Федеральное агентство по образованию
Всероссийский заочный финансово-экономический институт
Кафедра экономико-математических методов и моделей
КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА
по дисциплине «Эконометрика»
Вариант № 3
Исполнитель: Глушакова Т.И.
Специальность: Финансы и кредит
Курс: 3
Группа: 6
№ зачетной книжки: 07ффд41853
Руководитель: Денисов В.П.
г. Омск 2009г.
Задачи
По предприятиям легкой промышленности региона получена информация, характеризующая зависимость объема выпуска продукции (Y, млн. руб.) от объема капиталовложений (X, млн. руб.). Требуется:
1. Найти параметры уравнения линейной регрессии, дать экономическую интерпретацию коэффициента регрессии.
- уравнение линейной регрессии, где - параметры уравнения.
, где , - средние значения признаков.
, где n – число наблюдений.
Представим вычисления в таблице 1:
Таблица 1. Промежуточные расчеты.
| t | xi | yi | yi* xi | xi*xi |
| 1 | 38 | 69 | 2622 | 1444 |
| 2 | 28 | 52 | 1456 | 784 |
| 3 | 27 | 46 | 1242 | 729 |
| 4 | 37 | 63 | 2331 | 1369 |
| 5 | 46 | 73 | 3358 | 2116 |
| 6 | 27 | 48 | 1296 | 729 |
| 7 | 41 | 67 | 2747 | 1681 |
| 8 | 39 | 62 | 2418 | 1521 |
| 9 | 28 | 47 | 1316 | 784 |
| 10 | 44 | 67 | 2948 | 1936 |
| средн. знач. | 35,5 | 59,4 | ||
| 2108,7 | ||||
| 1260,25 | ||||
| 21734 | ||||
| 13093 | ||||
| n | 10 | |||
| 1,319 | ||||
| 12,573 |
Таким образом, уравнение линейной регрессии имеет вид:
Коэффициент регрессии равен 1,319>0, значит связь между объемом капиталовложений и выпуском продукции прямая, увеличение объема капиталовложений на 1 млн. руб. ведет к увеличению объема выпуска продукции в среднем на 1,319 млн. руб. Это свидетельствует об эффективности работы предприятий.
2. Вычислить остатки; найти остаточную сумму квадратов; оценить дисперсию остатков ; построить график остатков.
Вычислим прогнозное значение Y по формуле:
Остатки вычисляются по формуле:
.
Представим промежуточные вычисления в таблице 2.
Таблица 2. Вычисление остатков.
| 69 | 62,695 | 6,305 | 39,75303 |
| 52 | 49,505 | 2,495 | 6,225025 |
| 46 | 48,186 | -2,186 | 4,778596 |
| 63 | 61,376 | 1,624 | 2,637376 |
| 73 | 73,247 | -0,247 | 0,061009 |
| 48 | 48,186 | -0,186 | 0,034596 |
| 67 | 66,652 | 0,348 | 0,121104 |
| 62 | 64,014 | -2,014 | 4,056196 |
| 47 | 49,505 | -2,505 | 6,275025 |
| 67 | 70,609 | -3,609 | 13,02488 |
Дисперсия остатков вычисляется по формуле:
.
Построим график остатков с помощью MSExcel.
Рис. 1. График остатков.
3. Проверить выполнение предпосылок МНК
Проверим независимость остатков с помощью критерия Дарбина-Уотсона.
Вычислим коэффициент Дарбина-Уотсона по формуле:
.
Данные для расчета возьмем из таблицы 2.
dw = 0,803
Сравним полученное значение коэффициента Дарбина-Уотсона с табличными значениями границ и для уровня значимости 0,05 при k=1 и n=10. =0,88, =1,32, dw < d, значит, остатки содержат автокорреляцию. Наличие автокорреляции нарушает одну из предпосылок нормальной линейной модели регрессии.
Проверим наличие гетероскедастичности. Т.к. у нас малый объем выборки (n=10) используем метод Голдфельда-Квандта.
- упорядочим значения n наблюдений по мере возрастания переменной x и разделим на две группы с малыми и большими значениями фактора x соответственно.
- рассчитаем остаточную сумму квадратов для каждой группы.
Вычисления представим в таблицах 3 и 4.
