Федеральное агентство по образованию
Государственное образовательное учреждение
высшего профессионального образования
«САМАРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ АЭРОКОСМИЧЕСКИЙ
УНИВЕРСИТЕТ имени академика С.П. КОРОЛЕВА»
Филиал в г. Тольятти
Кафедра радиоэлектроники и системотехники
Пояснительная записка
к курсовой работе по дисциплине
«Моделирование систем»
Статическое моделирование систем
5 вариант
Руководитель,
доцент, к.т.н. ______________
Исполнитель
студентка гр. 63048 ______________
Тольятти 2010
Реферат
Курсовая работа.
Пояснительная записка 70 с., 11 графиков, 4 источника
случайные величины, нормальный закон, построение гистограммы распределения, выборочное среднее, выборочная дисперсия, построение доверительных интервалов, гипотеза о нормальном распределении случайной величины, критерий Пирсона, статистические характеристики, гипотеза о независимости случайных величин, эмпирические уровнения регрессии
Цель курсовой работы: изучить особенности решения некоторых статистических задач математического моделирования с помощью пакета математических расчётов Mathcad.
Содержание
Введение
Исходные данные к моделированию
1. Моделирование случайной величины, распределённой по нормальному закону
1.1 Построение гистограммы распределения
1.2 Вычисление выборочного среднего и выборочной дисперсии
1.3 Построение доверительных интервалов для математического ожидания и дисперсии, соответствующих доверительной вероятности
1.4 Проверка гипотезы о нормальном распределении случайной величины с помощью критерия Пирсона при определённом уровне значимости
2.
Моделирование случайной величины, распределённой по заданному закону
2.1 Построение гистограммы распределения
2.2 Определение выборочной оценки математического ожидания и дисперсии
2.3 Построение доверительных интервалов для математического ожидания и дисперсии, соответствующих доверительной вероятности
2.4 Проверка гипотезы о нормальном распределении случайной величины с помощью критерия Пирсона при определённом уровне значимости
3.
Оценка статистических характеристик случайного процесса
3.1 Определение статистических характеристик системы управления в момент времени
3.2 Проверка гипотезы о независимости случайных величин при уровне значимости a в момент времени
3.3 Определение эмпирических уровней регрессии XX на YY и YY на XX
3.4 Оценка статистических характеристик случайного процесса в зависимости от времени
Заключение
Литература
Приложение 1
Приложение 2
Приложение 3
Введение
Метод статистического моделирования дает возможность конструировать для ряда важных задач алгоритмы, хорошо приспособленные к реализации на компьютерах. Под этим названием подразумевают численные методы решения математических задач при помощи моделирования случайных величин и процессов. Основная идея метода – связь между вероятностными характеристиками различных случайных процессов (вероятностями случайных событий или математическими ожиданиями случайных величин) и величинами, являющимися решениями задач математического анализа (значениями интегралов, решениями дифференциальных уравнений и т.п.).
Цель курсовой работы: изучить особенности решения некоторых статистических задач математического моделирования с помощью пакета математических расчётов Mathcad.
Актуальностью данного изучения заключается в том, что метод статистического моделирования даёт возможность оптимизировать процессы разработки, отладки и настройки различных вычислительных систем.
Данная курсовая работа содержит 3 раздела:
1. Моделирование случайной величины, распределённой по нормальному закону
2. Моделирование случайной величины, распределённой по заданному закону
3. Оценка статистических характеристик случайного процесса
Задачи определяются согласно разделам.
Для выполнения первого раздела необходимо выполнить следующие задачи:
- с помощью датчика случайных равномерно распределенных случайных чисел rnd(1) сгенерировать выборку y1, y2,..,yn;
- построить гистограмму статистического распределения для полученной выборки и изобразить ее графически вместе с теоретической плотностью распределения;
- определить статистические оценки для математического ожидания и дисперсии и сравнить их с теоретическими значениями;
- определить доверительные интервалы для оценок математического ожидания и дисперсии двумя способами (при помощи нормального распределения и с помощью более точных распределений), и убедиться в том, что теоретические значения параметров попадают в полученные доверительные интервалы;
- проверить гипотезу о нормальном распределении полученной случайной величины с помощью критерия Пирсона с заданным уровнем значимости. При необходимости произвести объединение интервалов в гистограмме.
Для выполнения второго раздела необходимо выполнить следующие задачи:
- с помощью метода преобразований (или метода обратной функции) и датчика равномерно распределенных случайных чисел rnd(1) сгенерировать выборку случайной величины с заданным законом распределения.
- построить гистограмму статистического распределения для полученной выборки и изобразить ее графически вместе с теоретической плотностью распределения;
- определить статистические оценки для математического ожидания и дисперсии и сравнить их с теоретическими значениями;
- определить доверительные интервалы для оценок математического ожидания и дисперсии и убедиться в том, что теоретические значения параметров попадают в полученные доверительные интервалы;
- проверить гипотезу о заданном законе распределении полученной случайной величины с помощью критерия Пирсона с заданным уровнем значимости. При необходимости произвести объединение интервалов в гистограмме.
Для выполнения третьего раздела необходимо выполнить следующие задачи:
- задать матрицу и вектор, характеризующие объект управления;
- подобрать коэффициенты регулятора в управлении из условия устойчивой работы системы;
- сгенерировать двумерные массивы для ошибок измерений и для помех внутри объекта управления в соответствии с заданными законами распределения;
- пересчитать ошибки измерений и помехи в главную систему координат;
- проинтегрировать систему дифференциальных уравнений n раз на отрезке времени [0,T], получив реализации случайного процесса;
- определить статистические характеристики системы управления в момент времени t=T;
- вычислить статистику и произвести проверку гипотезы о независимости переменных состояния системы в момент времени t=T;
- определить уравнения регрессии для переменных состояния системы в момент времени t=T;
- произвести оценку статистических характеристик случайного процесса в зависимости от времени;
- произвести оценку корреляционных функций случайного процесса.
Исходные данные к моделированию
Моделирование случайной величины, распределенной по нормальному закону:
Конечное математическое ожидание mx
=5
Среднее квадратическое отклонение σx
=3
Размер выборки n=335
Доверительная вероятность γ=0.95
Уровень значимости
Количество выбираемых значений N=13
Моделирование случайной величины, распределенной по заданному закону:
Распределение: f(x)=b(3-x), b>0
Границы распределения 1<x<2
Оценка статистических характеристик случайного процесса:
Случайное возмущение: помехи во втором канале СУ распределены по равномерному закону.
