Тема 1. Предел функции
Число А называется пределом функции при , стремящимся к , если для любого положительного числа (>0) найдется такое положительное число >0 (зависящее в общем случае от ), что для всех , не равных и удовлетворяющих условию xx<, выполняется неравенство xА x<.
Для предела функции вводится обозначение =А.
Пределы функций обладают следующими основными свойствами:
Функция не может иметь более одного предела.
Если = С (постоянная), то С.
Если существует А, то для любого числа верно:
Если существуют А и В, то = АВ, а если В0, то
.
Операция предельного перехода перестановочна с операцией вычисления непрерывной функции, т. е. справедлива формула
Если функция непрерывна в точке , то искомый предел равен значению функции в этой точке, т.е. он находится непосредственной подстановкой предельного значения переменной вместо аргумента :
Функция ( называется бесконечно малой величиной при , если ее предел равен нулю: Функция называется бесконечно большой величиной при , если
Пример 1. 9.
Пример 2. .
В рассмотренных примерах предел находился сразу: в виде числа или символа (бесконечность). Но чаще при вычислении пределов мы встречаемся с неопределенностями, когда результат нахождения предела не ясен, например, в случае отношения двух бесконечно малых функций (условное обозначение ) или бесконечно больших ().Кроме названных встречаются неопределенности вида
Для раскрытия неопределенностей используются специальные приемы и два следующих предела, которые играют особую роль в математике и поэтому называются замечательными:
- первый замечательный предел
-второй замечательный предел (число Эйлера).
Пример 3. .
Решение. Непосредственной подстановкой убеждаемся, что имеем дело с неопределенностью вида :
.
Для раскрытия неопределенности разложим числитель и знаменатель на множители. Найдем корни многочлена, стоящего в числителе. Для этого составим уравнение второй степени и найдем его решение:
Тогда для квадратного трехчлена справедливо разложение на множители
.
Аналогичные действия выполним для многочлена, стоящего в знаменателе.
Уравнение имеет решения
и знаменатель представляется в виде:
Сократим дробь на множитель и вычислим ее при
Пример 4.
Решение. Непосредственной подстановкой убеждаемся, что возникает неопределенность вида . Для раскрытия неопределенности умножим числитель и знаменатель на выражение , являющееся сопряженным к знаменателю
= .
Пример 5. .
Решение. Имеем неопределенность вида . Разделим числитель и знаменатель на (в более общем случае, когда числитель и знаменатель представляют многочлены разных степеней, делят на с наибольшим показателем степени числителя и знаменателя). Используя свойства пределов, получим:
.
Пример 6. .
Решение. При имеем неопределенность вида . Представим , разделим и умножим числитель и знаменатель на числа 2, 5 и , тогда предел преобразуется к виду:
.
Пользуясь свойствами пределов и первым замечательным пределом, далее имеем:
.
Пример 7. .
Решение. Имеем неопределенность вида [], так как
, а .
Выделим у дроби целую часть
.
Введем новую переменную и выразим отсюда через : . Тогда
Заметим, что при переменная . Теперь, переходя к новой переменной и используя второй замечательный предел, получим:
=.
Неопределенности вида путем алгебраических преобразований приводятся к виду . Неопределенности вида , можно раскрыть, предварительно прологарифмировав соответствующую функцию. Неопределенности вида можно исключить, используя правило Лопиталя, которое изложено в конце темы 2.
Пример 8. Первоначальный вклад в банк составил денежных единиц. Банк выплачивает ежегодно % годовых. Необходимо найти размер вклада через лет при непрерывном начислении процентов. Решить задачу при =10, =5%, =20 лет.
Решение. При % годовых размер вклада ежегодно будет увеличиваться в
раз, т.е. .
Если начислять проценты по вкладам не один раз в год, а раз, то размер вклада за лет при начислениях составит
.
Тогда размер вклада за лет при непрерывном начислении процентов () сводится к нахождению предела
.
Здесь при решении использовался второй замечательный предел.