Таблица 3. Промежуточные вычисления для 1-го уравнения регрессии.
| t | xi | yi | yi* xi | xi*xi | |||
| 1 | 27 | 46 | 1242 | 729 | 47 | -1 | 1 |
| 2 | 27 | 48 | 1296 | 729 | 47 | 1 | 1 |
| 3 | 28 | 47 | 1316 | 784 | 49,5 | -2,5 | 6,25 |
| 4 | 28 | 52 | 1456 | 784 | 49,5 | 2,5 | 6,25 |
| средн. знач. | 27,5 | 48,25 | |||||
| 1326,875 | |||||||
| 756,25 | |||||||
| 5310,00 | |||||||
| 3026,00 | |||||||
| n | 4 | ||||||
| 2,5 | |||||||
| - 20,5 | |||||||
| 14,5 |
Таблица 4. Промежуточные вычисления для 2-го уравнения регрессии.
| t | xi | yi | yi* xi | xi*xi | |||
| 1 | 37 | 63 | 2331 | 1369 | 63,789 | -0,789 | 0,623 |
| 2 | 38 | 69 | 2622 | 1444 | 64,582 | 4,418 | 19,519 |
| 3 | 39 | 62 | 2418 | 1521 | 65,375 | -3,375 | 11,391 |
| 4 | 41 | 67 | 2747 | 1681 | 66,961 | 0,039 | 0,002 |
| 5 | 44 | 67 | 2948 | 1936 | 69,340 | -2,340 | 5,476 |
| 6 | 46 | 73 | 3358 | 2116 | 70,926 | 2,074 | 4,301 |
| средн. знач. | 40,833 | 66,833 | |||||
| 2729,028 | |||||||
| 1667,361 | |||||||
| 16424 | |||||||
| 10067 | |||||||
| n | 6 | ||||||
| 0,793 | |||||||
| 34,448 | |||||||
| 41,310 |
= =2,849
где - остаточная сумма квадратов 1-ой регрессии, - остаточная сумма квадратов 2-ой регрессии.
Полученное значение сравним с табличным значением F распределения для уровня значимости , со степенями свободы и ( - число наблюдений в первой группе, m – число оцениваемых параметров в уравнении регрессии).
, , m=1.
Если > , то имеет место гетероскедастичность.
= 5,41
< ,
значит, гетероскедастичность отсутствует и предпосылка о том, что дисперсия остаточных величин постоянна для всех наблюдений выполняется.
4. Осуществить проверку значимости параметров уравнения регрессии с помощью t-критерия Стьюдента .
Расчетные значения t-критерия можно вычислить по формулам:
,
,
,
=35,5
Промежуточные расчеты представим в таблице:
Таблица 5. Промежуточные вычисления для расчета t- критерия
| xi | |
| 38 | 6,25 |
| 28 | 56,25 |
| 27 | 72,25 |
| 37 | 2,25 |
| 46 | 110,25 |
| 27 | 72,25 |
| 41 | 30,25 |
| 39 | 12,25 |
| 28 | 56,25 |
| 44 | 72,25 |
=490,50
для уровня значимости 0,05 и числа степеней свободы n-2=8
Так как и можно сделать вывод, что оба коэффициента регрессии значимые.
5. Вычислить коэффициент детерминации, проверить значимость уравнения регрессии с помощью F-критерия Фишера , найти среднюю относительную ошибку аппроксимации. Сделать вывод о качестве модели.
Коэффициент детерминации определяется по формуле:
Из расчетов нам известно, что
; .
Рассчитаем :
Таблица 6. Промежуточные вычисления для расчета коэффициента детерминации.
| 69 | 9,6 | 92,16 |
| 52 | -7,4 | 54,76 |
| 46 | -13,4 | 179,56 |
| 63 | 3,6 | 12,96 |
| 73 | 13,6 | 184,96 |
| 48 | -11,4 | 129,96 |
| 67 | 7,6 | 57,76 |
| 62 | 2,6 | 6,76 |
| 47 | -12,4 | 153,76 |
| 67 | 7,6 | 57,76 |
=930,4
=0,917.
Т.к. значение коэффициента детерминации близко к единице, качество модели считается высоким.
Теперь проверим значимость уравнения регрессии. Рассчитаем значение F-критерия Фишера по формуле:
Уравнение регрессии с вероятностью 0,95 в целом статистически значимое, т.к. >.
Средняя относительная ошибка аппроксимации находится по формуле:
Таблица 7. Промежуточные вычисления для расчета средней относительной ошибки аппроксимации.
| yi | ||
| 69 | 6,305 | 0,091377 |
| 52 | 2,495 | 0,047981 |
| 46 | -2,186 | 0,047522 |
| 63 | 1,624 | 0,025778 |
| 73 | -0,247 | <0,003384 |
| 48 | -0,186 | 0,003875 |
| 67 | 0,348 | 0,005194 |
| 62 | -2,014 | 0,032484 |
| 47 | -2,505 | 0,053298 |
| 67 | -3,609 | 0,053866 |
,
значит модель имеет хорошее качество.