Исходная матрица В равна:
Параметры управления: m1=2 и m2=-3.
1. Моделирование случайной величины, распределённой по нормальному закону
1.1 Построение гистограммы распределения
Для получения реализации последовательности независимых случайных величин с произвольным распределением используют реализации последовательности независимых случайных величин равномерно распределенных на отрезке [0,1]. Случайные равномерно распределенные величины генерируются специальной программой, входящей в математическое обеспечение компьютера, и называемой датчиком случайных чисел.
При моделировании нормально распределенной случайной величины на основе равномерно распределенных величин чаще всего используется центральная предельная теорема:
Пусть последовательность взаимно независимых случайных величин, имеющих одно и то же распределение вероятностей с конечным математическим ожиданием . Тогда при имеем:
1) случайная величина , вычисляемая по формуле (1.1), сходится по вероятности к
(1.1)
2) случайная величина имеет асимптотически нормальное распределение вероятностей с центром и дисперсией, вычисляемой по формуле (1.2), при условии, что существует общая дисперсия величин .
(1.2)
На основании центральной предельной теоремы рассмотрим сумму
,
где - совокупность взаимно независимых равномерно распределенных случайных величин на отрезке R[0,1].
Известно, что каждая из случайных величин с распределением R[0,1] имеет математическое ожидание (1.3) и дисперсию (1.4).
(1.3)
(1.4)
Тогда согласно теоремам сложения математических ожиданий и дисперсий
,
.
Следовательно, случайная величина (1.5) имеет математическое ожидание и дисперсию и при ее распределение стремится к нормальному.
(1.5)
В данной работе дано количество слагаемых в сумме N, задано математическое ожидание и стандартное отклонение выходной случайной величины y. Если известна случайная величина с распределением N[0,1], то случайная величина с распределением N[] получается в результате линейного преобразования
(1.6)
Гистограмма распределения представляет собой удобный способ представления статистических данных. Гистограмма строится следующим образом:
Пусть имеется выборка случайной величины объемом n: . Из этой выборки определяются минимальные (1.7) и максимальные (1.8) значения:
(1.7)
При данных условиях
(1.8)
При данных условиях
Весь отрезок [A,B] разбивается на K интервалов, как правило, одинаковой длины.
Число интервалов при построении гистограммы не должно быть слишком большим и слишком малым. При большом количестве интервалов в гистограмме обнаруживаются незакономерные колебания. На практике рекомендуется в каждом интервале иметь не менее 5-10 точек. Предварительный выбор количества интервалов можно сделать по правилу Стургенса:
(1.9)
где n – объём выборки,
() – операция взятия целой части от действительного числа Если число точек в интервале слишком мало (порядка 1-2), то имеет смысл объединить некоторые интервалы и пересчитать гистограмму.
Найдя количество интервалов разбиения, можно вычислить длину каждого интервала по формуле:
или
(1.10)
Для построения гистограммы нужно частоту попадания случайных величин xk
в каждый интервал [) разделить на его длину и полученную величину взять в качестве высоты прямоугольника на графике. Причем последний интервал необходимо рассмотреть как отрезок. Таким образом, описанное правило можно изобразить математически:
(1.11)
(1.12)
где и - границы интервала,
- частота попадания выборочных величин в интервал ()
n – объём выборки
- высота прямоугольника на графике
Из способа построения гистограммы следует, что полная площадь всех прямоугольников равна единице:
(1.13)
где fs(x) - эмпирическая плотность распределения (полученная экспериментально), которую можно вычислить по формуле:
(1.14)
На полученную гистограмму для качественного анализа необходимо наложить теоретическую плотность распределения случайной величины, распределенной по закону
(1.15)
В итоге получится гистограмма распределения (см. график 1) с отображением эмпирической и теоретической плотностей распределения, которая даёт возможность наглядно сравнить эти плотности.
График 1 – Сравнение эмпирической и теоретической плотностей распределения
1.2 Вычисление выборочного среднего и выборочной дисперсии
В качестве оценки для математического ожидания (выборочного среднего) используется среднее арифметическое от наблюдаемых значений случайной величины:
(1.16)
Тогда выборочную дисперсию можно рассчитать по следующей формуле:
(1.17)
Для дисперсии в качестве несмещенной и состоятельной оценки используется величина:
(1.18)
Полученная оценка для дисперсии применяется для дальнейших вычислений доверительных интервалов.
1.3 Построение доверительных интервалов для математического ожидания и дисперсии, соответствующих доверительной вероятности
Чтобы иметь представление о точности и надежности оценок (1.16 – 1. 18) в математической статистике используется понятие доверительного интервала. Пусть для некоторого параметра a (математического ожидания или дисперсии) получена несмещенная оценка μ. Назначим некоторую достаточно большую вероятность γ (доверительную вероятность) и найдем такое значение ε, при котором вероятность равна (1.19):
(1.19)
Равенство (1.19) означает, что с вероятностью γ интервал Iγ, который называется доверительным интервалом, накрывает неизвестное значение параметра a.
(1.20)
При построении доверительного интервала для математического ожидания используют то обстоятельство, что оценка (1.16) представляет собой сумму n независимых одинаково распределенных случайных величин Xi
и, согласно центральной предельной теореме, при достаточно больших n ее закон распределения близок к нормальному закону. В этом случае доверительный интервал для оценки математического ожидания можно представить в виде
(1.21)
где tγ – квантиль нормального распределения, который определяется по статистическим таблицам.
Границы доверительного интервала вычислены по формулам (1.22-1.23).
, (1.22)
, (1.23)
Определенный доверительный интервал (1.21) является приближенным, так как вместо точного значения дисперсии используется ее оценка Dn. Величина tγ определяет для нормального закона число стандартных отклонений, которое нужно отложить вправо и влево от оценки математического ожидания для того, чтобы вероятность попадания в полученный интервал была равна γ.
Существуют более точные методы определения доверительного интервала. Например, методы определения доверительного интервала для оценки математического ожидания на основе распределения Стьюдента, где вместо квантиля нормального распределения используется квантиль распределения Стьюдента, который также находится по таблицам.