Подставляя исходные числовые данные задачи, получаем
(ден. единиц).
Вопросы для самопроверки
Дайте определение предела функции в точке.
Назовите основные свойства пределов функций.
Какие виды неопределенностей встречаются при нахождении пределов?
Какие пределы называются замечательными?
Какие функции называют бесконечно малыми?
Задачи для самостоятельной работы
Найти пределы следующих функций:
| Номер варианта | А) | Б) |
| 1 | ||
| 2 | ||
| 3 | ||
| 4 | ||
| 5 | ||
| 6 | ||
| 7 | ||
| 8 | ||
| 9 | ||
| 10 |
Таблица 1.
Тема 2. Производная функции
Приращением функции в точке , соответствующим приращению аргумента , называется число .
Производной функции в точке называется предел отношения приращения функции к приращению аргумента при , если этот предел существует, и обозначается:
.
Нахождение производной функции называется дифференцированием этой функции. Если функция имеет в точке конечную производную, то функция называется дифференцируемой в этой точке.
Важнейшими правилами дифференцирования являются следующие.
Производная постоянной равна нулю: .
Постоянный множитель выносится за знак производной
.
Производная суммы (разности) функций равна сумме (разности) производных этих функций
.
Производная произведения двух дифференцируемых функций равна произведению производной первого сомножителя на второй плюс произведение первого сомножителя на производную второго
.
Производная частного двух дифференцируемых функций находится по формуле
.
Пусть переменная есть функция от переменной (например, ), а переменная , в свою очередь, есть функция от независимой переменной (), иначе задана сложная функция .
Если и - дифференцируемые функции от своих аргументов, то производная сложной функции существует и равна производной данной функции по промежуточному аргументу , умноженной на производную самого промежуточного аргумента по независимой переменной :
Если функция, производную которой нужно найти, представляет из себя комбинацию элементарных функций, то для вычисления производной применяются правила дифференцирования и таблица производных элементарных функций, приводимая ниже.
Таблица 2.
| № | функция | производная | № | функция | производная |
| 1 | 7 | 1/ | |||
| 2 | 8 | -1/ | |||
| 3 | 1/ | 9 | 1/() | ||
| 4 | 10 | -1/() | |||
| 5 | 11 | 1/(1+) | |||
| 6 | - | 12 | -1/(1+) |
Пример 1. Найти производную функции
.
Решение. Представим ее как сложную функцию. Пусть , тогда и . Найдем производную по промежуточному аргументу как степенной функции
.
В свою очередь, промежуточный аргумент представляется в виде суммы двух степенных функций минус постоянная, поэтому, используя правила 1-3,по-лучим
=.
Отсюда производная искомой функции
.
Пример 2. Найти производную функции
.
Решение. Обозначим, . Тогда и искомая производная находится из формулы .
Производную находим из таблицы производных элементарных функций
.
Второй сомножитель представляет производную от степенной функции
Наконец, последняя производная находится по правилам дифференцирования частного
==.
В итоге получаем искомую производную
.
Пример 3. Наити производную
.
Решение. Производная суммы двух функций есть сумма их производных
.
Для нахождения производной первого слагаемого обозначим , .
Тогда ,
=
Производную второго слагаемого найдем по правилу дифференцирования степенно-показательной функции. Прологарифмируем функцию : Дифференцируем левую и правую часть полученного равенства
Отсюда
Наконец, находим производную искомой функции
Пример 4. На основе опытных данных построена математическая модель спроса населения на некоторый товар в зависимости от цены :
.
Определить эластичность спроса при (в условных денежных един.).
Решение. Эластичностью спроса называют предел отношения относительного приращения спроса к относительному приращению цены при :
.
Если >1, то спрос называют эластичным, при <1 – неэластичным, а при нейтральным.
Найдем производную
.
Тогда
.
Определим эластичность спроса при :. Таким образом, при такой цене имеем неэластичный спрос.
Правило Лопиталя. При нахождении пределов функций (тема 1) неопределенности вида можно исключить, применяя правило Лопиталя: предел отношения двух бесконечно малых или бесконечно больших функций равен пределу отношения их производных, если последний существует, т. е.
