Структура аффинного пространства над телом
1.
Введение
Чтобы лучше понимать аффинную структуру и не теряться от ее кажущейся сложности, можно обратиться к более общему понятию однородного пространства
. Это даст также повод вспомнить, что понятие группы возникло путем абстракции из понятия группы преобразований
, и, более того, оно полностью проявляет себя, когда мы рассматриваем действие группы на некотором множестве.
Считая хорошо известным понятие абстрактной группы, введем
Определение 1.1
. Пусть - некоторая группа (с мультипликативным обозначением операции) и - ее нейтральный элемент.
Говорят, что действует слева
на множестве , если определенно отображение , , такое, что набор отображений , удовлетворяет условиям
и .
(1)
Аналогично говорят, что действует на справа,
если определено отображение , , такое, что набор отображений , удовлетворяет условиям
и . (1/
)
Соотношения (1) (соответственно (1/
)) показывают, что ( соответственно )- это биекции
на и что (соответственно ).
Например, любая группа действует сама на себе слева левыми сдвигами
: и справа правыми сдвигами
: .
Группа действует на себе слева также внутренними автоморфизмами
: .
Условимся считать, если иное не оговорено, что действие группы на множестве понимается как действие слева
.
Понятно, что для коммутативной группы оба действия совпадают; следует, однако, отметить, что одна и та же группа может действовать на множестве, в том числе и на себе, разными способами.
Определение 1.2.
Пусть группа действует слева на множестве с законом действия . Говорят, что действует на транзитивно
, если для любой пары элементов существует хотя бы один элемент , такой, что ; далее, говорят, что действие просто транзитивно
, если этот элемент всегда единственный
.
Пример
. Линейная группа автоморфизмов действует транзитивно на , но это действие не является просто транзитивным, кроме случая .
Определение 1.3.
Пусть группа действует слева на множестве . Стабилизатором
подмножества множества называется множество .
Непосредственно ясно, что - подгруппа группы. Если множество состоит из одного элемента , то это подгруппа называется группой изотропии элемента .
Замечание
. Стабилизатор является пересечением двух множеств и , которые не обязаны быть подгруппами . Например, если действует на себе трансляциями и - положительная полуось, то не является подгруппой, а .
Определение 1.4.
Пусть - группа, действующая слева на ; орбитой
элемента называется образ при отображении .
Если действует на транзитивно, то орбиты всех элементов совпадают с .
Замечание
. На можно определить отношение эквивалентности
, полагая , если существует элемент , такой, что ; классы эквивалентности являются орбитами элементов ; фактормножество по этому отношению назовем пространством орбит
.
Однородные пространства
Определение 1.5.
Однородным пространством
, ассоциированным с группой , называется множество , на котором определено транзитивное
действие группы .
Пример
(типовой). Пространство смежных классов группы по ее подгруппе.
Пусть - группа, - ее подгруппа, - фактормножество, образованное левыми смежными классами
относительно : элементы из объявляются эквивалентными, если существует элемент , такой, что ; класс эквивалентности элемента есть множество элементов вида , где .
Действие слева
группы на определяется с помощью ; это действие, очевидно, транзитивно. Фактормножество является однородным пространством
относительно этого действия.
Мы увидим, что всякое однородное пространство приводится (при помощи биекции) к пространству такого вида.
Теорема 1.1.
Пусть - однородное пространство, ассоциированное с группой , и для любого пусть - группа изотропии . Тогда существует единственная биекция факторпространства на , такая, что для всех выполнено , где - каноническая проекция и - действие на .
Доказательство
. Соотношение равносильно и, значит, или ; следовательно, отображение , переносится на фактормножество и представляется в виде , где - биекция.
Специальный случай
Если группа действует на просто транзитивно
, то группы изотропии тривиальны; для каждой точки отображение , является биекцией, удовлетворяющей условию .
Эта биекция позволяет перенести на структуру группы ,
которая, однако, будет зависеть от выбора точки , т. е. образа нейтрального элемента. Говоря нестрого, допускает структуру группы, изоморфной , при произвольном выборе нейтрального элемента.
Так и будет обстоять дело в случае ”аффинной структуры”.
2.Аффинные пространства
Определение 2.1.
Пусть - векторное пространство над произвольным телом . Аффинным пространством, ассоциированным
с , называется множество ℰ
, на котором определено просто транзитивное действие абелевой группы .
Это действие записывается обычно в виде
ℰℰ
, .
Для любого биекция
ℰ
ℰ,
называется трансляцией
на вектор ; далее, для некоторой пары элементов ℰ
единственный вектор , такой, что , обозначается .
Чтобы отличить элементы ℰ
(называемые точками
) от элементов (называемых векторами
), мы будем преимущественно обозначать ”точки” прописными буквами латинского алфавита, такими, как , а ”векторы -строчными, например ; греческие буквы предназначаются для ”скаляров”.
Можно привести два равносильных данному определению 2.1. обычных определения, не опирающихся на понятие действия группы.
Определение 2.2.
Аффинным пространством, ассоциированным с
, называется множество ℰ
, снабженное семейством биекций , таких, что
a) ℰ
и ;
b) для любой пары ℰ
ℰ
существует единственный вектор , такой, что .
Определение 2.3.
Аффинным пространством, ассоциированным с
, называется множество ℰ
, снабженное отображением ℰ
ℰ
, обозначаемым , таким, что
a) для каждого ℰ
отображение ℰ
, биективно
;
b) для любых точек из ℰ
выполнено соотношение Шаля
.
Заметим, что из этих условий следует, что для любой точки ℰ
мы имеем .
От определения 2.3. к определению 2.2. можно перейти, обозначив через единственную точку , такую, что , и заметив, что соотношение Шаля равносильно . Переход от определения 2.2. к определению 2.1. непосредственно ясен.
Из какого бы определения мы ни исходили, существенным остается тот факт, что для любой точки ℰ
отображение ℰ
,
есть биекция; эта биекция позволяет перенести на
ℰ
векторную структуру .
Обозначения
. Полученная таким путем векторная структура на ℰ
будет называться векторной структурой с началом
; множество ℰ
с этой структурой будет обозначаться ℰ
A
.