, (1.24)
,
, (1.25)
Теоретическое значение математического ожидания входит в доверительный интервал. Аналогично может быть получен доверительный интервал для дисперсии. Оценка дисперсии также представляет собой сумму n случайных величин. Однако эти величины уже нельзя считать независимыми, так как в любую из них входит оценка Xmean. Но и этом случае при увеличении n закон распределения их суммы также приближается к нормальному. Поэтому доверительный интервал для дисперсии определяется так же, как и для математического ожидания и имеет вид:
Iγ
=(Dn-ε, Dn+ε),
где ε вычисляется по формуле (1.26):
, (1.26)
где Dd – дисперсия оценки Dn.
, (1.27)
Конечные формулы границ доверительного интервала имеют вид:
, (1.28)
, (1.29)
Более точный доверительный интервал для оценки дисперсии может быть получен при нормальном распределении на основе распределения χ². Однако в отличие от нормального распределения и распределения Стьюдента распределение χ² не является симметричным распределением. Поэтому выберем интервал Iγ
так, чтобы вероятность выхода величины вправо и влево были одинаковы и равны и . Чтобы построить интервал с таким свойством, необходимо воспользоваться таблицами распределения χ². В этом случае доверительный интервал для оценки дисперсии в соответствии с обозначением примет вид:
,
где Dn – несмещённая оценка,
χ1², χ2² - могут быть найдены по стандартной программе Mathcad (1.30-1.31).
, (1.30)
, (1.31)
Конечные формулы границ доверительного интервала имеют вид:
, ,
,
Несмещённая оценка входит в доверительный интервал (D=σ², σ² - стандартное отклонение).
1.4 Проверка гипотезы о нормальном распределении случайной величины с помощью критерия Пирсона при определённом уровне значимости
На основании полученной выборки значений случайной величины необходимо проверить гипотезу о её нормальном распределении. Рассмотрим один из наиболее часто применяемых критериев согласия – критерий Пирсона, который имеет следующий вид:
, (1.32)
где νk
– число точек в k-ом интервале гистограммы (частота попадания) pk
– теоретические вероятности попадания точек в k-ый интервал, которые могут быть вычислены по формуле (1.33) n – объём выборки случайной величины, К – количество интервалов
(1.33)
где f(х) – плотность вероятности теоретического распределения (1.15)
Величина (1.32) распределена по закону с К-1 степенями свободы. Если теоретические вероятности зависят от q неизвестных параметров, оцениваемых по выборке, то количество степеней свободы равно K-q-1.
Для распределения χ2 составлены специальные таблицы. В них по заданному числу степеней свободы ν и по заданной вероятности α (уровню значимости) можно найти граничное табличное значение критерия .
Если теперь , то гипотеза не противоречит статистическим данным и ее можно считать правдоподобной с уровнем значимости .
Если же , то статистические данные следует считать противоречащим гипотезе о том, что плотность распределения величины Х есть f(x) (1.15). Пусть K – количество интервалов, на которые разбит диапазон изменения каждой переменной. Количество интервалов К вычисляется по правилу Стургерса. Для вычисления используется встроенная функция Mathcad (1.34):
, (1.34)
где n – количество реализаций случайного процесса.
Тогда границы интервалов можно вычислить по формулам:
, ,
где Xmax, Xmin – максимальное и минимальное значение реализации случайного процесса.
Для определения частоты попадания выборочных значений в каждый k-ый интервал по переменной Х воспользуемся формулой (1.35):
, (1.35)
где k=1..K – номер интервала,
uk
– точки, лежащие на границе интервала,
n – количество реализаций случайной величины
Сумма частот всех интервалов должна быть равна количеству реализаций случайной функции n, так как все точки функции распределены на K интервалах.
Теоретическая вероятность попадания случайной величины X в интервал для нормального распределения вычисляется по формуле (1.36):
, (1.36)
Статистика критерия Пирсона .
Табличное значение статистики при уровне значимости =0.01 и количестве степеней свободы =7 вычисляется с помощью встроенной функции Mathcad (1.38):
, (1.37)
Очевидно, что . Это значит, что гипотеза о нормальном распределении случайной величины принимается.
Таким образом, в данной главе была построена гистограмма распределения с отображением эмпирической и теоретической плотностей распределения, найдены математическое ожидание , дисперсия .
Построен доверительный интервал для математического ожидания двумя способами:
1. Приближенный доверительный интервал для оценки математического ожидания. Его границы и .
2. Доверительный интервал для оценки математического ожидания на основе распределения Стьюдента. Его границы и .
Теоретическое значение математического ожидания попадает в доверительный интервал.
Построен доверительный интервал для дисперсии двумя способами:
1. Приближенный доверительный интервал для оценки дисперсии. Его границы и .
2. Доверительный интервал для оценки дисперсии на основе распределения со степенью свободы n-1. Его границы и .
Теоретическая дисперсия попадает в доверительный интервал.
Найдена статистика Пирсона . Произведена проверка гипотезы о нормальном распределении случайной величины X, при использовании критерия Пирсона при уровне значимости α: гипотеза принята, так как найденная статистика χ² меньше табличной .
Полный текст программы данного раздела см. в «Приложении 1».
2. Моделирование случайной величины, распределённой по заданному закону
2.1 Построение гистограммы распределения
Дана функция (2.1), в которой необходимо сначала определить неизвестный коэффициент, а затем вычислить функцию распределения.
f(x)=b(3-x), b>0, 1<x<2, (2.1)
Для этих вычислений воспользуемся методом обратной функции. Для вычисления неизвестного коэффициента (параметра) воспользуемся проверкой условия нормировки (2.2):
(2.2)
Подставив данную для исследований функцию, получаем:
, (2.3)
Прировняв полученное выражение к единице, находим параметр b:
b=2/3 (2.4)
Подставив найденный параметр в начальную функцию, получаем:
(2.5)
Далее необходимо вычислить функцию распределения
(2.6)
где u – случайная величина, распределённая на отрезке [0;1]
x1 – нижний предел функции f(x)
Для функции (2.1) получаем:
(2.7)
При решении уравнения (2.7) получаем неопределённость:
(2.8)
Для выбора искомой функции, необходимо проверить принадлежность х интервалу (1;2) при крайних значениях u. После проверки один вариант функции (2.8) отсеялся, функция (2.8) приняла вид:
(2.9)
Получили закон распределения
.
Тогда за теоретическую плотность распределения принимается функция (2.5). Остальные вычисления аналогичны первому разделу.
