x-y)+ sin (x+y))
Соотнош. между ф-ями
sin x = (2 tg x/2)/(1+tg2x/2)
cos x = (1-tg2 2/x)/ (1+ tg x/2)
sin2x = (2tgx)/(1+tg2x)
sin = 1/(1+ctg) = tg/(1+tg)
cos = 1/(1+tg) = ctg / (1+ctg)
ctg2 = (ctg-1)/ 2ctg
sin3 = 3sin -4sin = 3cossin-sin
cos3 = 4cos-3 cos=
= cos-3cossin
tg3 = (3tg-tg)/(1-3tg)
ctg3 = (ctg-3ctg)/(3ctg-1)
sin /2 = ((1-cos)/2)
cos /2 = ((1+cos)/2)
tg/2 = ((1-cos)/(1+cos))=
sin/(1+cos)=(1-cos)/sin
ctg/2 = ((1+cos)/(1-cos))=
sin/(1-cos)= (1+cos)/sin
sin(arcsin ) =
cos( arccos ) =
tg ( arctg ) =
ctg ( arcctg ) =
arcsin (sin) = ; [-/2 ; /2]
arccos(cos ) = ; [0 ; ]
arctg (tg ) = ; [-/2 ; /2]
arcctg (ctg ) = ; [ 0 ; ]
arcsin(sin)=
1) - 2k; [-/2 +2k;/2+2k]
2) (2k+1) - ; [/2+2k;3/2+2k]
arccos (cos) =
1) -2k ; [2k;(2k+1)]
2) 2k- ; [(2k-1); 2k]
arctg(tg)= -k
(-/2 +k;/2+k)
arcctg(ctg) = -k
(k; (k+1))
arcsin = -arcsin (-)= /2-arccos =
= arctg /(1-)
arccos = -arccos(-)=/2-arcsin =
= arc ctg/(1-)
arctg =-arctg(-) = /2 -arcctg =
= arcsin /(1+)
arc ctg = -arc cctg(-) =
= arc cos /(1-)
arctg = arc ctg1/ =
= arcsin /(1+)= arccos1/(1+)
arcsin + arccos = /2
arcctg + arctg = /2
Тригонометрические уравнения
sin x = m ; |m| 1
x = (-1)n arcsin m + k, k Z
sin x =1 sin x = 0
x = /2 + 2k x = k
sin x = -1
x = -/2 + 2 k
cos x = m; |m| 1
x = arccos m + 2k
cos x = 1 cos x = 0
x = 2k x = /2+k
cos x = -1
x = + 2k
tg x = m
x = arctg m + k
ctg x = m
x = arcctg m +k
sin x/2 = 2t/(1+t2); t - tg
cos x/2 = (1-t)/(1+t)
Показательные уравнения.
Неравенства: Если af(x)>(<) aа(ч)
1) a>1, то знак не меняеться.
2) a<1, то знак меняется.
Логарифмы : неравенства:
logaf(x) >(<) log a (x)
1. a>1, то : f(x) >0
(x)>0
f(x)>(x)
2. 0<a<1, то: f(x) >0
(x)>0
f(x)<(x)
3. log f(x) (x) = a
ОДЗ: (x) > 0
f(x) >0
f(x ) 1
Тригонометрия:
1. Разложение на множители:
sin 2x - 3 cos x = 0
2sin x cos x -3 cos x = 0
cos x(2 sin x - 3) = 0
....
2. Решения заменой ....
3.
sin x - sin 2x + 3 cos x =2
sin x - 2 sin x cos x + 3 cos x = 2 sin x + cos x
Дальше пишеться если sin x = 0, то и cos x = 0,
а такое невозможно, => можно поделить на cos x
Тригонометрические нер-ва :
sin m
2k+1 2+ 2k
2k+2 (1+2)+ 2k
Пример:
I cos (/8+x) < 3/2
k+ 5/6< /8 +x< 7/6 + 2k
2k+ 17/24 < x< /24+2k;;;;
II sin 1/2
2k +5/6 13/6 + 2k
cos () m
2k + 1 < < 2+2 k
2k+2< < (1+2) + 2k
cos - 2/2
2k+5/4 11/4 +2k
tg () m
k+ arctg m arctg m + k
ctg () m
k+arcctg m < < +k
Производная:
(xn)’ = n xn-1
(ax)’ = ax ln a
(lg ax )’= 1/(xln a)
(sin x)’ = cos x
(cos x)’ = -sin x
(tg x)’ = 1/cos x
(ctg x)’ = - 1/sinx
(arcsin x)’ = 1/ (1-x)
(arccos x)’ = - 1/ (1-x)
(arctg x)’ = 1/ (1+x)
(arcctg x)’ = - 1/ (1+x)
Св-ва:
(u v)’ = u’v + uv’
(u/v)’ = (u’v - uv’)/ v
Уравнение касательной к граф.