Если (или ), то правило Лопиталя можно использовать вторично, т.е.
В общем случае правило Лопиталя можно применять неоднократно.
Пример 5. Найти
Решение. Для раскрытия неопределенности применим правило Лопиталя.
Неопределенность вида по-прежнему сохраняется. Применим правило Лопиталя еще раз:
Вопросы для самопроверки
Дайте определение производной функции в точке.
Какая функция называется дифференцируемой в точке?
Назовите важнейшие правила дифференцирования.
Как находится производная сложной функции?
Сформулируйте правило Лопиталя.
Задачи для самостоятельной работы
Найти производные следующих функций:
Таблица 3.
| Номер варианта | А) | Б) | В) |
| 1 | y=(3x4-4x(-1/4)+2)5 | y=arccos2x+(1-4x2)1/2 | y=2tgx+x sin(2x |
| 2 | y=(5x2+4x(5/4)+3)3 | y=arctg(x2-1)1/2 | y=e3x-2x tg(3x) |
| 3 | y=(0.25x8+8x(3/8)-1)3 | y=arccos(1-x2)1/2 | y=3cosx-x sin(2x) |
| 4 | y=(0.2x5-3x(4/3)-4)4 | y=arctg(x-1)1/2 | |
| 5 | y=(3x8+5x(2/5)-3)5 | y=arctg(2/(x-3)) | |
| 6 | y=(5x4-2x(-3/2)+3)4 | y=arccos(1-x)1/2 | |
| 7 | y=(4x3+3x(-4/3)-2)5 | y=arcctg(x-1)1/2 | |
| 8 | y=(7x5-3x(5/3)-6)4 | y=arcsin3x-(1-9x2)1/2 | y=etgx-x1/2 cos(2x). |
| 9 | y=(3x4-4x(-1/4)-3)5 | y=arctg(1/(x-1)) | y=x tg3x+2x-2 |
| 10 | y=(8x3-9x(-7/3)+6)5 | y=arcsin((1-x)1/2) |
Тема 3. Применение дифференциала функции в приближенных вычислениях
Дифференциалом функции в точке называется главная, линейная относительно приращения аргумента часть приращения функции , равная произведению производной функции в точке на приращение независимой переменной:
.
Отсюда приращение функции отличается от ее дифференциала на бесконечно малую величину и при достаточно малых значениях можно считать или
.
Приведенная формула используется в приближенных вычислениях.
Пример. Вычислить приближенно
Решение. Рассмотрим функцию . Это степенная функция и ее производная найдется:
В качестве требуется взять число, удовлетворяющее условиям:
- значение известно или достаточно просто вычисляется;
- число должно быть близким к числу 33,2, т.е. приращение должно быть как можно меньше.
В нашем случае этим требованиям удовлетворяет число = 32, для которого = 2, = 33,2 -32 = 1,2.
Применяя формулу, находим искомое число:
+ .
Вопросы для самопроверки
1. Дайте определение дифференциала функции в точке.
2. Почему формула, используемая для вычислений, является приближенной?
3. Каким условиям должно удовлетворять число , входящее в приведенную формулу?
Задачи для самостоятельной работы
Вычислить приближённое значение , заменив в точке приращение функции ее дифференциалом.
Таблица 4.
| Номер варианта | |||
| 1 | 3 | 502 | 512 |
| 2 | 4 | 267 | 256 |
| 3 | 5 | 234 | 243 |
| 4 | 6 | 685 | 729 |
| 5 | 7 | 142 | 128 |
| 6 | 3 | 349 | 343 |
| 7 | 4 | 605 | 625 |
| 8 | 5 | 255 | 243 |
| 9 | 6 | 773 | 729 |
| 10 | 7 | 156 | 128 |
Тема 4. Исследование функций и построение их графиков
Если функция одной переменной задана в виде формулы , то областью ее определения называют такое множество значений аргумента , на котором определены значения функции.