Количество интервалов в гистограмме, определенное по правилу Стургерса:
, .
Промежуточные вычисления для построения гистограммы определяются как в предыдущем разделе:
(2.6)
(2.7)
где и - границы интервала,
- частота попадания выборочных величин в интервал ()
n – объём выборки
- высота прямоугольника на графике
Из способа построения гистограммы следует, что полная площадь всех прямоугольников равна единице:
(2.8)
где fs(x) - эмпирическая плотность распределения (полученная экспериментально), которую можно вычислить по формуле:
(2.9)
На полученную гистограмму для качественного анализа необходимо наложить теоретическую плотность распределения случайной величины, распределенной по закону:
(2.10)
В итоге получится гистограмма распределения (см. график 2) с отображением эмпирической и теоретической плотностей распределения, которая даёт возможность наглядно сравнить эти плотности.
График 2 – Сравнение эмпирической и теоретической плотностей распределения
2.2 Определение выборочной оценки математического ожидания и дисперсии
Вычисление выборочного среднего производиться по формуле (2.11):
(2.11)
Тогда выборочную дисперсию можно рассчитать по следующей формуле (2.12):
(2.12)
Для дисперсии в качестве несмещенной и состоятельной оценки используется величина (2.13):
(2.13)
Теоретические значения математического ожидания и дисперсии вычисляются по формулам (2.14-2.15):
(2.14)
(2.15)
Теоретические значения должны попадать в доверительные интервалы.
2.4 Построение доверительных интервалов для математического ожидания и дисперсии, соответствующих доверительной вероятности
Доверительный интервал для оценки математического ожидания можно представить в виде (2.16):
(2.16)
(2.17)
где tγ
– квантиль нормального распределения, который определяется по статистическим таблицам.
Границы доверительного интервала вычислены по формулам (2.18-2.19).
, (2.18)
, (2.19)
Значение математического ожидания входит в доверительный интервал. Доверительный интервал для дисперсии определяется так же, как и для математического ожидания и имеет вид (2.20):
Iγ=(Dn-ε, Dn+ε), (2.20)
где ε вычисляется по формуле (2.21):
, (2.21)
где Dd – дисперсия оценки Dn (2.22).
, (2.22)
Конечные формулы границ доверительного интервала имеют вид (2.23-2.24):
, (2.23)
, (2.24)
Несмещённая оценка входит в доверительный интервал.
2.4 Проверка гипотезы о нормальном распределении случайной величины с помощью критерия Пирсона при определённом уровне значимости
Критерий Пирсона имеет вид (2.25):
, (2.25)
где νk
– число точек в k-ом интервале гистограммы (частота попадания)
pk
– теоретические вероятности попадания точек в k-ый интервал, которые могут быть вычислены по формуле (2.26)
n – объём выборки случайной величины
К – количество интервалов
(2.26)
где f(х) – плотность вероятности теоретического распределения (2.10).
Границы интервалов можно вычислить по формулам:
, ,
где Xmax, Xmin – максимальное и минимальное значение реализации случайного процесса.
Для определения частоты попадания выборочных значений в каждый k-ый интервал по переменной Х воспользуемся формулой (2.27):
, (2.27)
где k=1..K – номер интервала,
uk – точки, лежащие на границе интервала,
Статистика критерия Пирсона.
Табличное значение статистики при уровне значимости α=0.01 и количестве степеней свободы ν=9 вычисляется с помощью встроенной функции Mathcad (2.28):
, (2.28)
Очевидно, что . Это значит, что гипотеза о нормальном распределении случайной величины принимается.
Таким образом, в данной главе была построена гистограмма распределения с отображением эмпирической и теоретической плотностей распределения, найдены математическое ожидание , дисперсия .
Построен доверительный интервал для математического ожидания. Его границы и .
Теоретическое математическое ожидание попадает в доверительный интервал.
Построен доверительный интервал для дисперсии. Его границы и .
Теоретическое значение дисперсии попадает в доверительный интервал.
Найдена статистика Пирсона . Произведена проверка гипотезы о нормальном распределении случайной величины X, при использовании критерия Пирсона при уровне значимости α: гипотеза принята, так как найденная статистика χ² меньше табличной .
Полный текст программы данного раздела см. в «Приложении 2».
3. Оценка
статистических характеристик случайного процесса
Исходные данные:
Объект управления – матрица
Параметры управления
По этим данным необходимо вывести реализацию случайной величины – функцию, значение которой при каждом данном значении аргумента является случайной величиной. Для этого необходимо подобрать коэффициенты регулятора P1 и P2, сгенерировать ошибки измерений и помехи внутри объекта управления, пересчитать ошибки измерений и помехи внутри объекта управления в главную систему координат и проинтегрировать систему дифференциальных уравнений n раз на отрезке [0,T].
Коэффициенты были подобраны с помощью отдельной программы АКОР.
Законы генерирования ошибок измерений и помех внутри объекта управления заданы: ошибки измерений в обоих каналах СУ и помехи в первом канале отсутствуют, помехи во втором канале распределены по равномерному закону (3.1):
, (3.1)
где А – подобранное число
Чтобы пересчитать помехи внутри объекта управления в главную систему координат, необходимо сначала преобразовать матрицу В к виду B+mp:
,
где Bi
.
j
– значения исходной матрицы, m1, m2 – параметры управления, P1, P2 – коэффициенты регулятора
Далее определим собственные значения изменённой матрицы с помощью специальной программы пакета Mathcad (3.2):
, (3.2)
Действительные части собственных значений изменённой матрицы получились отрицательными, значит, согласно условиям устойчивости работы системы, система работает устойчиво.
Определим собственные вектора изменённой матрицы (3.3-3.4):
, (3.3)
, (3.4)
Для проверки можно найти матрицу D=V*BB*V-1
, она должна быть диагональной и на главной диагонали должны находиться собственные значения изменённой матрицы.
Условие проверки выполнилось.
Все необходимые вычисления для пересчёта в главную систему координат помех и ошибок выполнены.