Говоря нестрого, аффинное пространство выглядит как векторное пространство, начальный (нейтральный) элемент которого еще не выбран. Аффинные свойства ℰ
- это те свойства векторного пространства ℰ
A
, которые не зависят от выбора точки .
Таким образом, можно было бы, пренебрегая аффинной структурой, свести все задачи аффинной геометрии к задачам векторного характера путем выбора начальной точки; так и делается в математическом обиходе. Но больше в духе ”внутреннего” исследования была бы работа без выбора начальной точки, позволяя яснее представить именно аффинные свойства ℰ
. Так мы и поступим, не забывая при этом, что введение векторной структуры с надлежащим выбором начальной точки часто проясняет дело.
Размерность аффинного пространства
Пусть ℰ
- аффинное пространство, ассоциированное с векторным пространством . По определению, размерность ℰ
равна размерности .
В частности, любое одноточечное множество допускает единственную аффинную структуру размерности , ассоциированную с нулевым векторным пространством.
Аффинные подпространства
(Линейные аффинные многообразия)
Пусть ℰ
- аффинное пространство, ассоциированное с векторным пространством . Каждое векторное подпространство пространства образует подгруппу группы , действующую на ℰ
трансляциями. По определению, орбиты действия на ℰ
называются линейными аффинными многообразиями
(сокращенно ЛАМ) с направлением
. Группа , действующая просто транзитивно на каждой из этих орбит определяет тем самым на каждой из них аффинную структуру, ассоциированную с ; поэтому мы называем эти орбиты (ЛАМ) также аффинными подпространствами
в ℰ
.
Если есть ЛАМ с направляющим подпространством и - точка , то допускает структуру векторного пространства с началом и есть векторное подпространство в ℰ
A
. Обратно, любое ВПП пространства ℰ
A
есть ЛАМ, проходящее через ; сформулируем
Предложение 3.1.
Аффинные подпространства в ℰ
, проходящие через точку , суть векторные подпространства
векторного пространства ℰ
A
.
Это краткое рассмотрение показывает, что направление ЛАМ пространства ℰ
полностью определяется заданием множества точек .
Другие определения.
Предложение 3.1
. показывает, что данное выше определение эквивалентно следующему элементарному определению:
Определение 3.1.
Непустое подмножество аффинного пространства ℰ
называется линейным аффинным многообразием
, если в существует точка , такая, что является векторным подпространством
в
.
Приняв определение 3.1., можно непосредственно установить следующее
Предложение 3.2.
Пусть - непустое подмножество в ℰ
и - точка , такая, что есть векторное подпространство
в . Тогда для любой точки из множество совпадает с .
Доказательство.
есть множество векторов , где ; таким образом, есть образ при биекции , , и поскольку , то .
Установив это, легко убедиться, что наделено структурой аффинного пространства, ассоциированного с векторным пространством , которое не зависит от точки .
Вместо того, чтобы исходить из векторной структуры , можно использовать отношение эквивалентности, связанное с действием на : ЛАМ суть классы эквивалентности для этого отношения, и мы приходим к следующему равносильному определению:
Определение 3.2.
Пусть - векторное подпространство в и - отношение эквивалентности, определяемое на ℰ
с помощью
;
аффинными многообразиями с направлением называются классы эквивалентности
по отношению .
Существуют и другие способы определить ЛАМ пространства ℰ
, но нам кажется, что данные выше определения ведут к наиболее простому способу изложения дальнейшего.
Случай векторного пространства.
Каждое векторное пространство канонически снабжено аффинной структурой, так как действует на себе трансляциями; в этом случае нулевой вектор называется также ”началом” и
.
ЛАМ пространства , проходящие через , суть векторные подпространства в ; ЛАМ, проходящие через точку , суть образы векторных подпространств при параллельном переносе .
Ради кратности ЛАМ, не проходящие через начало, будут называться собственно аффинными
(поскольку они не являются ВПП в ).
Размерность линейного аффинного многообразия
Вернемся к случаю произвольного аффинного пространства ℰ
; предшествующие рассмотрения позволяют определить размерность
ЛАМ как размерность его направляющего ВПП. Отсюда появляются понятия: аффинной прямой
(ЛАМ размерности 1) и аффинной плоскости
(ЛАМ размерности 2). ЛАМ размерности суть точки ℰ
.
Аффинной гиперплоскостью
называется ЛАМ, направляющее подпространство которого есть векторная гиперплоскость.
Пересечение линейных аффинных многообразий
Предложение 3. 3.
Пусть - семейство аффинных подпространств в ℰ
и для каждого - направляющее подпространство для .
Если пересечение непусто, то оно является аффинным подпространством в
с направляющим .
Доказательство сразу получается из определения 3.1. При тех же обозначениях имеет место
Предложение 3.4.
Для того, чтобы пересечение двух ЛАМ в ℰ
было непустым
, необходимо и достаточно, чтобы существовали такие точки и , что , и тогда
.
Доказательство.
Если , то для любых , имеем и . Таким образом, .
Обратно, если существуют и , такие, что , то можно представить в виде , где , . Тогда точка , определяемая условием , принадлежит и, как легко видеть, . Это доказывает, что принадлежит также , а тем самым не пусто.
Из предложения 3.4. можно получить примеры ЛАМ с пустым пересечением, а также
Предложение 3.5.
Если , - аффинные подпространства в ℰ
, направляющие которых взаимно дополняют
друг друга в , то и имеют единственную общую точку
.
Параллелизм
Определение 3.3.
Говорят, что два линейных аффинных многообразий , вполне параллельны
, если они имеют одно и то же направляющее подпространство: .
Более общо, говорят, что параллельно , если направляющие пространства , многообразий , удовлетворяют включению .
Можно проверить, что отношение ” вполне параллельно (соответственно параллельно) ” равносильно существованию трансляции пространства ℰ
, такой, что (соответственно ).
Аффинное подпространство, порожденное подмножеством пространства
ℰ
Предположение 3.6.
Если - непустое подмножество в ℰ
, то существует единственное аффинное подпространство в ℰ
, обозначаемое , содержащее и обладающее следующим свойством:
Любое аффинное подпространство
ℰ
, содержащее , содержит и
.