Пример 1. Значение функции определены только для неотрицательных значений переменной : . Отсюда область определения функции будет полуинтервал [4;).
Пример 2. Функция
не определена при таких значениях аргумента , когда либо знаменатель равен нулю (), либо подкоренное выражение отрицательно (<3). Тогда областью определения служит множество, являющееся объединением интервалов (3;4)(4;5) (5;).
Пример 3. Функция определена только на отрезке [-1;1], так как значение тригонометрической функции удовлетворяют неравенству: -11.
Функция называется четной, если для любых значений из области ее определения выполняется равенство
,
и нечетной, если справедливо другое соотношение: . В других случаях функцию называют функцией общего вида.
Пример 4. Пусть . Проверим:
.
Таким образом, эта функция является четной.
Для функции верно: . Отсюда эта функция нечетная.
Их сумма является функцией общего вида, так как не равна и .
Асимптотой графика функции называется прямая, обладающая тем свойством, что расстояние от точки (;) плоскости до этой прямой стремится к нулю при неограниченном удалении точки графика от начала координат. Различают вертикальные (а), горизонтальные (б) и наклонные (в) асимптоты.
2
а) б)
в)
Вертикальные асимптоты функции следует искать либо в точках разрыва второго рода (хотя бы один из односторонних пределов функции равен в точке бесконечности или не существует), либо на концах ее области определения (a,b), если a,b –конечные числа.
Если функция определена на всей числовой оси и существует конечный предел , либо , то прямая, задаваемая уравнением , является правосторонней горизонтальной асимптотой, а прямая - левосторонней горизонтальной асимптотой.
Если существуют конечные пределы
и ,
то прямая является наклонной асимптотой графика функции. Наклонная асимптота также может быть правосторонней () или левосторонней ().
Функция называется возрастающей на множестве , если для любых , таких, что >, выполняется неравенство: > (убывающей, если при этом:
<).
Множество в этом случае называют интервалом монотонности функции.
Справедливо следующее достаточное условие монотонности функции: если производная дифференцируемой функции внутри множества положительна (отрицательна), то функция возрастает (убывает) на этом множестве.
Пример 5. Дана функция . Найти ее интервалы возрастания и убывания.
Решение. Найдем ее производную . Очевидно, что >0 при >3 и <0 при <3. Отсюда функция убывает на интервале (;3) и возрастает на (3;).
Точка называется точкой локального максимума (минимума) функции , если в некоторой окрестности точки выполняется неравенство
().
Значение функции в точке называется максимумом (минимумом). Максимум и минимум функции объединяются общим названием экстремум функции.
Для того, чтобы функция имела экстремум в точке необходимо, чтобы ее производная в этой точке равнялась нулю () или не существовала.
Точки, в которых производная функции равна нулю, называются стационарными точками функции. В стационарной точке не обязательно должен быть экстремум функции. Для нахождения экстремумов требуется дополнительно исследовать стационарные точки функции, например, путем использования достаточных условий экстремума.
Первое из них заключается в том, что если при переходе через стационарную точку слева направо производная дифференцируемой функции меняет знак с плюса на минус, то в точке достигается локальный максимум. Если знак изменяется с минуса на плюс, то это точка минимума функции.
Если же изменение знака производной при переходе через исследуемую точку не происходит, то в данной точке экстремума нет.
Второе достаточное условие экстремума функции в стационарной точке использует вторую производную функции: если <0, то является точкой максимума, а если >0, то - точка минимума. При =0 вопрос о типе экстремума остается открытым.
Функция называется выпуклой (вогнутой) на множестве , если для любых двух значений выполняется неравенство:
.
Если вторая производная дважды дифференцируемой функции положительна (отрицательна) внутри множества , то функция вогнута (выпукла) на .
Точкой перегиба графика непрерывной функции называется точка, разделяющие интервалы, в которых функция выпукла и вогнута.
Вторая производная дважды дифференцируемой функции в точке перегиба равна нулю, то есть = 0.
