Часть 1.
Системы координат. Коэффициент Ламэ. Элементы векторной алгебры.
1.1.(х0
, у0
) равно:
Ответ: 0
1.2.[z0
, y0
] равно:
Ответ: - х0
1.3.[z0
, x0
] равно:
Ответ: y0
1.4.(х0
,z0
) равно:
Ответ: 0
1.5.(y0
,z0
) равно:
Ответ: 0
1.6.[z0
,r0
] равно:
Ответ: Ф0
1.7.[Ө0
, r0
] равно:
Ответ: -Ф0
1.8.(z0
,Ф0
) равно:
Ответ: 0
1.9.[ Ф0
, Ө0
] равно:
Ответ: -r0
1.10.(х0
, [y0
,z0
]) равно:
Ответ:1, (z0
, [x0
,y0
])
1.11. (x0
, [z0
,y0
]) равно:
Ответ: (y0
,[x0
,z0
]), -1
1.12. (x0
, [y0
,y0
]) равно:
Ответ: 0
1.13. [x0
, [y0
,z0
]] равно:
Ответ: 0, y0
(x0
,z0
) – z0
(x0
,y0
)
1.14. (r0
,[z0
,Ф0
]) равно:
Ответ:-1, (Ф0
, [r0
, z0
])
1.15. (r0
, [Ө0
, Ф0
]) равно:
Ответ: 1, (Ф0
, [r0
, Ө0
])
1.16. (x0
, [y0
,z0
]) равно: Ответ:1
1.17. (x0
,[y0
, x0
]) равно:
Ответ: 0
1.18. Коэффициенты Ламэ в прямоугольной системе координат равны:
Ответ: h1
=1, h2
=1, h3
=1
1.19. Коэффициенты Ламэ в цилиндрической системе координат равны:
Ответ: h1
=1, h2
=r, h3
=1
1.20. Коэффициент Ламэ в сферической системе координат равны:
Ответ: h1
=1, h2
=r, h3
=rsinѲ
1.21. (a, b) скалярное произведение векторов a и b в декартовой системе координат равно:
Ответ: ax
bx
+ay
by
+az
bz
1.22. [a, b] – векторное произведение векторов aи b в декартовой системе координат равно:
Ответ: выбрать матрицу (x0
y0
z0
….)
1.23. (a, [b, c]) – смешанное произведение векторов a, b,c в декартовой системе координат равно:
Ответ: выбрать матрицу (ax
bx
cx
…..)
1.24. Двойное векторное произведение векторов А, В и С равно:
Ответ: А х (В х С) = В(А,С) – С(А,В)
1.25. (А,[A,B])равно:
Ответ: 0
1.26. (A,[B,B]) равно:
Ответ: 0
1.27. (A,[B,C]) равно:
Ответ: (C,[A,B]), (B,[C,A])
1.28. A x (B x C) равно:
Ответ: B(A,C) – C(A,B)
1.29. Объем параллелепипеда построенного на векторах А,В и С равен:
Ответ: |(A,[B,C])|
1.30. Угол между векторами А и В равен:
Ответ: ф=arcsin |[A,B]|/|A| x |B|
Ф= arccos (A,B)/|A| x |B|
1.31. Проекция вектора А на направление вектора В равна:
Ответ: (А, В) /|B|
1.32. Орт радиус-вектора r=x0
x+ y0
y + z0
z равен:
Ответ:длинное выражение с корнями
1.33. Площадь параллелограмма, построенного на векторах А и В равна:
Ответ: |ABsinф|, где |A|= A, |B| = B, ф - угол между векторами
|[A,B]|
1.34. Если [A,B]=C, то [B,A] равно:
Ответ: -С, -С0
|C|∂
Часть 2.
Векторный анализ:
- Скалярное поле. Градиент
- Векторное поле. Дивергенция. Ротор. Оператор Гамильтона.