Говорят, что порождено
.
Коротким способом доказательства предложения 3.6. является применение предложения 3.3.: есть пересечение всех ЛАМ, содержащих . Недостаток этого рассуждения в том, что приходится привлекать семейство ”всех ЛАМ, содержащих ”, о котором мало что известно и которое обычно даже несчетно!
Более элементарный и конструктивный способ состоит в выборе в начальной точки , что сводит задачу к отысканию наименьшего векторного подпространства в ℰ
A
, содержащего (поскольку ЛАМ, содержащее , являются ВПП в ℰ
). Таким образом, есть ВПП в ℰ
A
, порожденное
; при этом сам характер задачи показывает, что это ВПП не зависит от выбора точки
в . Если мы заметим, что направляющее подпространство для есть ВПП в , порожденное векторами , то получим также
Предложение 3.7
. Пусть - непустое подмножество в ℰ
; для каждой точки положим . Тогда векторное пространство не зависит от выбора и есть ЛАМ, проходящее через с направлением .
Можно дать прямое доказательство этого утверждения, аналогичное доказательству предложения 3.2.
В частности, если - конечное множество, то векторное пространство не зависит от и, следовательно, совпадает с
и .
Отсюда вытекает
Предложение 3.8.
Размерность аффинного подпространства, порожденного точками пространства ℰ
не превосходит ; его размерность равна тогда и только тогда, когда векторов () образуют свободное
семейство.
Другие свойства ЛАМ изучаются в связи с понятием барицентра.
Барицентры: приложения к изучению аффинных подпространств
В последующем ℰ
всегда обозначает аффинное пространство, ассоциированное с левым векторным пространством над, вообще говоря, некоммутативным телом . ”Взвешенной точкой” называется элемент ℰ
.
Теорема 4.1.
Для каждого конечного семейства (системы) взвешенных точек, такого, что , существует единственная точка , удовлетворяющая любому (а тогда и двум остальным) из следующих трех условий a), b), c):
a) ,
b)
ℰ
,
c) ℰ
.
Эта точка называется барицентром
(центром тяжести) системы . Мы обозначим ее .
Эквивалентность трех условий легко устанавливается с помощью соотношения Шаля.
Свойства. a) Однородность
(слева).
Предложение 4.2.
Для любого имеем
b) Ассоциативность
.
Предложение 4.3.
Пусть - разбиение
, т.е. совокупность непустых попарно непересекающихся подмножеств , таких, что .
Если для любого скаляр отличен от нуля и мы положим , то
.
Доказательства получаются непосредственно
Замечания
. По определению 4.2. можно всегда привести дело к случаю, когда ”полная масса” системы , т.е. равна 1. В этом и только в этом случае можно положить
.
Для успешного использования этого обозначения следует заметить, что соотношение равносильно каждому из следующих утверждений:
и
ℰ
, (1)
ℰ
, (2)
так как (2) влечет за собой (1).
Эквибарицентром
конечного подмножества пространства ℰ
называется точка . Она существует только тогда, когда характеристика не является делителем числа .
Следующее утверждение показывает, что отыскание барицентра сводится, за некоторыми исключениями, к последовательному построению барицентров пар точек.
Предложение 4.4.
Пусть - конечное семейство взвешенных точек, таких, что для всех , и .
Если характеристика отлична от 2, то существует разбиение множества , такое, что
и .
Доказательство
. Если одна из сумм отлична от нуля, то достаточно положить и .
Если все суммы равны нулю, то все равны одному и тому же элементу , такому, что , где .
Если характеристика отлична от 2, то , и, поскольку не равно нулю, получим искомое разбиение, выбирая как двухэлементное подмножество, а как подмножество из элементов.
Следствие.
Если характеристика не равна 2, то построение барицентра точек приводится к последовательному построению барицентров пар.
Приложения к линейным аффинным многообразиям
Теорема 4.5
. Если - непустое подмножество в ℰ
, то есть множество барицентров
конечных семейств взвешенных точек с носителями в .
Доказательство
. Уточним сначала, что под носителем семейства понимается множество .
Условившись об этом, выберем некоторую точку в . Барицентры семейства с носителями в суть точки , удовлетворяющие соотношению вида
, (3)
где и . При этом соотношение (3) влечет за собой и поэтому (см. предложение 3.7). Обратно, если - точка из , то найдутся точки , принадлежащие , и скаляры ( с суммой, необязательно равной 1), такие, что ; это соотношение также записывается в виде
с и ;
таким образом, есть барицентр системы с носителем в .
Определение 4.1
. Подмножество ℰ
называется аффинно порождающим
ℰ
, если ℰ
; оно называется аффинно свободным
, если любая любая точка из единственным образом
представляется в виде
, где и при любом .
Множество, одновременно аффинно свободное и аффинно порождающее, называется аффинным репером
.
Выбирая начало в и пологая , легко видеть, что аффинно свободное (соответственно аффинно порождающее) тогда и только тогда, когда свободное (соответственно множество образующих). (Напомним, что не зависит от выбора .) Отсюда вытекает
Предложение 4.6.
Для того, чтобы подмножество пространства ℰ
было аффинно порождающим, необходимо и достаточно, чтобы не содержалось ни в какой аффинной гиперплоскости в ℰ
.
Наконец, применяя предложение 3.7, получим
Предложение 4.7.
Если ℰ
- аффинное пространство конечной размерности , то любой его аффинный репер образован точками.
Обратно, для того, чтобы точек в ℰ
образовали аффинный репер
, необходимо и достаточно, чтобы векторов образовали базис , или (эквивалентное условие) чтобы точки не принадлежали одной аффинной гиперплоскости.
Заметим, что если есть ЛАМ конечной размерности в ℰ
и - аффинный репер в , то есть множество точек с . Этот способ параметризации часто полезен. В частности, аффинная прямая
, соединяющая две точки в ℰ
, есть множество точек .
Характеризация аффинных подпространств
Следующая теорема оправдывает элементарное определение плоскости в школьном курсе геометрии как такого множества точек, что каждая прямая, имеющая с ним две общие точки, вся принадлежит .