y = f(x0)+ f ’(x0)(x-x0)
уравнение к касательной к графику в точке x
1. Найти производную
2. Угловой коофициент k =
= производная в данной точке x
3. Подставим X0, f(x0), f ‘ (x0), выразим х
Интегралы :
xn dx = xn+1/(n+1) + c
ax dx = ax/ln a + c
ex dx = ex + c
cos x dx = sin x + cos
sin x dx = - cos x + c
1/x dx = ln|x| + c
1/cos x = tg x + c
1/sin x = - ctg x + c
1/(1-x) dx = arcsin x +c
1/(1-x) dx = - arccos x +c
1/1+ x dx = arctg x + c
1/1+ x dx = - arcctg x + c
Площадь криволенейной трапеции.
Геометрия
Треугольники
+ + =180
Теорема синусов
a = b+c - 2bc cos
b = a+c - 2ac cos
c = a + b - 2ab cos
Медиана дели треуг. на два равновеликих. Медиана делит
противопол. сторону напополам.
Биссектриса - угол.
Высота падает на пр. сторону
под прямым углом.
Формула Герона :
p=(a+b+c)
_____________
S = p(p-a)(p-b)(p-c)
S = ab sin
Sравн.=(a3)/4
S = bh/2
S=abc/4R
S=pr
Трапеция.
S = (a+b)/2 h
Круг
S= R
Sсектора=(R)/360
Стереометрия
Параллепипед
V=SоснР
Прямоугольный
V=abc
Пирамида
V =1/3Sосн.H
Sполн.= Sбок.+ Sосн.
Усеченная :
H . _____
V = 3 (S1+S2+S1S2)
S1 и S2 — площади осн.
Sполн.=Sбок.+S1+S2
Конус
V=1/3 RH
Sбок. =Rl
Sбок.= R(R+1)
Усеченный
Sбок.= l(R1+R2)
V=1/3H(R12+R1R2+R22)
Призма
V=Sосн.H
прямая: Sбок.=Pосн.H
Sполн.=Sбок+2Sосн.
наклонная :
Sбок.=Pпсa
V = Sпсa, а -бок. ребро.
Pпс — периметр
Sпс — пл. перпенд. сечения
Цилиндр.
V=RH ; Sбок.= 2RH
Sполн.=2R(H+R)
Sбок.= 2RH
Сфера и шар .
V = 4/3 R - шар
S = 4R - сфера
Шаровой сектор
V = 2/3 RH
H - высота сегм.
Шаровой сегмент
V=H(R-H/3)
S=2RH
| град | 0 | 30 | 45 | 60 | 90 | 120 | 135 | 180 | |||||
| -/2 | -/3 | ;">-/4 | -/6 | 0 | /6 | /4 | /3 | /2 | 2/3 | 3/4 | 3/6 | ||
| sin | -1 | -3/2 | -2/2 | - | 0 | 2/2 | 3/2 | 1 | - | 0 | |||
| cos | 1 | 3/2 | 2/2 | 0 | - | -2/2 | - 3/2 | -1 | |||||
| tg | -3 | -1 | -1/3 | 0 | 1/3 | 1 | 3 | -3 | -1 | 0 | |||
| ctg | --- | 3 | 1 | 1/3 | 0 | -1/3 | -1 | -- |
| n | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | |||||
| 2 | 4 | 9 | 16 | 25 | 36 | 49 | 64 | 81 | |||||
| 3 | 8 | 27 | 64 | 125 | 216 | 343 | 512 | 729 | |||||
| 4 | 16 | 81 | 256 | 625 | 1296 | 2401 | 4096 | 6561 | |||||
| 5 | 32 | 243 | 1024 | 3125 | 7776 | 16807 | 32768 | 59049 | |||||
| 6 | 64 | 729 | 4096 | 15625 | 46656 | ||||||||
| 7 | 128 | 2181 | |||||||||||
| 8 | 256 | 6561 | |||||||||||
| - | - | + | /2- | /2+ | 3/2 - | 3/2+ | |
| sin | -sin | sin | -sin | cos | cos | -cos | -cos |
| cos | cos | -cos | -cos | sin | -sin | -sin | sin |
| tg | -tg | -tg | tg | ctg | -ctg | ctg | -ctg |
| ctg | -ctg | -ctg | ctg | tg | -tg | tg | -tg |