Задача 1.
1.6. Финансовый консультант фирмы «АВС» консультирует клиента по оптимальному инвестиционному портфелю. Клиент хочет вложить средства (не более 25000$) в два наименования акций крупных предприятий в составе холдинга «Дикси».
Анализируются акции «Дикси – Е» и «Дикси – В». Цены на акции: «Дикси – Е» - 5$ за акцию; «Дикси –В» - 3$ за акцию.
Клиент уточнил, что он хочет приобрести максимум 6000 акций обоих наименований, при этом акций одного наименования должно быть не более 5000 штук.
По оценкам «АВС» прибыль от инвестиций в эти две акции в следующем году составит: «Дикси – Е» - 1,1$; «Дикси – В» - 0,9$.
Задача консультанта состоит в том, чтобы выдать клиенту рекомендации по оптимизации прибыли от инвестиций.
Построить экономико-математическую модель задачи, дать необходимые комментарии к ее элементам и получить решение графическим методом. Что произойдет, если решать задачу на минимум и почему?
Решение
Пусть X1
– кол-во акций «Дикси-Е»,
X2
– кол-во акций «Дикси-В».
Тогда стоимость акций будет задаваться целевой функцией:
| Вид дохода | Наименования акций | Запас средств | |
| Дикси-Е | Дикси-В | ||
| Стоимость 1 акции | 5 | 3 | 25000 |
| Прибыль от инвестиции акций в следующем году | 1,1 | 0,9 | |
| Рекомендации | Х1
|
Х2
|
|
Экономико-математическая модель задачи имеет вид:
Ограничения по необходимому максимуму кол-ва акций:
Для получения решения графическим методом строим прямые:
|
|
||||
| X1
|
5000 | 200 | ||
| X2
|
0 | 8000 | ||
|
|||||
|
|||||
|
|||||
|
|
Решением является замкнутый многоугольник ОАВС любая точка этого многоугольника внутри и на границе является решением или рекомендацией допустимой задачи.
Чтобы из бесконечности множества возможных рекомендаций найти ту или те которые достаточны для функции цели max
значение.
Надо найти расположение всех точек в которых функция цели принимает одно какое-нибудь определенное значение, т.е. строим линию равных значений (линия уровня) , все линии уровня параллельны между собой поэтому проведем еще одну параллельную через точку (0,0).
| Х1
|
Х2
|
| 0 | 6667 |
| 5455 | 0 |
Построим векто-градиент перпендикулярный линии уровня , и двигаться в направлении вектора-градиента до крайней точки через которую он «покидает» многоугольник системы ограничений.
Точка С (3500;2500)
Если решать задачу на minто надо двигаться по линии вектора-градиента в обратном направлении линии уровня и иксы поменяют друг с другом свои значения.
Ответ: максимальная прибыль в следующем году: 6100$
При покупке акций Дикси-Е (Х1
)=3500 (шт.), Дикси-В (Х2
)=2500 (шт.).
Задача 2.
2.6. На основании информации, приведенной в таблице, решается задача оптимального использования ресурсов на максимум выручки от реализации готовой продукции.
| Вид сырья | Наименование расхода сырья на ед. продукции | Запасы сырья | ||
| А | Б | В | ||
I II III |
18 6 5 |
15 4 3 |
12 8 3 |
360 192 180 |
| Цена изделия | 9 | 10 | 16 | |
Требуется:
1) Сформулировать прямую оптимизационную задачу на максимум выручки от реализации готовой продукции, получить оптимальный план выпуска продукции.
2) Сформулировать двойственную задачу и найти ее оптимальный план с помощью теорем двойственности.
3) Пояснить нулевые значения переменных в оптимальном плане.
4) На основе свойств двойственных оценок и теорем двойственности:
- проанализировать использование ресурсов в оптимальном плане исходной задачи;
- определить, как изменяется выручка от реализации продукции и план ее выпуска, если запас сырья I вида увеличить на 4,5 кг, а II – уменьшить на 9 кг;
- оценить целесообразность включения в план изделия «Г» ценой 11 ед., на изготовление которого расходуется 9, 4 и 6 кг соответствующего вида сырья.