Теорема 4.8
. для того, чтобы непустая часть пространства была линейным аффинным многообразием, необходимо и достаточно, чтобы
a) если - любая прямая, соединяющая две точки , содержалась в ;
b) если - эвибарицентр любых трех точек лежал в .
Доказательство.
Нам уже известна необходимость этого условия. Для доказательства достаточности выберем в точку и покажем, что есть ВПП пространства .
a) Предположив, что , установим прежде всего, что условия и влекут .
Действительно, по предположению существует точка , такая, что . Точка , определенная условием , принадлежит прямой (АВ
) и, значит, , откуда следует, что .
Рассмотрим далее два любых вектора и в и выберем (что возможно, так как не сводится к ). Точки и (см. рис. 1) принадлежат соответственно прямым (АВ)
и (АС)
, а поэтому и . Следовательно, точка принадлежит , откуда . Итак есть ВПП в .
Рис. 1
b) Если , то тривиальным образом влечет (так как может принимать только два значения 0, 1). Если , - два вектора из , то точка , определяемая условием , есть эквибарицентр , откуда и вытекает наше утверждение.
Аффинные и полуаффинные отображения
Определение 5.1.
Пусть ℰ
, - два аффинных пространства, ассоциированных соответственно с векторными пространствами , .
Отображениеℰ
называется полуаффинным
(соответственно аффинным
), если в ℰ
существует такая точка , что отображение , полулинейно
(соответственно линейно).
Предложение 5.1.
Если в ℰ
существует точка , удовлетворяющая вышеуказанным требованиям, то им удовлетворяет любая точка ℰ
и отображение не зависит от .
Доказательство
. Для любой пары ℰ
имеем в силу линейности
,
что и доказывает требуемое.
Обозначения
. Отображение обозначается и называется полулинейной (соответственно линейной) частью .
Истолкование.
Фиксируем в ℰ
некоторую точку и снабдим , векторными структурами, принимая за начало в ℰ
точку , а в - точку . Тогда будет полуаффинным (соответственно аффинным) в том и только том случае, если - полулинейное (соответственно линейное) отображение ℰА
в .
В частности, изучение полуаффинных (соответственно аффинных) отображений пространства ℰ
в себя, допускающих неподвижную точку , сводится к изучению полулинейных (соответственно линейных) отображений ℰ
А
в себя.
Так обстоит дело в случае геометрий, проектирований и симметрий (см. ниже).
Важно заметить, что полуаффинные (соответственно аффинные) отображения полностью определяется своей полулинейной (соответственно линейной) частью и образом одной точки.
Если , - два векторных пространства, то полуаффинное (соответственно аффинное) отображение и есть отображение вида , где полулинейно (соответственно линейно), а - постоянный элемент.
Непосредственные следствия
. Если ℰ
полуаффинно, то
1) Образ ЛАМ в ℰ
есть ЛАМ в .
2) Прообраз ЛАМ в есть ЛАМ в ℰ
или пустое множество.
3) Для любой системы взвешенных точек ℰ
образ барицентра есть барицентр , где обозначает изоморфизм тел, ассоциированных с .
Применение аффинных реперов
Теорема 5.2
. Пусть ℰ
, - аффинные пространства над телами ,, - изоморфизм на , - аффинный репер в ℰ
и - семейство точек , индексированное тем же множеством индексов .
Тогда существует единственное полуаффинное отображение пространства ℰ
в , ассоциированное с изоморфизмом , такое, что для всех .
Более того, биективно
(соответственно инъективно, сюръективно) тогда и только тогда, когда семейство есть аффинный репер (соответственно свободное семейство, семейство образующих) для .
Доказательство
. Вернемся к теореме , взяв одну из точек в качестве начала в ℰ
, а соответствующую точку - в ; отображение определяется равенством
для любого конечного подмножества и любой системы скаляров , таких, что, .
В частности, аффинное отображение ℰ
в определяется заданием образа аффинного репера из ℰ
.
Приложение: уравнение аффинной гиперплоскости или ЛАМ
Опираясь на исследование, проведенное в параграфе II.6, легко получаем
Предложение 5.3
. Пусть ℰ
- аффинное пространство над телом . Тогда
a) Если ℰ
- непостоянное аффинное отображение, то - аффинная гиперплоскость в ℰ
с направлением .
b) Обратно, если - аффинная гиперплоскость в ℰ
, то существует аффинное отображение ℰ
, такое, что , и все аффинные отображения ℰ
в с этим свойством суть отображения , где .
Если ℰ
- аффинное пространство конечной размерности , то каждое ЛАМ размерности в ℰ
определяется системой уравнений
вида , где - аффинные отображения ℰ
в , линейные части которых независимы.
Характеризация аффинных отображений
Теорема 5.4
. Пусть ℰ
- два аффинных пространства над одним и тем же телом . Для того, чтобы отображение ℰ
было аффинным, необходимо и достаточно, чтобы
a) при
ℰℰ
;
b) при образ эквибарицентра любых трех точек ℰ
был эквибарицентром их образов.
Доказательство
(аналогичное случаю теоремы 4.8.).
a) При фиксированной точке ℰ
соотношение a) показывает, что для любого вектора направляющего пространства имеем
.
Отображение удовлетворяет, следовательно, условию .
Чтобы доказать, что выполняется и условие для любых , выберем такие , что , и , определим точки , условиями , . Применяя условие a), получим тогда ,
откуда
.
Можно также сформулировать теорему 5.4. так: отображение
ℰ
в является аффинным тогда и только тогда, когда его ограничение на любую аффинную прямую в
ℰ
аффинно.
В дальнейшем мы дадим чисто геометрическую характеристику полуаффинных отображений.
center;">
Неподвижные точки аффинных и полуаффинных отображений.
Теорема 5.5
. Если - полуаффинное отображение и множество его неподвижных точек не пусто, то оно является ЛАМ с направляющим множеством , состоящим из неподвижных элементов отображения .
С другой стороны, если конечномерно и не имеет других неподвижных элементов, кроме 0, то имеет единственную неподвижную точку.
Доказательство
. Если фиксировать точку , условие равносильно и, значит, условию где
· Если - неподвижная точка то равносильно откуда вытекает первое утверждение.
