Исходные данные к курсовому проекту
Рассматривается последний этап посадки космического аппарата (КА) на планету. При построении математической модели предположим:
посадка осуществляется по нормали к поверхности планеты, планета неподвижна и в районе посадки плоская;
на КА действуют сила тяжести G=mg, причем g=const и сила тяги , где с=const, а β – секундный расход массы m, ;
аэродинамические силы отсутствуют.
Уравнения движения КА могут быть представлены в виде:
; ; , где h – текущая высота;
или в нормальной форме:
; ; ; .
Здесь введены обозначения:
; ; ; ; .
Граничные условия имеют вид:
; ; ; ; ,
причем Т заранее неизвестно. Требуется найти программу управления u*(t), обеспечивающую мягкую посадку при минимальном расходе топлива, то есть .
Исходные данные для расчетов
| Начальная масса КА , кг. | Начальная высота , км. | Начальная скорость , км/с | Отношение силы тяги к начальной массе , м/с2 |
| 500 | 190 | 2,65 | 42,5 |
| =190000 м. | =2650 м/с |
Ускорение силы тяжести для планеты g=1,62 м/с2, величина с=3000 м/с.
Задание к курсовому проекту
Составить гамильтониан Н, воспользовавшись необходимыми условиями оптимальности для задачи Майера.
Из условия максимизации Н по u найти оптимальное управление.
Получить каноническую систему уравнений и в результате прийти к краевой задаче, для которой в момент t=0 заданы компоненты x0, x1, x2, а в момент t=T‑компоненты x1, x2, ψ0.
Из условия Н(Т)=0 получить соотношение для определения неизвестного времени Т.
Произвести анализ необходимых условий оптимальности, начав с исследования возможности существования особого вырожденного управления, то есть случая, когда функция переключения
.
Доказать, что Кu не может обратиться в нуль на конечном интервале времени и, следовательно, особого управления в данной задаче не существует.
Показать, что Кu есть монотонная функция t.
Рассмотреть четыре возможных случая:
а) Ku>0 для всех ;
б) Ku<0 для всех ;
в) Ku>0 для , Ku<0 для ;
г) Ku<0 для , Ku>0 для .
Показать, в каких случаях (из физических соображений) мягкая посадка невозможна, в каком из реализуемых случаев расход топлива меньше.
Получить программу оптимального управления, когда до некоторого момента t1 управление отсутствует u*=0, а начиная с t=t1, управление равно своему максимальному значению u*=umax, что соответствует минимальному расходу топлива.
Решить каноническую систему уравнений, рассматривая ее для случаев, когда и управление u*=0, и когда , u*=umax.
Приравнивая х1(Т) и х2(Т) нулю, получить два уравнения относительно t1 и Т. Таким образом, краевую задачу свести к системе, состоящей из двух нелинейных уравнений относительно двух неизвестных t1, Т. Составить программу расчета. Получив решение этой системы, решить полностью исходную задачу программирования оптимального управления мягкой посадкой КА на планету. В заключение следует построить фазовую траекторию спуска КА и определить конечную массу m(Т).
Выполнение задания курсового проекта
Нам известно, что
, где с – сила тяги двигателя,
m – масса космического аппарата;
– ускорение аппарата.
То есть, масса · ускорение = сумме сил, действующих на аппарат.
β – секундный расход массы m: .
Расход массы обеспечивает силу тяги двигателя (P=c·β), ее можно менять в пределах .
можно найти из исходных данных – выразив из отношения силы тяги к начальной массе Pmax/m(0):
;
;
кг/с.
Наш критерий оптимизации . Введем принятые в исходных данных обозначения:
; .
Начальный момент времени t=0, конечный момент времени – момент посадки КА (момент столкновения с планетой) t=T.
;
Тогда критерий оптимизации:
;
. (Здесь .)
Теперь необходимо написать уравнение состояния систе
Порядок дифференциального уравнения n=3, отсюда 3 уравнения состояния:
;
;
.
Выберем управление:
;
Подставляем уравнения состояния, получим:
так как и , отсюда
;
;
.
Критерий оптимизации:
.
Введем переменные х0 и хn+1 (то есть х4).
, где t – текущее время.
.
Тогда основные уравнения состояния:
Составим гамильтониан Н:
;
.
Оптимальному управлению соответствует максимум функции Гамильтона в заданной области возможных управлений. Причем этот максимум равен нулю.
То есть нужно добиться максимума этой функции, меняя u1. Это и будет оптимальное управление.
Для функций ψi тоже получим сопряженные уравнения, которые имеют вид :
– так как функция не зависит от х0,
следовательно производная равна нулю;
– аналогично, так как функция не зависит от х1.
Итак, нужно найти максимум гамильтониана:
Функция переключения:
Используя для вычислений Mathcad, получим оптимальное управление:
Таким образом оказалось, что оптимальное управление должно осуществляться на предельных ресурсах. То есть либо двигатель должен быть совсем выключен (при Ku<0), либо включен на максимальную мощность (при Ku>0).
Посмотрим, как меняется функция переключения Кu во времени:
;
Для определения ψ1 и ψ2 решаем сопряженные уравнения:
, следовательно, ψ1 = const, обозначим ψ1=с1.
, следовательно, , где c2 = const.
Итак,
Масса КА всегда положительна, а с=3000 = const – величина постоянная, поэтому производная имеет всегда постоянный (один и тот же) знак. То есть величина Ku либо всё время монотонно возрастает, либо всё время монотонно убывает. А это означает, что она может пройти через ноль только один раз.
Рассмотрим четыре возможных случая:
а) Ku>0 для всех ;
б) Ku<0 для всех ;
в) Ku>0 для , Ku<0 для ;
г) Ku<0 для , Ku>0 для .
В случаях б) (когда двигатель КА выключен на всем протяжении посадки) и в) (когда двигатель включен на максимальную мощность до какого-то момента времени t=t*, а затем полет происходит с выключенным двигателем до самой посадки) – говорить о мягкой посадке не приходится. Эти варианты означают падение КА на планету. Поэтому оптимальными (и вообще допустимыми) их считать нельзя.
Следовательно, остаются два реализуемых варианта – а) и г). И оптимальное управление предполагает либо всё время включенный на максимальную мощность двигатель, либо полет с выключенным двигателем до какого-то момента t=t*, а затем полет с двигателем, включенным на максимальную мощность до момента посадки. Естественно, что во втором случае (г) расход топлива меньше, так как часть пути проделывается с выключенным двигателем.
Поэтому оптимальным управлением в данной ситуации можно считать полет с выключенным двигателем, затем происходит включение двигателя и полет продолжается с двигателем, включенным на максимальную мощность.
Итак, оптимальному управлению соответствует
На первом участке полета, на котором u1=0:
; ; ;
;
;
.
Рассмотрим второй участок полета u1=7,083:
Зададимся условием, что при t=t* (в момент включения двигателя):
;
;
.
На отрезке полета со включенным двигателем:
;
так как , запишем:
.
Теперь, зная х3, можно выразить х2:
.
Теперь, зная х2 выразим х1:
;
На отрезке пути h(t):
В момент посадки t=T высота и скорость должны быть равны нулю, то есть и . На основании этого утверждения приравняем х1(T) и х2(Т) нулю и получим таким образом два уравнения относительно t* и T. Таким образом, краевая задача у нас свелась к системе, состоящей из двух нелинейных уравнений относительно двух неизвестных t* и Т:
Из второго уравнения системы выразим момент времени, на котором включается двигатель:
;
Подставим это выражение в первое уравнение системы, получим уравнение для нахождения времени полета T (оно же время посадки):
Для расчета времени полета Т воспользуемся программой Mathcad. На следующем листе приведены эти вычисления1:
Теперь, зная Т и t*, можно определить конечную массу космического аппарата m(T):
кг.
Можно рассчитать высоту h (t*), на которой КА должен включить двигатели:
м.
Таким образом, включение двигателей происходит на 3317-ой секунде полета на высоте около 67 км. от поверхности планеты. Тот же результат мы наблюдаем и на графике.
1 Все дальнейшие вычисления также производились в программе Mathcad