Кафедра информатики и прикладной математики
КУРСОВАЯ РАБОТА НА ТЕМУ:
«УМЕНЬШЕНИЕ ОЦЕНКИ ВЗАИМНОЙ СПЕКТРАЛЬНОЙ ПЛОТНОСТИ СТАЦИОНАРНОГО СЛУЧАЙНОГО ПРОЦЕССА»
Брест 2009
СОДЕРЖАНИЕ
ВВЕДЕНИЕ
1. ОСНОВНЫЕ ОПРЕДЕЛЕНИЯ, ИСПОЛЬЗУЕМЫЕ В РАБОТЕ
2. УМЕНЬШЕНИЕ СМЕЩЕНИЯ ОЦЕНКИ ВЗАИМНОЙ СПЕКТРАЛЬНОЙ ПЛОТНОСТИ
3. ОКНА ПРОСМОТРА ДАННЫХ
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
СПИСОКИСПОЛЬЗОВАННЫХИСТОЧНИКОВ
ПРИЛОЖЕНИЕ
ВВЕДЕНИЕ
Почти в каждой области встречаются явления, которые интересно и важно изучать в их развитии и изменении во времени. В повседневной жизни могут представлять интерес, например, метеорологические условия, цены на тот или иной товар, те или иные характеристики состояния здоровья индивидуума и т.п. Все они изменяются во времени. Совокупность измерений какой-либо одной характеристики подобного рода и представляет собой временной ряд.
Одной из главных задач спектрального анализа временных рядов является построение и исследование оценок спектральных плотностей стационарных случайных процессов, так как они дают важную информацию о структуре процесса.
Методы анализа временных рядов широко используются в различных областях науки и техники, их можно применять при анализе больших объемов данных, получаемых в процессе вибрационных испытаний или извлекаемых из сводок экономических данных.
В данной работе исследована оценка спектральной плотности, построенная с использованием различных окон просмотра данных. Построены графики этой оценки для временного ряда, представляющего собой последовательность наблюдений - температуры воздуха в городе Бресте с октября 2008 по февраль 2009 года.
Графики построены также для центрированного случайного процесса.
1. ОСНОВНЫЕ ОПРЕДЕЛЕНИЯ, ИСПОЛЬЗУЕМЫЕ В РАБОТЕ
Векторным временным рядом
(r-мерным временным рядом) называется совокупность функций вида
.
Переменная t обычно соответствует времени выполнения или регистрации наблюдений и измерений.
Действительным случайным процессом
= называется семейство случайных величин, заданных на вероятностном пространстве , где , , - некоторое параметрическое множество.
Если , или - подмножество из , то говорят, что , - случайный процесс с дискретным временем
.
Если , или подмножество из , то говорят, что , - случайный процесс с непрерывным временем.
Введем характеристики случайного процесса , , во временной области.
Математическим ожиданием
случайного процесса , , называется функция вида
,
где .
Дисперсией
случайного процесса , , называется функция вида
,
где .
Спектральной плотностью
случайного процесса , , называется функция вида
=,
,
при условии, что
.
Нормированной спектральной плотностью
случайного процесса называется функция вида
где , если и , если .
Из определения видно, что спектральная плотность непрерывная, периодическая функция с периодом, равным по каждому из аргументов.
Ковариационной функцией
случайного процесса , , называется функция вида
.
Смешанным моментом го порядка
, , случайного процесса , , называется функция вида
, , .
Заметим, что
,
.
Лемма 1.1.
Для любого целого р справедливо следующее соотношение
.
Доказательство.
Если , то доказательство очевидно. Рассмотрим случай . Воспользуемся формулой Эйлера
тогда
Лемма доказана.
Пусть - значения случайного процесса в точках . Введем функцию
,
которую будем называть характеристической функцией
, где - ненулевой действительный вектор, , .
Смешанный момент го порядка
, , можно также определить как
, , .
Смешанным семиинвариантом (кумулянтом) го порядка
, , случайного процесса , , называется функция вида
, , ,
которую также будем обозначать как .
Между смешанными моментами и смешанными семиинвариантами го порядка, , существуют связывающие их соотношения, которые имеют вид
,
,
где суммирование производится по всевозможным разбиениям множества
, , , , .
При
,
,
.
При
Спектральной плотностью
случайного процесса , , называется функция вида
=, ,
при условии, что
Из определения видно, что спектральная плотность непрерывная, периодическая функция с периодом, равным по каждому из аргументов.
Семиинвариантной спектральной плотностью го порядка,
, случайного процесса , , называется функция вида
=, ,
при условии, что
.
Теорема 1.
Для смешанного семиинварианта го порядка, , случайного процесса справедливы представления
,.
Пусть - случайный процесс, заданный на вероятностном пространстве , и
- мерная функция распределения, где
Случайный процесс называется стационарным в узком смысле
(строго стационарным), если для любого натурального , любых и любого , такого что выполняется соотношение
где
Возьмем произвольное . Пусть , тогда
В дальнейшем функцию, в правой части (1), будем обозначать
Используя определение стационарного в узком смысле СП , смешанный момент го порядка, , будем обозначать
Смешанный семиинвариант го порядка, , стационарного в узком смысле СП будем обозначать
Случайный процесс , называется стационарным в широком смысле
, если и
Замечание 1.
Если , является стационарным в узком смысле СП и то , является стационарным в широком смысле, но не наоборот.
Спектральной плотностью
стационарного случайного процесса , называется функция вида
,
при условии, что
Семиинвариантной спектральной плотностью - го порядка
, , стационарного СП , называется функция вида
при условии, что
Для смешанного семиинварианта -го порядка, , стационарного СП справедливо следующее соотношение
.
Для эти соотношения примут вид
.