· Если , то отображение инъективно и потому в случае конечной размерности биективно; в существует единственная точка такая, что откуда следует второе утверждение.
Важное замечание
. Если - произвольное отображение и - биекция, то
Это общее замечание особенно полезно в случае аффинных отображений.
Аффинные и полуаффинные группы.
Если и - два аффинных (соотв. полуаффинных) отображения, то также есть аффинное (соотв. полуаффинное) отображение и Отсюда выводится
Теорема 5.6.
Пусть - аффинное пространство, ассоциированное с векторным пространством Аффинные (соотв. полуаффинные) биекции
на образуют группу, которую мы обозначаем (соотв. ). Отображение (линейная или полулинейная часть) есть гомоморфизм на и на группу полулинейных биекций на .
Наконец, для любой точки в ограничение на группу изотропии точки в (соотв. ) является изоморфизмом этой группы на (соотв. ).
Последнее утверждение получим, выбирая в качестве начала в .
Следствие.
Если подгруппа в (соотв. в ), то есть подгруппа в (соотв. в ); при этом если инвариантная подгруппа, то такова же и .
В частности, если то есть инвариантная подгруппа в , образованная трансляциями.
Если то есть инвариантная подгруппа в , образованная трансляциям и центральными симметриями.
Если инвариантная подгруппа группы , образованная векторными гомотетиями, то есть инвариантная подгруппа в , называемая группой дилатаций.
Пусть дилатация, не сводящаяся к трансляции; тогда векторная гомотетия вида где В этом случае имеет единственную неподвижную точку определяемую из условия где произвольная точка . Таким образом, выражается как Такое отображение называется гомотетией с центром и коэффициентом
Сформулируем
Предложение 5.7.
Трансляции и гомотетии составляют инвариантную подгруппу группы , называемую группой дилатаций . Мы обозначаем ее .
Если основное тело коммутативно, то группа является инвариантной подгруппой группы .
Проектирования
Назовем проектированием любое аффинное отображение пространства в себя, удовлетворяющее условию
Рис. 2
Для такого отображения любая точка является неподвижной; принимая такую точку за начало, мы приходим к случаю проектирования для векторного пространства . Отсюда вытекает существование таких отображений, а также следующая их геометрическая характеризация:
Предложение 5.8
. Отображение является проектированием, если существует ВПП пространства и ЛАМ в с направляющим подпространством дополнительным к , такие, что для любой точки ее образ есть точка пересечения с ЛАМ, проходящим через с направлением (рис. 2).
Аффинные симметрии
Теорема 5.9.
Пусть - аффинное пространство, ассоциированное с векторным пространством над телом характеристики .
Для того, чтобы аффинное отображение было инволютивным,
необходимо и достаточно, чтобы оно имело по меньшей мере одну неподвижную точку и чтобы его линейная часть была векторной симметрией
Такое отображение называется аффинной симметрией
.
Доказательство
.
Если и , то образом середины отрезка будет середина отрезка таким образом, эта точка инвариантна при отображении и, выбрав ее за начало, мы сведем дело к векторному случаю.
Предложение 5.10.
Отображение является аффинной симметрией, если существуют ВПП пространства и ЛАМ с направлением, дополнительным к такие, что для любой точки (см.рис.2)
1).
2). Середина принадлежит .
Если сводится к одной точке то и есть центральная симметрия с центром
Теорема Фалеса
Пусть по-прежнему есть ВПП в и - два аффинных пространства в , направляющие которых соответственно дополнительны к Обозначим через (соотв. ) ограничение проектирования на (соотв.) параллельно Тогда, как легко видеть, является аффинной биекцией на , обратная к которой есть . Образ точки определяется условиями и (см. рис. 3).
В более общей форме теорема Фалеса есть не что иное, как констатация того факта, что установленное
Рис.3
указанным способом соответствие между и является аффинным.
В частности, если векторная гиперплоскость, то справедлива
Теорема 5.11.
Аффинные гиперплоскости, параллельные некоторой фиксированной гиперплоскости, высекают на произвольной паре не параллельных им прямых пропорциональные отрезки.
§6. Каноническое погружение аффинного пространства в векторное. Приложения
.
Пусть снова - аффинное пространство, ассоциированное с векторным пространством . Как мы уже видели, выбор начала в позволяет отождествить с теперь мы докажем, что канонически отождествляется с аффинной гиперплоскостью некоторого пространства изоморфного
Метод будет состоять в сопоставлении каждой точке отображения
Предварительно сформулируем такое утверждение:
Лемма.
Пусть левое векторное пространство над телом а произвольное множество. Тогда множество отображений в есть левое векторное пространство над по отношению к обычным операциям сложения функций и умножению их слева на скаляры:
и
В силу доказанного искомое векторное пространство будет ВПП в , порожденным отображениями Поэтому мы начнем с изучения этого пространства
Предложение 6.1
. Пусть - векторное подпространство в , порожденное функциями пуст, далее, элемент из . Тогда
А). Сумма зависит только от функции и притом линейно, т.е. является линейным отображением в которое мы обозначим
Б). Если то существует единственная точка , такая, что .
В). Если то постоянна.
Доказательство
.
Заметим сначала, что утверждение А) не очевидно, так как могут существовать различные системы взвешенных точек , такие, что но оно легко вытекает из того факта, что для любой пары выполнено соотношение
, (1)
которое доказывает существование и линейность функции
Б). Если выберем в произвольную точку Соотношение (1) показывает, что в существует единственная точка такая, что она определяется условием Из (1) также видно, что эта точка – единственная, для которой Таким образом, барицентр семейства зависит только от функции
В). Наконец, последнее утверждение также вытекает из (1).
Следствие
. является теоретико-множественным объединением векторного пространства постоянных функций и множества функций вида
Предложение 6.2.
Пусть отображение и пусть отображение в которое любому вектору ставит в соответствие постоянную функцию, равную на .
Тогда аффинно с линейной частью и потому инъективно; при этом есть аффинная гиперплоскость в с уравнением
Доказательство
.