Если вторая производная при переходе через некоторую точку меняет свой знак, то является точка перегиба ее графика.
При исследовании функции и построении ее графика рекомендуется использовать следующую схему:
Найти область определения функции.
Исследовать функции на четность – нечетность (если функция четная или нечетная, то график достаточно исследовать только для положительных значений , а для <0 график симметричен относительно оси в случае чет
Найти вертикальные асимптоты.
Исследовать поведение функции в бесконечности, найти горизонтальные и наклонные асимптоты.
Найти интервалы возрастания и убывания функции и точки экстремума.
Найти интервалы выпуклости и вогнутости функции и точки перегиба.
Найти точки пересечения функции с осями координат.
Пример 6. Исследовать функцию
и построить ее график.
Решение. 1.Функция представляет многочлен 3-й степени, поэтому она определена и непрерывна для всех .
2. Найдем значение функции при (-):
а также .
Таким образом, исследуемая функция является функцией общего вида и ее требуется исследовать на всей числовой оси.
Функция непрерывна на всей числовой оси, точек разрыва второго рода не имеет, следовательно, у нее вертикальные асимптоты отсутствуют.
Рассмотрим поведение функции в бесконечности.
Найдем пределы:
;
Так как пределы не являются конечными, то горизонтальных асимптот у функции нет.
Далее проверим наличие у функции наклонных асимптот. Вычислим предел:
.
Поскольку предел не является конечными, то наклонные асимптоты также отсутствуют. Если бы предел являлся конечным и равнялся k, то требовалось найти другой предел
.
В случае когда он также конечен (равен числу b), устанавливается наличие наклонной асимптоты с уравнением .
Для определения интервалов монотонности функции найдем ее производную:
.
Производная также определена и непрерывна на всей числовой оси. Отсюда критическими точками могут быть только те, где производная равна нулю.
Для нахождения стационарных точек функции приравниваем производную нулю:
и решаем квадратное уравнение:
= = 4,
,
Теперь можно записать:
=0.
В итоге функция имеет две стационарные точки .
Используя метод интервалов, найдем интервалы знакопостоянства производной функции.
+ +
1 _ 5/3
При <1 и >5/3 производная >0, т.е. интервалы и являются интервалами возрастания функции.
При 1<<5/3 имеем <0 и интервалом убывания является .
Поскольку при <1 знак >0, а при >1 <0, то стационарная точка = 1 является точкой максимума функции.
В другой стационарной точке = имеем <0 слева от нее и >0 справа. Следовательно, в точке = функция имеет локальный минимум.
Для нахождения интервалов выпуклости вычислим вторую производную функции:
.
Вторая производная также определена на всей числовой оси и точки, где она не существует, отсутствуют.
Приравнивая вторую производную к нулю:
= 0,
находим точку 3 = , которая может быть точкой перегиба.
Если <4/3, то <0 и на интервале функция вогнута. При >4/3 >0 и интервал является интервалом выпуклости функции.
В итоге, поскольку при переходе точки производная меняет знак, то является точкой перегиба функции.
Определим точки пересечения функции с координатными осями. Полагая аргумент =0, находим точку пересечения графика функции с осью ординат : .
Записывая уравнение
,
найдем точки пересечения графика с осью абсцисс. Методом перебора из делителей свободного члена (равного 4) определяем, что =2 является корнем этого уравнения. Разделим многочлен левой части уравнения на линейный бином ():
0
Отсюда уравнение можно записать в виде
.
Решением квадратного уравнения является =1 (кратный корень, поэтому график функции касается в точке =1 координатной оси).
Для удобства построения графика полученные результаты запишем в следующую таблицу.
Таблица 5.
| Интервал изменения или значение аргумента | Значения функции |
Знак или значение | Выводы | Фрагмент графика функции | ||
| (- ;1) | + | - | Функция возрастает и выпукла | |||
| =1 | 0 | 0 | - | Точка максимума | ||
(1; ) |
- | - | Убывает и выпукла | |||
| = | - | 0 | Точка перегиба графика | |||
| (;) | - | + | Убывает и вогнута | |||
| = | - | 0 | + | Точка минимума | ||
| (;) | + | + | Возрастает и выпукла | |||
График исследуемой функции
Вопросы для самопроверки
1. Что называют асимптотой графика функции?