Рассмотрим действительный стационарный в широком смысле случайный процесс,, с математическим ожиданием , , взаимной ковариационной функцией , и взаимной спектральной плотностью .
Предположим, имеются Т последовательных, полученных через равные промежутки времени наблюдений за составляющей , рассматриваемого процесса . Как оценку взаимной спектральной плотности в точке рассмотрим статистику
(2.1)
где , - произвольная, не зависящая от наблюдений четная целочисленная функция, для , а
(2.2)
s – целое число, - целая часть числа .
Статистика , называемая выборочной взаимной спектральной плотностью или периодограммой, задается соотношением
(2.3)
определено равенством (2.2).
Предположим, если оценка взаимной спектральной плотности , построенная по T наблюдениям, является асимптотически несмещенной, то математическое ожидание ее можно представить в виде
(2.4)
где некоторые действительные функции, не зависящие от T,
В качестве оценки взаимной спектральной плотности возьмем статистику
,
и исследуем первый момент построенной оценки.
Математическое ожидание построенной оценки будет следующее
Использовав соотношение (2.4), получим
где
Поскольку
следовательно, оценка является асимптотически несмещенной со смещением, убывающим как .
Так как равенство (2.4) справедливо и при , то, рассматривая оценку
где
, то оценка является асимптотически несмещенной со смещением, убывающим на . Далее рассмотрим оценку
(2.5)
Найдем математическое ожидание построенной оценки :
где
Следовательно, оценка является асимптотически несмещенной со смещением, убывающим как .
Найдем явный вид коэффициентов в представлении (2.4),
Видим, что
Таким образом, справедливо следующее утверждение.
Теорема 2.1
.
Оценка взаимной спектральной плотности стационарного в широком смысле случайного процесса , задаваемая равенством (2.5), удовлетворяет соотношению
,
,
при условии, что справедливо соотношение (2.4) для
При нахождении моментов оценок спектральных плотностей вторых и высших порядков появляются функции вида
(2.6)
где задаются соотношением
3. ОКНА ПРОСМОТРА ДАННЫХ
Чтобы выделить определенные характеристики спектральных оценок, нередко прибегают к сглаживанию значений на концах случайного временного ряда. Временное сглаживание представляет собой умножение ряда на «окно данных».
В соотношении (2.3) введена функция , называемая окном просмотра данных (множителем сходимости, коэффициентом сглаживания).
Функцию
(3.1)
называют частотным окном. Из соотношения (3.1) вытекает, что
Характерное поведение функции состоит в том, что она становится все более сконцентрированной в окрестности нуля при .
Примеры окон просмотра данных:
1. 1 – окно Дирихле;
2. 1- – окно Фейера;
3. ;
4. – окно Хэннинга;
5. – окно Хэмминга;
6. – окно Хэмминга;
7. , где – окно Хэмминга;
8. 1- – окно Рисса.
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
В данной работе исследована оценка спектральной плотности вида
где , а периодограмма задана следующим соотношением
Построены графики этой оценки для различных окон данных на основании данных, представляющих собой последовательность наблюдений - температуры воздуха в городе Бресте с октября 2008 по февраль 2009 года.
Графики построены также для центрированного случайного процесса.
СПИСОК
ИСПОЛЬЗОВАННЫХ
ИСТОЧНИКОВ
1. Андерсон Т. Статистический анализ временных рядов. – М.: Мир, 1976. – 755 с.
2. Бриллинджер Д. Временные ряды. Обработка данных и теория. - М.: Мир, 1980. - 536 с.
3. Журбенко И.Г. Спектральный анализ временных рядов. - М.: Изд-во МГУ, 1982. - 168 с.
4. Труш Н.Н. Асимптотические методы статистического анализа временных рядов. – Мн.: БГУ, 1999. - 218 с.
5. Труш Н.Н., Мирская Е.И. Случайные процессы. Преобразования Фурье наблюдений. – Мн.: БГУ, 2000.
ПРИЛОЖЕНИЕ
Для исследования оценки (3.1) был исследован ряд, состоящий из 176 наблюдений ежедневной температуры воздуха в городе Бресте с октября 2008 по февраль 2009 года.
Рис. 1 - График оценки спектральной плотности (2.1) для окна Дирихле
Рис. 2 - График оценки спектральной плотности (2.1) для окна Дирихле для центрированного случайного процесса
Рис. 3 - График оценки спектральной плотности (2.1) для окна Фейера
Рис. 4 - График оценки спектральной плотности (2.1) для окна Фейера для центрированного случайного процесса
Рис. 5 - График оценки спектральной плотности (2.1) для окна вида 3
Рис. 6 - График оценки спектральной плотности (2.1) для окна вида 3 для центрированного случайного процесса
Рис. 7 - График оценки спектральной плотности (2.1) для окна Хэннинга
Рис. 8 - График оценки спектральной плотности (2.1) для окна Хэннинга для центрированного случайного процесса
Рис. 9 - График оценки спектральной плотности (2.1) для окна Хэмминга вида 5
Рис. 10 - График оценки спектральной плотности (2.1) для окна Хэмминга вида 5 для центрированного случайного процесса
Рис. 11 - График оценки спектральной плотности (2.1) для окна Хэмминга вида 6
Рис. 12 - График оценки спектральной плотности (2.1) для окна Хэмминга вида 6 для центрированного случайного процесса
Рис. 13 - График оценки спектральной плотности (2.1) для окна Хэмминга вида 7
Рис. 14 - График оценки спектральной плотности (2.1) для окна Хэмминга вида 7 для центрированного случайного процесса
Рис. 15 - График оценки спектральной плотности (2.1) для окна Рисса
Рис. 16 - График оценки спектральной плотности (2.1) для окна Рисса для центрированного случайного процесса