Формулы пересчёта ошибок измерений в главную систему координат выглядят следующим образом:
,
где ε1, ε2 – промежуточные переменные,
P1, P2 – коэффициенты регулятора
m1, m2 – параметры управления
w1, w2 – изначальные ошибки измерений
VO=V-1
– обратная матрица собственных векторов матрицы ВВ
W1, W2 – ошибки измерений, пересчитанные в главную систему координат
Формулы пересчёта помех в главную систему координат выглядят следующим образом:
где g1, g2 – изначальные помехи внутри объекта
G1, G2 – помехи, пересчитанные в главную систему координат
Формулы пересчета начальных условий в главную систему координат выглядят следующим образом:
где y1, y2 – изначальные начальные условия, yy1, yy2 – начальные условия, пересчитанные в главную систему координат
После записи системы в главных координатах численный метод интегрирования второго порядка точности можно представить в виде двух параллельных циклов вычислений:
,
,
где Di
,
j
– значения диагональной матрицы D
h=T/n – шаг интегрирования
T – время, при котором процесс становится установившимся
n – количество реализаций случайного процесса
W1, W2, G1, G2, yy1, yy2 – определены выше
Далее необходимо пересчитать получившуюся проинтегрированную функцию обратно в исходную систему координат:
,
,
Значения переменных состояния в конечной точке n:
,
,
Реализации случайного процесса y1k
,
j
и y2k
,
j
можно отобразить с помощью графиков (см. График 3-4).
График 3 – Реализация первой переменной случайного процесса
График 4 – Реализация второй переменной случайного процесса
3.1 Определение статистических характеристик системы управления в момент времени
В момент времени оцениваются следующие статистические характеристики:
1) математические ожидания переменных состояния;
2) дисперсии переменных состояния;
3) корреляционный момент;
4) нормированный корреляционный момент (коэффициент корреляции)
Математическим ожиданием случайного процесса называется такая функция, значение которой при каждом данном значении аргумента равно математическому ожиданию значения этой функции при этом аргументе. Математическое ожидание случайного процесса представляет собой некоторую среднюю функцию, около которой группируются и относительно которой колеблются все возможные реализации случайного процесса.
Для полученных процессов математическое ожидание находится по следующим формулам (3.5-3.6):
, , (3.5-3.6)
где Xmean, Ymean являются математическим ожиданием.
Дисперсией случайного процесса называется такая функция, значение которой при каждом данном значении аргумента равно дисперсии значения этой функции при этом аргументе.
Для полученных процессов дисперсия находится по следующим формулам (3.7-3.8):
, (3.7)
(3.8)
Для того чтобы учесть статистическую связь между значениями функции при различных значениях аргумента, кроме математического ожидания и дисперсии, ана
(3.9)
Случайные процессы называются некоррелированными, если KOR=0 при любых значениях аргументов. В противоположном случае случайные процессы являются коррелированными.
Удобно пользоваться нормированной корреляционной функцией (коэффициентом корреляции), которая является безразмерной функцией и определяется следующим образом (3.10):
, (3.10)
где KOR – взаимный корреляционный момент
DX, DY – дисперсии переменных состояния (определены выше).
3.2 Проверка гипотезы о независимости случайных величин при уровне значимости
a
в момент времени
Для проверки гипотезы о независимости двух случайных величин по выборке XX и YY, весь диапазон значений отдельно по каждой переменной разбивается на интервалы, как это делалось при построении гистограммы при применении критерия Пирсона. Затем вычисляется статистика χn и сравнивается с табличным значением статистики (распределения) χ² с (r-1)*(s-1) степенями свободы, где r и s – количество интервалов, на которые разбит диапазон изменения каждой переменной. Так как в нашем случае диапазон изменения каждой переменной разбит на одно и то же число К, то r и s одинаковы. Гипотеза о независимости двух случайных величин отвергается с уровнем значимости α, если χn> χ².
Для подсчёта статистики необходимо определить количество точек, попавших в каждый интервал по переменной XX, количество точек, попавших в каждый интервал по переменной YY, количество точек, попавших одновременно в интервалы по двум переменным (в соответствующие прямоугольники). Для этого найдём частоты попадания выборочных значений в каждый k-ый интервал по обеим переменным и количество точек, попавших одновременно в оба интервала по двум переменным.
Пусть K – количество интервалов, на которые разбит диапазон изменения каждой переменной. Количество интервалов К вычисляется по правилу Стургерса. Для вычисления используется встроенная функция Mathcad (3.11):
, (3.11)
где n – количество реализаций случайного процесса.
Тогда длину интервала можно вычислить по формуле (3.12):
, (3.12)
где Xmax, Xmin – максимальное и минимальное значение реализации случайного процесса.
Для определения частоты попадания выборочных значений в каждый k-ый интервал по переменной Х воспользуемся формулой (3.13):
, (3.13)
где k=1..K – номер интервала,
uk
– точки, лежащие на границе интервала,
n – количество реализаций случайной величины
Сумма частот всех интервалов должна быть равна количеству реализаций случайной функции n, так как все точки функции распределены на K интервалах. Это условие проверяется формулой (3.14).
(3.14)
Частота попадания в последний интервал равна 1. следовательно стоит объединить интервалы.
После объединения крайних интервалов получаем формулу для подсчета частот попадания (3.15), которая также проверяется суммой частот попадания всех интервалов (3.16).
(3.15)
(3.16)
Рассмотрим теперь вторую переменную YY. Максимальное и минимальное значение выборки, количество интервалов в гистограмме, длина интервала определяются аналогично. Частоты попадания выборочных значений в k-ый интервал по переменной YY, определяются формулой (3.17):
, (3.17)
где uyk
– точки, лежащие на границе интервала,
n – количество реализаций случайной величины,
k=1..K – номер интервала.
Правильность подсчёта частот попадания также проверяется суммой всех частот попадания:
Крайние интервалы объединяются аналогично переменной XX.
Теперь найдём количество точек, попавших одновременно в оба интервала по двум переменным (3.18):
(3.18)
Преобразуем эту формулу (3.19):
. (3.19)
Сумма точек, попавших одновременно в оба интервала по двум переменным должна быть равна количеству реализаций n:
где k и t – количество интервалов по каждой переменной соответственно.
Все предварительные расчёты для вычисления статистики произведены. Далее необходимо вычислить саму статистику (3.20):
, (3.20)
где K-2 – количество интервалов по каждой переменной после объединения крайних интервалов, – количество точек, попавших в i-ый интервал по переменной XX, – количество точек, попавших в j-ый интервал по переменной YY, – количество точек, попавших одновременно в i-ый и j-ый интервалы по двум переменным.