2. Что такое локальный экстремум функции?
3. Сформулируйте необходимое и достаточные условия локального экстремума.
4. Дайте определение выпуклой функции.
5. Какую точку графика называют точкой перегиба?
Задачи для самостоятельной работы
Исследовать и построить график функций:
Таблица 6
| Номер варианта | Исследуемая функция |
| 1 | f(x)=(х3-14х2+49х-36)/3 |
| 2 | f(x)=(х3-25х2+143х-119)/10 |
| 3 | f(x)= х3-10х2+20х-8 |
| 4 | f(x)=(х3-16х2+69х+86)/6 |
| 5 | f(x)=(х3-29х2+215х-187)/2 |
| 6 | f(x)= х3-12х2 -26х+4 |
| 7 | f(x)=(х3-8х2+5х+30)/4 |
| 8 | f(x)=(х3-19х2+25х+18)/5 |
| 9 | f(x)= х3-3х2-20х-6 |
| 10 | f(x)=(х3-10х2+17х-2)/2 |
Тема 5. Неопределенный интеграл
Функция называется первообразной функцией для функции , заданной на интервале , если в каждой точке этого интервала функция дифференцируема и имеет производную , равную , т.е.
Отсюда следует, что если -первообразная для функции ,то выражение вида , где C - произвольное число, также является первообразной для .
Совокупность всех первообразных функций для данной функции на интервале называется неопределенным интегралом от функции и обозначается символом , где -знак интеграла,-подынтегральная функция, -подынтегральное выражение.
Если -одна из первообразных для на интервале , то
,
где -произвольная постоянная.
Операция нахождения неопределенного интеграла от некоторой функции называется интегрированием этой функции. Отметим основные свойства неопределенного интеграла.
Производная от неопределенного интеграла равна подынтегральной функции, т.е.
Неопределенный интеграл от дифференциала некоторой функции равен этой функции с точностью до постоянного слагаемого, т.е.
.
Постоянный множитель можно выносить за знак интеграла
Интеграл от алгебраической суммы двух функций равен такой же сумме интегралов от этих функций в отдельности
Основу вычислительного аппарата интегрального исчисления составляет таблица неопределенных интегралов от основных элементарных функций, приводимая ниже.
Таблица 7.
№ пп |
Подынт. функция |
Неопределенный интеграл |
№ пп |
Подынт. функция |
Неопределенный интеграл |
| 1 | 0 | 8 | |||
| 2 | 1 | 9 | 1/ | ||
| 3 | 10 | 1/ | - | ||
| 4 | 1/ | 11 | |||
| 5 | 12 | ||||
| 6 | 13 | ||||
| 7 | 14 |
Пример 1. Найти интеграл
Решение. Воспользуемся табличным интегралом от степенной функции (п.3 в таб.7) для
:
Проверим правильность вычисления дифференцированием правой части
.
Получена подынтегральная функция, что говорит о правильном нахождении неопределенного интеграла.
При вычислении неопределенных интегралов приведенную таблицу дополняют специальными приемами и методами интегрирования, два из которых рассмотрены ниже.
Интегрирование заменой переменной (подстановкой)
Замена переменной – один из самых эффективных приемов интегрирования, который основывается на следующем.
Пусть требуется найти В ряде случаев удается выбрать в качестве новой переменной такую дифференцируемую функцию , что имеет место равенство , причем функция легко интегрируется, т.е.
Тогда
Удачная замена переменной позволяет упростить исходный интеграл и в ряде случаев свести его к табличному.
Пример 2. Найти
Решение. Положим . Тогда . Умножим и разделим исходный интеграл на число 3 и выполним следующие преобразования
Полученный интеграл относится к табличным и, следовательно,
Сделаем проверку дифференцированием:
.