2.1. gradψ – градиент скалярной функции ψ в декартовой системе координат равен:
Ответ: x0
∂ψ/∂x+y0
∂ψ/∂y+z0
∂ψ/∂z
2.2.gradr – градиент скалярной функции r = |r|, где r = x0
x+y0
y+z0
z, равен:
Ответ: x0
∂r/∂x+ y0
∂r/∂y+ z0
∂r/∂z, r0
2.3. grad ln(r), где r =|r|, r0
=r/r, r=x0
x+y0
y+z0
z, равен:
Ответ: r0
/r
2.4. grad sin r,где r=|r|=√x^2+y^2+z^2, r=x0
x+y0
y+z0
z равен:
Ответ: d sin r/ dr grad r, (cos r) r0
2.5. grad 1/r, где r=|r|,r=x0
x+y0
y+z0
z равен:
Ответ: -r0
/r^2
2.6. [gradr, r] равно:
Ответ: 0
2.7.Производная скалярной функции U=r(r=|r|), по направлению оси OZ, где r=x0
x+y0
y+z0
zравна:
Ответ: ∂U/∂z=(gradr, z0
), ∂U/∂z=z/r
2.8. Производная скалярной функции U=1/r(r=|r|), по направлению радиус вектор
x+y0
y+z0
z равна:
Ответ: ∂U/∂r=(grad(1/r),r0
), ∂U/∂r=-1/r^2
2.9. Производная скалярной функции U=r, где r=|r|= √x^2+y^2+z^2 , по направлению оси OX равна:
Ответ: ∂U/∂x=(gradr, x0
), ∂U/∂x=x/r
2.10. Производная скалярной функции U=lnr (где r=|r|) по направлению радиус вектора r=x0
x+y0
y+z0
zравна:
Ответ: ∂U/∂r=1/r, ∂U/∂r=(grad(lnr), r0
)
2.11. Производная скалярной функции U=cosr (где r=|r|) по направлению радиус вектора r=x0
x+y0
y+z0
zравна:
Ответ: ∂U/∂r= (grad(cosr), r0
), ∂U/∂r=-sinr
2.12. divF –дивергнеция вектора F=x0
Fx
+y0
Fy
+z0
Fz
равна:
Ответ: ∂Fx
/∂x+∂Fy
/∂y+∂Fz
/∂z
2.13. В поле вектора а отсутствуют источники и стоки, если:
Ответ:diva = 0 , (перевернутый треуг, а)=0, где переверн. треуг. – оператор Гамильтона
2.14. div (r), где r=x0
x+ y0
y+z0
z, равна:
Ответ:3, drx
/dx+dry
/dy+drz
/dz
2.15. div (sin(r)r), где r=|r|, r=x0
x+y0
y+z0
z равна:
Ответ: 3sin(r)+r cos(r), sin(r)div(r)+(r,grad(sin(r)))
2.16. div ((ln r)r), где r=|r|, r=x0
x+y0
y+z0
z равна:
Ответ:(lnr)div r+(grad lnr,r), 3 ln r+1/r(r/r,r)
2.17. Поток вектора F через поверхность S – это:
Ответ: Ф=∫(F,n0
)ds, где n0
-единичный вектор нормали n к поверхности S
2.18. Дивергенция орта радиус-вектора r0
=r/r, где r=|r|, r=x0
x+y0
y+z0
z равна:
Ответ: div r0
=1/r div r + (grad1/r,r), div r0
=2/r
2.19. теорема Остроградского-Гаусса это:
Ответ: ∮Fds=∫divFdv,где S-замкнутая поверхность, ограничивающая объем V
2.20 rot F – ротор вектора F=x0
Fx
+y0
Fy
+z0
Fz
равен:
Ответ: матрица
2.21.Поле вектора а потенциально, если
Ответ:rota=0, a=gradψ, где ψ- скалярная функция
2.22. Ротор орта радиус- вектора r0
=r/r, где r=|r|, r=x0
x+y0
y+z0
zравен:
Ответ:rot r0
=1/rrotr+[grad 1/r, r], rot r0
=0
2.23.Теорема Стокса- это:
Ответ: ∮Fdl=∫rotFds, где L- одновитковый замкнутый контур, S – поверхность опирающаяся на L
2.24. Если циркуляция вектора Fпо замкнутому контуру L равна нулю,( ∮Fdl=0) то:
Ответ:Поле вектора F – потенциально, rotF=0
2.25. Поле радиус – вектора r=x0
x+y0
y+z0
z:
Ответ: Содержит источники и стоки, потенциально
2.26. rotr, где r=x0
x+y0
y+z0
zравен:
Ответ: 0
2.27. rot(f(r) r), где r=|r|, r=x0
x+y0
y+z0
z, равен:
Ответ: 0, f(r) rotr +[gradf(r),r]
2.28. Выражение перевернутый треугольник х F=[ перевернутый треугольник х F], где F=x0
Fx
+y0
Fy
+z0
Fz
, а перевернутый треугольник- оператор Гамильтона равно:
Ответ: rotF
2.29. Выражение первернутый треугольник в квалрате = треугольник в декартовой системе координат равно:
Ответ: ∂^2/∂x^2+∂^2/∂y^2+∂^2/∂z^2
2.30. Используя понятие оператора Гамильтона, доказать, что gradψ равен:
Ответ:[перев треуг, перев треуг]ψ, 0
2.31. Используя понятие оператора Гамильтона, доказать, что divgradψравна:
Ответ: переверн треуг в квадрате ψ, (перев треуг, перевер треуг)ψ
2.32. Используя понятие оператора Гамильтона, доказать, что rotrotF равен:
Ответ:graddivF – перев треуг в квадрате F
2.33. Используя понятие оператора Гамильтона, доказать, что grad(ψφ), где ψ и φ скалярные функции, равен:
Ответ:φ gradψ+ψgradφ
2.34. Используя понятие оператора Гамильтона, доказать, что div(ψF), где ψ-скалярная функция, рвна:
Ответ:ψdivF+(gradψ,F)
2.35. Используя понятие оператора Гамильтона, доказать, что divrotFравна:
Ответ:0, (переверн треуг, [перев треуг,F])
2.36. Выражение переверн треуг ψ, где ψ-скалярная функция, а перев треуг – оператор Гамильтона равно:
Ответ:gradψ, x0
∂ψ/∂x+y0
∂ψ/∂y+z0
∂ψ/∂z
2.37. Выражение перев треуг х F=(переверн треуг,F), где F=x0
Fx
+y0
Fy
+z0
Fz
, а перев треуг – оператор Гамильтона рано:
Ответ: div F, матрица