Для вычисления табличной статистики необходимо высчитать количество степеней свободы (3.21):
ν=(r-1)(s-1), (3.21)
где r и s – количество интервалов по каждой переменной, то есть r=s=K-2, так как крайние интервалы были объединены.
Значит, количество степеней свободы вычисляются по формуле:
Табличное значение распределения можно вычислить с помощью специальной функции Mathcad (3.22):
, (3.22)
где α – уровень значимости
Для данных двух случайных процессов XX и YY значение статистики . При этом табличное значение распределения .
Очевидно, что , следовательно, гипотеза о независимости двух случайных величин отвергается.
3.3 Определение эмпирических уровней регрессии
XX
на
YY
и
YY
на
XX
Если получена выборка системы двух случайных величин, то регрессией, например, величины XX на YY называют любую функцию XX=f(YY), приближенно представляющую статистическую зависимость XX от YY.
Эмпирическое уравнение регрессии YY на XX выглядит следующим образом (3.23):
, (3.23)
где и - корни квадратные из дисперсий функций XX и YY соответственно,
rxy – коэффициент корреляции,
Ymean, Xmean – средние значения функций соответственно.
График 5 - Регрессия YY на XX: XXX - функция XX до сортировки, YYY - функция YY до сортировки.
Эмпирическое уравнение регрессии XX на YY определяется аналогично (3.24):
(3.24)
График 6 – Регрессия XX на YY
Таким образом, определены уравнения регрессии YY на XX и XX на YY.
3.4 Оценка статистических характеристик случайного процесса в зависимости от времени
После проведения n реализаций интегрирований системы случайного процесса, необходимо оценить его статистические характеристики в зависимости от времени t.
При этом оцениваются те же статистические характеристики, что и в момент времени :
1) математические ожидания переменных состояния;
2) дисперсии переменных состояния;
3) корреляционный момент;
4) нормированный корреляционный момент (коэффициент корреляции)
Математические ожидания переменных состояния оценивается по следующим формулам (3.25-3.26):
, (3.25)
, (3.26)
где M1, M2 – математические ожидания переменных состояния,
n – объём выборки,
y1i
,
j
, y2i
,
j
– случайные процессы
При этом получаем график зависимости оценки математического ожидания для первой и второй переменных случайного процесса:
График 7 – Зависимость оценки математического ожидания для первой переменной случайного процесса
График 8 - Зависимость оценки математического ожидания для второй переменной случайного процесса
Вычисление выборочной дисперсии переменных состояния вычисляется по формулам (3.27-3.28):
, (3.27)
, (3.28)
где DXX и DYY – дисперсия переменных состояния соответственно
Стандартное отклонение вычисляется по формулам (3.29-3.30):
, (3.29)
(3.30)
Графики зависимости стандартного отклонения от времени для соответствующих переменных случайного процесса имеют вид:
График 9 – Зависимость стандартного отклонения от времени для первой переменной случайного процесса
По графику 9 видно, что стандартное отклонение для первой переменной установившегося случайного процесса sxx≈0.012.
График 10 – Зависимость стандартного отклонения от времени для второй переменной случайного процесса
По графику 10 видно, что стандартное отклонение для второй переменной установившегося случайного процесса syy≈0.018.
Оценка коэффициента корреляции в зависимости от t вычисляется по формуле (3.31):
, (3.31)
где KORXY – корреляционный момент переменных состояния, который вычисляется по формуле (3.32):
(3.32)
График 11 отражает зависимость коэффициента взаимной корреляции переменных состояния случайного процесса.
График 11 – Зависимость коэффициента корреляции случайного процесса от времени
По графику 11 видно, что среднее значение коэффициента корреляции rxyxy≈0.7. Это значит, что переменные зависят друг от друга.
Несмещенными оценками корреляционных функций случайного процесса вычисляются по формулам (3.33-3.35):
, (3.33)
, (3.34)
, (3.35)
где KXX – нормированная корреляционная функция по переменной Х случайного процесса,
KYY – нормированная корреляционная функция по переменной Y случайного процесса,
KXY – нормированная взаимная корреляционная функция двумерного случайного процесса,
y1, y2 – функции случайного процесса (переменные состояния),
M1, M2 – математические ожидания переменных состояния
Построим графики нормированных корреляционных функций случайного процесса.
График 12 – Нормированная корреляционная функция по переменной Х случайного процесса
График 12 показывает, что коэффициент корреляции случайного процесса по первой переменной примерно равен 0.05.
График 13 – Нормированная корреляционная функция по переменной Y случайного процесса
График 13 показывает, что коэффициент корреляции случайного процесса по второй переменной примерно равен 0.05.
График 14 – Нормированная корреляционная функция по переменной Х случайного процесса
График 14 показывает, что коэффициент корреляции случайного процесса по первой переменной примерно равен 0.05.
Таким образом, в данной главе были сгенерированы двумерные массивы для ошибок измерений и для помех внутри объекта управления в соответствии с заданными законами распределения и пересчитаны ошибки измерений и помехи в главную систему координат.
Получены реализации случайного процесса путём интегрирования системы дифференциальных уравнений n
раз на отрезке времени [0,
T
]
.
Определены статистические характеристики системы управления в момент времени t=T: математическое ожидание для первой переменной состояния в конечной точке Xmean=0.013, для второй переменной – Ymean=4,697*10-3
; дисперсия первой переменной DX=1.311*10-4
, второй переменной – DY=2.644*10-4
; корреляционный момент KOR=1.098*10-4
; коэффициент корреляции rxy=0.59.
В итоге вычисления статистики и проверки гипотезы о независимости переменных состояния системы в момент времени t=T получили, что переменные зависят друг от друга (отвержение гипотезы).
Определены уравнения регрессии для переменных состояния системы в момент времени t
=
T
.
Произведена оценка статистических характеристик случайного процесса в зависимости от времени: вычислены математическое ожидание, дисперсия, корреляционный момент, коэффициент корреляции. График коэффициента корреляции подтверждает зависимость переменных состояния друг от друга. Построены соответствующие графики зависимости от времени.
Произведена оценка корреляционных функций случайного процесса по каждой из переменных и взаимной корреляционной функции.
Полный текст программы данного раздела см. в «Приложении 3».
Заключение
В данной работе были изучены некоторые статистические задачи математического моделирования:
1. Моделирование случайной величины, распределённой по нормальному закону.