Для любой пары разность есть постоянная функция ; положим . Таким образом, аффинно, и инъективно, как и
С другой стороны, как показывает предыдущее предложение, функции суть элементы удовлетворяющие условию .
Теорема 6.3.
К каждому аффинному пространству , ассоциированному с векторным -пространством , можно канонически присоединить:
· Векторное пространство изоморфное ,
· Ненулевую линейную форму на ,
· Аффинную инъекцию , такую, что - аффинная гиперплоскость в с уравнением
Доказательство
.
Остается только установить изоморфизм между и . Для этого достаточно заметить, что какова бы ни была точка, отображение , линейно и биективно. Установленный таким путем изоморфизм очевидным образом зависит от выбора точки .
Заметим, что аффинная гиперплоскость имеет в качестве направляющей векторную гиперплоскость постоянных функций, которая отождествляется с .
Замечания.
1). Векторную структуру на множестве можно определить непосредственно, не прибегая к векторному пространству , но это связано с утомительными выкладками.
2). Особый интерес теоремы 6.3 в том, что она обеспечивает каноническое погружение единственным образом определяемое заданием.
Обозначения.
Векторное пространство , построенное таким образом, называется векторным продолжением и обозначается .
Если имеет размерность то размерность равна . Мы увидим, что введение этого пространства позволяет прояснить многие вопросы.
§7. Приложения теоремы о погружении.
Векторная интерпретация барицентров.
Вернемся к обозначениям §6. Инъекция позволяет нам отождествить с аффинной гиперплоскостью в , в то время как ее линейная часть позволяет отождествить с векторной гиперплоскостью
Предложение 7.1.
Пусть конченое семейство взвешенных точек , где точки отождествлены с элементами . Для того, чтобы элемент из принадлежал (соотв. ), необходимо и достаточно, чтобы (соотв. ).
Доказательство.
Это вытекает из соотношения
Правило
.
Отождествление с подмножеством в позволяет без предосторожностей записывать любые конечные линейные комбинации элементов . Но такая комбинация представляет элемент из только тогда, когда ( этот элемент будет барицентром системы ); если же то представляет элемент из равный для любой точки .
Приложения
.
1). Для того, чтобы три точки из были коллинеарны,
необходимо и достаточно, чтобы существовали не равные одновременно нулю скаляры такие, что
и (1)
Соотношения (1) на самом деле равносильны одному соотношению ; они интересны своей симметричной формой относительно и возможностью складывать подобные соотношения.
2). Если то барицентром системы является точка пересечения с векторной прямой с направляющей в .
3). Для того чтобы семейство точек из было аффинно свободным (соотв. аффинно порождающим), необходимо и достаточно, чтобы семейство было свободным (соотв. семейством образующих) в векторном пространстве
В частности, аффинный репер является базисом содержащимся в
Векторная интерпретация аффинных отображений.
Мы начнем с установления одного общего результата, независимого от теории векторных продолжений
Предложение 7.2.
Пусть , - два векторных пространства над одним и тем же телом и (соответственно ) – аффинная гиперплоскость в (соотв. ), не проходящая через начало; обозначим (соответственно ) векторную гиперплоскость, параллельную (соответственно ).
А) Если - линейное отображение, такое, что , то ограничение на есть аффинное отображение в , линейная часть которого есть ограничение на .
Б) обратно, если - аффинное отображение, то существует единственное линейное отображение , ограничения которого на совпадает с .
Доказательство.
А) Если линейно и , то для любых точек из имеем и . Ограничения на аффинно с линейной частью , .
Б) Обратно, пусть- аффинное отображение. Фиксируем точку в и обозначим через (соответственно ) векторную прямую в (соответственно ), порожденную (соответственно ) (рис 4). Тогда , , и искомое линейное отображение должно удовлетворять следующим двум условиям:
1. ,
2. Ограничения на равно линейной части .
Но существует единственное линейное отображение из в , удовлетворяющее этим условиям ( определено своими ограничениями на дополнительные ВПП и пространства ); тогда ограничение на - есть аффинное отображение с той же линейной частью, что и , и принимающее в то же значение, что и , а тем самым равное , откуда вытекает доказываемый результат.
Существует, следовательно, биективное соответствие между аффинными отображениями в и линейными отображениями в , удовлетворяющими условию .
С другой стороны, если , и , это соответствие сохраняет композицию отображений (композиция ограничений двух отображений совпадает с ограничением их композиции).
Рис.4
Наконец, если - автоморфизм и - аффинная гиперплоскость в , то включение влечет равенства . В самом деле, есть аффинная гиперплоскость в , и достаточно применить следствие теоремы II 6.2, вернувшись к векторному случаю путем замены начала в .
Т.о. мы можем сформулировать
Предложение 7.3.
Пусть - векторное пространство, - аффинная гиперплоскость в , не проходящая через начало. Существует изоморфизм группы аффинных биекций на стабилизаторе в (подгруппу , состоящую из изоморфизмов , для которых ).
Эти результаты применимы, в частности, к случаю, когда, , - векторные продолжения аффинных пространств , , а , - образы , при канонических погружениях , : всякое аффинное отображение в , отождествляется с линейным отображением пространства в пространство , удовлетворяющим требованию , и группа аффинных биекций отождествляется с подгруппой , сохраняющей аффинную гиперплосклость
Случай конечной размерности.
Если аффинное пространство имеет конечную размерность , то в можно выбрать базис так, что при и . Тогда есть декартов репер в с началом (рис 4).
В этом случае является множеством точек пространства , таких, что ; следовательно, это аффинная гиперплоскость с уравнением в базисе . Эндоморфизмы пространства , удовлетворяющие условию , - это те эндоморфизмы, матрица которых в базисе имеет вид
, (2)
где - квадратная матрица порядка . Эндоморфизму с матрицей (2) соответствует аффинное отображение , координатное выражение которого в декартовом репере имеет форму
, (3)
Матричные вычисления показали бы, что для этого соответствия соблюдаются правила композиции отображений. С другой стороны, эндоморфизм с матрицей (2) обратим тогда и только тогда, когда обратима матрица (2), и тогда выполняется и равенство . Таким образом, получается
Теорема 7.4.