Рассчитаем коэффициент эластичности по формуле:
6. осуществить прогнозирование среднего значения показателя Yпри уровне значимости , если прогнозное значение фактора X составит 80% от его максимального значения.
Рассчитаем стандартную ошибку прогноза
,
где
=930,4 ;
, для уровня значимости 0,1 и числа степеней свободы n-2=8
Доверительный интервал прогноза:
Таким образом, =61,112 , будет находиться между верхней границей, равной 82,176 и нижней границей, равной 40,048.
7.
Представить графически фактические и модельные значения Y точки прогноза.
Воспользуемся данными из таблицы 2 для построения графиков с помощью MS Excel.
Рис. 2. Фактические и модельные значения Y точки прогноза.
8. Составить уравнения нелинейной регрессии: гиперболической, степенной, показательной. Привести графики построенных уравнений регрессии.
Построение степенной модели.
Уравнение степенной модели имеет вид:
Для построения этой модели необходимо произвести линеаризацию переменных. Для этого произведем логарифмирование обеих частей уравнения:
Обозначим .
Тогда уравнение примет вид – линейное уравнение регрессии. Рассчитаем его параметры, используя данные таблицы 1:
Таблица 8. Расчет параметров уравнения степенной модели регрессии.
| t | xi | X | Y | YX | X*X | |||||
| 1 | 38 | 1,5798 | 69 | 1,839 | 2,905 | 2,496 | 62,347 | 6,653 | 9,642 | 44,26 |
| 2 | 28 | 1,447 | 52 | 1,716 | 2,483 | 2,094 | 50,478 | 1,522 | 2,926 | 2,315 |
| 3 | 27 | 1,431 | 46 | 1,663 | 2,379 | 2,048 | 49,225 | -3,225 | 7,010 | 10,399 |
| 4 | 37 | 1,568 | 63 | 1,799 | 2,821 | 2,459 | 61,208 | 1,792 | 2,845 | 3,212 |
| 5 | 46 | 1,663 | 73 | 1,863 | 3,098 | 2,765 | 71,153 | 1,847 | 2,530 | 3,411 |
| 6 | 27 | 1,431 | 48 | 1,681 | 2,406 | 2,049 | 49,225 | -1,225 | 2,552 | 1,5 |
| 7 | 41 | 1,613 | 67 | 1,826 | 2,945 | 2,601 | 65,771 | 1,289 | 1,924 | 1,66 |
| 8 | 39 | 1,591 | 62 | 1,793 | 2,853 | 2,531 | 63,477 | -1,477 | 2,382 | 2,182 |
| 9 | 28 | 1,447 | 47 | 1,672 | 2,419 | 2,094 | 50,478 | -3,478 | 7,4 | 12,099 |
| 10 | 44 | 1,644 | 67 | 1,826 | 3,001 | 2,701 | 68,999 | -1,999 | 2,984 | 3,997 |
Уравнение регрессии будет иметь вид:
Перейдем к исходным переменным x и y, выполнив потенцирование данного уравнения:
Вычислим коэффициент детерминации :
=930,4;
(1)
Вычислим среднюю ошибку аппроксимации А:
%
(2)
Коэффициент эластичности рассчитывается по формуле:
(3)
Рис. 3. График степенного уравнения регрессии.
Построение показательной функции.
Уравнение показательной кривой:
Для построения этой модели необходимо произвести линеаризацию переменных. Для этого осуществим логарифмирование обеих частей уравнения:
Обозначим
Получим линейное уравнение регрессии:
Рассчитаем его параметры, используя данные таблиц 1 и 8.
Промежуточные расчеты представим в таблице 9.
Таблица 9. Промежуточные расчеты для показательной функции.