Полученная производная совпадает с подынтегральной функцией исходного
интеграла, что говорит о правильности вычислений.
Пример 3. Вычислить
Решение. Чтобы выявить замену, посредством которой может быть вычислен этот интеграл, преобразуем его к виду
Если положить , тогда и в результате получим
Интегрирование по частям
Этот метод основывается на следующем утверждении. Пусть функции дифференцируемы и существует первообразная для функции Тогда существует первообразная и для функции
причем справедлива формула
,
называемая формулой интегрирования по частям.
Пример 4. Найти
Решение. Положим Тогда
Произвольную постоянную в этих случаях исключают и записывают
Теперь, применяя формулу интегрирования по частям, получим
Иногда формулу интегрирования по частям приходится применять неоднократно.
Пример 5. Вычислить
Решение. Полагая , имеем
, .
Применяя формулу интегрирования по частям, получим
Степень переменной в подынтегральном выражении уменьшилась на единицу. Повторим применение формулы интегрирования по частям. Поло-
жим
Отсюда
Тогда
+
Вопросы для самоконтроля
Дайте определение первообразной функции.
Что называют неопределенным интегралом?
Перечислите основные свойства неопределенного интеграла.
В чем суть приема, называемого заменой переменной?
На чем основан метод интегрирования по частям?
Задачи для самостоятельной работы
Найти неопределенные интегралы, результаты проверить дифференцированием:
| Номер варианта | А) | Б) |
| 1 | ||
| 2 | ||
| 3 | ||
| 4 | ||
| 5 | ||
| 6 | ||
| 7 | ||
| 8 | ||
| 9 | ||
| 10 |
Тема 6. Дифференциальные уравнения 1-го порядка
Дифференциальным уравнением (ДУ) называют уравнение, связывающее искомую функцию одной или нескольких переменных, эти переменные и производные различных порядков данной функции.
В случае, когда искомая функция зависит от одной переменной, дифференциальное уравнение называется обыкновенным. В общем виде оно записывается:
. (1)
Порядок старшей производной искомой функции, входящей в запись уравнения (1), называется порядком дифференциального уравнения.
Решением уравнения называется такая функция , которая при подстановке ее в уравнение (1) обращает его в тождество. Задача нахождения решения ДУ называется задачей интегрирования данного ДУ, а график решения ДУ называется интегральной кривой.
Общим решением ДУ вида (1) - го порядка называется функция
,
где - произвольные постоянные.
Частным решением ДУ называется решение, получаемое из общего решения при конкретных числовых значениях постоянных .
Дифференциальное уравнение 1-го порядка, разрешенное относительно производной, записывается в общем виде
. (2)
Его общим решением является функция одной произвольной постоянной
. (3)
Для получения однозначного решения требуется задать начальное условие, которое геометрически представляет собой задание точки плоскости, через которую проходит данная интегральная кривая. Например, оно может быть записано в виде
=const.
С использованием данного условия общее решение (3) запишется
,
что позволяет определить из полученного соотношения конкретное значение постоянной и тем самым получить некоторое частное решение уравнения (2).
ДУ 1-го порядка называется уравнением с разделяющимися переменными, если оно может быть представлено в виде
. (4)
Для нахождения общего решения такого уравнения его преобразовывают к виду, в котором дифференциал и функция окажутся в одной части уравнения, а и - в другой:
. (5)
Затем интегрируются обе части полученного равенства (с одной общей постоянной)
.
Пример 1. Найти общее решение следующего ДУ: .
Решение. Сначала преобразуем уравнение к виду (4)
,
а затем к виду (5):
.
Найдем интеграл от левой части. Для этого представим подынтегральную функцию в виде следующей суммы
.
Приравнивая числители, получаем
.
Найдем из последнего равенства и , последовательно положив в нем =0 и =-1:
При =0 имеем =1, а при = -1 получаем =-1.
Отсюда
.
Интеграл от правой части является табличным и равен .
Запишем произвольную постоянную в виде .
Тогда
.