2. Моделирование случайной величины, распределённой по заданному закону.
3. Оценка статистических характеристик случайного процесса
При решении первой задачи были выполнены следующие вычисления:
- построена гистограмма распределения с отображением эмпирической и теоретической плотностей распределения;
- найдено математическое ожидание ;
- найдена дисперсия ;
- построен доверительный интервал для математического ожидания двумя способами:
1. Приближенный доверительный интервал для оценки математического ожидания. Его границы и .
2. Доверительный интервал для оценки математического ожидания на основе распределения Стьюдента. Его границы и .
- произведена проверка попадания теоретического математического ожидания в доверительный интервал – математическое ожидание попадает в доверительный интервал;
- построен доверительный интервал для дисперсии двумя способами:
1. Приближенный доверительный интервал для оценки дисперсии. Его границы и .
2. Доверительный интервал для оценки дисперсии на основе распределения со степенью свободы n-1. Его границы и .
- произведена проверка попадания дисперсии в доверительный интервал – дисперсия попадает в доверительный интервал;
- найдена статистика Пирсона .
- произведена проверка гипотезы о нормальном распределении случайной величины X, при использовании критерия Пирсона при уровне значимости α: гипотеза принята, так как найденная статистика χ² меньше табличной .
При решении второй задачи были выполнены следующие вычисления:
- построена гистограмма распределения с отображением эмпирической и теоретической плотностей распределения;
- найдено математическое ожидание ;
- вычислена дисперсия ;
- найдено теоретическое значение математического ожидания ;
- найдено теоретическое значение дисперсии ;
- построен доверительный интервал для математического ожидания. Его границы и ;
- произведена проверка попадания найденного математического ожидания в доверительный интервал – математическое ожидание попадает в доверительный интервал;
- построен доверительный интервал для дисперсии. Его границы и ;
- произведена проверка попадания найденной дисперсии в доверительный интервал – дисперсия попадает в доверительный интервал;
- найдена статистика Пирсона ;
- произведена проверка гипотезы о нормальном распределении случайной величины X, при использовании критерия Пирсона при уровне значимости α: гипотеза принята, так как найденная статистика χ² меньше табличной .
При решении третей задачи были выполнены следующие вычисления:
- сгенерированы двумерные массивы для ошибок измерений и для помех внутри объекта управления в соответствии с заданными законами распределения и пересчитаны ошибки измерений и помехи в главную систему координат;
- получены реализации случайного процесса путём интегрирования системы дифференциальных уравнений n раз на отрезке времени [0,T];
- определены статистические характеристики системы управления в момент времени t=T:
1. математическое ожидание для первой переменной состояния в конечной точке Xmean=0.013, для второй переменной – Ymean=4,697*10-3;
2. дисперсия первой переменной DX=1.311*10-4, второй переменной – DY=2.644*10-4;
3. корреляционный момент KOR=1.098*10-4;
4. коэффициент корреляции rxy=0.59.
В итоге вычисления статистики и проверки гипотезы о независимости переменных состояния системы в момент времени t=T получили, что переменные зависят друг от друга (отвержение гипотезы).
- определены уравнения регрессии для переменных состояния системы в момент времени t=T;
- произведена оценка статистических характеристик случайного процесса в зависимости от времени с помощью графиков:
1. вычислены математические ожидания и построены зависимости оценки математического ожидания для первой и второй переменных случайного процесса;
2. найдена дисперсия и построены зависимости стандартного отклонения от времени для соответствующих переменных случайного процесса;
3. коэффициент корреляции и построена зависимость коэффициента корреляции случайного процесса от времени;
- произведена оценка корреляционных функций случайного процесса по каждой из переменных и взаимной корреляционной функции.
Литература
1. Венецкий И.Г. и Кильдишев Г.С. Теория вероятностей и математическая статистика. Учебное пособие для студентов экон. специальностей вузов. Изд. 3-е, перераб. и доп. М., «Статистика», 1975, 264 с.
2. Статистическое моделирование систем: Методические указания к курсовой работе / Авт.- составитель Ю.М. Заболотнов. Самара: Изд-во Самар. гос. аэрокосм. ун-та, 2007. 43 с.: ил.
3. Гусев, А.Н. Современная теория управления / А.Н.Гусев - Самара: СГАУ, 2000. 59 с.
4. Заболотнов, Ю.М. Оптимальное управление непрерывными динамическими системами / Ю.М.Заболотнов - Самара: СГАУ, 2005, 186 с.
Приложение 1
Построение гистограммы распределения и изображение её графически одновременно с теоретической плотностью вероятностей.
Параметры нормального закона распределения
- количество реализаций случайной величины
- совокупность взаимно независимых равномерно распределенных случайных величин
Определение максимального и минимального значения выборки
- уровень значимости
- стандартное отклонение
- количество взаимно независимых случайных величин
- математическое ожидание
Получение выборочных значение случайной величины
Количество интервалов в гистограмме, определенное по правилу Стургерса
Длина интервала
Номер интервала
Выбираем точки Uk
Определение частоты попадания выборочных значений в k-ый интервал
Определение высоты прямоугольника на каждом интервале
Эмпирическая плотность распределения
Теоретическая плотность распределения
Рисунок-1. Сравнение теоретической и эмпирической плотностей распределения
Вычисление выборочного среднего и выборочной дисперсии.
Вычисление выборочного среднего
Вычисление выборочной дисперсии
Несмещенная оценка дисперсии
Построение доверительных интервалов для математического ожидания и дисперсии, соответствующих доверительной вероятности
- доверительная вероятность
Нахождение доверительного интервала для математического ожидания
I способ:
Приближенное определение доверительного интервала для оценки математического ожидания
Квантиль нормального распределения cо степенью свободы 334 и вероятностью
Границы доверительного интервала
II способ:
Определение доверительного интервала для оценки математического ожидания на основе распределения Стьюдента
Квантиль распределения Стьюдента cо степенью свободы 334 и вероятностью =0.95
Границы доверительного интервала
- теоретическое значение математического ожидания
Теоретическое значение параметра математического ожидания попадает в полученный доверительный интервал.
Нахождение доверительного интервала для дисперсии
I способ
: Приближенное определение доверительного интервала для оценки дисперсии
Границы доверительного интервала
II способ:
Определение доверительного интервала для оценки дисперсии на основе распределения со степенью свободы n-1
Границы доверительного интервала для дисперсии
Теоретическое значение параметра дисперсии попадает в полученный доверительный интервал.
