Контрольные вопросы по эконометрике.
1. Каковы основные цели эконометрики?
· прогноз экономических и соц-экономических показателей, характеризующих состояние и развитие анализируемой системы.
· имитация различных возможных сценариев социально-экономического развития
2. Что понимают под спецификацией модели?
Это построение экономических моделей,т.е. представление экономических моделей в математической форме удобной для проведения эмпирического анализа
3. Что называется параметризацией?
Оценка параметров построенной модели, делающих выбранную модель наиболее адекватной реальным данным.
4. Что такое верификация?
Проверка качества найденных параметров модели и самой модели в целом.
5. Что означает простая и множественная регрессии?
Простая регрессия представляет собой регрессию между двумя переменными – y и x, т.е. модель вида y=f(x).
Множественная регрессия представляет собой регрессию результативного признака с двумя и большим числом факторов, т.е. модель вида f=(x1,x2,..xk)
6. Когда предпочтительна парная регрессия?
Парная регрессия достаточна, если имеется доминирующий фактор, который и используется в качестве объясняющей переменной.
7. Что понимается под ошибкой спецификации?
Это неправильно выбранная форма модели, недоучет какого-либо существенного фактора в уравнении регрессии, т.е. использование парной регрессии вместо множественной.
8. Какие основные источники ошибок эконометрических моделей?
Ошибки спецификации, ошибки выборки и ошибки измерения.
9. Какой вид имеет уравнение парной линейной регрессии?
Y=a+b*x
10. В чем суть метода наименьших квадратов?
МНК позволяет получить такие оценки параметров а и b, при которых сумма квадратов отклонений фактических значений от теоретических минимальна:
или.
11. Какой экономический смысл имеет коэффициент парной линейной регрессии?
Показывает среднее изменение результата с изменением фактора на одну единицу.
12. Что такое регрессор?
Регрессор – (признак - фактор) – независимая, или объясняющая переменная (х).
13. Что такое результативный признак?
Результативный признак – зависимая переменная (у)
14. Какой смысл может иметь свободный член в парной линейной регрессии?
Формально a –
значение y
при x=0.
Если x
не имеет и не может иметь нулевого значения, то такая трактовка свободного члена a
не имеет смысла. Параметр a
может не иметь экономического содержания. Попытки экономически интерпретировать его могут привести к абсурду, особенно при a
< 0. Интерпретировать можно лишь знак при параметре
a.
Если a
> 0, то относительное изменение результата происходит медленнее, чем изменение фактора.
15. Чему равен свободный член, если все переменные в линейной модели взяты в отклонениях от средних значений?
Иногда линейное уравнение парной регрессии записывают для отклонений от средних значений: , где , . При этом свободный член равен нулю.
16. Какова связь между линейным коэффициентом корреляции и коэффициентом парной линейной регрессии?
При линейной регрессии в качестве показателя тесноты связи выступает линейный коэффициент корреляции . Коэффициент регрессии показывает, на сколько единиц в среднем изменится У, когда Х увеличивается на одну единицу. Однако он зависит от единиц измерения переменных.
Для исправления Кр. Как показателя тесноты связи нужна такая стандартная система единиц измерения, в которой данные по различным характеристикам оказались бы сравнимы между собой. Эта система использует в качестве единицы измерения переменной её среднее квадратическое отклонение
s
17. Как определяется коэффициент детерминации и каков его статистический смысл?
Для оценки качества подбора линейной функции рассчитывается коэффициент детерминации
как квадрат линейного коэффициента корреляции r
2
. Он характеризует долю дисперсии результативного признака y
, объясняемую регрессией, в общей дисперсии результативного признака:
|
Величина коэффициента детерминации служит одним из критериев оценки качества линейной модели. Чем больше доля объясненной вариации, тем соответственно меньше роль прочих факторов, и , следовательно, линейная модель хорошо аппроксимирует исходные данные и ею можно воспользоваться для прогноза значений результативного признака. |
18. Каково среднее значение случайного отклонения при выполнении предпосылок МНК?
Выполнение предпосылок МНК – условие необходимое для получения несмещенных, состоятельных и эффективных оценок. И при их выполнении среднее значение случайного отклонения равняется нулю.
19. Что такое гомоскедастичность и гетероскедастичность ?
Дисперсия случайных отклонений постоянна: .
Выполнимость данной предпосылки называется гомоскедастичностью
(постоянством дисперсии отклонений). Невыполнимость данной предпосылки называется гетероскедастичностью
(непостоянством дисперсии отклонений)
20. Что такое автокорреляция случайных отклонений?
Отсутствие независимости случайных отклонений друг от друга.
21. Что означает несмещенность оценок параметров уравнения регрессии и их эффективность?
Несмещенность оценкиозначает, что математическое ожидание остатков равно нулю.
22. Как записывается баланс для сумм квадратов отклонений результативного признака?
Баланс для сумм квадратов отклонений результативного признака. или Q = Qr + Qe, где Q – общая сумма квадратов отклонений зависимой переменной от средней, Qr и Qe – соответственно, сумма квадратов, обусловленная регрессией, и остаточная сумма квадратов, характеризующая влияние неучтённых факторов.
