1.01. В группе из 25 человек 10 учится на «отлично», 8 на «хорошо» и 7 на «удовлетворительно». Найти вероятность того, что из взятых наугад 8 человек 3 человека учатся на «отлично».
Решение. В данном случае испытание состоит в том, что из 25 человек наугад берутся 8 человек. При этом число всех равновозможных, несовместных и единственно возможных исходов равно
.
Здесь мы используем сочетания, т.к. подмножества из 8 элементов неупорядочены.
Количество способов, которыми из 10 отличников можно взять 3, есть
Остальных человек (не отличников) в группе из 8 человек у нас будет 8-3=5. Их мы выбираем из оставшихся 25-8=17 человек следующим числом способов:
Далее, вероятность того, что в группе из 8 человек будут 3 отличника, вычисляем по классической формуле
2.01. Программа экзамена состоит из 30 вопросов. Из 20 студентов группы 8 человек выучили все вопросы, 6 человек по 25 вопросов, 5 человек по 20 вопросов, а один человек 10 вопросов. Определить вероятность того, что случайно вызванный студент ответит на два вопроса билета.
Решение. Число способов составления билетов по два вопроса из 30 есть
Для каждого из 8 человек, знающих все вопросы, число билетов будет тем же самым, т.е., вероятность найти билет с известными вопросами есть 1 или 100%. Доля таких студентов в группе есть .
Для следующих 6 человек возможное число билетов с известными вопросами есть . Вероятность для них найти билет с известными вопросами есть . Доля таких студентов в группе есть .
Аналогично, для следующих 5 человек , , их доля есть .
Для того, кто знает только 10 вопросов, число выигрышных билетов есть , , его доля есть .
Теперь воспользуемся формулой полной вероятности
=70,9%
3.01. Всхожесть семян некоторого растения составляет 80%. Найти вероятность того, что из 6 посеянных семян взойдёт: три, не менее трёх, не более четырёх.
Решение. Так как возможность одновременного всхода и гибели семени нереальна, это несовместные события, то вероятность гибели семени есть q=1-p=0,2.
Вероятность появления ровно 3 раза в серии из 6 событий находим по формуле Бернулли, так как число испытаний n
= 6 невелико (n
£ 10):
Не менее трёх ― это означает либо 3, либо 4, либо 5, либо 6. Вычислим вероятность проращивания всех 6 семян: Р6
(6)=0,86
=0,262.
Соответственно,
Следовательно, вероятность того, что взойдёт не менее 3 семян, есть
Рn≥3
(6)= P3
(6)+P4
(6)+P5
(6)+P6
(6)=0,082+0,262+0,246+0,393=0,983
Не более четырёх ― это значит, любое число, кроме 5 и 6, т.е., вероятность такого события есть
Рn≤4
(6)=1-(P6
(6)+P5
(6))=1-0,393-0,262=0,345
Ответ: , Рn≥3
(6)=0,983, Рn≤4
(6)=0,345.
4.01. Вероятность производства бракованной детали равна 0,008. Найти вероятность того, что из взятых на проверку 1000 деталей будет 10 бракованных.
Решение. В этой задаче число испытаний N
= 1000 достаточно велико (N
> 10), поэтому используем приближенные формулы Лапласа.
Число бракованных деталей равно 10, то есть . Соответствующую вероятность находим по локальной формуле Лапласа.
, где
.
Результат вычислений для x0
округляем с точностью до 0,01, так как значения функции φ(х0
) табулируются в с такой точностью. По специальной таблице, находим: φ(0,71)=0,3101.
Следовательно,
5.01. Из 25 контрольных работ, среди которых 5 оценены на «отлично», наугад извлекаются 3 работы. Найти закон распределения дискретной случайной величины Х ― числа работ, оцененных на отлично. Найти числовые характеристики случайной величины Х. Построить функцию распределения.
Решение. Имеем случайную величину Х ― число отличных работ. Её возможные значения .