Группа аффинных биекций -мерного аффинного пространства изоморфна подгруппе линейной группы , образованной матрицами вида (2), где принадлежит .
В частности, группа аффинных биекций тела изоморфна подгруппе в , состоящей из матриц вида .
8.Геометрическая характеризация инъективных полуаффинных отображений.
Ниже мы обозначаем через , два аффинных пространства, ассоциированных соответственно с векторными пространствами над произвольными телами . Мы дадим чисто геометрическую характеризацию полуаффинных отображений в . Для ясности начнем со случая инъективных отображений.
Теорема 8.1.
Допустим, что . Для того, чтобы инъективное отображение было полуаффинным, необходимо и достаточно, чтобы оно удовлетворяло следующим двум условиям:
1. Образ любой аффинной прямой из был аффинной прямой в ;
2. Образы двух параллельных прямых был параллельными прямыми.
Доказательство.
Необходимость условия очевидна. Доказательство
достаточности проведем в несколько этапов, все время предполагая, что удовлетворяет условиям 1) и 2).
А). Образы при двух различных прямых , из суть также две различные прямые.
В самом деле, пусть , - прямые в , имеющие один и тот же образ , пусть - две различные точки их общего образа. Тогда прообразы точек и принадлежат и одновременно и различны (в силу иньективности ), откуда следует, что .
Б). Отображение , не зависит от выбора в .
В самом деле, пусть другая точка и , таковы, что . Если
- несплющенный параллелограмм, то из 2) и А) следует, что его образ тоже настоящий параллелограмм, откуда
,
Если точки принадлежат одной прямой , то предположение позволяет выбрать в точки так, что . Применяя предыдущий случай, имеем
откуда.
Отображение обозначаем отныне просто .
В). Отображение инъективно и удовлетворяет условию
. (1)
Инъективность сразу следует из инъективности . С другой стороны, для любых данных выберем в такие точки , , , и . Тогда .
Д). Существует отображение , такое, что
. (2)
Доказательство.
Достаточно найти , удовлетворяющее условию (2) при . Для заданной пары выберем , , в так, что , . Так как точки , и коллинеарны, то коллинеарны и векторы ; отсюда вытекает существование некоторого скаляра, скажем , такого, что . Остается доказать, что не зависит от вектора (по предположению ненулевого).
1). Если два неколлинеарных вектора, то неколлинеарны и , ; в противном случае образы двух прямых , , проходящих через одну и ту же точку с направляющими , совпадали бы, что невозможно в силу А).
Для любого имеем
,
откуда в силу неколлинеарности ,
.
2). Если , - коллинеарные ненулевые векторы, то предположение позволяет выбрать так, что пары и свободны. Отсюда находим, что
.
Так для каждого отображение , есть константа, мы обозначим ее через .
Е). Отображение является изоморфизмом тел.
Выбрав , мы увидим прежде всего, что соотношения и влекут (с учетом )
и ,
т.е. показывают, что - гомоморфизм тел.
Наконец, для любой точки отображение есть биекция на прямую ; ограничение на есть биекция на прямую . Следовательно, композиция , биективна. Отсюда вытекает, что отображение биективно.
Итак, изоморфизм тел, полулинейное отображение, ассоциированное с , и полуаффинное отображение.
Случай плоскости.
Если и двумерны, то условие 2) в теореме 8.1 следует из условия 1) и инъективности . Мы можем, таким образом, сформулировать
Следствие.
Если ,аффинные плоскости и - инъективное отображение, такое, что образ любой прямой в есть прямая в , то полуаффинное отображение.
Замечание.
Условия теоремы 8.1 выполняются, в частности, если инъективное отображение в себя, такое, что образ любой прямой есть прямая, параллельная ; тогда можно непосредственно доказать, что дилатация.
9.Основная теорема аффинной геометрии.
Исходя из теоремы 8.1 и опираясь на характеризацию аффинных многообразий, представленную теоремой 4.8, мы докажем здесь следующую теорему:
Теорема 9.1.
Пусть ,аффинные пространства над телами , , отличными от поля ; для того, чтобы отображение было полуаффинным, достаточно, чтобы
1). Образ любой прямой в был прямой в , либо сводился к одной точке.
2). Аффинное подпространство в , порожденное , имело размерность .
Мы подразделим доказательство этой теоремы на семь лемм; в каждой из них предполагается, что удовлетворяет условиям 1) и 2).
Лемма 1.
Если есть ЛАМ в , то - ЛАМ в .
Доказательство.
Пусть и - две различные точки в . Тогда прямая есть по условию 1) образ прямой ; так как прямая содержится в , прямая содержится в . Результат теперь вытекает из теоремы 4.8.
Лемма 2
. Если - ЛАМ в и множество непусто, то оно является ЛАМ в .
Доказательство.
Результат очевиден, если сводится к одной точке. В противном случае для любой пары различных точек , прямая содержится в согласно 1). Таким образом, прямая содержится в и теорема 4.8 показывает, что есть ЛАМ.
Лемма 3.
Для любой непустой части пространства
. (1)
Доказательство.
есть ЛАМ в , содержащее ; по лемме 1, есть ЛАМ в , содержащее . Отсюда следует включение
.
Аналогично, по лемме 2, есть ЛАМ в , содержащее , а потому и ; имеет место включение ; применение отображения дает .
Окончательно получаем равенство (1).
Лемма 4. Пусть - пара параллельных прямых в . Если сводится к точке, то же имеет место и для . Если - прямая, то и - прямая, параллельная .
Доказательство.
Мы можем предположить, что . Тогда есть ЛАМ размерности 2 в , порожденное двумя точками , одной из прямых и точкой другой прямой; по леммам 2и 3, есть ЛАМ размерности .
А). Покажем сначала, что либо .
Допустим, что и действительно имеют общую точку. Тогда найдутся точки и , такие, что . Выбирая и полагая по-прежнему , получим с помощью леммы 3, что
и аналогично
,
откуда .
Поскольку сформулированное утверждение при очевидно, будем далее полагать , т.е. считать, что и не имеют общих точек.
Б). Предположим, что - прямая в и ; тогда имеет размерность 2.