23. Что происходит, когда общая СКО равна остаточной?
Когда общая СКО в точности равна остаточной, сумма квадратов, обусловленная регрессией равняется нулю. Фактор х
не оказывает влияния на результат, вся дисперсия y
обусловлена воздействием прочих факторов, линия регрессии параллельна оси Ох
и
24. В каком случае общая СКО равна факторной?
Общая СКО равна факторной, когда прочие факторы не влияют на результат, y
связан с x
функционально, и остаточная СКО равна нулю.
25. Что такое число степеней свободы?
Число степеней свободы(df-degreesoffreedom)- это число независимо варьируемых значений признака.
26. Чему равны числа степеней свободы для различных СКО в парной регрессии?
Для общей СКО
требуется (n-1) независимых отклонений, т.к. что позволяет свободно варьировать (n-1) значений, а последнее n-е отклонение определяется из общей суммы, равной нулю. Поэтому
Факторную СКО
можно выразить так:
Эта СКО зависит только от одного параметра b,
-поскольку выражение под знаком суммы к значениям результативного признака не относится. Следовательно, факторная СКО имеет одну степень свободы, и
Для определения
воспользуемся аналогией с балансовым равенством (11). Так же, как и в равенстве (11), можно записать равенство и между числами степеней свободы:
Таким образом, можем записать:
Из этого баланса определяем, что = n
–2.
27. Как определяется статистика по Фишеру?
Оценка значимости уравнения регрессии в целом дается с помощью F-критерия Фишера. При этом выдвигается нулевая гипотеза H0:b=0 о том, что коэффициент регрессии равен нулю и следовательно, фактор Х не оказывает влияния на результат У.
28. Как записываются основная и альтернативная гипотезы при проверке адекватности уравнения регрессии в целом?
, эта гипотеза говорит о том что уравнение регрессии не вносит существенного вклада в объяснение дисперсии зависимой переменой.
29. Как проверяются гипотезы при использовании статистики по Фишеру в парной регрессии?
Разделив каждую СКО на свое число степеней свободы, получим средний квадрат отклонений,
или дисперсию на одну степень свободы:
| (15) | |
| (16) | |
| (17) |
Сопоставляя факторную и остаточную дисперсии в расчете на одну степень свободы, получим - критерий для проверки нулевой гипотезы, которая в данном случае записывается как
(18)
Если справедлива, то дисперсии не отличаются друг от друга. Для необходимо опровержение, чтобы факторная дисперсия превышала остаточную в несколько раз. Английским статистиком Снедекором разработаны таблицы критических значений F при разных уровнях существенности и различных числах степеней свободы. Табличное значение F- критерия – это максимальная величина отношения дисперсий, которая может иметь место при случайном их расхождении для данного уровня вероятности наличия нулевой гипотезы. При нахождении
-2
.
Вычисленное значение F признается достоверным (отличным от единицы), если оно больше табличного, т.е. Fфактич
>Fтабл
(α;1;
n
-2
). В этом случае отклоняется и делается вывод о существенности превышения D
факт
над D
остат.
, т.е. о существенности статистической связи между y
иx
.
Если , то вероятность выше заданного уровня (например, 0,05), и эта гипотеза не может быть отклонена без серьезного риска сделать неправильный вывод о наличии связи между y
иx
.
Уравнение регрессии считается статистически незначимым, не отклоняется.
30. Как F- статистика связана с коэффициентом детерминации в парной регрессии?
Величина F-критерия связана с коэффициентом детерминации
F=r2
/1-r2
*(n-2)
Индекс детерминации используется для проверки существенности в целом уравнения нелинейной регрессии по F
-критерию Фишера:
31. Как рассчитать критерий Стьюдента коэффициента парной линейной регрессии?
Чем больше кривизна линии регрессии, тем больше разница между R
2
и r
2
. Близость этих показателей означает, что усложнять форму уравнения регрессии не следует и можно использовать линейную функцию. Практически, если величина (
R
2
-
r
2
)
не превышает 0,1, то линейная зависимость считается оправданной. В противном случае проводится оценка существенности различия показателей детерминации, вычисленных по одним и тем же данным, через t
-критерий Стьюдента:
. (56)
Здесь в знаменателе находится ошибка разности (
R
2
-
r
2
)
, определяемая по формуле:
. (57)
32.
Если , то различия между показателями корреляции существенны и замена нелинейной регрессии линейной нецелесообразна.
33Какая связь между tb
- и F – статистиками в парной линейной регрессии?
Существует связь между и :
Отсюда следует, что
33Как построить доверительный интервал для коэффициента парной линейной регрессии?
Доверительный интервал для b
определяется как
| , |
где – рассчитанное (оцененное) по МНК значение коэффициента регрессии,
Стандартная ошибка коэффициента регрессии определяется по формуле:
, (20)
- остаточная дисперсия на одну степень свободы (то же, что и D
остат
).