Пусть у нас не попалось ни одной из отличных работ, т.е., вытянули все 3 не отличные. Вероятность этого есть
Пусть теперь есть только одна отличная работа. Она может быть вытащена в первый, во второй или только в третий раз. Вероятность такого события есть
. Здесь 20 и 5 ― соответственно число не отличных и отличных работ в исходном массиве, 25, 24 и 23 ― число работ, последовательно уменьшающихся по мере того как мы выбираем их по одной.
Далее, пусть есть 2 отличных работы и соответственно 1 не отличная. Эта одна не отличная работа может попасться в первый, второй или третий раз:
И наконец, единственный исход со всеми отличными работами:
Полученные значения заносим в таблицу, которая и будет представлять закон распределения данной случайной величины:
| xi
|
0 |
1 |
2 |
3 |
| pi
|
0,4956 |
0,4130 |
0,0870 |
0,0043 |
Сумма всех вероятностей
Для нахождения интегральной функции распределения воспользуемся её определением применительно к каждому промежутку изменения случайной величины
| x≤0 |
F(x)=P(x<0)=0 |
| 0≤x≤1 |
F(x)=P(x<1)=p0
|
| 1≤x≤2 |
F(x)=P(x<2)=p0
|
| 2≤x≤3 |
F(x)=P(x<3)=p0
|
| 3≤x≤∞ |
F(x)=1 |
Итак, искомая функция распределения выглядит следующим образом:
Чертим график
Найдём числовые характеристики случайной величины:
Мода М0
=1
Математическое ожидание
Дисперсия
Среднеквадратичное отклонение
6.01. Случайная величина Х задана плотностью вероятностей
Определить параметр А, функцию распределения
F(
x), моду, математическое ожидание, дисперсию, среднеквадратичное отклонение, вероятность того, что в четырёх независимых испытаниях случайная величина Х попадёт 3 раза в интервал (0, 2). Построить графики функций
f(
x),
F(
x).
Решение. Так как ненулевая наша функция распределения только на интервале от 1 до ∞, то воспользуемся свойством нормировки плотности вероятности:
, откуда А=4
Таким образом,
Чертим график такой функции
Найдём моду такой функции. Мо=1, так как наибольшее значение плотность вероятности принимает именно при x=1
Найдём медиану:
. Отсюда
Найдём математическое ожидание
Дисперсия
Среднеквадратичное отклонение
Найдём интегральную функцию распределения:
При x≤1, F(x)=0
При x>1
Таким образом,
Вычерчиваем такой график
Вероятность того, что случайная величина попадает в интервал (0, 2) или фактически в интервал (1, 2), т.к. невозможны значения меньше 1, вычислим, проинтегрировав плотность вероятности в соответствующих пределах:
, так как на промежутке от 0 до 1 вероятность выпадения величины равна нулю.
Вероятность того, что только три из четырёх попаданий будет в этот интервал, вычислим по формуле Бернулли
7.01. Срок службы прибора представляет собой случайную величину, подчинённую закону нормального распределения со средним сроком службы в 10 лет и среднеквадратичным отклонением 1,5 года. Определить вероятность того, что прибор прослужит до 15 лет, от 8 до 18 лет, свыше 16 лет.
Решение. Вероятность того, что величина Х попадает в некоторый интервал (α, β) есть , где Ф ― функция Лапласа, m ― математическое ожидание распределения, σ ― среднеквадратичное отклонение.
В первом случае имеется от 0 до 15 лет, т.е., α=0, β=15
Следовательно, . Аргумент соответствующей функции Лапласа округляем до сотых. Обращаясь к таблице, выписываем: Ф(3,33)=0,4996 и Ф(6,67)=0,5000
Следовательно, вероятность того, что прибор прослужит до 15 лет есть Р1
=0,4996+0,5=0,996
Соответственно, вероятность того, что он прослужит от 8 до 18 лет есть
. Обращаясь к таблице, выписываем: Ф(1,33)=0,4082 и Ф(5,33)=0,5000. Следовательно, вероятность того, что он прослужит от 8 до 18 лет есть Р2
=0,5+0,4082=0,9082
Свыше 16 лет ― это означает от 16 до бесконечности. . Обращаясь к таблице, выписываем: Ф(∞)=0,5 и Ф(4)=0,499968. Следовательно, такая вероятность Р3
=0,5-0,499968=3,2·10‑5
.