Решение
1) Пусть необходимо изготовить х1
единиц продукции A, х2
единиц продукции Б и х3
единиц продукции В. Прямая оптимизационная задача на максимум выручки от реализации готовой продукции имеет вид:
Оптимальный план выпуска продукции будем искать с помощью настройки «Поиск решения» MSExcel. Сначала занесем исходные данные:
| A | B | C | D | E | F | |
| 3
|
X1 | X2 | X3 | |||
| 4
|
Значения переменных | 0 | 0 | 0 | ЦФ | |
| 5
|
Коэф. целевой ф-ии | 9 | 10 | 16 | =СУММПРОИЗВ($В$4:$D$4;В5:D5) | |
| 6
|
||||||
| 7
|
Ограничения | Левая часть | Правая часть | |||
| 8
|
I | 18 | 15 | 12 | =СУММПРОИЗВ($В$4:$D$4;В8:D8) | 360 |
| 9
|
II | 6 | 4 | 8 | =СУММПРОИЗВ($В$4:$D$4;В9:D9) | 192 |
| 10
|
III | 5 | 3 | 3 | =СУММПРОИЗВ($В$4:$D$4;В10:D10) | 180 |
Теперь будем искать оптимальное решение с помощью настройки «Поиск решения»:
В результате будет получена следующая таблица:
| 2 | A | B | C | D | E | F |
| 3 | X1 | X2 | X3 | |||
| 4 | Значения переменных | 0 | 8 | 20 | ЦФ | |
| 5 | Коэф. целевой ф-ии | 9 | 10 | 16 | 400 | |
| 6 | ||||||
| 7 | Ограничения | Левая часть | Правая часть | |||
| 8 | I | 18 | 15 | 12 | 360 | 360 |
| 9 | II | 6 | 4 | 8 | 192 | 192 |
| 10 | III | 5 | 3 | 3 | 84 | 180 |
Таким образом, чтобы получить максимум выручки в размере 400 ден.ед. необходимо изготовить 0 единиц продукции А, 8 единицы продукции Б и 20 единиц продукции В.
2) Строим двойственную задачу в виде:
Запишем двойственную задачу:
Найдем решение двойственной задачи с помощью теорем двойственности. Проверим выполнение системы неравенств прямой задачи:
Так как третье неравенство выполняется как строгое, то у3
= 0
Так как х2
≠
0 и х
3
≠
0, то получаем систему уравнений:
Решение системы: y1 <
=5/3, y3
=0.
3) В прямой задаче Х1
=0, так как придостаточно высоких затратах производство продукции Iприносит небольшую прибыль.
В двойственной задаче у3
=0,
так как III вид сырья является избыточным и не расходуется полностью на производство продукции.
4) а) Наиболее дефицитным является II вид сырья, так как его двойственная оценка (у2
= 5/3
) является наибольшей.
б) При увеличении запасов сырья Iвида на 45 кг. и уменьшении запасов сырья II вида на 9 кг. изменение выручки составит:
2/9*45–5/3*9 = -5 ден.ед.
И она будет равна: 400-5 = 395 ден.ед.
Определим изменение плана выпуска аз системы уравнений:
То есть оптимальный план выпуска будет иметь вид:
X1
=0 X2
=11 X3
=20 maxf(x) = 395 (ден.ед)
в) оценим целесообразность включения в план изделия Г вида ценой 11ед., если нормы затрат сырья 9, 4 и 6 кг.
Затраты на изготовление единицы изделия Г составят:
Так как затраты на производство изделия меньше, чем его стоимость (∆ = 8 < 11), то включение в план изделия Г целесообразно, так как оно принесет дополнительную прибыль.
Ответ: =400 ден.ед, включение в план изделия Г целесообразно.
Задача 4.
Задача 4.6. В течение девяти последовательных недель фиксировался спрос Y(t) (млн. р.) на кредитные ресурсы финансовой компании. Временной ряд Y(t) этого показателя (повариантно) приведен ниже в таблице
| Номер варианта
|
Номер наблюдения (
t=1,2,...,9) |
||||||||
| 1
|
2
|
3
|
4
|
5
|
6
|
7
|
8
|
9
|
|
| 6 | 12 | 15 | 16 | 19 | 17 | 20 | 24 | 25 | 28 |
Требуется:
1) Проверить наличие аномальных наблюдений.
2) Построить линейную модель Ŷ(t)=a0
+a1
t, параметры которой оценить МНК (Ŷ(t) – расчетные, смоделированные значения временного ряда).
3) Построить адаптивную модель Брауна Ŷ(t)=a0
+a1
k с параметром сглаживания α=0,4 и α=0,7; выбрать лучшее значение параметра сглаживания α.
4) Оценить адекватность построенных моделей, используя свойства независимости остаточной компоненты, случайности и соответствия нормальному закону распределения (при использовании R/S-критерия взять табулированные границы 2,7 – 3,7).
5) Оценить точность моделей на основе использования средней относительной ошибки аппроксимации.
6) По двум построенным моделям осуществить прогноз спроса на следующие две недели (доверительный интервал прогноза при доверительной вероятности p=70%).
7) Фактические значения показателя, результаты моделирования и прогнозирования представить графически.
Вычисления провести с одним знаком в дробной части. Основные промежуточные результаты вычислений представить в таблицах (при использовании компьютера представить соответствующие листинги с комментариями).
Решение
1) Методом Ирвина проверим анамальность ряда, где λ должна быть ≥1,6 для нормального ряда.
где среднеквадратическое отклонение рассчитывается с использованием формул:
Построим следующий ряд:
y(t)2=B2^2
λ(y) =D3/$B$13
σy=((9*E11-B11^2)/72)^0,5
Анамальных наблюдений во временном ряду нет.