| t | xi | Y | y | |||||
| 1 | 38 | 1,839 | 69,882 | 69 | 62,632 | 6,368 | 10,167 | 40,552 |
| 2 | 28 | 1,716 | 48,048 | 52 | 49,893 | 2,107 | 4,223 | 4,44 |
| 3 | 27 | 1,663 | 44,901 | 46 | 48,771 | -2,771 | 5,682 | 7,68 |
| 4 | 37 | 1,799 | 66,563 | 63 | 61,224 | 1,776 | 2,901 | 3,155 |
| 5 | 46 | 1,863 | 85,698 | 73 | 75,128 | -2,128 | 2,832 | 4,528 |
| 6 | 27 | 1,681 | 45,387 | 48 | 48,771 | -0,771 | 1,581 | 0,595 |
| 7 | 41 | 1,826 | 74,866 | 67 | 67,054 | -0,054 | 0,08 | 0,003 |
| 8 | 39 | 1,793 | 69,927 | 62 | 64,072 | -2,072 | 3,235 | 4,295 |
| 9 | 28 | 1,672 | 46,816 | 47 | 49,893 | -2,893 | 5,798 | 8,369 |
| 10 | 44 | 1,826 | 80,344 | 67 | 71,788 | -4,788 | 6,669 | 22,921 |
=63,2432
Уравнение будет иметь вид:
Перейдем к исходным переменным x и y, выполнив потенцирование данного уравнения:
Рассчитаем коэффициент детерминации по формуле (1).
=930,4;
Вычислим среднюю ошибку аппроксимации А по формуле (2):
А=0,1*43,170=4,317%
Коэффициент эластичности рассчитаем по формуле (3):
%
Построим график функции с помощью MSExcel.
Рис. 4. График показательного уравнения регрессии.
Построение гиперболической функции.
Уравнение гиперболической функции
Произведем линеаризацию модели путем замены Х=1/х.
В результате получим линейное уравнение:
Рассчитаем параметры уравнения, промежуточные вычисления представим в таблице 10.
Таблица 10. Расчет параметров для гиперболической модели.
| t | xi | yi | X=1/xi | y*X | |||||
| 1 | 38 | 69 | 0,02632 | 1,81579 | 0,00069 | 63,5648 | 5,4352 | 7,877 | 29,5409 |
| 2 | 28 | 52 | 0,03571 | 1,85714 | 0,00128 | 50,578 | 1,422 | 2,7346 | 2,0221 |
| 3 | 27 | 46 | 0,03704 | 1,7037 | 0,00137 | 48,7502 | -2,7502 | 5,9787 | 7,5637 |
| 4 | 37 | 63 | 0,02703 | 1,7027 | 0,00073 | 62,5821 | 0,4179 | 0,6634 | 0,1747 |
| 5 | 46 | 73 | 0,02174 | 1,58696 | 0,00047 | 69,8889 | 3,1111 | 4,2618 | 9,6791 |
| 6 | 27 | 48 | 0,03704 | 1,77778 | 0,00137 | 48,7502 | -0,7502 | 1,563 | 0,5628 |
| 7 | 41 | 67 | 0,02439 | 1,63415 | 0,00059 | 66,2256 | 0,7744 | 1,1559 | 0,5998 |
| 8 | 39 | 62 | 0,02564 | 1,58974 | 0,00066 | 64,4972 | -2,4972 | 4,0278 | 6,2362 |
| 9 | 28 | 47 | 0,03571 | 1,67857 | 0,00128 | 50,578 | -3,578 | 7,6128 | 12,8021 |
| 10 | 44 | 67 | 0,02273 | 1,52273 | 0,00052 | 68,5235 | -1,5235 | 2,2738 | 2,3209 |
Уравнение гиперболической модели:
Рассчитаем коэффициент детерминации по формуле (1).
=930,4;
Вычислим среднюю ошибку аппроксимации А по формуле (2):
А=0,1*38,1488=3,81488%
Коэффициент эластичности рассчитаем по формуле (3):
%
Построим график функции с помощью MSExcel.
Рис. 5 График гиперболического уравнения регрессии.
9. Для указанных моделей найти коэффициенты детерминации, коэффициенты эластичности и средние относительные ошибки аппроксимации. Сравнить модели по этим характеристикам и сделать выводы.
Коэффициенты были рассчитаны в задании 8. Для сравнения моделей составим сводную таблицу 11:
Таблица11. Сводная таблица характеристик моделей.
параметры модель |
Коэффициент детерминации, R | Коэффициент эластичности,(%) | Средняя относительная ошибка аппроксимации, А (%) |
| Линейная | 0,917 | 0,788 | 3,648 |
| Степенная | 0,909 | 0,692 | 4,22 |
| Показательная | 0,896 | 0,817 | 4,317 |
| Гиперболическая | 0,923 | 0,638 | 3,815 |
Для всех моделей средняя относительная ошибка аппроксимации не превышает 7%, значит, качество всех моделей хорошее. Коэффициент детерминации более приближен к 1 у гиперболической модели, таким образом, эту модель можно взять в качестве лучшей для построения прогноза. Для гиперболической модели степень связи между факторным и результативным признаком самая низкая, т.к. имеет наименьшее значение, а для показательной модели самая высокая, т.к. коэффициент эластичности наибольший.