Если бы на прямой существовали две точки , такие, что , то для любой точки мы имели бы и , и тогда не было бы двумерным вопреки предположению. Отсюда следует, что - прямая.
Значит, и - две прямые без общих точек, лежащие в одном ЛАМ размерности 2, т.е. параллельные.
В). Если сводится к одной точке, то меняя ролями ии применяя результат Б), мы видим, что также сводится к точке.
Лемма 5.
Если пара точек в , таких, что множества ,
непусты, то и - ЛАМ с общим направлением.
Доказательство.
По лемме 2, и суть ЛАМ в . Предполагая, что , фиксируем точку в и точку в ; параллельный перенос на вектор обозначим через . Для любой точки прямая параллельна прямой, и поскольку образ прямой сводится к одной точке , то образ прямой сводится к одной точке . Таким образом, влечет и имеет место включение .
Меняя ролями и , получим включение , откуда . Итак, , имеют общее направление.
Лемма 6.
Обозначим через общее направление непустых ЛАМ в вида , где , и пусть - факторпространство по отношению эквивалентности , определенному условием .
Тогда имеет единственную аффинную структуру, такую, что каноническая проекция является аффинной.
Доказательство.
Выбор начала в сводит дело к случаю факторпространства векторного пространства По его векторному подпространству , и оказывается, что достаточно применить теорему II.4.3, приняв точку за начало в .
Отметим, что является пространством орбит действия группы трансляций на ; это есть множество ЛАМ с направлением .(см. §2).
Лемма 7.
В обозначениях леммы 6 отображение представляется в виде , где - инъективное полуаффинное отображение; отсюда вытекает, что полуаффинно.
Доказательство.
Существование и инъективность вытекают из того, что соотношение равносильно (см. лемму 5), и тем самым . Для доказательства полуаффинности покажем, что оно удовлетворяет условиям теоремы 8.1.
Пусть – произвольная аффинная прямая , порожденная двумя различными элементами из . Без труда проверяется, что есть ЛАМ в , порожденное .
По лемме 3, есть ЛАМ, порожденное ; итак (в силу инъективности ), является аффинной прямой .
Наконец, не может сводиться к одной точке или прямо, так как тогда к точке или прямой сводилось бы и , что противоречит условию 2). Поэтому .
Отсюда следует, что удовлетворяет условиям 1) и 2), наложенным на , при условии замены на . Лемма 4 показывает тогда, что образы при отображении двух параллельных прямых , из - две параллельные прямые. Наконец, удовлетворяет всем условиям теоремы 8.1 (после замены на ). Следовательно, полуаффинно и так же обстоит дело с .
Теорема 9.1 тем самым полностью установлена.
Этот результат особенно интересен в случае, когда тела и совпадают и не допускают других автоморфизмов, кроме тождественного (например, когда или при : в этом случае мы получаем чисто геометрическую характеризацию аффинных отображений ранга пространства в .
Кроме того, очевидно, что теорема 9.1 потеряла бы силу при отсутствии условия 2): ведь любое отображение на прямую тривиальным образом удовлетворяет условию 1).
Так же и в случае условие 1) выполнено для любого отображения в (поскольку каждая прямая в и состоит из двух точек). Теорема 9.1 теряет силу и в этом случае.
Наконец, нельзя заменить требование «образ прямой есть прямая или точка» более слабым условием «образы коллинеарных точек коллинераны», даже при условии, что биективно.
Например, , есть биекция векторного пространства над в векторное пространство над , и образ каждой прямой из при отображении содержится в фнекоторой прямой пространства , но не является полулинейным (поскольку и не изоморфны).
Лемма 6.
Обозначим через общее направление непустых ЛАМ в вида , где , и пусть - факторпространство по отношению эквивалентности , определенному условием .
Тогда имеет единственную аффинную структуру, такую, что каноническая проекция является аффинной.
Доказательство.
Выбор начала в сводит дело к случаю факторпространства векторного пространства По его векторному подпространству , и оказывается, что достаточно применить теорему II.4.3, приняв точку за начало в .
Отметим, что является пространством орбит действия группы трансляций на ; это есть множество ЛАМ с направлением .(см. §2).
Лемма 7.
В обозначениях леммы 6 отображение представляется в виде , где - инъективное полуаффинное отображение; отсюда вытекает, что полуаффинно.
Доказательство.
Существование и инъективность вытекают из того, что соотношение равносильно (см. лемму 5), и тем самым . Для доказательства полуаффинности покажем, что оно удовлетворяет условиям теоремы 8.1.
Пусть – произвольная аффинная прямая , порожденная двумя различными элементами из . Без труда проверяется, что есть ЛАМ в , порожденное .
По лемме 3, есть ЛАМ, порожденное ; итак (в силу инъективности ), является аффинной прямой .
Наконец, не может сводиться к одной точке или прямо, так как тогда к точке или прямой сводилось бы и , что противоречит условию 2). Поэтому .
Отсюда следует, что удовлетворяет условиям 1) и 2), наложенным на , при условии замены на . Лемма 4 показывает тогда, что образы при отображении двух параллельных прямых , из - две параллельные прямые. Наконец, удовлетворяет всем условиям теоремы 8.1 (после замены на ). Следовательно, полуаффинно и так же обстоит дело с .
Теорема 9.1 тем самым полностью установлена.
Этот результат особенно интересен в случае, когда тела и совпадают и не допускают других автоморфизмов, кроме тождественного (например, когда или при : в этом случае мы получаем чисто геометрическую характеризацию аффинных отображений ранга пространства в .
Кроме того, очевидно, что теорема 9.1 потеряла бы силу при отсутствии условия 2): ведь любое отображение на прямую тривиальным образом удовлетворяет условию 1).
Так же и в случае условие 1) выполнено для любого отображения в (поскольку каждая прямая в и состоит из двух точек). Теорема 9.1 теряет силу и в этом случае.
Наконец, нельзя заменить требование «образ прямой есть прямая или точка» более слабым условием «образы коллинеарных точек коллинераны», даже при условии, что биективно.
Например, , есть биекция векторного пространства над в векторное пространство над , и образ каждой прямой из при отображении содержится в некоторой прямой пространства , но не является полулинейным (поскольку и не изоморфны).