8.01. Имеются данные о продаже туристических товаров в системе спорткультторга по кварталам за 5 лет в тыс. у.е. рассчитать гарантийный запас товара в тыс. у.е. на квартал с указанной надёжностью γ и проанализировать плановые товарные запасы на квартал
Решение. Поскольку σ неизвестно, то гарантийный запас обуви найдём по формуле , где . По таблице Стьюдента с уровнем значимости α=1-0,96=0,04 и числом степеней свободы k=n-1=19 найдем tγ
=2,20.
Составляем расчётную таблицу для нахождения и S.
| № |
xi
|
|
№ |
xi
|
|
| 1 |
396 |
156816 |
12 |
:center;">418 |
174724 |
| 2 |
438 |
191844 |
13 |
412 |
169744 |
| 3 |
398 |
158404 |
14 |
480 |
230400 |
| 4 |
412 |
169744 |
15 |
478 |
228484 |
| 5 |
414 |
171396 |
16 |
519 |
269361 |
| 6 |
422 |
178084 |
17 |
429 |
184041 |
| 7 |
436 |
190096 |
18 |
437 |
190969 |
| 8 |
418 |
174724 |
19 |
391 |
152881 |
| 9 |
443 |
196249 |
20 |
368 |
135424 |
| 10 |
474 |
224676 |
Σ |
8633 |
3750561 |
| 11 |
450 |
202500 |
Параметры вычисляем по формулам:
Тогда
Границы доверительного интервала ― это 431,65-17,5=414,12 слева и 431,65+17,5=449,18
Таким образом, гарантийный квартальный запас должен быть не менее 414,12 тыс. у.е. и не более 449,18 тыс. у.е. В эти рамки должно укладываться не менее 96% произведённых выборок.
План 460 тыс. у.е. не соответствует этому интервалу.
Определить тесноту связи между
X и
Y, составить уравнение регрессии.
Решение. Для определения характера зависимости построим точки xi
, yi
.
Видно, что все точки, кроме (14, 1346), (14,3, 1359) группируются около некоторой прямой. Следовательно, можно говорить о линейной регрессии.
Будем искать уравнение регрессии в виде
| № |
xi
|
yi
|
|
|
xi
|
|
|
| 1 |
13.5 |
1362.0 |
182.25 |
1855044 |
18387 |
1364.04 |
2.04 |
| 2 |
13.6 |
1368.0 |
184.96 |
1871424 |
18604 |
1362.34 |
5.66 |
| 3 |
13.7 |
1357.0 |
187.69 |
1841449 |
18590 |
1360.64 |
3.64 |
| 4 |
13.8 |
1363.0 |
190.44 |
1857769 |
18809 |
1358.95 |
4.05 |
| 5 |
13.9 |
1360.0 |
193.21 |
1849600 |
18904 |
1357.25 |
2.75 |
| 6 |
14.0 |
1346.0 |
196.00 |
1811716 |
18844 |
1355.55 |
9.55 |
| 7 |
14.1 |
1354.0 |
198.81 |
1833316 |
19091 |
1353.85 |
0.15 |
| 8 |
14.2 |
1347.0 |
201.64 |
1814409 |
19127 |
1352.16 |
5.16 |
| 9 |
14.3 |
1359.0 |
204.49 |
1846881 |
19433 |
1350.46 |
8.54 |
| 10 |
14.4 |
1348.0 |
207.36 |
1817104 |
19411 |
1348.76 |
0.76 |
| Σ |
139,5 |
330 |
1946,85 |
18398712 |
189203 |
- |
- |
Искомые параметры a
и b
найдём из системы уравнений
а
=-16,96969 и b=1593,12727. Следовательно, искомая аппроксимирующая функция есть y=-16,96969х+1593,12727
Рассчитаем по этому уравнению ожидаемые значения выпечки хлеба. По значениям отклонений можно сделать вывод о том, что ожидаемые значения удовлетворительно согласуются с наблюдаемыми значениями у.
Найдём выборочный коэффициент корреляции
Коэффициент корреляции по модулю равен 0,69 ― связь заметная, обратная (по шкале Чаддока).