Нелокальная краевая задача для уравнения смешанного типа третьего порядка с кратными характеристиками
Езаова А.Г.
Кафедра теории функций.
Кабардино-Балкарский государственный университет
В работе рассматривается нелокальная краевая задача для уравнения смешанного типа. Поставленная задача сводится к сингулярному интегральному уравнению, которое методом Карлемана-Векуа редуцируется к интегральному уравнению Фредгольма третьего рода.
Рассмотрим уравнение
(1)
где m – натуральное число в конечной односвязной области , ограниченной отрезками прямых соответственно – и характеристиками:
уравнения (1).
Пусть ;– интервал прямой ;
– аффиксы точек пересечения характеристик уравнения (1) при , выходящих из точки , с характеристиками и соответственно;
(2)
(3)
– операторы дробного интегрирования порядка - при и обобщенные в смысле Лиувилля производные порядка при , причем
где – единичный оператор, а – целая часть .
Под регулярным в области решением уравнения (1) будем понимать функцию , удовлетворяющую уравнению (1) в , и такую, что может обращаться в бесконечность порядка ниже на концах А и В интервала I.
Задача Н. Найти регулярное в области решение уравнения (1), удовлетворяющее краевым условиям:
, (4)
, (5)
где ,
(5`)
. (6)
Пусть существует решение задачи . Тогда, регулярное решение уравнения (1) в гиперболической части , удовлетворяющее данным Коши , дается формулой [1]:
(7)
Удовлетворяя (7) краевому условию (5), получим функциональное соотношение между функциями и , принесенное на из [2]:
, (8)
где
(9)
Из постановки задачи Н следует, что функция непрерывна в области . Поэтому, переходя к пределу при в уравнении (1) и учитывая граничные условия (4), получим:
, (10)
. (11)
Решая задачу (10), (11) относительно , окончательно получим функциональное соотношение между функциями и , принесенное из области на :
(12)
Подставляя в (9) вместо функции её выражение (12), получаем :
где
.
Используя формулу Дирихле перестановки порядка интегрирования, перепишем равенство (13) в виде:
(14)
Следуя [2], преобразуем интегралы:
, , ,
, .
В интегралах сделаем подстановки
1) ; 2) ; 3) ;
4) ; 5)
соответственно. В результате получим равенства:
,
Подставляя значения в равенство (14) и делая несложные преобразования, получаем:
(15)
Учитывая (15) в равенстве (7), будем иметь:
(16)
где обозначено
(17)
|
(18)
(19)
Введем вспомогательную функцию по формуле :
(20)
Легко заметить, что функция и в точке x=0
(21)
Учитывая значение функции из равенства (21), в интегралах в правой части (16) получаем:
.
Обозначим
. (22)
Тогда окончательно имеем:
.
Аналогично находим, что
,
где обозначено , (23)
; (24)
. (25)
Используя известное тождество [3],
,
где интеграл понимается в смысле главного значения по Коши, уравнение (16) с учетом (5`), (17) – (19), (22) – (25) и делая несложные преобразования, приводится к сингулярному интегральному уравнению [1, 3]:
(26)
где сингулярный оператор S задаётся формулой:
,
, ,
,
, , – известные функции, ограниченные соответственно на 0 £ t £ x £ 1, 0 £ x £ t £ 1, 0 £ x £ 1, причем , .
Производя регуляризацию уравнения (26) по методу Карлемана – Векуа [4] и делая несложные преобразования, оно приводится к интегральному уравнению Фредгольма третьего рода [2]:
, (27)
где причем ядро и функция ограниченные соответственно при, 0£ x, t£ 1, 0£ x£ 1.
Следуя [2], обозначим через – множество функций , непрерывных всюду кроме быть может точек x=0, (x=1) и удовлетворяющих условию где , – целая часть , – целая часть [1].
В работе [2] найдены необходимые и достаточные условия существования решения уравнения (27) в классе .
Функция , определенная формулой (21), принадлежит классу искомых решений интегрального уравнения (8).
После определения , функция задаётся формулой (12). Таким образом, в области приходим к задаче [6]: найти регулярное в области решение уравнения (1), непрерывное вместе с производной в замкнутой области и удовлетворяющее граничным условиям (4) и .
Решение этой задачи задается формулой :
где – функция Грина этой задачи для уравнения
. (28)
Функция Грина выражается через фундаментальные решения уравнения (28), которые имеют вид:
где ;
;
– функция Бесселя. Функции , называются функциями Эйри и удовлетворяют уравнению . Основные свойства функций и , их оценки вместе с частными производными порядка больше 1, приведены в [7].
Список литературы
Бицадзе А.В. Некоторые классы уравнений в частных производных. М.: Наука, 1981.
Бжихатлов Х.Г., Карасев И.М., Лесковский И.П., Нахушев А.М. Избранные вопросы дифференциальных и интегральных уравнений. Нальчик. 1972.
Wolfersdorf L. Mfth. Zeitschr., 90,1,1965.
Езаова А.Г. Краевая задача для одного уравнения третьего порядка с кратными характеристиками.// Нальчик, вестник КБГУ, серия «математические науки». Вып. 3, 2003.
Мусхелишвили Н.И. Сингулярные интегральные уравнения. М., Наука, 1968.
Джураев Т.Д. Краевые задачи для уравнений смешанного и смешанно- составного типов. Ташкент, Фан, 1979.
Kattabriga L. Un problem al kontrono per ulna education did or dine despair // Anal Della scholar normal did pisafisa mat. 1959. №2.