Интервалы прогноза по линейному уравнению регрессии
33. Для чего используются z – преобразования Фишера?
34. Однако при малых выборках и значениях r
, близких к , следует учитывать, что распределение r
как случайной величины отличается от нормального, и построение доверительных интервалов для r
не может быть выполнено стандартным способом. В этом случае вообще легко прийти к противоречию, заключающемуся в том, что доверительный интервал будет содержать значения, превышающие единицу.
Чтобы обойти это затруднение, используется так называемое z-преобразование Фишера:
которое дает нормально распределенную величину z, значения которой при изменении r
от –1 до +1 изменяются от -∞ до +∞.
35. В каком месте доверительный интервал прогноза по парной модели является наименьшим?
. (31)
Как видно из формулы, величина достигает минимума при и возрастает по мере удаления от в любом направлении.
36. Как классический МНК применяется к нелинейным моделям регрессии?
При анализе нелинейных регрессионных зависимостей наиболее важным вопросом применения классического МНК является способ их линеаризации. В случае линеаризации нелинейной зависимости получаем линейное регрессионное уравнение типа (3), параметры которого оцениваются обычным МНК, после чего можно записать исходное нелинейное соотношение.
Несколько особняком в этом смысле стоит полиномиальная модель произвольной степени:
, (34)
к которой обычный МНК можно применять без всякой предварительной линеаризации.
37. Как преобразуется уравнение гиперболического типа для использования МНК?
Линеаризация уравнения (37) сводится к замене фактора z
=1/
x
, и уравнение регрессии имеет вид (3), в котором вместо фактора х
используем фактор z
:
38. Как преобразуется уравнение экспоненциального типа, чтобы использовать МНК?
зависимости показательного (экспоненциального) типа, которые записываются в виде:
(40)
или в виде
. (41)
Возможна и такая зависимость:
. (42)
В регрессиях типа (40) – (42) применяется один и тот же способ линеаризации – логарифмирование. Уравнение (40) приводится к виду:
. (43)
Замена переменной сводит его к линейному виду:
, (44)
где .
39. Как преобразуется степенная зависимость при использовании МНК?
Они используются для построения и анализа производственных функций. В функциях вида:
(48)
особенно ценным является то обстоятельство, что параметр b
равен коэффициенту эластичности результативного признака по фактору х
. Преобразуя (48) путем логарифмирования, получаем линейную регрессию:
, (49)
где .
41Как преобразуется логистическая зависимость для применения МНК?
зависимость логистического типа:
40. . (52)
Графиком функции (52) является так называемая «кривая насыщения», которая имеет две горизонтальные асимптоты y
=0
и y
=1/
a
и точку перегиба , а также точку пересечения с осью ординат y
=1/(
a
+
b
)
:
Уравнение (52) приводится к линейному виду заменами переменных .
42Где применяется квадратичная парабола в уравнениях регрессии и при каких условиях?
Такая зависимость целесообразна в случае, если для некоторого интервала значений фактора возрастающая зависимость меняется на убывающую или наоборот. В этом случае можно определить значение фактора, при котором достигается максимальное или минимальное значение результативного признака. Если исходные данные не обнаруживают изменение направленности связи, параметры параболы становятся трудно интерпретируемыми, и форму связи лучше заменить другими нелинейными моделями.
43Какие зависимости используются для кривых Филипса и кривых Энгеля?
Зависимости гиперболического типа имеют вид:
. (37)
Примером такой зависимости является кривая Филлипса, констатирующая обратную зависимость процента прироста заработной платы от уровня безработицы. В этом случае значение параметра b
будет больше нуля. Другим примером зависимости (37) являются кривые Энгеля, формулирующие следующую закономерность: с ростом дохода доля доходов, расходуемых на продовольствие, уменьшается, а доля доходов, расходуемых на непродовольственные товары, будет возрастать. В этом случае b
<0
, а результативный признак в (37) показывает долю расходов на непродовольственные товары.
44В чем различия между коэффициентом корреляции и индексом корреляции?
показателем корреляции, который в данном случае называется индексом корреляции:
При линейной регрессии в качестве показателя тесноты связи выступает линейный коэффициент корреляции r
:
| (11) |
Его значения находятся в границах: . Если b
> 0, то при b
< 0 . По данным примера , что означает очень тесную зависимость затрат на производство от величины объема выпускаемой продукции.
Величина R
находится в границах , и чем ближе она к единице, тем теснее связь рассматриваемых признаков, тем более надежно найденное уравнение регрессии
45В чем особенность вычисления статистики Фишера для полиноминальных регрессии?
Индекс детерминации используется для проверки существенности в целом уравнения нелинейной регрессии по F
-критерию Фишера:
, (55)
где n
-число наблюдений, m
-число параметров при переменных х
. Во всех рассмотренных нами случаях, кроме полиномиальной регрессии, m
=1, для полиномов (34) m
=
k
, т.е. степени полинома. Величина m
характеризует число степеней свободы для факторной СКО, а (
n
-
m
-1)
– число степеней свободы для остаточной СКО.