2)Построим линейную модель вида Yр
(t) = a0
+ a1
t
Параметры а0
и а1
можно найти методом наименьших квадратов из системы нормальных уравнений:
А также с использованием настройки MSExcel «Анализ данных». Для этого занесем исходные данные в таблицу:
Затем используя пункт Регрессия настройки - «Анализ данных»
Средствами MSExcel получена следующая линейная модель: Yp
(
t) =
1,85 t+ 10,30
Построим график эмпирического и смоделированного рядов:
3) Это значение сравнивается с фактическим уровнем и полученная ошибка прогноза:
используется для корректировки модели. Корректировка параметров осуществляется по формулам:
а) Примем а
= 0,4, тогда В качестве начальных параметров модели возьмем, исчисленные в линейной модели: а0
= 11,6; а1
= 1,4.
Расчет проведем с помощью MSExcel в результате получим следующую таблицу:
| t | y(t) | ao(t) | a1(t) | yp(t) | e(t) |
| 0 | 11,6 | 1,4 | |||
| 1 | 12 | 12,09 | 0,76 | 13 | -1 |
| 2 | 15 | 14,226 | 2,7165 | 12,85 | 2,15 |
| 3 | 16 | 16,08483 | 1,858825 | 16,9425 | -0,9425 |
| 4 | 19 | 18,90493 | 2,820104 | 17,94365 | 1,05635 |
| 5 | 17 | 17,42525 | -1,47968 | 21,72503 | -4,72503 |
| 6 | 20 | 19,6351 | 2,209849 | 15,94558 | 4,054423 |
| 7 | 24 | 23,80605 | 4,170944 | 21,84495 | 2,155049 |
| 8 | 25 | 25,26793 | 1,461883 | 27,97699 | -2,97699 |
| 9 | 28 | 27,88568 | 2,617754 | 26,72981 | 1,270188 |
Рассчитаем среднюю ошибку аппроксимации по модели:
б) Примем а
= 0,7, тогда . В качестве начальных параметров модели возьмем, исчисленные в линейной модели: а0
= 11,6; а1
= 1,4. Получим следующую таблицу:
| t | y(t) | ao(t) | a1(t) | yp(t) | e(t) |
| 0 | 11,6 | 1,4 | |||
| 1 | 12 | 12,09 | 0,49 | 13 | -1 |
| 2 | 15 | 14,7822 | 2,6922 | 12,58 | 2,42 |
| 3 | 16 | 16,1327 | 1,350496 | 17,4744 | -1,4744 |
| 4 | 19 | 18,86349 | 2,73079128 | 17,48319 | 1,516808 |
| 5 | 17 | 17,41349 | -1,45000221 | 21,59428 | -4,59428 |
| 6 | 20 | 19,63671 | 2,223228387 | 15,96348 | 4,036517 |
| 7 | 24 | 23,80739 | 4,170681309 | 21,85994 | 2,140058 |
| 8 | 25 | 25,26803 | 1,460632081 | 27,97808 | -2,97808 |
| 9 | 28 | 27,88558 | 2,617552457 | 26,72866 | 1,271341 |
Рассчитаем среднюю ошибку аппроксимации по модели:
Таким образом, лучшей является модель Брауна с параметром а =0,4.
4) Оценим адекватность построенной модели также используя MSExcel. Для нахождения необходимых показателей построим таблицу:
Et=B2-G2
Е(т)^2=H2^2
E((t)-E(t-1))^2=(H3-H2)^2
E(t)-E(t-1) =H3-H2
мод Е(т) =ABS(H2)
Е(т)/у=L2/B2
Так как сумма Ет =0.004 = 0 то гипотеза Но:М(е)=0 подтверждается.
· Условие случайности отклонений от тренда. Рассчитаем критическое число поворотных точек по формуле:
Так как для данной модели р
= 6 > 2, то условие выполнено.
· Условие наличия (отсутствия) автокорреляции в отклонениях. Рассчитаем статистику Дарбина-Уотсона (
d-
статистику) по формулам:
d=2,03383658
d'=4–2,03383658=1,96616342
Критические значения статистики: d1
kp
=1,08 и d2
kp
=1,36;
dи d'>1,36 поэтому уровни остатков не зависимы
· Условие соответствия ряда остатков нормальному закону распределения. Рассчитаем RS - критерий:
Se
=((9*(I11-H11^2)/72)^0,5)=1,2685
=(1,294-(-2,556))/1,2685=3,04
(2,7;3,7), т.е. 3,04(2,7;3,7), значит модель адекватна.
5) Оценим точность построенной модели на основе относительной ошибки аппроксимации, рассчитанной по формуле:
6) Строим прогноз по построенным моделям:
точечный прогноз получается путем подстановки в модель значений времени t,
соответствующих периоду упреждения k:
t =
n+
k.
Так, в случае трендовой модели в виде полинома первой степени - линейной модели роста -экстраполяция на k
шагов вперед имеет вид:
Точечный прогноз на следующие две недели имеет вид:
Yn
+1
=10,30+1,85(9+1)=28,806
Yn
+2
=10,30+1,85(9+2)= 30,656
Учитывая, что модель плохой точности будем прогнозировать с небольшой вероятностью Р=0,7
Доверительный интервал:
Критерий Стьюдента (при доверительной вероятности р = 0,7; ν = n-2= 9-2=7), равен: t= 1,119
7) Представим графически результаты моделирования и прогнозирования для этого составим таблицу: