Матричный анализ

/>
. Множества векторов x1
, x2
, …, xn
и y1
, y2
,…,yn
удовлетворяющие условию , т.е. называются квазиортогональными

.

Учитывая равенство (**) и определение делаем вывод: множества левых и правых собственных векторов простой матрицы А квазиортогональны и .

Очень важной для матриц является следующая теорема:

СПЕКТРАЛЬНАЯ ТЕОРЕМА.

Если А – простая матрица порядка n над полем С и p(x) многочлен из кольца C[x], и x1
, x2
, …, xn
и y1
, y2
,…,yn
– множества правых и левых собственных векторов матрицы А, то , а сопутствующая матрица , где .

Следствие

. Сопутствующие матрицы обладают следующими свойства:

1.

2.

3.

Пример. Показать, что матрица простая. Найти сопутствующие матрицы для матрицы А и использовать их для А20
,
p(x)=x20
.

Решение:

Þ

существуют 2 линейно независимые правые и левые системы собственных векторов.

Найдем правые собственные векторы:

Найдем левые собственные векторы:

Найдем сопутствующие матрицы:

.

5.

Спектральное разложение функции

f(A)

.

Спектральное разложение для f(A) имеет важное значение и очевидно тесно примыкает к спектральной теореме для простых матриц.

Пусть дана матрица и пусть , .

Теорема.

Если , а функция f(x) определена на спектре матрицы А и - значение j-й производной от f(x) в собственном значении , где , , то существуют такие независимые от f(x) матрицы , что (1), при чем коммутирует с матрицей А и образуют линейно независимую систему в пространстве

Доказательство:

заметим, что и , где - базисные многочлены, принимающие одинаковые значения на спектре матрицы А, (3). Сравнивая (1) и (2) и учитывая (3) получим, что . Матрицы называются компонентами матрицы А или компонентными матрицами.

ЧТД.

Опишем следующие свойств компонентных матриц, которые в некоторой степени обобщают свойства сопровождающих матриц.

Теорема

. Компонентные матрицы обладают следующими свойствами:

1.

2.

3.

4. .

Замечание.

Для того, чтобы найти компонентные матрицы для f(x) определенной на спектре матрицы А необходимо и достаточно знать базисные многочлены, входящие в интерполяционный многочлен, однако нахождение интерполяционного многочлена f(x) связано с некоторыми трудностями, а поэтому будем вычислять компонентные матрицы подбирая соответствующим образом системы функций.

Пример: Найти компоненты для матрицы .

.

Пусть
f(x)
определена на спектре А, тогда согласно спектральной теореме .

1.
f(x)=1

E=1Z11
+0Z12
+1Z21
=Z11
+Z21

2.
f(x)=x-4

A-4E=0Z11
+1Z12+
(-2)
Z21
=Z12
-2Z21

3.
f(x)=(x-4)2

(A-4E)2
=4Z21

.

Таким образом, для любой функции
f(x)
, определенное на спектре матрицы А

.

Пример 2.

Найти компоненты для матрицы

.

Найдем минимальный многочлен матрицы А.

1.
f(x)=1

E=Z11
+Z21
+Z31

2.
f(x)=x+1

(A+E)=2Z21
+Z31
+Z12

3.
f(x)=(x+1)2

(A+E)2
=4Z21
+Z31

4.
f(x)=x-1

A-E=-2Z11
+Z12
-Z31

1. f(x)=1 E=Z11
+Z21
+Z31

2. f(x)=x+1 A+E=Z11
Z22
+2Z31

3. f(x)=(x+1)2
(A+E)2
=Z11
+4Z31

4. f(x)=x-1 (A-E)=-Z11
-2Z21
+Z22

Z31
=A

-Z22
=(A+E)2
-E-3A

Z12
=Z22

Z11
=(E-A)-Z22

6.Определенные матрицы.

Эрмитовы и квадратичные матрицы.

Пусть А – эрмитова матрица (А*
=А).

Рассмотрим функцию h(x) – действительная функция комплексного аргумента.

Рассмотрим:

DF

. Функция , где А – эрмитова матрица, называется эрмитовой формой от n переменных x1
, …, xn
, где А – матрица эрмитовой формы.

Очевидно, что если А – действительная симметрическая матрица, то в этом случае получаем квадратичную форму .

Для каждой эрмитовой (квадратичной) формы инвариантами являются: ранг

(число не нулевых коэффициентов в квадратичной форме нормального вида совпадающих с рангом матрицы А), p (индекс) – число положительных коэффициентов в квадратичной форме нормального вида, оно совпадает с числом положительных собственных значений, сигнатура

. Эти числа r, p, гр-r не зависят от тех преобразований, которые совершаются над данными формами.

В дальнейшем ограничимся рассмотрением только квадратичных форм. Нас интересуют 2 семейства матриц.

DF

. Действительная симметрическая матрица А называется положительно определенной

, если для .

DF

. Действительная симметрическая матрица А называется неотрицательно определенной

, если для .

Оба типа матриц относятся к классу определенных матриц. Заметим, что положительно определенная матрица невырожденная, т.е. если предположить, что она вырожденная, то , , что противоречит условию.

Теорема № 1.

Действительная симметрическая матрица n-го порядка будет определенной ранга тогда и только тогда , когда она имеет r положительных собственных значений, а остальные (n-r) – собственные значения равны 0.

Теорема № 2.

Действительная симметрическая матрица положительна определена тогда и только тогда, когда все ее главные миноры положительны.

Теорема № 3

. Действительная симметрическая матрица положительно определена тогда и только тогда, когда все ее главные миноры положительны.

7.Неотрицательные матрицы.

DF

. Матрица называется неотрицательной,

если каждый ее элемент положителен.

Квадратные матрицы такого типа возникают во множестве задач и это определяющее свойство приводит к сильным результатам об их строении. Теорема Фробениуса-Перона является основным результатом для неотрицательных матриц.

Пусть матрицы . Будем говорить, что , если б в частности A>B, если .

Вспомним матрицу перестановки , т.е. матрицы перестановки обязательно ортогональны. Произведение приводит к перестановке столбцов матрицы А.

DF

. При матрица называется приводимой матрицей

, если существует такая матрица перестановки Р, что совподает с матрицей , где А11
, А12
, А22
– квадратные матрицы меньшего чем n порядка. Если матрица Р не существует, то матрица А называется неприводимой

.

Понятие приводимости имеет значение при решении матричных уравнений , ибо если Ф – приводима, то осуществив замену переменных, которую подсказывают равенства , получаем

, где , .

и решаем матричное уравнение с матрицей более низкого порядка. Затем, и решаем матричное уравнение. Таким образом, если А – приводима, то решение уравнения высокого порядка сводится к решению уравнений более низкого порядка, при чем собственные значения матриц А11
и А22
в своей совокупности составляет множество значений матрицы А.

Интересно, что явление приводимости не связано с величиной матрицы, а зависит лишь от расположения нулевых элементов в матрице.

В связи с этим, используют идею направленного графа матрицы, которую можно взять в качестве характеризации неприводимости матрицы. Наметим первые шаги тоерии и получим вторую характеризацию неприводимости матриц.

DF

. Пусть р1
, р2
, …, рn
– n различных точек комплексной плоскости и . Для каждого нулевого элемента матрицы А составим направленную линию от рi
к рj
. Получающаяся в результате фигура на комплексной плоскости называется направленным графом матрицы

.

Например:

DF

. Говорят, что любой направленный граф связен, если для каждой пары точек существует направленный путь .

Легко доказать, что квадратная матрица неприводима тогда и только тогда, когда ее граф является связным.

8.Теорема Фробениуса-Перона.

Очевидно, что если , то для . Более того, мы покажем, что для достаточно больших p.

Лемма № 1.

Если матрица неотрицательна и неприводима, то .

Доказательство:

Если взять произвольный вектор и , то . И пусть вектор имеет место, очевидно, что Z имеет по крайней мере столько же нулевых положительных элементов, что и y. В самом деле, если предположить, что Z имеет меньше нулевых компонент, то обозначим , тогда и разбив матрицу А на блоки следующим образом

мы будем иметь .

Учитывая, что , то , тогда получаем, что , что противоречит неприводимости матрицы.

Для следующего вектора повторим рассуждения и т.д. В итоге получим, что для некоторого ненулевого вектора y.

ЧТД.

Для ненулевой неприводимой матрицы А рассмотрим действительную функцию r(x), определенную для ненулевых векторов следующим образом: , (Ax)i
– i-я координата вектора Ах.

. Из определения следует, что и кроме того, r(x) –такое наименьшее значение , что .

Очевидно, что r(x) инвариантна относительна замены x на , поэтому в дальнейшем можно рассматривать замкнутое множество , такое .

Однако, r(x) может иметь разрывы в точках, где координата x обращается в 0, поэтому рассмотрим множество векторов и обозначим . По лемме № 1 каждый вектор из N будет положительным, а поэтому т.е. для .

Обозначим через наибольшее число, для которого , . – спектральный радиус матрицы А

. Если Можно показать, что существует вектор y, что .

Замечание.

Могут существовать и другие векторы в L для которых r(x) принимает значение r, поэтому любой такой вектор называется экстремальным для матрицы А

(Az=rz).

Интерес к числу r объясняется следующим результатом.

Лемма № 2.

Если матрица неотрицательна и неприводима, то число является собственным значением матрицы А, кроме того каждый экстремальный вектор для А положителен и является правым собственным вектором для А, отвечающим собственному значению r.

Основным результатом является теорема Фробениуса-Перона для непрерывных матриц.

Теорема Фробениуса-Перона

. Если матрица неотрицательна и неприводима, то:

1. А имеет положительное собственное значение, равное спектральному радиусу матрицы А;

2. существует положительный правый собственный вектор, соответствующий собственному значению r.

3. собственное значение имеет алгебраическую кратность равную 1.

Эта теорема была опубликована в 1912 году Фробениусом и явилась обобщением теоремы Перона, которая является следствием.

Теорме Перона (следствие).

Положительная квадратная матрица А имеет положительное и действительное собственное значение r, имеющее алгебраическую кратность 1 и превосходит модули всех других собственных значений матрицы А. Этому r соответствует положительный собственный вектор.

Используя теорему Фробениуса-Перона, можно найти максимальное действительное значение матрицы, не используя характеристического многочлена матрицы.