Отсюда
или .
Разрешая относительно , окончательно получаем общее решение уравнения
.
Дифференциальное уравнение 1-го порядка называется линейным, если оно имеет вид
. (6)
Если 0, то уравнение (6) называют однородным, в противном случае – неоднородным.
Один из вариантов решения уравнения (6) сводится к представлению решения в виде произведения двух функций
, (7)
одна из которых является произвольной, а другая определяется из уравнения (6).
Так как
, (8)
то подставляя (7) и (8) в уравнение (6), получим:
. (9)
Полагая функцию произвольной, найдем ее из условия равенства нулю выражения в круглых скобках уравнения (9), т.е. как частное решение уравнения:
,
которое является уравнением с разделяющимся переменным.
Тогда при определенной ) можно найти функцию из оставшейся упрощенной (из-за равенства нулю выражение в круглой скобке) части уравнения (9):
,
которая также является дифференциальным уравнением с разделяющимися переменными. Найденные и определяют общее решение исходного дифференциального уравнения.
Пример 2.Найти общее и частное решение уравнения с начальным условием .
Решение. Разделим левую и правую часть на :
.
Получили линейное неоднородное уравнение.
Пусть , тогда и исходное уравнение примет вид:
или . (10)
Потребуем:
, т.е. .
Отсюда, разделяя переменные
и проинтегрировав
,
получим общее решение
и частное (например, положив = 0)
или .
При и уравнение (10) примет вид:
или .
Отсюда .
Интегрируя это уравнение получим:
Окончательно получаем общее решение исходного уравнения:
.
Воспользуемся начальным условием для нахождения требуемого частного решения:
Отсюда и искомое частное решение имеет вид
.
Вопросы для самопроверки
1. Дайте определения дифференциального уравнения и его решения.
2. Что называют общим и частным решением дифференциального уравнения?
3. Какое ДУ называют уравнением с разделяющимися переменными?
4. Какое ДУ 1-го порядка называют линейным?
5. Опишите общую схему метода решения линейного ДУ 1-го порядка.
Задачи для самостоятельной работы
Найти общее и частное решения дифференциального уравнения первого порядка, используя начальные условия.
Таблица 9.
| Номер варианта | Дифференциальное уравнение | Начальные условия |
| 1 | ||
| 2 | ||
| 3 | ||
| 4 | ||
| 5 | ||
| 6 | ||
| 7 | ||
| 8 | ||
| 9 | ||
| 10 |
Правила выполнения и оформления контрольной работы
1. Выбор вариантов осуществляется в соответствии с последней цифрой учебного шифра студента (например, если последняя цифра «3», то выполняется вариант номер 3, если - «0», то - вариант номер 10).
2. Контрольная работа пишется чернилами любого цвета (кроме красного) в тонкой тетради, для замечаний рецензента оставляются поля. На обложке тетради указывают фамилию, имя, отчество студента, номер студенческой группы, учебный шифр (серия и номер зачетной книжки), название кафедры, наименование дисциплины и номер контрольной работы, а также домашний адрес.
3. Решение задач следует располагать в порядке следования номеров, указанных в задании, сохраняя номера задач. Условия задач выписывать обязательно. Если несколько задач имеют общую формулировку, то при переписывании общие условия заменяют конкретными данными.
4. Решения задач требуется оформлять аккуратно, подробно объясняя все действия и используемые формулы. В конце работы приводится список использованной литературы, указывается дата выполнения работы и ставится подпись исполнителя.
Литература
Высшая математика для экономистов. Под ред. Н.Ш. Кремера. М.: Банки и биржи, 1997.
Математика: Учебное пособие для экономических специальностей. Под ред. Р.Ш. Марданова, Казань: Изд-во КФЭИ, 1999.
Карасев А.И. Курс высшей математики для экономических вузов. М.: Высшая школа, 1982
Кудрявцев В.А. Краткий курс высшей математики. М.: Наука, 1986
Талызин В.А. Контрольная работа по высшей математике. Казань: КИ МГУК, 1998.