Проверка гипотезы о нормальном распределении случайной величины X, при использовании критерия Пирсона при уровне значимости
Первоначальное число интервалов группировки
Интервалы группировки
Определение частоты попадания выборочных значений в k-ый интервал
частоты всех интервалов > 2, поэтому их нельзя считать слишком малыми, следовательно объединение интервалов не требуется
Теоретическая вероятность попадания случайной величины X в интервал
Статистикой критерия Пирсона является величина
Заданный уровень значимости
- количество степеней свободы
Количество степеней свободы =K-q-1, где q - количество неизвестных параметров, от которых зависит теоретическая вероятность
Табличное значение статистики при уровне значимости =0.01
и количестве степеней свободы =7
Гипотеза принимается
Приложение 2
Параметры заданного закона распределения
- количество реализаций случайной величины
- уровень значимости (вероятность того, что мы примем эту модель ошибочной)
Получение выборочных значение случайной величины
- совокупность взаимно независимых равномерно распределенных случайных величин
Определение максимального и минимального значения выборки
Количество интервалов в гистограмме, определенное по правилу Стургерса
Длина интервала
Номер интервала
Выбираем точки Uk
Определение частоты попадания выборочных значений в k-ый интервал
Определение высоты прямоугольника на каждом интерале
Эмпирическая плотность распределения
Теоретическая плотность распределения
Рисунок-1. Сравнение теоретической и эмпирической плотностей распределения
Вычисление выборочного среднего и выборочной дисперсии.
Вычисление выборочного среднего
Вычисление выборочной дисперсии
Несмещенная оценка дисперсии
- теоретическое математическое ожидание
- теоретическая дисперсия
Построение доверительных интервалов для математического ожидания и дисперсии, соответствующих доверительной вероятности
- доверительная вероятность
Нахождение доверительного интервала для математического ожидания
Квантиль нормального распределения cо степенью свободы 334 и вероятностью
Границы доверительного интервала
Теоретическое значение параметра математического ожидания попадает в полученный доверительный интервал.
Нахождение доверительного интервала для дисперсии
Приближенное определение доверительного интервала для оценки дисперсии
Границы доверительного интервала
Теоретическое значение параметра дисперсии попадает в полученный доверительный интервал.
Проверка гипотезы о нормальном распределении случайной величины X, при использовании критерия Пирсона при уровне значимости
Первоначальное число интервалов группировки
Интервалы группировки
Определение частоты попадания выборочных значений в k-ый интервал
частоту попадания в каждый из интервалов нельзя назвать малой, поэтому объединение интервалов не требуется
Теоретическая вероятность попадания случайной величины X в интервал
Статистикой критерия Пирсона является величина
Заданный уровень значимости
- количество степеней свободы
=К-1, так как плотность вероятности теоретического распределения не зависит от неизвестных параметров, оцениваемых при выборке
Табличное значение статистики при уровне значимости =0.01 и количестве степеней свободы =9
- условие не противоречивости гипотезы
Гипотеза принимается
Приложение 3
Параметры нормального закона распределения
- количество реализаций случайной величины
Объект управления
Параметры управления
Коэффициенты регулятора
- изменённая матрица В
Определение собственных значений измененной матрицы В
Действительные части собственных значений изменённой матрицы отрицательны, значит, система работает устойчиво
Определение собственных векторов матрицы
Определение матрицы собственных векторов и обратной её матрицы
Проверка
Получение выборочных значений случайной величины
Генерирование ошибок измерений
Генерирование помех внутри объекта
Пересчет ошибок измерений в главную систему координат
Пересчет помех в главную систему координат
Начальные условия
Пересчет начальных условий в главную систему координат
Интегрирование методом второго порядка точности
(при Т=2 процесс становится установившимся)
Пересчет из главной системы координат в исходную систему координат
Реализации случайного процесса
Значения переменных состояния в конечной точке
Определение статических характеристик системы управления в момент времени t=T
Вычисление выборочного среднего (математическое ожидание)
Вычисление выборочной дисперсии
функция XХ:
функция YY:
Корреляционный момент
Оценка коэффициента корреляции
Проверка гипотезы о независимости переменных состояния системы в момент времени t=T
Анализ переменной состояния Х
Определение максимального и минимального значения выборки
Количество интервалов в гистограмме, определенное по правилу Стургерса
Длина интервала
Номер интервала
Выбираем точки Uk
Определение частоты попадания выборочных значений в k-ый интервал по переменной Х
Частота попадания в крайние интервалы достаточно мала, поэтому необходимо объединить крайние интервалы
Объединяем крайние интервалы
Рассмотри функцию Y
Определение максимального и минимального значения выборки
Количество интервалов в гистограмме, определенное по правилу Стургерса и также равно К
Номер интервала
Длина интервала
Определение частоты попадания выборочных значений в k-ый интервал по переменной Y
- частота попадания (Y)
Частота попадания в крайние интервалы достаточно мала, поэтому необходимо объединить крайние интервалы
Объединяем крайние интервалы
- частота попадания (Y)
Количество точек, попавших одновременно в оба интервала по двум переменным
- статистика
- уровень значимости
- количество степеней свободы
- табличное значение распределения (статистики) гипотеза принимается, если n<p
Гипотеза не принимается
Нахождение эмпирических уравнений регрессии X на Y и Y на X
Эмпирическое уравнение регрессии YY на XX
XXX - функция XX до сортировки
YYY - функция YY до сортировки
Эмпирическое уравнение регрессии XX на YY
Исследование статистических характеристик случайного процесса на основе реализации длиной N.
Оценка математического ожидания
- математическое ожидание переменных состояния
- переменная времени
Зависимости оценки математического ожидания для первой и второй переменных случайного процесса
Вычисление выборочной дисперсии переменных состояния
Стандартное отклонение
Зависимость стандартного отклонения от времени для соответствующих переменных случайного процесса
Оценка коэффициента корреляции в зависимости от t
- корреляционный момент переменных состояния
- коэффициент корреляции
Зависимость коэффициента корреляции случайного процесса от времени
Построение выборочной оценки корреляционной функции
Нормированная корреляционная функция по переменной Х случайного процесса
Нормированная корреляционная функция по переменной Y случайного процесса
Нормированная взаимная корреляционная функция двумерного случайного процесса