Найти пределы функций, не пользуясь правилом Лопиталя

Задача №1

Зависимости координат от времени при движении материальной точки в плоскости и имеют вид:

Определить модуль скорость () и ускорение () этой точки в момент времени .

Решение

А. Модуль скорости материальной точки от времени выражается по формуле:

Следовательно,

Б. . Модуль ускорения материальной точки от времени выражается по формуле:

Данные уравнения описывают движение материальной точки с постоянным ускорением .

Задача №2

Спутник вращается вокруг земли по круговой орбите на высоте . Определите линейную и угловую скорости спутника. Ускорение свободного падения у поверхности Земли . Радиус Земли

Решение

На спутник, движущийся по круговой орбите, действует сила тяжести , которая во много раз превосходит силы тяготения, действующие на него со стороны других небесных тел, поэтому по второму закону Ньютона . Здесь — масса спутника, его центростремительное ускорение. По закону всемирного тяготения . Здесь — гравитационная постоянная, — расстояние от спутника до центра Земли, т.е. радиус круговой орбиты спутника (), — масса Земли. Центростремительное ускорение спутника связано с линейной скоростью спутника соотношением или . Следовательно, получаем уравнение движения спутника на высоте : или

Эту формулу можно упростить следующим образом. На тело массой , находящееся на Земле, действует сила тяжести , равная по закону всемирного тяготения силе тяготения этого тела к Земле, поэтому или , откуда .

Таким образом, линейная скорость спутника равна ,

а угловая скорость

Задача №3

Шар массой движется со скоростью и сталкивается с покоящимся шаром массой и скоростью . Определить скорости шаров и после удара, если он абсолютно упругий, прямой, центральный.